2019届北京市一零一中学高三下学期月考(三)数学(理)试题
北京市101中学高三数学3月月考试题 理
北京101中学2018届下学期高三年级3月月考数学试卷（理科）一、选择题：共8小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数z 满足z （1+i ）=2，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线l 1：x+ay-1=0，l 2：（a+1）x-ay=0，若p ：l 1∥l 2；q ：a=-2，则p 是q 的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数z=-2x+y 的最小值为（ ）A. -4B. -2C. 0D. 24. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值n 为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25. 函数y=2x 2-e |x|在[-2，2]的图象大致为（ ）6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A. A 26×A 45种B. A 26×54种 C. C 26×54种 D. C 26×A 45种7. 设函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（A ，ω，ϕ是常数，A>0，ω>0），且函数f （x ）的部分图象如图所示，则有（ ）A. )67()35()43(πππf f f <<- B. )35()67()43(πππf f f <<- C. )35(πf <<)67(πf )43(π-fD. )35(πf <)43(π-f )67(πf < 8. 已知A 、B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），∠AOB=120°，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点。
2019届北京市101中学高三10月月考数学(理)试卷及解析
2019届北京市101中学高三10月月考
数学（理）试卷
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A. 1
B. 0
C.
D. -1
【答案】D
【解析】
设
，得到：+
∴，且
解得：
故选：D
2.已知为等差数列，为其前n 项和，若，则（）
A. 17
B. 14
C. 13
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式求出公差d ，再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，
，
解得，，
所以，故答案选A。
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
1 / 14。
2018-2019学年北京市101中学高三(下)5月月考数学试卷答案解析与点睛(19页)
2018-2019学年北京市101中学高三（下）5月月考数学试卷数学试卷一、选择题1.已知集合{21|log ,,|,02xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =IA. ()1,+∞B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】{}()211log ,21,,|,1,22xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫===+∞==<=+∞⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭,所以()1,A B ⋂=+∞，选A.2.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. （1,8）C. （4,8）D. [4,8)【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）A. (2020,0)-B. (,2020)-∞-C. (2016,0)-D. (,2016)-∞-【答案】B 【解析】由()()22'f x xf x x +>，0x （＜），得：232xf x x f x x +'（）（）＜， 即23[]0x f x x '（）＜＜， 令F （x ）=x 2f （x ），则当0x ＜ 时， 得0F x '（）＜，即0F x -∞（）在（，）上是减函数，2201820182018242F x x f x F f ∴+=++-=-（）（）（），（）（）， 即不等式等价为201820F x F +--（）（）＞， F x Q （） 在0-∞（，） 是减函数，∴由F 20182x F +-（）＞（）得，20182x +-＜ ，即2020.x -＜故选B ．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键 4.()51(1)1x x++的展开式中2x 的系数为A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】C 【解析】()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=11x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭122334455555551+).C x C x C x C x C x ++++（ 所以()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数=2355101020.C C +=+=故选C. 5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则该数列第18项为( )A. 200B. 162C. 144D. 128【答案】B 【解析】 【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可. 【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50， 即21⨯，24⨯，29⨯，216⨯，225⨯，即偶数项对应的通项公式为222n a n =，则数列的第18项为第9个偶数即2182929281162a a ⨯==⨯=⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．6.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )D.【答案】D 【解析】 【分析】求出以A 为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC ∠的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形ABC 的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，设以A 为圆心，以边长为半径，圆心角为BAC ∠的扇形的面积为1S ，则22160=3606a a S ππ⋅=，021=sin 602ABC S a a ∆⋅⋅=，莱洛三角形面积为S，则2222 132=3262ABCa aS S Sππ∆=-⨯-=-,在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为P,2ABCSPS∆===故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.7.已知定义在R上的连续可导函数()f x无极值，且,x R∀∈[()2018]2019xf f x+=，若()2sin()6g x x mxπ=++在3[,2]2ππ上与函数()f x的单调性相同，则实数m的取值范围是( )A. (,2]-∞- B. [2,)-+∞C. (,2]-∞ D. [2,1]--【答案】A【解析】【分析】根据()f x连续可导且无极值，结合()20182019xf f x⎡⎤+=⎣⎦，判断出()f x为单调递减函数.对()g x求导后分离常数m，利用三角函数的值域求得m的取值范围.【详解】由于()f x连续可导且无极值，故函数()f x为单调函数.故可令()2018xt f x=+，使()2019f t=成立，故()2018xf x t=-，故()f x为R上的减函数.故()g x在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.即()π2cos06g x x m⎛⎫=++≤⎪⎝⎭'在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即π2cos6m x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，由于π5π13π,636x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1cos,162x⎛⎫⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，[]π2cos2,16x⎛⎫-+∈--⎪⎝⎭，所以2m≤-，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.8.已知正三棱锥A BCD-的所有顶点都在球O的球面上，其底面边长为3，E，F，G分别为侧棱AB，AC，AD的中点.若O在三棱锥A BCD-内，且三棱锥A BCD-的体积是三棱锥O BCD-体积的3倍，则平面EFG截球O所得截面的面积为（）A.154πB.32π C.D. 4π【答案】A 【解析】 【分析】M 是底面BCD ∆的中心，则O 在AM 上，而由3A BCD O BCD V V --=得3AM OM =，AM 与平面EFG 交于点N ，N 是过平面EFG 的截面圆圆心，在OBM ∆中由勾股定理求得R ，再由截面圆性质可求得截面圆半径．【详解】如图，M 是底面BCD ∆的中心，则O 在AM 上，而由3A BCD O BCD V V --=得3AM OM =，设OA R =，则2R OM =，又3BC CD DB ===，M 是BCD ∆中心，则3MB ==，∴由222OB OM BM =+得222()2R R =+，解得2R =，设AM 与平面EFG 交于点N ，∵E F G 、、分别是,,AB AC AD 的中点，则N 是AM 的中点，∴11332222MN AM R ==⨯=，31122ON MN OM =-=-=，设平面EFG截球O 所得截面圆半径为r ，则r ==，∴此圆面积为22154r πππ=⨯=．故选A ．【点睛】本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若cos cos sin sin B C AB AC mAO C B+=u u u v u u u v u u u v ，则m 的取值范围为________.【答案】2) 【解析】 【分析】利用平面向量的运算，求得2sin m A =，由此求得m 的取值范围.【详解】设D 是AB 中点，根据垂径定理可知⊥OD AB ，依题意()2cos cos sin sin 2B C m AB AB AC AB m AD DO AB AB C B ⋅+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22cos cos cos sin sin 2c B bc A C m c C B +=，利用正弦定理化简得cos cos cos sin 2mB AC C +=.由于()cos cos B A C =-+，所以sin sin cos cos cos cos sin 2mA C A C A C C -+=，即2sin m A =.由于A 是锐角三角形的最大角，故ππ,32A ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故)2sin m A =∈.【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.10.若整数,x y 满足不等式组022020x x y x y ≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩，则yz x =最小值为_______.【答案】12【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点()2,1处，目标函数取得最小值为12.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意,x y 为整数，属于基础题.11. 执行如图所示程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值【答案】68 【解析】的试题分析：第一次循环：702213155278y =⨯+⨯+⨯=；第二次循环：278105173y =-=；第三次循环：173********y =-=<；结束循环，输出68.y = 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.12.已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>，圆()222:4b M x a y -+=.若双曲线C 一条渐近线与圆M 相切，则当22224149a a ab -+取得最大值时，C 的实轴长为__________．【解析】 【分析】首先利用直线与圆相切确定a ,b 的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，2ab b c ==， 据此可知：2c a =，则22224,3c a b a ==，故22224149a a a b -+ 222243149a a a a =-⨯+ 624312454931a a a -+=⨯+， 令()()6243124504931a a f a a a -+=⨯>+， 则()()952492411430'4931a a a f a a --+=⨯+ ()()()4424641594931a a a a --+=⨯+， 由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数()f a在区间0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，当2a =时，22224149a a ab -+取得最大值时，此时C的实轴长为2a =的【点睛】本题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.已知2223()3m x x n m n -+≠剟的解集为[m ，n ]，则m +n 的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出． 【详解】()222211393232692()333222x x x x x ⎡⎤-+=-+=-+≥⎢⎥⎣⎦Q， 32m ∴≥所以32n >，令22233n n n -+=，得22990n n -+=，解得32n =（舍去），3n =； 令222333x x -+=，解得0x =或3． 取0m =． 故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．14.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元． 【答案】37.5 【解析】利润等于收入减成本，所以()()114832316316316348 2.522233t t x y x x t x x x x x x -⎛⎫=+⋅---=--=+-=-++- ⎪--⎝⎭因为2331x t =-<+ ，所以原式30x -<，可化简为()116345.53y x x ⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦，而()116383x x -+≥=-，那么()116345.5845.537.53x x ⎡⎤--++≤-+=⎢⎥-⎣⎦，等号成立的条件是()1163 2.53x x x-=⇒=- ，所以该公司的最大利润是37.5，故填：37.5. 【点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的方法， 本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.数列{a n }首项a 1＝1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n ＝22(2)21n n S n S ≥- （1）求证：数列{1nS }是等差数列 （2）求数列{a n }的通项公式（3）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2） (1)S n ）≥n ，N *都成立，求k 的最大值．【答案】(1)证明见详解；(2)()()22321 ,21,1n n n a n n ⎧-⎪--=≥⎨⎪=⎩；(3)【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 之间的关系，将a n ＝2221n n S S -转化为n S 和1n S -之间的关系式，再整理即可求得；（2）根据（1）中所证可得n S ，根据n S 与n a 的联系即可求得n a ； （3）构造数列()F n =（）（）（）再求最小值即可求得参数的取值范围.【详解】（1）因为1n n n a S S -=-，故a n ＝2221n n S S -即为21221nn n n S S S S --=-整理可得112n n n n S S S S ---=-故可得1112n n S S --=， 故数列{1nS }是以首项为1公差为2的等差数列，即证. （2）由（1）可知121n n S =-，故可得121n S n =- 代入a n ＝2221n n S S -，即可得()()()2,22321n a n n n =-≥-- 又当1n =时，11a =不满足上式，故()()22321,21,1n n n a n n ⎧-⎪--=≥⎨⎪=⎩（3）由（1）可知121n S n =-，设()F n =（）（）（）故可得()()111F n S F n ++===>故()F n 是单调递增数列，则()()13minF n F ==， 要满足（1+S 1）（1+S 2）…（1+S n ）≥对于一切n ，N *都成立 只需()min F n k ≥，即可得3k ≤故k 【点睛】本题考查利用等差数列的定义证明数列等差，以及根据数列的单调性求参数的取值范围，属数列综合性中档题；第三问中关键的步骤是构造数列，并证明其单调性，属经典问题的经典处理方法. 16.已知△ABC 的三个内角△ABC 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()2,1m =r ，n =r2(2cos ,cos 21)2AA -+，且92m n ⋅=r r（1）求角A 的大小；（2）若BC ABC 面积的最大值及此时△ABC 的形状．【答案】(1)60︒；(2)，等边三角形. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算，结合倍角公式的使用，通过解三角方程，即可求解； （2）根据余弦定理，结合均值不等式，即可求得面积的最值，以及此时的形状. 【详解】（1）因92m n ⋅=r r ，故可得294cos 2122A cos A -+=，由公式可得24cos 410A cosA -+= 即可得()2210cosA -=，解得12cosA =， 又()0,A π∈，故可得60A =︒.（2）因为BC ，即a =由余弦定理可得221322b c cosA bc+-==，整理得223?b c bc +-=即可得2232b c bc bc +=+≥，解得3bc ≤，当且仅当b c =时取得最大值，又因为60A =︒，故此时ABC n 为等边三角形.故()11322max max S sinA bc =⨯==， 此时三角形的形状是等边三角形.【点睛】（1）本题考查余弦的倍角公式，三角形面积的最大值问题，涉及均值不等式的使用，属综合性中档题.17.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13． （1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值． 【答案】（1）3名；（2）140881万元． 【解析】 【分析】（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为13；4台机器相当于4次独立重复试验，设出现故障的机器台数为X ，143X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，求出对应概率值，写出分布列，计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；（2）设该厂获利为Y 万元，Y 的所有可能取值为18，13，8，计算对应的概率值，求出分布列与数学期望值．【详解】（1）设“机器出现故障设”为事件A ，则1()3P A =． 设出现故障的机器台数为X ，则1~(4,)3X B ，044216(0)C ()381P X ==⨯=， 1341232(1)C ()3381P X ==⨯⨯=， 22241224(2)C ()()3381P X ==⨯⨯=， 334128(3)C ()3381P X ==⨯⨯=， 44411(4)C ()381P X ==⨯=． 故X 的分布列为设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X n ≤，X 0=，1X =，2X =，…，X n =，这1n +个互斥事件的和事件，则因为728090%8181<<，所以至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%．（2）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为18，13，8，8(18)(0)(1)(2)9P Y P X P X P X ===+=+==， 8(13)(3)81P Y P X ====， 1(8)(4)81P Y P X ====． 故Y 的分布列为所以8811408()181389818181E Y =⨯+⨯+⨯=， 故该厂获利的均值为140881万元． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．18.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE ． （1）求BM 的长；（2）求二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小．【答案】(1)1；(2)14. 【解析】 【分析】（1）根据DM ⊥平面ACE ，找出线线垂直，在平面四边形EFBD 中根据垂直关系求得线段长度； （2）由题可知直线AC 垂直于平面BDM ，故可过AC 与BD 中点作DM 垂线，找到二面角的平面角，从而在三角形中求解角度的大小即可.【详解】（1）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，如下图所示：因为DM ⊥平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 故DM OE ⊥，又因为DE //FB ，可以确定一个平面，故,,,D M O E 均在平面EFBD 中； 因为四边形ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，故可得2BD AB ==； 故在矩形EFBD 中：因为DM OE ⊥，故可得DMB EOD ∠=∠， 又因为MBD EDO ∠=∠，2BD DE ==， 故可得DBM EDO ≅n n ，故可得112BM DO BD ===. 即1BM =.（2）记EO 与DM 的交点为H ，连接AH ，如下图所示：因为四边形ABCD 为菱形，故可得AC BD ⊥，又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且平面BDEF I 平面ABCD BD = 且AC ⊂平面ABCD ，AC BD ⊥， 故可得AO ⊥平面DMB ；由（1）可知OH DM ⊥，故OHA ∠即为二面角A ﹣DM ﹣B 的平面角；在DMB n 中，容易知12BM tan MDB BD ∠==，故5sin MDB ∠=在DHO n 中，又51OH OH sin MDB OD ∠===，解得5OH =；在菱形ABCD 中，容易知AO BD ==.故在Rt AOH n 中，因为OH =AO =AH =， 故14OH cos OHA AH ∠==. 二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小为14.【点睛】本题考查由线面垂直求解线段的长度，以及二面角大小的求解，属综合性中档题.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2，1ABF V．()1求椭圆C 的标准方程；()2过1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，求2MNF V 内切圆半径的最大值．【答案】(1)22 12x y += (2) 内切圆半径的最大值为12．【解析】 【分析】()1根据题意列方程组求出a ，b 的值得出椭圆方程；()2根据根与系数的关系求出2MNF V 的最大值，再根据内切圆的性质表示出2MNF V 的面积，从而得出内切圆的最大半径．【详解】() 1依题意有()222212c a a b c a c b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩解得11.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的方程为2212x y +=．()2设()11,M x y ，()22,N x y ，设2F MN V 的内切圆半径为r ，2F MN V的周长为12124MF MF NF NF a +++==，所以2142F MN S a r =⨯⋅=V ． 根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =-，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my +--=，()22(2)420m m =++>V，m R ∈， 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m -+==++，212121212F MNS F F y y y yV∴=-=-==，令t=，则1t≥，2F MNStt∴==+V令()1f t tt=+，则当1t≥时，()21'10f tt=->，()f t单调递增，()()12f t f∴≥=，2F MNS≤V即当1t=，0m=时，2F MNSV，此时max12maxr=．2F MN∴V内切圆半径的最大值为12．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.已知函数12ln2(0(()))f x a x ax ax=-++≤.（1）当0a=时，求()f x的极值；（2）当0a<时，讨论()f x的单调性；（3）若对任意的(3,2)a∈--，12,[1,3]x x∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x+->-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值22ln2-，无极大值；（2）参考解析；（3）133m≤-【解析】【详解】试题分析：第一问，将0a=代入()f x中确定函数()f x的解析式，对()f x进行求导，判断()f x 的单调性，确定在12x=时，函数()f x有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对()f x求导，()0f x'=的根为1a-和12，所以要判断函数()f x的单调性，需对1a-和12的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当32a-<<-时，()f x在[1,3]为减函数，所以(1)f为最大值，(3)f为最小值，所以()()12f x f x-的最大值可以求出来，因为()()()12ln32ln3m a f x f x+->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x∈--∈恒成立，所以()()()12max ln32ln3m a f x f x +->-，将()()12f x f x -的最大值代入后，(3,2)a ∈--，又是一个恒成立，整理表达式，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立，所以再求min 2(4)3a -+即可. 试题解析：（1）当0a =时，()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=> 由()2210x f x x -'=>,解得12x >. ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.（2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--=-+=>'=.①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ②当2a =-时，()f x 在()0,∞+上是减函数； ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上减函数， ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-. 由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12max ln32ln3m a f x f x +->- 即()()22l l n n 3342ln 33m a a a ->-+-+对任意32a -<<-恒成立， 即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立， 由于当32a -<<-时，132384339a -<-+<-，∴133m ≤-.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.是。
北京101中学2019高三下开学检测--数学(理)
北京101中学2019高三下开学检测--数学（理）数学〔理科〕试题本试卷共4页，分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分.共150分.考试时间120分钟.第一卷〔选择题 共60分〕本卷须知1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干净后，再改涂其它答案标号.【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.全集合2{|log ,1}U y y x x ==>，集合1{|,3}P y y x x==>，那么P 等于 A.1[,)3+∞ B.1(0,)3C.(0,)+∞D.1(,0][,)3-∞+∞ A.20,0x x x ∃>-> B.20,0x x x ∃≤-> C.20,0x x x ∀<-> D.20,0x x x ∀≤->3.函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是4.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为 A.12B.13 C.14D.165.函数231,1()||,1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩假设((0))4f f <，那么a 的取值范围是 A.〔-6，-4〕B.〔-4，0〕C.〔-4，4〕D.〔0，34〕 6.假设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8320S S -=，那么11S 的值为A.44B.22C.2203D.887.圆22240x y x my +-+-=上两点M 、N 关于直线20x y +=对称，那么圆的半径为 A.9B.3C.D.28.关于x 、y 的不等式组044040x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域的面积为16，那么k 的值为A.-1B.0C.1D.39.函数()(xf x e x e =-为自然对数的底数〕在区间[-1，1]上的最大值是 A.11e+B.1C.1e +D.1e -10.点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，那么12d d +的最小值是B.D.311.偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()1f x x =-，那么关于x 的方程1()()9xf x =，在[0,3]x ∈上解的个数是A.1B.2C.3D.412.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如下图的坐标系，设秒针尖位置(,)P x y .假设初始位置为01)2P ，当秒针从0P 〔注此时0t =〕正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为A.ππsin()306y t =+B.ππsin()606y t =--C.ππsin()306y t =-+D.ππsin()303y t =-- 第二卷〔非选择题共90分〕本卷须知1.将第二卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13.向量a ，b 满足|a|=2，|b|=1，a 与b 的夹角为60，那么|a-2b|等于.14.关于x 的一次函数y=mx+n.设集合P={-2，1，3}和Q={-1，-2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，那么函数y=mx+n 的图象不经过第二象限的概率是.15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦距为2c ，且223a c =,双曲线上一点P 满足1212(PF PF F =、2F 为左、右焦点〕，那么12||||PF PF =. 16.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出以下四个命题. ①假设,,m n m n αα⊥⊥⊄，那么n ∥α； ②假设αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，那么n α⊥或n β⊥；③假设m β⊥，αβ⊥，那么m ∥α； ④假设,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ⊥.其中正确命题的序号是〔把所有正确命题的序号都填上〕.【三】解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕函数cos2()πsin()4xf x x =-.〔Ⅰ〕化简函数()f x 的解析式，并求其定义域和单调区间； 〔Ⅱ〕假设4()3f α=，求sin2α的值. 18.〔本小题总分值12分〕如下图，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，90BAC ACD ∠=∠=,AE ∥CD,22DC AC AE ===.〔Ⅰ〕求证：AF ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求二面角B DE C --的余弦值. 19.〔本小题总分值12分〕设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，122(n n a S n +=+∈N *〕.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .20.〔本小题总分值12分〕某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x 元；③电力与机器保养等费用为230600x x -+元.其中x 是该厂生产这种产品的总件数.〔Ⅰ〕把每件产品的成本费()P x (元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；〔Ⅱ〕如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为()Q x 〔元〕，且21()124030Q x x =-.试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润.〔总利润=总销售额-总的成本〕 21.〔本小题总分值12分〕如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点. 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕求AOB 面积的最大值； 22.〔本小题总分值14分〕定义在实数集上的函数(),nn f x x n =∈N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.〔Ⅰ〕求实数a 的值；〔Ⅱ〕假设函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值； 〔Ⅲ〕求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值.参考答案及评分标准【一】选择题〔每题5分，共60分〕 ADBABABCDCDC【二】填空题〔每题4分，共16分〕 13.214.4915.416.①④ 【三】解答题：本大题共6小题，共74分. 17.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕22cos sin()ππsin cos cos sin44x xf xx x-=-, (2)分πcos)2sin()4x x x==+=+，…………………………4分由题意πsin()04x-≠，∴ππ(4x k k-≠∈Z〕，其定义域为π{|π,4x x k k≠+∈Z}.………………………………………………………………6分函数()f x在3ππ(2π,2π)44k k k-+∈Z上单调递增；……………………………………………7分在π5(2π,2ππ)44k k k++∈Z上单调递减.………………………………………………………8分〔Ⅱ〕∵4()cos)3fααα=+=，∴sin cos3αα+=,…………………………10分∴281sin2(sin cos)1199ααα=+-=-=-.…………………………………………………12分18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕取BD的中点P，连结EP、FP，那么PF12DC，又∵EA12DC，∴EA PF，……………………2分∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，又∵EP⊂面,BDE AF⊄平面BDE，∴AF∥面BDE.…………………………………………4分〔Ⅱ〕以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如下图坐标系.…………………5分由22DC AC AE===可得：A〔2，0，0，〕，B〔2，2，0〕，E〔2，0，1〕，D〔0，0，2〕那么(A B== (6)分∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE面,ABC AC AB AC=⊥，∴AB⊥面.ACDE∴(0,2,0)AB =是面CDE 的一个法向量.………………………………………………………8分设面BDE 的一个法向量n=(x,y,z),那么n BE ⊥，n BD ⊥.∴00,BE BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即202220,y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩整理，得200.y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1y =，那么2,1,z x ==所以n=(1,1,2)是面CDE 的一个法向量.………………………………………………………10分故cos ,6||||AB AB AB 〈〉===n nn . 图形可知二面角B DE C --的平面角π(0,)2θ∈，所以其余弦值为6.……………………12分19.〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由122(n n a S n +=+∈Z *〕得122(n n a S n -=+∈Z *，2n ≥〕， (2)分两式相减得：12n n n a a a +-=，……………………………………………………………………4分即13(n n a a n +=∈Z *，2n ≥〕，又2122,a a =+∵{}n a 是等比数列，所以213a a =那么11223a a +=，∴12a =，∴123n n a -=.………………………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++∴1431n n d n -⨯=+，……………………………………………………………………………………8分 令123111n T d d d =+++…1nd +，那么012233434343n T =+++⨯ (1)143n n -++① 1212234343n T =++ (11)4343n nn n -+++②…………………………………………………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++-111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=--……………………………………………………12分20.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕2750020306008100()5040x x x P x x x x x+-+=++=++，……………………3分由基本不等式得()40220P x ≥=，………………………………………………5分当且仅当8100x x =，即90x =时，等号成立 ∴8100()40P x x x=++，每件产品的成本最小值为220元.…………………………………6分〔Ⅱ〕设总利润为()y f x =元，那么321()()()12008100,30y f x xQ x xP x x x x ==-=--+-…………………………………8分22111()21200(2012000)(100)(120)101010f x x x x x x x '=--+=-+-=--+， 那么当0100x <<时，()0f x '>，当100x >时，()0f x '<，∴()f x 在〔0，100〕单调递增，在〔100，170〕单调递减，………………………………11分∴当100x =时，3max 1205700(100)(100)100001200008100303y f ==--+-=， 故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为2057003元.………………………………12分21.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.圆F 的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)F ，圆与x 轴的交点为〔0，0〕和〔2，0〕.………………………………………………2分由题意2a =，半焦距1c =.∴222413b a c =-=-=. ∴椭圆方程为22143x y +=.…………………………………………………………………………4分 〔Ⅱ〕设1122(,),(,)A x y B x y 由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得22(34)690m y my ++-=. ∴12122269,3434m y y y y m m --+==++.……………………………………………………………6分12||y y -==121||||2AOBSOF y y =-=.…………………………………………………………8分t =，那么221,1,t m t ≥=-∴2631AOBtSt =+22222226(31)(6)6(13)(31)(31)AOBt t t S t t +--'==++.…………………………………………………………10分∵1t ≥，∴0AOB S '<.∴AOBS 在[1,)t ∈+∞上是减函数，∴当1t =时，AOB S取得最大值，最大值为32.………………………………………………12分22.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.……………………………………………………………………………3分〔Ⅱ〕因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()g x =+.………………………………………………………………4分由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………………………………5分因为()g x '有零点而()g x 无极值点,说明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+=解得124m =-.………………………………………………………………………………………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在〔0，12]上递增， 故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，……………………………………………10分②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<<.假设x ∈，那么0k '>，k 单调递增；假设1]2x ∈，那么0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于223113m -+=- (13)分综上，max 5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或 (14)分。
北京市一零一中学高三数学3月月考试题 文
北京市一零一中学2018届高三数学3月月考试题 文一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 已知集合A={x| x （x-2）<0}，B={x| lnx>0}，则A I B 是 A. {x| x>0}B. {x| x>2}C. {x | 1<x<2}D. {x | 0<x<2}2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足z+i=3，则|z|= A. 3B. 10C. 4D. 103. 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 18 20 频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为 A. 16 B. 16.2C. 16.6D. 16.84. “sin α=22”是“cos2α=0”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是 ①f （x ）=-x 3②f （x ）=（21）|x|③f （x ）=-sinx ④f （x ）=||x ex A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④6. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l ，则该四棱锥的体积为A.34B. 4C.324 D. 427. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （k>0且k ≠1）的点的轨迹是圆。
后人将这个圆称为阿氏圆。
若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是A. 22B. 2C.322 D.32 8. 如图，△PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD 。
若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段二、填空题：本大题共6小题。
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市一零一中学2018届高三下学期3月月考数学(文)试题Word版含解析
北京 101 中学 2018 届高三 3 月月考数学试卷（文科）1. 已知会合A={x| x（x-2）<0}，B={x| lnx>0}，则A B 是A. {x| x>0}B. {x| x>2}C. {x | 1<x<2}D. {x | 0<x<2}【答案】 C【分析】由题意，会合，因此，应选 C.2. 已知 i 为虚数单位，设复数z 知足 z+i=3 ，则 |z|=A.3B.C.4D.10【答案】 B【分析】由，则，因此，应选 B.3.某便利店记录了 100 天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：日需求量 n 14 15 16 18 20 频次0.1 0.2 0.3 0.2 0.2试预计该商品日均匀需求量为A. 16B. 16.2C. 16.6D. 16.8【答案】 D【分析】预计该商品日均匀需求量为选 D4. “ sin =”是“ cos2 =0”的A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】由或此时；但当不必定获得，故“”是“”的充足而不用要条件选 A5.以下函数中，是奇函数且在（ 0， 1）内是减函数的是①f （ x） =-x 3 ②f （ x） =（）|x| ③f （ x） =- sinx ④f （x） =A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④【答案】 A【分析】由题意，①函数是奇函数，且在内单一递减，切合题意；② 函数是偶函数，不切合题意；③ 函数是奇函数，且在内单一递减，切合题意；KS5U...KS5U...KS5U. ..KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...因此函数在内单一递加，不切合题意，综上切合题意的函数为①③，应选 A.6. 某四棱锥的三视图如下图，网格纸上小正方形的边长为l ，则该四棱锥的体积为A. B.4 C. D.4【答案】 B【分析】由三视图可知，该四棱锥直观图如图（图中正四棱柱的底面边长为，高为，为棱的三等分点），由图可知四棱锥底面为边长为和的矩形，高为的四棱锥，体积为，应选 A.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图要点考察学生的空间想象能力和抽象思想能力以及棱锥的体积公式，属于难题. 三视图问题是考察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热门 .察看三视图并将其“翻译”成直观图是解题的要点，不只要注意三视图的三因素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及同样图形的不一样地点对几何体直观图的影响 .7.阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k（k>0 且 k≠1）的点的轨迹是圆. 后代将这个圆称为阿氏圆 . 若平面内两定点A， B 间的距离为2，动点 P 与 A，B 距离之比为，当P，A，B不共线时，△P AB面积的最大值是A.2 B. C. D.【答案】 A【分析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直均分线为轴，成立直角坐标系；则：设，两边平方并整理得：，．面积的最大值是选 A8.如图，△ PAD为等边三角形，四边形 ABCD为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD.若点 M为平面 ABCD内的一个动点，且知足 MP=MC，则点 M在正方形 ABCD及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】 D【分析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段选 A ．9. 履行如下图的程序框图，输出S 的值为 ___________.【答案】 48【分析】依据题意, 模拟程序框图的运转过程, 可得 i=1,S=0;知足条件i<4,S=ln 2,i=2;知足条件i<4,S=ln 2+ln 3-ln 2=ln 3,i=3;知足条件i<4,S=ln 3+ln 4-ln 3=ln 4,i=4;不知足条件i <4, 退出循环, 输出S 的值为ln 4. 故填ln4.10. 已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x 的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线 C 的方程是___________.【答案】【分析】抛物线的焦点坐标为因此双曲线的右焦点坐标为因为双曲线的一条渐近线方程为，因此，因此，因此，因此双曲线方程为．2，∠BAD=60°，则·=___________ .11. 已知菱形ABCD的边长为【答案】 2【分析】由题意，菱形的边长为，且,因此，因此.12. 若变量x， y 知足拘束条件则 x2+y2的最小值为___________.【答案】 8【分析】画出拘束条件所表示平面地区，如下图，又表示到可行域内的点的距离的平方，由图形可知，原点到直线的距离的平方最小，则的最小值是.13. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来认识自然界的基本问题. 一位同学遇到启迪，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色地区面积等于右图矩形中白色地区面积；（2）左图暗影地区面积用 a， b， c， d 表示为 __________；（ 3）右图中暗影地区的面积为；（ 4）则柯西不等式用字母a， b， c， d 能够表示为（ ac+bd ）2≤（ a2+b2）（ c2+d2）.请简单表述由步骤（3）到步骤（ 4）的推导过程：_____________.【答案】(1). ac+bd(2). （ 1）两图中的暗影部分面积相等；（2）|sin∠ BAD|≤ 1 【分析】（2 ）左图暗影地区面积用表示为两个矩形面积之和；因为两图中的暗影部分面积相等即14. 已知函数 f （ x） = g （ x） =f （x） -kx （ k∈R）.①当k=l 时，函数g（ x）有 __________个零点；②若函数g（ x）有三个零点，则k 的取值范围是___________.【答案】(1). 1(2). （0，]【分析】①当时，，即，由时，，即，解得，当时，，解得或（舍去），综上，的零点个数为；②若函数有三个零点，当时，，最多一解，即有解得，又时，，即为有两解，则，且，综上可得.点睛：此题考察了函数的零点的个数问题的求解，此中解答中波及到分段函数的分析式、三角函数的图象与性质，以及基本初等函数的性质等知识点的应用，侧重考察了分类议论思想方法和函数与方程思想的考察，试题有必定的思想含量，属于中等试题.15.已知函数 f （ x） =（ sinx+cosx ）2-cos2x.（I ）求 f （ x）的最小正周期；（II ）求证：当 x∈[0 ， ] 时， f （ x）≥ 0.【答案】（ I） ;（II ）证明看法析 .【分析】试题剖析：（ I）依据三角恒等变换的公式，化简函数求解函数的最小正周期；（II ）由（ I）可知的分析式，由题意求得，得，即，即可求得函数的值域，从而做出证明.试题分析：（I）因为 f （x） =sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x= sin（2x- ） +1.因此函数 f （ x）的最小正周期为.（II ）由（ I）可知， f（ x） = sin（2x- ） +1.当 x [0 ， ] 时， 2x-[- ，sin （ 2x- ） +1∈ [0 ，+l].] ，sin（ 2x- ）[- ，1]，当2x- =- ，即x=0 时， f （ x）取了最小值0.因此当x∈ [0，]时， f （x）≥0.16.已知由实数组成的等比数列 {a n} 知足 a1 =2， a1+ a 3+ a 5=42.（I ）求数列 {a n} 的通项公式；（II ）求 a2+ a 4+ a 6+ + a 2n.【答案】（ I ） a n=2n或 a n=（ -1）n-1·2n;（ II ）当 a n=2n时， a2+ a4+ a6++ a2n= ·（ 4n-1）；当 a n=（ -1）n-1·2n时， a2+ a4+ a6++ a2n= ·（ 1-4n） .【分析】试题剖析：（ 1）依据题意可得，即可获得等比数列的公比，从而获得数列的通项公式；（2）分类议论，依据等比数列的乞降公式，即可求解的值.试题分析：（ I）由2 4） =42. 可得 2（ 1+q +q由数列 {a n} 各项为实数，解得22. q =4 ，q=因此数列 {a n} 的通项公式为a n=2n或 a n=（ -1）n-1·2n （II ）当 a n=2n时， a2+ a4+ a6+ + a2n= ·（ 4n-1）；当 a n n-1 n时， a2 4 6+ + a2n·（n）.=（ -1）·2 + a + a = 1-417. 2017 年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行. 整个竞赛出色纷呈，参赛选手显现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场出色对决. 图 1（扇形图）和表 1 是此中一场关键竞赛的部分数据统计. 两位选手在此次竞赛中击球所使用的各项技术的比率统计如图 1. 在乒乓球竞赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各样方法. 选手乙在竞赛中的接发球技术统计如表 1，此中的前 4 项技术统称反手技术，后 3 项技术统称为正手技术 .图 1选手乙的接发球技术统计表反手拧反手搓反手拉反手拨正手搓正手拉正手挑技术球球球球球球球使用次20224124 1 数得分率55%50%0%75%41.7%75%100%表 1（ I ）察看图 1，在两位选手共同使用的8 项技术中，差别最为明显的是哪两项技术?（ II ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包含正手拉球和反手拉球. 从表 1 统计的选手乙的全部拉球中任取两次，起码抽出一次反手拉球的概率是多少?（ III ）假如仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳固性来看（不考虑使用次数），你以为选手乙的反手技术更稳固仍是正手技术更稳固?（结论不要求证明）【答案】（ I ）正手搓球和反手拉球 .（ II ） . （ III ）正手技术更稳固 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）依据所给扇形图的数据可知，差别最为明显的是正手搓球和反手拧球两项技术 .（Ⅱ）依据表 1 的数据可知，选手乙的反手拉球 2 次，分别记为A,B, 正手拉球 4 次，分别记为 a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15 种结果，此中起码抽出一次反手拉球的共有9 种，由古典概型概率公式可得概率（Ⅲ）正手技术更稳固 .试题分析：（Ⅰ）依据所给扇形图的数据可知，差别最为明显的是正手搓球和反手拧球两项技术.（Ⅱ）依据表 1 的数据可知，选手乙的反手拉球 2 次，分别记为A,B4 次，分别, 正手拉球记为 a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15 种结果，分别是 :AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.此中起码抽出一次反手拉球的共有9 种，分别是 :AB,Aa，Ab， Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表 1 统计的选手乙的全部拉球中任取两次，起码抽出一次反手拉球的概率. （Ⅲ）正手技术更稳固.18.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC为正三角形，侧棱 AA1⊥底面 ABC.已知 D是BC的中点， AB=AA1=2.（I ）求证：平面 AB1D⊥平面 BB1C1C；（II ）求证： A1C∥平面 AB1D；（III ）求三棱锥 A1-AB1D 的体积 .【答案】（I ）证明看法析；（II）证明看法析；（III）.【分析】试题剖析：（ 1）利用线面垂直的判断定理，证得平面，即可得出平面平面；（ 2）连结，设，连结，由中位线定理可得，获得平面；（ 3）依据，即可求得三棱锥的体积.试题分析：（ I）证明：由已知△ ABC 为正三角形，且 D 是 BC 的中点，因此 AD ⊥BC.因为侧棱AA 1⊥底面 ABC ， AA 1∥ BB 1，因此 BB 1⊥底面ABC. 又因为 AD 底面 ABC ，因此 BB 1⊥ AD. 而B1B BC=B ，因此 AD ⊥平面1 1 .因为AD平面AB1D，因此平面AB 1D⊥平面BB 1C1C. BBC C（II ）证明：连结 A 1B，设 A 1 B AB 1=E，连结DE.由已知得，四边形 A 1ABB 1为正方形，则 E 为 A 1B 的中点 .因为D是BC 的中点，因此 DE ∥A 1C.又因为 DE 平面 AB 1D，A1C 平面 AB 1D，因此 A 1C∥平面 AB 1D.（III ）由（ II ）可知 A1 C∥平面 AB 1D ，因此 A 1与 C 到平面 AB 1D 的距离相等，因此.由题设及 AB=AA 1=2，得 BB 1=2，且.因此= ×，因此三棱锥A1 -AB 1D 的体积为.19.已知椭圆 C：（b>0）的一个焦点坐标为（2，0）.（I ）求椭圆 C的方程；（ II ）已知点E（ 3， 0），过点（1， 0）的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C交于M， N两点，直线ME与直线x=5 订交于点F，试证明：直线FN与x 轴平行 .【答案】（I）=1；（ II ）证明看法析.【分析】试题剖析：（Ⅰ）由题意可知因此，即可获得求椭圆的方程；（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，易证直线与轴平行②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为点，因此直线的方程为.令，因此.由消去得. 明显恒成立 .因此这时可证，即.因此直线轴 .试题分析：（Ⅰ）由题意可知因此. 因此椭圆的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，此时轴. 设，直线与轴订交于点，易得点是点和点的中点，又因为，因此，因此直线轴.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为点，因此直线的方程为.令，因此.由消去得.明显恒成立.因此因为，因此.因此直线轴 .综上所述，因此直线轴 .20.已知函数 f （ x）=xcos+a ， a∈R.（I ）求曲线 y=f （ x）在点 x= 处的切线的斜率；（ II ）判断方程 f '（x）=0（ f '（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明原因；（ III）若函数F（ x） =xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求 a 的取值范围 .【答案】（ I ） . （ II ） 1 个；（ III ） -cos1 a<0.【分析】试题剖析：（ 1）拿出函数的导函数，可得在点处的导数值，即可获得切线的斜率；（ 2）设，求其导数，可适当函数，联合，可得有且只有一个，使时，，则函数成立，即方程为减在区间内有且仅有一个实数解；（ 3）把函数在区间内有且只有一个极值点，转变为在区间内有且只有一个零点，且在双侧异号，而后联合（2）中的单一性，列出不等式组，即可求解实数的取值范围.试题分析：（I） f ' （x） =cosx-xsinx ·k=f ' （）= .（II ）设 g（ x） =f ' （ x）， g' （ x） =-sinx- （ sin x+xcosx ） =-2sinx-xcosx.当 x∈（ 0， 1）时， g '（ x） <0，则函数g（x）为减函数 .又因为g（ 0）=1>0 ， g（ 1） =cos1-sin1<0 ，因此有且只有一个x0∈（ 0，1），使g（ x0） =0 成立 .因此函数 g（ x）在区间（ 0， 1）内有且只有一个零点，即方程 f '（x） =0 在区间（0， 1）内有且只有一个实数根.（ III ）若函数F（ x） =xsinx+cosx+ax 在区间（ 0， 1）内有且只有一个极值点，因为 F '（ x） =f （ x），即 f （ x）=xcosx+a 在区间（ 0， 1）内有且只有一个零点x1，且 f （ x）在 x1双侧异号 .因为当 x∈（ 0， 1）时，函数 g（ x）为减函数，因此在（ 0，x0）上，g（ x） >g（ x0） =0，即 f ' （ x） >0 成立，函数f（ x）为增函数；在（ x0， 1）上， g（x） <g（ x0）=0，即 f '（ x） <0 成立，函数f（ x）为减函数 .则函数 f （x）在 x=x 0处获得极大值 f （ x0） .当 f（ x0） =0 时，固然函数 f （ x）在区间（ 0， 1）内有且只有一个零点x0，但 f （ x）在x0双侧同号，不知足F（ x）在区间（ 0， 1）内有且只有一个极值点的要求.因为 f （ 1） =a+cos1， f（ 0） =a，明显 f （1） >f （ 0）.若函数 f （x）在区间（ 0， 1）内有且只有一个零点x1，且 f（ x）在 x1双侧异号，则只要知足：.即，解得 -cos1 a<0.点睛：此题考察了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，利用导数求解函数的单一性和极值，侧重考察了转变思想和逻辑推理能力，导数是研究函数的单一性、极值(最值 )最有效的工具，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进行：(1)考察导数的几何意义，常常与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单一性，求参数； (3) 利用导数求函数的最值(极值 )，解决函数的恒成立与有解等问题.。
2018届下学期北京市一零一中学高三3月月考试卷 数学(理)后附详解
2018届下学期北京市一零一中学高三3月月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．） 1．在复平面内，复数z 满足z （1+i ）=2，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知直线l 1：x+ay-1=0，l 2：（a+1）x-ay=0，若p ：l 1∥l 2；q ：a=-2，则p 是q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件此卷只装订不密封班 姓名 准考证号 考场号 座位号3．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=-2x+y 的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．24． 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的行值n 为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25． 函数y=2x 2-e |x|在[-2，2]的图象大致为（ ）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x yx6． 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A ．A ×A 种B ．A ×54种C ．C ×54种D ．C ×A 种7． 设函数f （x ）=Asin （x+）（A ，，是常数，A>0，>0），且函数f （x ）的部分图象如图所示，则有（ ）A ．B ．C ．D ．<8．已知A 、B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），∠AOB=120°，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点，MN 是圆O 的一条直径，则的取值范围是（ ）A ．[，0）B ．[，0]C ．[，1）D ．[，1] 264526262645ωϕωϕω)67()35()43(πππf f f <<-)35()67()43(πππf f f <<-)35(πf <<)67(πf )43(π-f )35(πf )43(π-f )67(πf <CN CM ⋅43-43-21-21-第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=-11，a 4+a 6=-6，则当S n 取最小值时，n 的值为_______，10．在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是________， 11．已知x>0，y>0，x+2y=1，则的最小值为__________， 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________，13．在（x+）（2x-1）5展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_______，14．已知函数f （x ），对于给定的实数t ，若存在a>0，b>0，满足：x [t-a ，t+b]，使得|f （x ）-f （t ）|2，则记a+b 的最大值为H （t ）， （1）当f （x ）=2x 时，H （0）=_________；2πyx 12+xa∀∈≤（2）当f （x ）=x 2且t ∈[1，2]时，函数H （t ）的值域为__________，三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．） 15．（本小题13分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足（2a-c ）cosB=bcosC ，（I ）求角B 的大小；（II ）若ABC 的面积为，且b=，求a+c 的值．16．（本小题13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间∆∆4333（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图，（I）写出a的值；（II）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（III）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望，17．（本小题14分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四边形CC1D1D为矩形，已知AB⊥BC1，AD=4，AB=2，BC=1，（I）求证：BC1∥平面ADD1；（II）若DD1=2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；（III）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直?并说明理由，18．（本小题14分）如图，已知椭圆C ：（a>b>0）的离心率为，F 为椭圆C 的右焦点，A （-a ，0），|AF|=3，（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ，直线OM 与直线x=4交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线x=4交于点E ，求证：∠ODF=∠OEF ，12222=+b y a x 2119．（本小题13分）已知函数f （x ）=， （I ）求f （x ）在区间[1，a]（a>1）上的最小值；（II ）若关于x 的不等式f 2（x ）+mf （x ）>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围，xx )2ln(20．（本小题13分）设数列{a n }满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N*；③1=a 1<a 2<…<a n <a n+1<…，设集合A m ={n|a n ≤m ，m ∈N*），将集合A m 中的元素的最大值记为b m ，即b m 是数列{a n }中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n }为数列{a n }的伴随数列，例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3，（I ）若数列{a n }的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3……，请写出数列{a n }； （II ）设a n =4n-1，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前50项之和；（III ）若数列{a n }的前n 项和（其中c 为常数），求数列{a n }的伴随数列{b m }的前m 项和T m ，c n S n +=22018届下学期北京市一零一中学高三3月月考试卷理 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．） 1-4：ACAB5-8：DCDA第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．6 10．11．812．8+613．3014．2；，2）[2，4]2sin =θρ3π26[- 3三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上） 15．（本小题13分）解：（I ）∵（2a-c ）cosB=bcosC ，∴2acosB=bcosC+ccosB ， ∴2 sinAcosB=sin BcosC+sinBcosC=sin （B+C ）=sin （-A ）=sin A∵0<A<，∴sin A>0，∴2cosB=1，cosB=又∵0<B<，∴B=…………………………………………7分 （II ）S=acsinB=ac =，ac=6， b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac=（a+c ）2-3ac=3 ∴（a+c ）2=21，∴a+c= …………………………13分 16．（本小题13分）（I ）解：a=0．03， ……………3分（II ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，…………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0．02+0．005）×10=0．25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0．25×1800=450人，………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0．03+0．005）×10=0．35，学生人数约有0．35×1200=420人，ππ21π3π21212323321所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人， ………………8分（III ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0．005×10=0．05，样本人数为0．05×60=3人，同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为（0．005×10）×40=2人，故X 的可能取值为l ，2，3． ………………9分则P （X=1）=，P （X=2）=，P （X=3）=， 所以X 的分布列为：…………12分所以E （X ）=1×+2×+3×=， ………13分 17．（本小题14分）（I ）证明：由CC 1D 1D 为矩形，得CC 1∥DD 1，又因为DD 1平面ADD 1，CC 1平面ADD 1，所以CC 1∥平面ADD 1， ………………2分同理BC ∥平面ADD 1，又因为BC CC 1=C ，所以平面BCC 1∥平面ADD 1， ……3分103352213=⋅C C C 53351223=⋅C C C 1013533=C C 1035310159⊂⊄又因为BC 1平面BCC 1，所以BC 1∥平面ADD 1， ………4分（II ）解：由平面ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=90°，得AB ⊥BC ，又因为AB ⊥BC 1，BCBC 1=B ，所以AB ⊥平面BCC 1，所以AB ⊥CC 1，又因为四边形CC 1D 1D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点，所以CC 1⊥平面ABCD ，因为CC 1∥DD 1，所以DD 1⊥平面ABCD ，过D 在底面ABCD 中作DM ⊥AD ，所以DA ，DM ，DD 1两两垂直，以DA ，DM ，DD 1分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ………………6分则D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，2，0），C （3，2，0），C 1（3，2，2），D 1（0， 0，2），所以=（-l ，2，2），=（-4，0，2）， 设平面AC 1D 1的一个法向量为m=（x ，y ，z ），由m·=0，m·=0，得令x=2，得m=（2，-3，4） …………8分 易得平面ADD 1的法向量n=（0，1，0），⊂ 1AC 1AD 1AC 1AD ⎩⎨⎧=+-=++-,024,022z x z y x所以cos<m ，n>=， 即平面AC 1D 1与平面ADD 1所成的锐二面角的余弦值为，…………10分 （III ）结论：直线BC 1与CP ………………11分证明：设DD 1=m （m>0），=（∈（0，1））， 由B （4，2，0），C （3，2，0），C 1（3，2，m ），D （0，0，0），得=（-l ，0，m ），=（3，2，m ），==（3，2，m ），=（-3，-2，0），=+=（3-3， 2-2，m ）， ………………12分 若BC 1⊥CP，则·=-（3-3）+m 2=0，即（m 2-3）=-3，因为≠0， 所以m 2=-+3>0，解得>1，这与0<<l 矛盾，所以直线BC 1与CP 不可能垂直， ……………14分 18． （本小题14分）解：（I ）设椭圆C 的半焦距为c ，依题意，得，a+c=3， [2分] 29293||||-=⋅n m n m 292931DC λλ1BC 1DC 1DC λλλλλλλ1BC λλλλλ3λλ21=a c解得a=2，c=1， 所以b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程是 [4分] （II ）解法一：由（I ）得A （-2，0），设AP 的中点M （x 0，y 0），P （x 1，y 1）， 设直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），将其代入椭圆方程，整理得 （4k 2+3）x 2+16k 2x+16k 2-12=0， [6分]所以-2+x 1=． [7分]所以x 0=，y 0=k （x 0+2）=， 即M （，）． [8分] 所以直线OM 的斜率是， [9分] 所以直线OM 的方程是y=-x ，令x=4，得D （4，-）， [10分] 直线OE 的方程是y=kx ，令x=4，得E （4，4k ）， [11分]由F （1，0），得直线EF 的斜率是=，所以EF ⊥OM ，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是=，所以DF ⊥OE ，记垂足为G ． [13分]在Rt △EHO 和Rt △DGO 中，∠ODF 和∠OEF 都与∠EOD 互余，13422=+y x 341622+-k k 34822+-k k 3462+k k34822+-k k 3462+k kk k k k43348622-=+-k 43k3144-k 34k143--k k 1-所以∠ODF=∠OEF ． [14分] 19． （本小题13分）解：（1）f '（x ）=，令f '（x ）>0得f （x ）的递增区间为（0，）； 令f '（x ）<0得f （x ）的递减区间为（，+）， ……………2分 ∵x ∈[l ，a]，则当1<a≤时，f （x ）在[1，a]上为增函数，f （x ）的最小值为f （1）=ln2； ． ． 3分当a>时，f （x ）在[1，）上为增函数，在（，a]上为减函数，f （2）==ln2=f （1），∴若<a≤2，f （x ）的最小值为f （1）=ln2， ………4分 若a>2，f （x ）的最小值为f （a ）=， ………5分 综上，当1<a≤2时，f （x ）的最小值为f （1）=ln2；当a>2，f （x ）的最小值为f （a ）=． ……………6分 （2）由（1）知，f （x ）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），且在（，+）上ln2x>lne=1>0，又x>0，则f （x ）>0． 又f （）=0． ∴m>0时，由不等式f 2（x ）+mf （x ）>0得f （x ）>0或f （x ）<-m ，而f （x ）>0解集为（，+），整数解有无数多个，不合题意； ……………9分， 2)2ln(1x x -2e2e∞2e2e 2e 2e 24ln 2eaa2ln aa2ln 2e 2e 2e ∞2121∞m=0时，由不等式f 2（x ）+mf （x ）>0得f （x ）≠0，解集为（0，）（，+∞），整数解有无数多个，不合题意； ． ． ． ． ． 10分m<0时，由不等式f 2（x ）+mf （x ）>0得f （x ）>-m 或f （x ）<0，∵f （x ）<0解集为（0，）无整数解，若不等式f 2（x ）+mf （x ）>0有两整数解，则f （3）≤-m<f （1）=f （2），∴-ln2<m≤-ln6综上，实数m 的取值范围是（-ln2，-ln6] ． ． ． ． ． ． 13分20． （本小题13分） （I ）1，3，6 ………………3分（II ）由a n =4n-1≤m ，得n≤l+log 4m （m ∈N*） ……………4分 当1≤m≤3，m ∈N*时，b 1=b 2=b 3=1 ……………5分当4≤m≤15，m ∈N*时，b 4=b 5=…=b 15=2 ……………………6分 当16≤m≤50，m ∈N*时，b 16=b 17=…=b 50=3 ……………7分 ∴b 1+b 2+…+b 50=1×3+2×12+3×35=132 …………………8分 （III ）∵a 1=S 1=1+c=1 ∴c=0当n≥2时，a n =S n -S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1（n ∈N*） ……9分由a n =2n-l≤m 得，n≤（m ∈N*） 21 2121313121m因为使得a n ≤m 成立的n 的最大值为b m ，所以b 1=b 2=1，b 3=b 4=2，…，b 2t-1=b 2t =t （t ∈N*） 当m=2t-1（t ∈N*）时；T m =2··（t-1）+t=t 2=（m+1）2 ． ． ． ． ． 11分 当m=2t （t ∈N*）时；T m =2··t=t 2+t=m （m+2） ……………12分所以T m = …………13分2)1(1-+t 4121t+41⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=+∈-=+*),2(4)2(*),12(4)1(2N t t m m m N t t m m。
2019北京一零一中学高三下统考三数学理
2019北京一零一中2高三(下)统考三数学(理)班级: 学号: 姓名成绩:一、选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A={-1,0,1}，B=,则A∩B=（）A. {-1,0,1}B. {0}C. （-1，1）D. （-1，3）2.设i是虚数单位，复数，则z=对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3执行如图的程序框图，如果输出a的值大于100，那么判断框内的条件为( )A.k<5?B.k≥5?C.k<6?D.k≥6?4.《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：”今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安止千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为”现在有良马和野马同时从长安出发到齐去，己知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.粉马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为( )A.1235B.1800C.2600D.30005.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.B. 4C.D.56.已知非零平面向量a,b,则=+是”存在非零实数λ，使b=λa"的( ）A.既不充分也不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.充分而不必要条件7. 已知曲线C:(t为参数，A (-1,0)、B (1,0),若曲线C上存在点P满足·=0,则实数a的取值范围为（）A. [-,]B. [-1,1]C. [,D. [-2,2]8. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示，图中x1,x2,x3,分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等）则（）A. x1>x2>x3B. x1>x3>x2C. x2>x3>x1D. x3>x2>x1二、填空题共6小题9. 在极坐标系中，直线ρcosθ-ρsinθ=0圆ρ=4sinθ交于A,B两点，则=10.某小学教师准备购买一当签字笔和铅笔盒作为奖品，己知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总不能超过50元，为了便于学生选、购买签字笔和笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有种不同的购买吴品方案，11. 已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项的和，若a1a2a3=64,a5=32,则q=12. 能说明若点M（a,b）与点（5，5）在直线x+y=0的同侧，则a+b>4是假命题的一个点M的坐标为13. 已知函数f(x)=x3-4x,g(x)=sinωx(ω>0).若,都有f(x)g(x)≤0，则a的最大值为，此时ω=14. 如图所示，图中的多边形均为正多边形M,N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1,F2为焦点，则图①的双曲线的离心率为；图②的双曲线的离心率为三、解答题共6小题，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A=-,c=,sinA=sinC(1)求a的值（2）当角A为锐角时，求b的值及△ABC的面积，16. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BC’D的位置，使平面BC’D ⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2，如图2（1）求证：FA∥平面BC’D（2）求平面ABD与平面FBC’所成锐二面角的余弦值；（3）在线段AD上是否存在一点M使得C’M⊥平面FBC’?若存在，求的值；若不存在，说明理由，17.某中学为了解高二年级中华传文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩，记录的数据如下：(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率；(2)从考核成大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩大于等于90分的概率；(3)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为,,考核成绩的平均数和方差分别为,,，试比较与，与的大小（只写出结论）18. 已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x,a∈R(1)讨论f(x)的单调性；（2）当a<0时，若关于x的不等式f(x)≤-+b恒成立，求实数b取值范围。
2019届北京市一零一中学高三下学期月考(三)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市一零一中学高三下学期月考（三）数学（理）试题一、单选题1．设集合{1,0,1}A =-，2{|230}B x x x =--≤，则A B =I （ ） A ．{1,0,1}- B ．{0} C ．(1,1)- D ．(1,3)-【答案】A【解析】先将集合B 化简，然后利用交集的定义即可求解． 【详解】集合{1,0,1}A =-，2{|230}{|13}B x x x x x =--≤=-≤≤， 则{1,0,1}A B ⋂=-． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算及一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．设i 为虚数单位，则复数21iz i=-所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先由复数的运算法则，将21iz i=-化简整理，结合复数的几何意义即可求出结果. 【详解】 解：复数()()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+-+-，在复平面内的对应点位 ()1,1-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，熟记运算法则即可求解，属于基础题型. 3．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7= 此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）A．1235 B．1800 C．2600 D．3000【答案】A【解析】根据题意良马每天路程构成以193为首项，13为公差的等差数列，驽马每天路程构成以97为首项，12-为公差的等差数列，故利用等差数列的求和公式可直接求得结果．【详解】因为长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，所以前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：443431 (419313)[497()]1235 222S⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-=．故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，属于基础题．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．4 C．133D．5【答案】A【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是四棱锥和三棱锥的组合体，画出对应的立体图形标出相应的数据，根据锥体的体积公式，即可求出它的体积． 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥与三棱锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为：四棱锥三棱锥P ABCD P CDM V V --+211110221223323=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体求体积，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，进而用公式求解．6．已知非零平面向量a r ,b r ，则“|a r +b r|=|a r|+|b r |”是“存在非零实数λ，使b r=λa r”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】(1)若|a r +b r|=|a r|+|b r|,则a r ,b r方向相同， ∴a r ,b r共线,∴存在非零实数λ,使b r=λa r.∴“|a r +b r |=|a r |+|b r|”是“存在非零实数λ,使b r =λa r ”的充分条件；(2)若存在非零实数λ,使b r=λa r,则a r ,b r 共线， ∴当a r ,b r 方向相同时,|a r +b r|=|a r|+|b r|，当a r ,b r 方向相反时,|a r +b r |<|a r |+|b r |，∴ “|a r +b r |=|a r |+|b r |”不是“存在非零实数λ,使b r =λa r”的必要条件．故选A.7．已知曲线C ：2{22x t y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．[]2,2-【答案】C【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a=+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有:12a ≤,解得22a -≤≤,故选C.8．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段»»»,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A ．123x x x >>B ．132x x x >>C ．231x x x >>D ．321x x x >>【答案】C【解析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小． 【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <， 同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <， 同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <， 所以132x x x <<． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二、填空题9cos sin 0θρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．【答案】【解析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中的弦长公式即可求得弦长||AB ． 【详解】cos sin 0θρθ-=0y -=，因为圆4sin ρθ=，所以圆的直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，所以圆心坐标为(0,2)，半径2r =，圆心(0,2)0y -=的距离1d ==，所以||AB ===．故答案为： 【点睛】本题主要考查将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程化为直角坐标方程及圆中的弦长公式，属于基础题．10．某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.【答案】9【解析】试题分析：设购买签字笔x 个，铅笔盒y 个，根据题意，x 、 y需满足条件当3x =时，3,4,5y =；当4x =时，3,4,5y =；当5x =时，3,4y =；当6x =时，3y =；6x >时无解．所以该教师有9 种不同的购买方案【考点】简单的线性规划.11．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项的和，若12364a a a =，532a =，则q =_____；6S = _____．【答案】2 126【解析】根据题意只需将12364a a a =及532a =中的2a ，3a ，5a 都用基本量1a 和q 表示出来，解出1a 和q ，进而利用等比数列求和公式即可求出6S ． 【详解】由已知得3314164,32,a q a q ⎧=⎨=⎩即141432a q a q =⎧⎨=⎩，，解得12,2,q a =⎧⎨=⎩ 所以662(12)12612S -==-．故答案为：2；126 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，属于基础题． 12．能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点M 的坐标为_____________. 【答案】或（答案不唯一）【解析】由题意知（a +b ﹣2）（5+5﹣2）＞0，举例说明a +b ＞2且a +b ≤4即可． 【详解】点M （a ，b ）与点N （5，5）在直线x +y ﹣2＝0的同侧， 则（a +b ﹣2）（5+5﹣2）＞0， ∴a +b ＞2， 不能得出a +b ＞4，当点M 的坐标为（2，1）时，a +b ＞4是假命题．故答案为：（2，1）[或（1，2），（0，3），（3，0）]（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，属于开放性题目．13．已知函数f （x ）=x 3-4x ，g （x ）=sinωx （ω＞0）．若∀x ∈[-a ，a ]，都有f （x ）g （x ）≤0，则a 的最大值为______；此时ω=______． 【答案】42π【解析】函数()34f x x x =-，()()sin 0g x x ωω=>均为奇函数，只需考虑[0]x a ∀∈，，都有()()0f x g x ≤即可，结合图象可得当且仅当在[02]，上()0g x ≥，在[]2,a 满足()0g x ≤，a 才能取到最大值，进而可得ω. 【详解】∵函数()34f x x x =-，()()sin 0g x x ωω=>均为奇函数．∴只需考虑[0]x a ∀∈，，都有()()0f x g x ≤即可．∵函数()34f x x x =-在[02]，满足()0f x ≤，在[2+∞，）满足()0f x ≥，∴当且仅当在[02]，上()0g x ≥，在[02]，满足()0g x ≤，a 才能取到最大值，（如图）．此时24πω=，2πω=，4a =．故答案为：4，2π． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性应用，数形结合法，最终将题意转化为()g x 与0的关系是解题的关键，属于中档题．14．如图所示，图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以图中的1F ，2F 为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．【答案】31+ 1022+ 【解析】【详解】①设等边三角形的边长为2，以底边为x 轴，以底边的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为(1,0)±，且过点13(,22， 因为点13(2到两个焦点(1,0)-，(1,0)的距离之差的绝对值为22221313(1)(0)(1)(0)3122222a ++--+-==， 所以31a -=，又1c =，所以131c e a ==．②2，分别以两条对角线为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为(1,0)-和(1,0)，且过点11(,)22， 因为点11(,)22到两个焦点(1,0)-，(1,0)的距离之差的绝对值为22221111102(1)(0)(1)(0)222222a ++--+-==， 所以102a -=，又1c =，所以11022c e a==． 31；1022【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，关键是根据双曲线的定义求出a ．三、解答题15．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知3c =，sin 6A C =，1cos23A =-.(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及ABC △的面积. 【答案】(1)32a =；(2)5b =，522ABC S =V 【解析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a 的值；（2）由二倍角的余弦公式变形求出2sin A ，由A 的范围和平方关系求出cosA ，由余弦定理列出方程求出b 的值，代入三角形的面积公式求出ABC △的面积． 试题解析：(1)因为3c =sin 6sin A C =，由正弦定理sin sin a cA C=，得32a =.(2)因为21cos212sin 3A A =-=-，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6sin A =，3cos A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=， 解得5b =或3b =-(舍)，所以15sin 222ABC S bc A ==V . 16．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o ，将BCD ∆沿对角线BD 折起到B C D ''∆的位置，使平面BC D '⊥平面ABD ，E 是BD 的中点，FA ⊥平面ABD ，且23FA =，如图2．（1）求证：//FA 平面BC D '；（2）求平面ABD 与平面FBC '所成角的余弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点M ，使得C M '⊥平面FBC ？若存在，求AMAD的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）105（3）不存在，理由见解析 【解析】(1)由题设可得C E BD '⊥，结合平面BC D '⊥平面ABD ，利用面面垂直的性质定理可得C E '⊥平面ABD ，又FA ⊥平面ABD ，再利用线面垂直的性质定理，即可得//FA C E '，再由线面平行的判定定理，即可证得//FA 平面BC D '；(2)以{,,}EB AE EC 'u u u r u u u r u u u u r正交基底建系，写出所需的点的坐标，分别求出平面ABD 与平面FBC '的法向量，代入向量夹角公式，即可求出法向量夹角的余弦值，再结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，即可得到结果；(3)假设线段AD 上存点(,,)M x y z ,使得C M '⊥平面FBC ，设AM AD λ=u u u u r u u u r，可得x λ=-，3(1)y λ=-，0z =，只需判断C M 'u u u u r 与平面FBC 的法向量m u r共线得到关于λ的方程是否有解，若有解则存在，无解的则不存在． 【详解】(1)证明：因为BC C D ''=，E 为BD 的中点，所以C E BD '⊥，又C E '⊂平面BC D '，平面BC D '⊥平面ABD ，平面BC D '⊥平面ABD BD =， 所以C E '⊥平面ABD ，又FA ⊥平面ABD ，所以//FA C E '，而C E '⊂平面BC D '，FA ⊄平面BC D '， 所以//FA 平面BC D '；(2)以DB 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，EC '所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,3,0)A ，(1,0,0)D -，(0,3,3)F ，3)C '，所以(1,3,3)BF =-u u u r ，(3)BC '=-u u u u r．设平面FBC '的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则323030m BF x z m BC x z '⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，，取1z =，则3,1,1)m =u r ， 又平面ABD 的一个法向量为(0,1,1)n =r，所以10cos ||52,||m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯u r r u r r u r r则平面ABD 与平面FBC '10． (3)线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC ．假设在线段AD 上存在(,,)M x y z ，使得C M '⊥平面FBC ，设AM AD λ=u u u u r u u u r，则(,3,)(3,0)x y z λ=-，即(,3,)(3,0)x y z λλ+=-，所以x λ=-，1)y λ=-，0z =，由(1),C M λλ'=--u u u u r，由//m C M 'u r u u u u r1)11-λλ-==，此方程无解． 所以线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC ． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，同时考查二面角的求法及逆向求解“点”的存在问题．本题第(1)问也可用求平面BC D '的法向量，利用法向量与FA u u u r的数量积为零来证明.对于第(3)问对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率； （Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）15；（Ⅲ）12=x x ， 2212s s >. 【解析】分析：（Ⅰ）求出这10名学生两轮考核的平均成绩，可知大于等于90分的有6人，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其成绩均大于等于90分共3人，利用列举法可得6人中选两人的事件有15个事件，其中这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的事件有3个，由古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）根据成绩的平均值以及成绩的稳定性可得结果.详解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为： 93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. （Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、 （5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以()31155P A ==. （Ⅲ）12=x x ， 2212s s >.点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+++，a R ∈．(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当0a <时，若关于x 的不等式()2f x b a≤-+恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是单调增函数，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（Ⅱ）[)2,-+∞【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，可得当0a ≥时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上是单调增函数；当0a <时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，当0a <时，求出函数的最大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，把不等式()2f x b a ≤-+恒成立，转化为111ln b a a ⎛⎫+≥-+ ⎪⎝⎭在0a <时恒成立，换元后利用导数求最值得答案． 【详解】(Ⅰ()()2)ln 2f x x ax a x =+++，()()22211'22(0)ax a x f x ax a x x x+++=+++=>．当0a ≥时，()'0f x >，()f x 在()0,+∞上是单调增函数；当0a <时，()1122'a x x a f x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=．当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()'0f x >，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是单调增函数， 当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，当0a <时，111211()ln ln 1max a f x f a a a a a a+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由不等式()2f x b a ≤-+恒成立，得112ln 1b a aa ⎛⎫---≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，即111ln b a a⎛⎫+≥-+ ⎪⎝⎭在0a <时恒成立． 令1t a =-，()ln (0)g t t t t =->，则()11'1t g t t t-=-=， 当()0,1t ∈时，()'0g t >，()g t 单调递增，当()1,t ∈+∞时，()'0g t <，()g t 单调递减．()g t ∴的最大值为()11g =-．由11b +≥-，得2b ≥-．∴实数b 的取值范围是[)2,-+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，长轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于A ，B 两点，设M 为椭圆C上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r ，其中O 为原点.求证：221λμ+=．【答案】（Ⅰ）2213x y +=（Ⅱ）见解析【解析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率，长轴长，即可得椭圆的方程；(Ⅱ)确定坐标之间的关系，利用M ，A ，B 在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论． 【详解】(Ⅰ)解：设椭圆的焦距为2c ，因为3c a =，所以有22223a b a -=，故有223a b =．a =Q 1b ∴=从而椭圆C 的方程可化为：2213x y +=．(Ⅱ)设(),M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，(),OM OA OB R u u u u r u u u r u u Q u rλμλμ=+∈，()()()1122,,,x y x y x y λμ∴=+，故12x x x λμ=+，12y y y λμ=+．又因为点M 在椭圆C 上，所以有221212()3()3x x y y λμλμ+++=．整理可得：()()()2222221122121233233xy x y x x y y λμλμ+++++=．又焦点F 的坐标为)，AB ∴所在的直线方程为y x =-2430x -+=．12x x +=，1234x x =所以)121212123463960x x y y x x x x +-++=-+=═；又点A ，B 在椭圆C 上，故有2222112233 3.x y x y +=+=⑥将⑤，⑥代入④可得：221λμ+=． 【点睛】本题考查了向量与圆锥曲线的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，是难题．其中用到了点在曲线上的应用，以及向量坐标化的应用.20．数列123:,,,,(2)n n A a a a a n ≥L 的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n ≥-=L ，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（1）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （2）求1a 的值；（3）证明：1230n a a a a ++++>L ．【答案】（1）1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-；（2）11a =-;（3）证明见解析．【解析】(1)根据3n =得2123220a a a ⋅+⋅+=并结合已知条件即可写出满足条件的数列3A ；(2) 11a =-，利用反证法即可证出；(3)先利用反证法证明{1,2,3,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤L ，然后对此不等式中k 赋1,2,3,,1n -L ，可得1n -个不等式并将其累加，再利用等比数列求和公式化简后，再结合已知123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 即可证得结果．【详解】(1)当3n =时，2123220a a a ⋅+⋅+=，又1(1,2,3)i a i ≥-=，10a ≠，故满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． (2)11a =-．否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a ≥-L ，因此有12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L123(1)2(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---≥-⋅+-⋅+-⋅++-⋅+-L12322221n n n ---=-----L122(122)n n --=-+++L111(12)212n n --⨯-=-- 1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾，所以11a =-．(3)先证明如下结论：{1,2,3,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n kk a a a ---⋅+⋅++⋅≤L ．否则，假设12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的的整数倍，因此12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅≥L ，所以有12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L≥122(1)2(1)2(1)2(1)n k n k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L 1222221n k n k n k -----=-----L1=这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾． 所以12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅≤L ．因此有10a <， 1220a a ⋅+≤， 2223220a a a ⋅+⋅+≤，……121212220k k k k a a a a ---⋅+⋅++⋅+≤L ，……2312212220n n n n a a a a ----⋅+⋅++⋅+≤L ，将上述1n -个不等式相加得12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ，①又123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，②②－①得1230n a a a a ++++>L ． 【点睛】本题考查数列的应用，等比数列求和以及反证法的应用，不等式的应用，考查转化与化归思想以及运算能力．。
2019-2020学年北京市101中学高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a2-2}.若A∩B={-1.2}.则a的值为（）A.-2或1B.0或1C.-2或-1D.0或-22.（单选题.3分）已知向量a⃗ =（1.-2）. b⃗⃗ =（m.4）.且a⃗ || b⃗⃗ .那么2 a⃗ - b⃗⃗等于（）A.（4.0）B.（0.4）C.（4.-8）D.（-4.8）3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √334.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-35.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数6.（单选题.3分）在△ABC 中.“cosA ＜cosB”是“sinA ＞sinB”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题.3分）设x 1.x 2.x 3均为实数.且 (13)x 1=log 2（x 1+1）. (13)x 2=log 3x 2. (13)x 3=log 2x 3.则（ ） A.x 1＜x 3＜x 2 B.x 3＜x 2＜x 1 C.x 3＜x 1＜x 2 D.x 3＜x 1＜x 28.（单选题.3分）设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω＞0）.已知f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f （x ）在（0.2π）有且仅有3个极大值点； ② f （x ）在（0.2π）有且仅有2个极小值点； ③ f （x ）在（0. π10 ）单调递增； ④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A 0.A 1.A 2.B 1.B 2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列.其中An （n∈N .n≤8）系列的幅面规格为：① A 0.A 1.A 2.….A 8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为 x ：y =1：√2 ；② 将A 0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 1规格.A 1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 2规格.….如此对开至A 8规格．现有A 0.A 1.A 2.….A 8纸各一张．若A 4纸的宽度为2dm.则A 0纸的面积为___ dm 2；这9张纸的面积之和等于___ dm 2．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）= {k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n }中.a 3=6.a 5+a 8=26． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =2a n +n .求数列{b n }的前n 项和S n ．16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．17.（问答题.0分）已知函数 f (x )=cos2x √2sin(x+π4)+2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其单调增区间； （Ⅱ）当 x ∈[π2，2π3] 时.对任意t∈R .不等式mt 2-mt+2≥f （x ）恒成立.求实数m 的取值范围．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时.记f（x）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．垂直.求a的值；（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.若A∩B={-1.2}.则a 的值为（ ） A.-2或1 B.0或1 C.-2或-1 D.0或-2【正确答案】：A【解析】：由交集定义得到 {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 .由此能求出a 的值．【解答】：解：∵集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.A∩B={-1.2}. ∴ {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 . 解得a=-2或a=1． 故选：A ．【点评】：本题考查a 的值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意交集定义的合理运用． 2.（单选题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .那么2 a ⃗ - b ⃗⃗ 等于（ ） A.（4.0） B.（0.4） C.（4.-8） D.（-4.8） 【正确答案】：C【解析】：向量是以坐标形式给出的.首先运用共线向量基本定理求出m.然后运用向量的数乘运算和向量的减法运算求解．【解答】：解：由向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .所以.1×4-m×（-2）=0.所以m=-2． 则 b ⃗⃗=(−2，4) .所以 2a ⃗−b⃗⃗=2(1，−2)−(−2，4)=(4，−8) ．故选：C．【点评】：本题考查了向量共线的条件.已知向量a⃗=(x1，y1) .向量b⃗⃗=(x2，y2) .则a⃗∥b⃗⃗⇔x1y2-x2y1=0．3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √33【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】：解：已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .则：sinα=√2√3=−√63．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题题型．4.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-3【正确答案】：D【解析】：首先利用关系式的变换.构造新数列.进一步求出数列的通项公式.最后确定结果．【解答】：解：数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.所以a n+1+3=2（a n+3）.即a n+1+3a n+3=2（常数）.所以数列{a n+3}是以a1+3=4为首项.2为公比的等比数列．所以a n+3=4×2n−1 .整理得a n=2n+1−3 .所以a101=2102−3．故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式.构造新数列.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．5.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数【正确答案】：C【解析】：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.考察四个选项.本题要研究函数的奇偶性.故对所给的x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】：解：∵对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.∴令x1=x2=0.得f（0）=-1∴令x1=x.x2=-x.得f（0）=f（x）+f（-x）+1.∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1].∴f（x）+1为奇函数．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质和应用.解题时要认真审题.仔细解答．6.（单选题.3分）在△ABC中.“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.得出答案．【解答】：解：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.故“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的充要条件.故选：C．【点评】：本题考查四个条件的判断.并考查了解三角形问题.属于基础题．7.（单选题.3分）设x1.x2.x3均为实数.且(13)x1=log2（x1+1）. (13)x2=log3x2. (13)x3=log2x3.则（）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x2＜x1C.x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x2【正确答案】：A【解析】：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象.即可得出结论．【解答】：解：如图所示.由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质.属于基础题．8.（单选题.3分）设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω＞0）.已知f（x）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f（x）在（0.2π）有且仅有3个极大值点；② f（x）在（0.2π）有且仅有2个极小值点；③ f（x）在（0. π10）单调递增；④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象.可判断 ① 和 ② .根据f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点.可得5π≤2πω+ π5 ＜6π.解出ω.然后判断 ③ 是否正确即可得到答案．【解答】：解：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象如图.其中 m ⩽2π＜n. 显然 ① 正确. ② 错误；当x∈[0.2π]时.ωx+ π5∈[ π5.2πω+ π5]. ∵f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点. ∴5π≤2πω+ π5 ＜6π. ∴ 125≤ω＜2910 .故 ④ 正确.因此由选项可知只需判断 ③ 是否正确即可得到答案. 下面判断 ③ 是否正确. 当x∈（0. π10 ）时.ωx+ π5 ∈[ π5 .(ω+2)π10]. 若f （x ）在（0. π10 ）单调递增. 则 (ω+2)π10＜π2.即ω＜3.∵125≤ω＜2910.故 ③ 正确． 故选：D ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质.关键是数形结合的应用.属中档题． 9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：设z=a+bi （a.b∈R ）.代入z 2=-3.由复数相等的条件列式求得a.b 的值得答案．【解答】：解：由z+ 3z=0. 得z 2=-3.设z=a+bi （a.b∈R ）.由z 2=-3.得（a+bi ）2=a 2-b 2+2abi=-3.即 {a 2−b 2=−32ab =0.解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数相等的条件以及复数模的求法.是基础题．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π12【解析】：由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式.再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数图象的对称性.得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12cos2x= √32sin2x+ 12cos2x=sin （2x+ π6）. 若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后.可得y=sin （2x-2φ+ π6 ）的图象. 根据所得的图象关于原点对称.可得-2φ+ π6 =kπ.k∈Z . 则φ的最小值为 π12. 故答案为： π12 ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.属于中档题．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ． 【正确答案】：[1]3n ＞n 2-1（答案不唯一）【解析】：设f（n）=a n-n2+1.令f（n）单调递增.且f（1）＞0即可找出a满足的条件得出答案．【解答】：解：不妨将不等式变为a n＞n2-1.令f（n）=a n-n2+1（n∈N*）.则f′（n）=a n lna-2n.显然当a＞e时.f′（n）＞e n-2n.再令g（n）=e n-2n（n∈N*）.则g′（n）=e n-2≥e-2＞0.∴g（n）单调递增.故g（n）≥g（1）=e-2＞0.即f′（n）＞0.∴f（n）单调递增.故f（n）≥f（1）=a＞0.∴当a＞e时.a n＞n2-1恒成立.故答案为：3n＞n2-1（答案不唯一）．【点评】：本题考查函数单调性与最值.导数与函数恒成立问题.属于中档题．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A0.A1.A2.B1.B2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列.其中An（n∈N.n≤8）系列的幅面规格为：① A0.A1.A2.….A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y=1：√2；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A2规格.….如此对开至A8规格．现有A0.A1.A2.….A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm.则A0纸的面积为___ dm2；这9张纸的面积之和等于___ dm2．【正确答案】：[1]64 √2 ; [2] 511√24【解析】：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由题意可得y4=2 √2 .再由等比数列的通项公式和面积公式.以及求和公式.即可得到所求值．【解答】：解：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由A4纸的宽度为2dm.且纸张的幅宽和长度的比例关系都为x：y=1：√2 .可得y4=2 √2 .由题意可得y0=2 √2•24=32 √2 .即有A0纸的面积为32 √2 ×2=64 √2 dm2；由A0.A1.A2.….A8纸9张纸的面积构成一个以64 √2为首项. 12为公比的等比数列.可得这9张纸的面积之和为64√2(1−129)1−2= 511√24dm2．故答案为：64 √2 . 511√24．【点评】：本题考查数列模型的应用题的解法.考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：设 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .根据三点共线得出a+b= 1λ.从而得出答案．【解答】：解：设 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λb OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵A .B.Q 三点共线.∴λa+λb=1. ∴a+b= 1λ .∵Q 在圆外.∴λ＞1.∴0＜ 1λ ＜1. 即0＜a+b ＜1． 故答案为：（0.1）．【点评】：本题考查了平面向量的基本定理.向量的共线定理.属于基础题．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）={k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2， 其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 13 . √24 ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- 12（1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= √1−(x−1)2 .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.√k2+1=1 .解得k= √24（k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= 13.∴ 1 3≤k＜√24．即k的取值范围为[ 13 . √24）．故答案为：[ 13 . √24）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n}中.a3=6.a5+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2a n+n .求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差.然后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1.公差为d.则 {a 1+2d =6a 1+4d +a 1+7d =26解得 {a 1=2d =2．所以a n =a 1+（n-1）d=2n ． …（7分） （Ⅱ）由（I ）可得 b n =22n +n =4n +n . 所以 s n =4(1−4n )1−4+n (1+n )2=4n+1−43+n+n 22． …（13分）【点评】：本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用.考查计算能力． 16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理.同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA =√3 .结合范围 0＜A ＜π2 .可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理可得c 2-5c+4=0.解得c 的值．【解答】：（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中.由正弦定理 a sinA =bsinB .……（2分） 得asinB=bsinA ．又 asinB =√3bcosA .得 tanA =√3 ．……（4分） 由于 0＜A ＜π2 .所以 A =π3．……（6分） （Ⅱ） a =√21 .b=5. A =π3.在△ABC 中.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA.……（7分） 得 21=52+c 2−2•5•c •12 .即c 2-5c+4=0. 解得c=1.或c=4．……（11分） 当c=1时. cosB =2√21)222•1•√210 ．此时.△ABC为钝角三角形.舍去．经检验.c=4满足题意．……（13分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.同角三角函数基本关系式.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)+2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；（Ⅱ）当x∈[π2，2π3]时.对任意t∈R.不等式mt2-mt+2≥f（x）恒成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）化简f（x）解析式.根据正弦函数的性质求出单调区间和周期；（II）求出f（x）的最大值.转化为二次函数恒成立问题解决．【解答】：解：（I）f(x)=√2sin(x+π4)2sinx =√2(√22sinx+√22cosx)+2sinx = (cos2x−sin2x)sinx+cosx+2sinx =sinx+cosx= √2sin(x+π4) .函数f（x）的定义域为{x|x≠−π4+kπ，k∈Z} .周期T=2π|ω|=2π1=2π .令−π2+2kπ≤x+π4＜2kπ .解得：−3π4+2kπ≤x＜−π4+2kπ .令2kπ＜x+π4≤π2+2kπ .解得：−π4+2kπ＜x≤π4+2kπ .所以f（x）的递增区间为[−3π4+2kπ，−π4+2kπ)，(−π4+2kπ，π4+2kπ](k∈Z)．（Ⅱ）∵ x∈[π2，2π3] .∴x+ π4∈[ 3π4. 11π12].∴当x=π2时.f（x）取得最大值1.所以mt2-mt+2≥1恒成立.即mt2-mt+1≥0恒成立.① 当m=0时.显然成立；② 当m≠0时.若对于t∈R.不等式mt2-mt+1≥0恒成立. 只需△=m2-4m≤0成立.且m＞0即可.解得：0＜m≤4.综上.m 的取值范围是0≤m≤4．【点评】：本题考查了三角恒等变换.正弦函数的性质.函数恒成立问题.属于中档题． 18.（问答题.0分）已知函数f （x ）=2x 3-ax 2+2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当0＜a ＜3时.记f （x ）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出原函数的导函数.得到导函数的零点.对a 分类求解原函数的单调性； （2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a3 ）上单调递减.在（ a3 .1）上单调递增.求得f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．得到M-m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3.分类求得函数值域.可得M-m 的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x ）=6x 2-2ax=2x （3x-a ）. 令f′（x ）=0.得x=0或x= a 3 ．若a ＞0.则当x∈（-∞.0）∪（ a 3，+∞ ）时.f′（x ）＞0；当x∈（0. a 3）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞.0）.（ a3，+∞ ）上单调递增.在（0. a3 ）上单调递减； 若a=0.f （x ）在（-∞.+∞）上单调递增；若a ＜0.则当x∈（-∞. a3 ）∪（0.+∞）时.f′（x ）＞0；当x∈（ a3 .0）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞. a3 ）.（0.+∞）上单调递增.在（ a3 .0）上单调递减；（2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a 3）上单调递减.在（ a 3.1）上单调递增.∴f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．于是.m= −a 327 +2.M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．∴M -m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3 ．当0＜a＜2时.可知2-a+ a 327单调递减.∴M-m的取值范围是（827，2）；当2≤a＜3时. a 327单调递增.∴M-m的取值范围是[ 827.1）．综上.M-m的取值范围[ 827.2）．【点评】：本题主要考查导数的运算.运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查分类讨论的数学思想方法.属难题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.求a的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.列出方程即可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x +lnx) .求出导函数.构造函数设ℎ (x)=a+2x−1x2+lnx利用函数的导数判断导函数的单调性以及函数的符号.求解函数的极值.转化求解即可．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f′(x)=e x•(a+lnx)+e x•1x =e x•(a+1x+lnx)．[（2分）]依题意.有 f'（1）=e•（a+1）=e.[（3分）] 解得a=0．[（4分）]（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x+lnx) .所以g′(x)=e x•(a+1x +lnx)+e x•(1x−1x2)=e x•(a+2x−1x2+lnx)．[（6分）]因为e x＞0.所以g'（x）与a+2x −1x2+lnx同号．设ℎ (x)=a+2x −1x2+lnx .[（7分）]则ℎ′(x)=x 2−2x+2x3=(x−1)2+1x3．所以对任意x∈（0.+∞）.有h'（x）＞0.故h（x）在（0.+∞）单调递增．[（8分）]因为a∈（0.ln2）.所以h（1）=a+1＞0. ℎ(12)=a+ln12＜0 .故存在x0∈(12，1) .使得h（x0）=0．[（10分）]g（x）与g'（x）在区间(12，1)上的情况如下：所以g（x）在区间(2， x0)上单调递减.在区间（x0.1）上单调递增．所以若a∈（0.ln2）.存在x0∈(12，1) .使得x0是g（x）的极小值点．[（11分）]令h（x0）=0.得a+lnx0=1−2x0x02.所以f(x0)=e x0•(a+lnx0)=e x0•1−2x0x02＜0．[（13分）]【点评】：本题考查函数的导数的应用.切线方程以及函数的极值的求法.函数的单调性的判断.考查转化思想以及构造法的应用.考查计算能力．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用定义性数列的应用求出数列的各项；（2）利用构造关系式的变换.假设法的应用求出结果；（3）利用定义性数列的应用求出结果．【解答】：解：（1）a4=2a2=4.a2=2.由于a2＜a3＜a4.所以a3=3.a54=2a32=4a15=8a8=16a4=64.a128=2a54=128.由题意可知：a54＜a55＜…＜a101＜a102＜…＜a127＜a128.且n∈N+.整理得a101=101．（2）数列为“跳级数列”.∀n∈N*.a n+1-a n为正整数.记s=min{a n+1-a n|n∈N*}.可知s∈N*.且p＞s≥a2-a1=a1．记m∈{n∈N*|s=a n+1-a n）.对于质数p.必存在k.使得2k＞p（k∈N*）．反复应用a2n=2a n.得a2k(m+1)−a2k m=2(a2(k−1)(m+1)−a2(k−1)m)=⋯=2k−1(a2(m+1)−a2m)=2k s另一方面.因为对于满足2k m≤n≤2k（m+1）-1的任意n.均有a n+1-a n≥s．所以对于所有2k m≤n≤2k（m+1）-1.都有a n+1-a n=s（利用迭加）．这表明.数列a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k(m+1)是以s为公差的等差数列．假设对于整数对（i.j）（0≤i＜j≤p-1）.均有a2k m+j - a2k m+i是质数p的整数倍.即a2k m+j - a2k m+i =（j-i）s必为p的整数倍.0＜j-i＜p.且0＜s≤a2-a1=a1＜p同时成立.知这与p为质数矛盾．由此可知. a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k m+p−1除以p所得余数互不相同．（构造一个p的完全剩余系）所以必有一个是p的倍数．（3）对于正整数n.设k n为非负整数.且满足2k n≤n＜2k n+1 .则：2k n≤2n＜2k n+1×2 .即2k n+1≤2n＜2k n+2．根据定义有2k2n≤2n＜2k2n+1 .由k n≤k n+1.且k2n=k n+1.令a n=np+ 2k n .则a2n=2np+ 2k2n =2np+ 2k n+1 = 2(np+2k n) =2a n.则显然{a n}为跳级数列.又p为奇质数.于是2k n不为p的倍数.因此a n也不为p的倍数．【点评】：本题考查的知识要点：构造关系式的变换.假设法的应用.定义性数列的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．。
北京一零一中2019-2020学年度第二学期高三数学统练3试卷及答案
max{a1, a2, · · · , an−1} 表示 a1, a2, · · ·, an−1 中的最大项), 则以下结论:
①若数列 {an} 是常数列, 则 an = 0 (n ∈ N∗);
②若数列 {an} 是公差 d 0 的等差数列, 则 d < 0;
③若数列 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 q > 1;
13.
已知圆 x2 + y2 + mx +
1 4
= 0 与双曲线
y2 4
− x2 = 1 的渐近线相切, 则 m 的值为 ＿＿＿＿＿ .
√
【参考答案】± 5.
14. 已知点 M(1, 0), N(0, −1), 若点 P 在函数 y = ln(x + 2) 的图像上, 则使得 △PMN 的面积为 1 的点 P 的个数为 ＿＿＿＿＿ . 【参考答案】3.
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考三
一、选择题共 10 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合 A = {x ∈ Z | x2 − 3x − 4 0}, B = {x | ex−2 < 1}, 则 A ∩ B = ( )
(A) {−1, 0, 1, 2}
④若存在正整数 T , 对任意 n ∈ N∗, 都有 an+T = an, 则 a1 是数列 {an} 的最大项.
所有正确的结论是 ( )
(A) ①②
(B) ②③
(C) ①②③
(D) ①②③④
【参考答案】(2019 上海闵行区一模 (改编) ) D
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 2 页（共 11 页）
2018-2019学年北京市101中学高三(下)5月月考数学试卷(文科)
2018-2019学年北京市101中学高三（下）5月月考数学试卷（文科）试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）集合A={x|-1≤x≤2}.B={x|x＜1}.则A∩（∁R B）=（）A.{x|x＞1}B.{x|x≥1}C.{x|1＜x≤2}D.{x|1≤x≤2}2.（单选题.5分）复数i1+3i的共轭复数的虚部为（）A. 110B. 310C. −110D. −3103.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的离心率为√5 .则C的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=± 12xC.y=± 13xD.y=± 14x4.（单选题.5分）若tan（α-β）=3.tanβ=2.则tanα=（）A. 17B. −17C.1D.-15.（单选题.5分）几何体的三视图如图所示.该几何体的体积为（）A.729B.428C.356D.2436.（单选题.5分）已知直线l1：3x+y-6=0与圆心为M（0.1）.半径为√5的圆相交于A.B两点.另一直线l2：2kx+2y-3k-3=0与圆M交于C.D两点.则四边形ACBD面积的最大值为（）A. 5√2B. 10√2C. 5(√2+1)D. 5(√2−1)7.（单选题.5分）定义域R的奇函数f（x）.当x∈（-∞.0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立.若a=3f（3）.b=f（1）.c=-2f（-2）.则（）A.a＞c＞bB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c8.（单选题.5分）如图.方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上.且分边长为3：4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网.若最外边的正方形边长为1米.由外到内顺序制作.则完整的正方形的个数最多为（参考数据：≈0.15）（）lg75A.6个B.7个C.8个D.9个9.（填空题.5分）已知平面向量a⃗ . b⃗⃗ .| a⃗ |=1.| b⃗⃗ |=2. a⃗• b⃗⃗ =1.则向量a⃗ . b⃗⃗的夹角为___ ．10.（填空题.5分）若x.y满足约束条件{2≤x≤4，y≥3，x+y≤8，则z=y-x的最小值为___ ．11.（填空题.5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数.如果它是奇数.对它乘3再加1.如果它是偶数.对它除以2.这样循环.最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图.则① 处应填写的条件及输出的结果i分别为___12.（填空题.5分）已知定义在R上的函数y=f（x）-2是奇函数.且满足f（-l）=1.则f（0）+f（1）=___ ．13.（填空题.5分）已知三棱锥D-ABC的体积为2.△ABC是等腰直角三角形.其斜边AC=2.且三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点.则球O的体积为___ ．14.（填空题.5分）若函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称.则f（x）的最大值是___15.（问答题.13分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*）.数列{b n}为等比数列.且满足b1=a1.2b3=b4（1）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和．16.（问答题.13分）已知△ABC的三个内角△ABC所对的边分别为a.b.c.向量m⃗⃗⃗ =（2.1）. n⃗⃗=(2cos2A2，−cos2A+1) .且m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=92．（1）求角A的大小；（2）若BC= √3 .试求△ABC面积的最大值及此时△ABC的形状．17.（问答题.13分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是平行四边形.∠BCD=120°.侧面PAB⊥底面ABCD.∠BAP=90°.AB=AC=PA=2．（I）求证：面PBD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M.若平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.求三棱锥M-PAB的体积．18.（问答题.13分）某厂有4台大型机器.在一个月中.一台机器至多出现1次故障.且每台机器是否出现故障是相互独立的.出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力.每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修.就使该厂产生5万元的利润.否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．19.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1.0）.离心率为12．A为椭圆C的左顶点.P.Q为椭圆C上异于A的两个动点.直线AP.AQ与直线l：x=4分别交于M.N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；.求M的坐标；（Ⅱ）若△PAF与△PMF的面积之比为15（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R.若P.F.Q三点共线.求证：∠MFR=∠FNR．20.（问答题.14分）设函数f（x）=（2a+lnx）x+lnx（a∈R）．（1）证明：过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切；（2）若0＜x＜1.f（x）＜2a.求a的取值范围．2018-2019学年北京市101中学高三（下）5月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）集合A={x|-1≤x≤2}.B={x|x＜1}.则A∩（∁R B）=（）A.{x|x＞1}B.{x|x≥1}C.{x|1＜x≤2}D.{x|1≤x≤2}【正确答案】：D【解析】：由集合B.求出集合B的补集.然后求出集合A和集合B补集的交集即可．【解答】：解：由B={x|x＜1}.得到∁R B={x|x≥1}.又集合A={x|-1≤x≤2}.则A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}．故选：D．【点评】：此题考查学生会进行补集及交集的运算.是一道基础题．学生在求补集时注意全集的范围．2.（单选题.5分）复数i1+3i的共轭复数的虚部为（）A. 110B. 310C. −110D. −310【正确答案】：C【解析】：先求出复数i1+3i 的代数形式.即可得到i1+3i的共轭复数的虚部【解答】：解：设z= i1+3i = i•(1−3i)(1+3i)(1−3i)= 3+i10= 310+110i .所以z的共轭复数的虚部为- 110.故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算.考查了共轭复数的概念.是基础题．3.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的离心率为√5 .则C的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=± 12xC.y=± 13xD.y=± 14x【正确答案】：A【解析】：根据离心率公式e= ca.求出a.b的关系.继而得到渐近线方程．【解答】：解：因为双曲线的离心率公式e= ca = √1+b2a2= √5 .∴ ba=±2.∵双曲线的渐近线方程为：x2a2 - y2b2=0．∴y=± bax.∴y=±2x.故选：A．【点评】：本题考查双曲线的简单性质.求得ab是关键.考查分析、运算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）若tan（α-β）=3.tanβ=2.则tanα=（）A. 17B. −17C.1D.-1【正确答案】：D【解析】：tan（α-β）= tanα−21+2tanα=3.解方程即可．【解答】：解：∵tanβ=2.tan（α-β）=3.=3.∴tan（α-β）= tanα−21+2tanα∴tanα=-1．故选：D．【点评】：本题考查了两角差的正切公式.属基础题．5.（单选题.5分）几何体的三视图如图所示.该几何体的体积为（）A.729B.428C.356D.243【正确答案】：D【解析】：判断几何体的形状.利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】：解：几何体的直观图如图.是正方体的一部分.四棱锥P-ABCD；×9×9×9 =243．几何体的体积为：13故选：D．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积.判断几何体的形状是解题的关键．6.（单选题.5分）已知直线l1：3x+y-6=0与圆心为M（0.1）.半径为√5的圆相交于A.B两点.另一直线l2：2kx+2y-3k-3=0与圆M交于C.D两点.则四边形ACBD面积的最大值为（）B. 10√2C. 5(√2+1)D. 5(√2−1)【正确答案】：A【解析】：由已知写出圆的方程.联立直线方程与圆方程.求出A.B 的坐标.可知动直线过AB 的中点.则当CD 为圆的直径时四边形ACBD 面积最大.代入四边形ACBD 面积公式求解即可．【解答】：解：以M （0.1）为圆心.半径为 √5 的圆的方程为x 2+（y-1）2=5.联立 {3x +y −6=0x 2+(y −1)2=5.解得A （2.0）.B （1.3）. ∴AB 中点为（ 32 . 32 ）．而直线l 2：2kx+2y-3k-3=0恒过定点（ 32 . 32 ）.∴|AB|= √(2−1)2+(0−3)2=√10 ．∴四边形ACBD 的面积最大值为： S =12×√10×2√5=5√2 ．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查数形结合的解题思想方法.是中档题．7.（单选题.5分）定义域R 的奇函数f （x ）.当x∈（-∞.0）时f （x ）+xf′（x ）＜0恒成立.若a=3f （3）.b=f （1）.c=-2f （-2）.则（ ）A.a ＞c ＞bB.c ＞b ＞aD.a ＞b ＞c【正确答案】：A【解析】：先构造函数g （x ）=xf （x ）.依题意得g （x ）是偶函数.且g'（x ）＜0恒成立.从而故g （x ）在x∈（-∞.0）单调递减.根据偶函数的对称性得出g （x ）在（0.+∞）上递增.即可比较a.b.c 的大小．【解答】：解：设g （x ）=xf （x ）.依题意得g （x ）是偶函数.当x∈（-∞.0）时.f （x ）+xf'（x ）＜0.即g'（x ）＜0恒成立.故g （x ）在x∈（-∞.0）单调递减.则g （x ）在（0.+∞）上递增.又a=3f （3）=g （3）.b=f （1）=g （1）.c=-2f （-2）=g （-2）=g （2）.故a ＞c ＞b ．故选：A ．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想．属于中档题．8.（单选题.5分）如图.方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上.且分边长为3：4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网.若最外边的正方形边长为1米.由外到内顺序制作.则完整的正方形的个数最多为（参考数据： lg 75≈0.15 ）（ ）A.6个B.7个C.8个D.9个【正确答案】：B【解析】：设正方形的边长为a.其内接小正方形的边长为b.则b= √(37a)2+(47a)2 = 57a .故每个小正方形的周长为其外接正方形周长的 57 .即正方形的周长从外到内成以4为首项.以 57 为公比的等比数列.设其前n 项和为S n .则S n =4(1−(57)n )1−57 ≤13.解不等式即可．【解答】：解：依题意.设正方形的边长为a.其内接小正方形的边长为b.则b= √(37a)2+(47a)2= 57a .故每个小正方形的周长为其外接正方形周长的 57 .即正方形的周长从外到内成以4为首项.以 57 为公比的等比数列.设为{a n }.其前n 项和为S n . 则S n =4(1−(57)n )1−57≤13.所以114≤(57)n ⇒n≤ lg 114lg57⇒n≤ lg14lg 75⇒ n ≤lg2+lg7lg 75⇒n≤1−lg5+lg7lg 75⇒n≤1+lg75lg 75.将 lg 75≈0.15 代入得n≤7.66.所以完整的正方形的个数最多为7个． 故选：B ．【点评】：本题考查了等比数列及其前n 项和.对数运算．难点在对数的运算．本题属于中档题．9.（填空题.5分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ .| a ⃗ |=1.| b ⃗⃗ |=2. a ⃗ • b ⃗⃗ =1.则向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：直接利用向量的数量积列出方程求解即可．【解答】：解：设向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为θ. 平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ .| a ⃗ |=1.| b ⃗⃗ |=2. a ⃗ • b ⃗⃗ =1. 可得1×2×cosθ=1.可得cos θ=12. 所以θ= π3 ． 故答案为： π3 ．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量的夹角的求法.是基本知识的考查．10.（填空题.5分）若x.y 满足约束条件 {2≤x ≤4，y ≥3，x +y ≤8，则z=y-x 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由约束条件证出可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.数形结合得到最优解.联立方程组求出最优解的坐标.代入目标函数得答案．【解答】：解：由x.y 满足约束条件 {2≤x ≤4，y ≥3，x +y ≤8，作出可行域如图.由图形可知A （4.3）. 由z=y-x 得.y=x+z.由图可知.当直线y=x+z 过点A （4.3）时.直线在y 轴上的截距最小.z 有最小值为3-4=-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查了简单的线性规划.考查了数形结合的解题思想方法.是中档题． 11.（填空题.5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数.如果它是奇数.对它乘3再加1.如果它是偶数.对它除以2.这样循环.最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图.则 ① 处应填写的条件及输出的结果i 分别为___【正确答案】：[1]a 是奇数？；7【解析】：由该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】：解：a=10.i=1；如果它是奇数.对它乘3再加1.如果它是偶数.对它除以2.这样循环.最终结果都能得到1．所以：对a是否是奇偶数进行判断；有图可知：a是奇数？进行判断；=5.i=2.不满足退出循环的条件；第一次执行循环体后.a= 102第二次执行循环体后.a=16.i=3.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=8.i=4.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=4.i=5.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=2.i=6.不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后.a=1.i=7.满足退出循环的条件；故输出i值为7.故答案为：a是奇数？.7；【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题12.（填空题.5分）已知定义在R上的函数y=f（x）-2是奇函数.且满足f（-l）=1.则f（0）+f（1）=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：根据题意.设g（x）=f（x）-2.由奇函数的性质可得g（0）=f（0）-2=0.则有f（0）=2.又由奇函数的性质可得g（1）=-g（-1）.即f（1）-2=-[f（-1）-2].计算可得f（1）的值.相加即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数y=f（x）-2是奇函数.设g（x）=f（x）-2.则有g（0）=f（0）-2=0.则有f（0）=2.又由f（-1）=1.则g（-1）=f（-1）-2=-1.则g（1）=-g（-1）.即f（1）-2=-[f（-1）-2]=2.则有f（1）=3.故f（0）+f（1）=5；故答案为：5．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用.注意结合函数的奇偶性分析.属于基础题．13.（填空题.5分）已知三棱锥D-ABC的体积为2.△ABC是等腰直角三角形.其斜边AC=2.且三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点.则球O的体积为___ ．π【正确答案】：[1] 40√103【解析】：取AC的中点E.利用球心O与△ABC的外心的连线与平面ABC垂直.得到OE⊥平面ABC.再由中位线得出OE || CD.于是得出CD⊥平面ABC.根据已知条件计算出△ABC的面积.并利用锥体体积公式计算出CD.再利用勾股定理得出AD.即可得出球O的半径为R=12AD .最后利用球体体积公式可得出答案．【解答】：解：如下图所示.取AC的中点E.连接OE.由于O为AD的中点.E为AC的中点.则OE || CD.∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边.所以.点E为△ABC外接圆圆心.且O为三棱锥D-ABC外接球的球心.所以OE⊥平面ABC.所以.CD⊥平面ABC.∵△ABC是等腰直角三角形.且斜边AC=2.所以.AB=BC= √2 .则△ABC的面积为S△ABC=12AB•BC=1 .由锥体体积公式可得V D−ABC=13S△ABC•CD=13×1×CD=2 .∴CD=6.所以. AD=√AC2+CD2=2√10 .则球O的半径为R=12AD=√10 .因此.球O的体积为43πR3=43π×(√10)3=40√103π．故答案为：40√103π．【点评】：本题考查球体的体积的计算.解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质.考查计算能力与推理能力.属于中等题．14.（填空题.5分）若函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称.则f（x）的最大值是___【正确答案】：[1]0【解析】：解题的关键是得出函数f（x-1）为偶函数.进而求得a=4.b=4.由此求得函数f（x）的解析式.从而求得最大值．【解答】：解：∵函数f（x）关于直线x=-1对称.∴函数f（x-1）关于直线x=0对称.即函数f（x-1）为偶函数.又f（x-1）=-（x-1）2[（x-1）2+a（x-1）+b]=-x4+（4-a）x3+（3a-b-6）x2+（4-3a+2b）x+a-b-1..∴ {4−a=04−3a+2b=0.∴ {a=4b=4∴f（x）=-x2（x2+4x+4）=-x4-4x3-4x2.∴f′（x）=-4x3-12x2-8x=-4x（x+1）（x+2）.∴函数f（x）在（-∞.-2）.（-1.0）上单调递增.在（-2.-1）.（0.+∞）单调递减.又f（-2）=f（0）=0.∴函数f（x）取得最大值0．故答案为：0．【点评】：本题考查函数的对称性及奇偶性的运用.考查运算求解能力.属中档题．15.（问答题.13分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*）.数列{b n}为等比数列.且满足b1=a1.2b3=b4（1）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）利用数列的前n项和的公式.先求得a1.后看≥2时.a n=S n-S n-1.求得数列的通项公式.设出等比数列{b n}的公比.利用2b3=b4求得q.利用b1=a1求得首项.则等比数列的通项公式可求．（2）数列{a n b n}的前n项和为T n.然后利用错位相减法求得T n．【解答】：解：（1）由已知S n=n2.得a1=S1=1当n≥2时.a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1所以a n=2n-1（n∈N*）由已知.b1=a1=1设等比数列{b n}的公比为q.由2b3=b4得2q2=q3.所以q=2所以b n=2n-1（2）设数列{a n b n}的前n项和为T n.则T n=1×1+3×2+5×22++（2n-1）•2n-1.2T n=1×2+3×22+5×23++（2n-1）•2n.两式相减得-T n=1×1+2×2+2×22++2×2n-1-（2n-1）•2n（10分）=1+2（2+22++2n-1）-（2n-1）•2n=1+4（2n-1-1）-（2n-1）•2n（11分）=-（2n-3）•2n-3所以T n=（2n-3）2n+3【点评】：本题主要考查了等差数列的性质和等比数列的性质．当数列是由等差数列和等比数列的积构成时.可求得利用错位相减法求和．16.（问答题.13分）已知△ABC的三个内角△ABC所对的边分别为a.b.c.向量m⃗⃗⃗ =（2.1）. n⃗⃗=(2cos2A2，−cos2A+1) .且m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=92．（1）求角A的大小；（2）若BC= √3 .试求△ABC面积的最大值及此时△ABC的形状．【正确答案】：【解析】：（1）根据向量数量积以及三角变换公式可得．（2）根据余弦定理以及基本不等式和面积公式可得．【解答】：（1）解：由m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=4cos2A2−cos2A+1=92.则4⋅1+cosA2−(2cos2A−1)=72.所以2cos2A−2cosA+12=0 .故有cosA=12. A=π3．（2）解：因为 BC= √3 .则由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 知：3=b2+c2-bc.再利用基本不等式.可得bc≤3.当且仅当b=c=√3时等号成立.此时(S△ABC)max=12(bc)max sinA=12×3×√32=3√34．此时△ABC为正三角形．【点评】：本题考查了三角形中的几何计算.属中档题．17.（问答题.13分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是平行四边形.∠BCD=120°.侧面PAB⊥底面ABCD.∠BAP=90°.AB=AC=PA=2．（I）求证：面PBD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M.若平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.求三棱锥M-PAB的体积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由∠BAP=90°.知PA⊥AB.再由已知结合面面垂直的性质可得PA⊥面ABCD.则PA⊥BD.由已知求解三角形得BD⊥AC.由线面垂直的判定可得BD⊥面PAC.则面PAC⊥面PBD；（Ⅱ）由平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.知M为PD中点.求出底面ABCD 的面积.得到四棱锥P-ABCD的体积.再由等积法求三棱锥M-PAB的体积．【解答】：（Ⅰ）证明：∵∠BAP=90°.∴PA⊥AB.又侧面PAB⊥底面ABCD.面PAB∩面ABCD=AB.PA⊂面PAB.∴PA⊥面ABCD.∵BD⊂面ABCD.∴PA⊥BD.又∵∠BCD=120°.ABCD为平行四边形.∴∠ABC=60°.又AB=AC.∴△ABC为等边三角形.则ABCD为菱形.则BD⊥AC．又PA∩AC=A.∴BD⊥面PAC.∵BD⊂面PBD.∴面PAC⊥面PBD；（Ⅱ）解：由平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分.则M为PD中点．由AB=AC=2.∠BCD=120°.得BD=2√3．由（Ⅰ）知ABCD为菱形.则S ABCD=12×2√3×2=2√3．又由（Ⅰ）知PA⊥面ABCD.则V P−ABCD=13•S ABCD•PA=13•2√3•2=4√33．∴ V M−PAB=12V D−PAB=14V P−ABCD = 14×4√33=√33．【点评】：本题考查平面与平面垂直的判定.考查空间想象能力与思维能力.训练了利用等积法求多面体的体积.是中档题．18.（问答题.13分）某厂有4台大型机器.在一个月中.一台机器至多出现1次故障.且每台机器是否出现故障是相互独立的.出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．（1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力.每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修.就使该厂产生5万元的利润.否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．【正确答案】：【解析】：（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验.在一次试验中.机器出现故障的概率为13；4台机器相当于4次独立重复试验.设出现故障的机器台数为X. X～B(4，13) .求出对应概率值. 写出分布列.计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；（2）设该厂获利为Y万元.Y的所有可能取值为18.13.8.计算对应的概率值.求出分布列与数学期望值．【解答】：解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验. 在一次试验中.机器出现故障设为事件A.则事件A的概率为13；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验.可设出现故障的机器台数为X.则X～B(4，13) .P(X=0)=C40(23)4=1681.P(X=1)=C41•13•(23)3=3281.P(X=2)=C42•(13)2(23)2=2481.P(X=3)=C43•(13)3•23=881.则X的分布列为：则X=0.X=1.X=2.….X=n.这n+1个互斥事件的和事件.则∵ 81≤90%≤81.∴至少要3名工人.才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；（2）设该厂获利为Y万元.则Y的所有可能取值为：18.13.8.P（Y=18）=P（X=0）+P(X=1)+P(X=2)=7281.P(Y=13)=P(X=3)=881.P(Y=8)=P(X=4)=181；则Y的分布列为：则E(Y)=18×81+13×81+8×81=81；故该厂获利的均值为140881．【点评】：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题.是综合性题目．19.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1.0）.离心率为12．A为椭圆C的左顶点.P.Q为椭圆C上异于A的两个动点.直线AP.AQ与直线l：x=4分别交于M.N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△PAF与△PMF的面积之比为15.求M的坐标；（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R.若P.F.Q三点共线.求证：∠MFR=∠FNR．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意得c=1.结合离心率求得a.再由隐含条件求得b.则椭圆方程可求；（Ⅱ）由△PAF与△PMF的面积之比为15 .可得AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设M（4.m）（m≠0）.P（x.y0）.则(x0+2，y0)=16(6，m) .求得x0=−1，y0=m6．将其代入x24+y23=1 .解得m=±9．则M的坐标可求；（Ⅲ）设M（4.m）.N（4.n）.P（x0.y0）.分析可得m≠0.n≠0．直线AM的方程为y=m6(x+2)．联立直线方程与椭圆方程.利用根与系数的关系求得P的坐标.利用利用对称性证明若P.F.Q三点共线.则∠MFR=∠FNR．【解答】：（Ⅰ）解：由题意得c=1.又ca =12.解得a=2.c=1．∵a2-b2=c2.∴b2=3．∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（Ⅱ）解：∵△PAF与△PMF的面积之比为15.∴ |AP|=15|PM| .则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设M（4.m）（m≠0）.P（x0.y0）.则(x0+2，y0)=16(6，m) .解得x0=−1，y0=m6．将其代入x 24+y23=1 .解得m=±9．∴M的坐标为（4.9）或（4.-9）；（Ⅲ）证明：设M（4.m）.N（4.n）.P（x0.y0）.若m=0.则P为椭圆C的右顶点.由P.F.Q三点共线知.Q为椭圆C的左顶点.不符合题意．∴m≠0．同理n≠0．直线AM 的方程为 y =m 6(x +2) ． 由 {y =m 6(x +2)，x 24+y 23=1 消去y.整理得（27+m 2）x 2+4m 2x+（4m 2-108）=0． △=（4m 2）2-4（27+m 2）（4m 2-108）＞0成立．由 −2x 0=4m 2−10827+m 2 .解得 x 0=54−2m 227+m 2 ． ∴ y 0=m 6(x 0+2)=18m 27+m 2 ．得 P (54−2m 227+m 2，18m 27+m 2) ． 当|m|=3时.|n|=3. 54−2m 227+m 2=1 .即直线PQ⊥x 轴．由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3．又∵∠MRF=∠NRF=90°.∴∠MFR=∠FNR=45°．当|m|≠3时.|n|≠3.直线FP 的斜率 k FP =18m 27+m 2−054−2m 227+m 2−1=6m 9−m 2 ． 同理 k FQ =6n 9−n 2 ．∵P .F.Q 三点共线.∴ 6m 9−m 2=6n 9−n 2 .得mn=-9．在Rt△MRF 和Rt△NRF 中. tan∠MFR =|MR||FR|=|m|3 . tan∠FNR =|FR||NR|=3|n|=|m|3 .∴tan∠MFR=tan∠FNR ．∵∠MFR .∠FNR 均为锐角.∴∠MFR=∠FNR ．综上.若P.F.Q 三点共线.则∠MFR=∠FNR ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.考查直线与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.是中档题．20.（问答题.14分）设函数f（x）=（2a+lnx）x+lnx（a∈R）．（1）证明：过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切；（2）若0＜x＜1.f（x）＜2a.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设切点为（x0.y0）.求出导数.l的斜率为f′(x0)=1+lnx0+1x0+2a .又y0=（x0+1）lnx0+2ax0．得到l方程.把（0.-2）代入并且化简得1+lnx0=x0.考察函数F（x）=lnx-x+1. F′(x)=1x−1．判断函数的单调性.求出函数的极值.推出过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切．（2）设g（x）=（x+1）lnx+2a（x-1）.定义域为（0.+∞）．g′(x)=1+1x+lnx+2a .设ℎ(x)=1+1x +lnx+2a . ℎ′(x)=x−1x2＜0 .说明h（x）单调性.得到h（x）＞h（1）=2+2a．情况1：当a≥-1时.情况2：当a＜-1时.利用函数的单调性以及函数的极值.推出所求的a的取值范围．【解答】：解：（1）函数f（x）的定义域为（0.+∞）.设切点为（x0.y0）. f′(x)=1+lnx+1x+2a．则l的斜率为f′(x0)=1+lnx0+1x0+2a .又y0=（x0+1）lnx0+2ax0．故l方程为：y−y0=(1+lnx0+1x0+2a)(x−x0)．把（0.-2）代入得−2−[(x0+1)lnx0+2ax0]=(1+lnx0+1x0+2a)(−x0) .化简得1+lnx0=x0.考察函数F（x）=lnx-x+1. F′(x)=1x−1．可得在区间（0.1）上单调递增；在（1.+∞）上单调递减；故在x=1处取到极大值．即F（x）≤F（1）=0.即lnx≤x-1．所以方程1+lnx0=x0的解为x0=1.且是唯一的解．所以过点（0.-2）的直线中有且只有一条与曲线y=f（x）相切．（2）设g（x）=（x+1）lnx+2a（x-1）.定义域为（0.+∞）．g′(x)=1+1x+lnx+2a .设ℎ(x)=1+1x +lnx+2a . ℎ′(x)=x−1x2＜0 .故h（x）在区间（0.1）上单调递减.所以h（x）＞h（1）=2+2a．情况1：当a≥-1时.则h（x）≥0.即g'（x）≥0.故g（x）在区间（0.1）上单调递增.即g（x）＜g（1）=0.符合题意．情况2：当a＜-1时.h（1）=2+2a＜0.注意到在（Ⅰ）解题过程中lnx≤x-1（x＞0）.可得e lnx≤e x-1.即e x≥ex．从而且h（e2a）=1+e-2a+4a≥1+e（-2a）+4a=（4-2e）a+1＞0．故∃x0∈(e2a，1) .满足h（x0）=0.又因为h（x）在区间（0.1）上单调递减.故在区间（0.x0）.h（x）＞0.即g（x）在区间（0.x0）上单调递增；故在区间（x0.1）.h（x）＜0.即g（x）在区间（x0.1）上单调递减．所以当x=x0时.取到极大值g（x0）.g（x0）＞g（1）=0.所以任意a＜-1皆不合题意．综上.所求的a的取值范围是[-1.+∞）．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题.开学分析问题解决问题的能力.属于难题．。
精品解析：【全国百强校】北京市101中学2019届高三10月数学(理)统练试题(5)(解析版)
北京一零一中2018-2019学年度第一学期高三数学（理）统练五一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D2.已知为等差数列，为其前n项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。
【详解】设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，，解得，，所以，故答案选A。
【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。
3.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充要条件的定义进行判断即可。
【详解】由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件。
答案选C。
【点睛】本题考查充分必要条件的定义，不等式的性质，属于基础题。
4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为结果得到函数已知，可以逆向思考，反向得到函数的图像，确定相等关系。
【详解】由题意知，，其图像向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得。
答案选C。
【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x 前面的系数变为1。
当前后两个函数名称不同的，可先运用诱导公式，化为同名函数，再进行图像平移。
5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】C【解析】【分析】可以分两步进行：（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，即可得到答案。
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2019届北京市一零一中学高三下学期月考（三）数
学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，，则（）A．B．C．D．
2. 为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 执行如图的程序框图，如果输出a的值大于100，那么判断框内的条件为
A．？B．？C．？D．？
4. 《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前
4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）
A．1235 B．1800 C．2600 D．3000 5. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．4
C．
D．5
6. 已知非零平面向量,，则“|+|=||+||”是“存在非零实数λ，
使=λ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7. 已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（）
B．C．D．
A．
8. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口
,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）
A．B．C．D．
二、填空题
9. 在极坐标系中，直线与圆交，两点，则
_____．
10. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.
三、双空题
11. 已知数列为等比数列，为其前项的和，若，，则_____；_____．
四、填空题
12. 能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点M的坐标为_____________.
五、双空题
13. 已知函数f（x）=x3-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）．若?x∈[-a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为______；此时ω=______．
14. 如图所示，图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线
均以图中的，为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．
六、解答题
15. 在中，角的对边分别是，已知，
，.
(1)求的值；
(2)若角为锐角，求的值及的面积.
16. 如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线
折起到的位置，使平面平面，是的中点，⊥平面，且，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得⊥平面？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
17. 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的
1号2
号
3号4号5号6号
7
号
8号9号10号
第一轮测试
成绩
96 89 88 88 92 90 87 90 92 90
第二轮测试
成绩
90 90 90 88 88 87 96 92 89 92
（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；
（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小.（只需写出结论）
18. 已知函数，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．
19. 已知椭圆C：的离心率为，长轴长为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ斜率为1的直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且，其中O为原点求证：．
20. 数列的各项均为整数，满足：
，且，其中．
（1）若，写出所有满足条件的数列；
（2）求的值；
（3）证明：．。