数列求和知识点总结(学案)

数列求与

１．求数列得前n项与得方法

（１)公式法

①等差数列得前n项与公式②等比数列得前ｎ项与公式

（2）分组求与法

把数列得每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解。

（3）裂项相消法

把数列得通项拆成两项之差求与,正负相消剩下首尾若干项。

（4)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得得数列得求与，即等比数列求与公式得推导过程得推广.

（5）倒序相加法

把数列分别正着写与倒着写再相加，即等差数列求与公式得推导过程得推广

２．常见得裂项公式

（1）错误!＝错误!—错误!、

(２)错误!=错误!错误!、

（3）错误!＝错误!-错误!、

高频考点一分组转化法求与

例1、已知数列｛a n｝得前ｎ项与S n=错误!，n∈Ｎ＊、

(１)求数列{a n}得通项公式;

(2）设b n=２a n＋(—１)n a n，求数列｛b n}得前２n项与。

【感悟提升】某些数列得求与就是将数列分解转化为若干个可求与得新数列得与或差，从而求得原数列得与,这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列得通项合理分解转化.特别注意在含有字母得数列中对字母得讨论。

【变式探究】已知数列｛a n}得通项公式就是a n=2·３n—1+(－1)n·（ln2－ln3）+(－1）n n ｌn3,求其前n项与S n、

高频考点二错位相减法求与

例２、(2０15·湖北）设等差数列{a n｝得公差为ｄ,前ｎ项与为S n,等比数列｛b n｝得公比为q，已知b1＝a1，b2=２，q＝d,S10=１０0、

（1) 求数列｛ａn｝，{ｂn}得通项公式；

（2) 当ｄ〉1时,记c n＝＼f(a n，ｂn），求数列｛cｎ}得前n项与T n、

【感悟提升】用错位相减法求与时，应注意：

（1）要善于识别题目类型，特别就是等比数列公比为负数得情形;

（２）在写出“Ｓｎ”与“ｑS n”得表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－ｑS n”得表达式；

（3)在应用错位相减法求与时,若等比数列得公比为参数，应分公比等于１与不等于１两种情况求解.

【变式探究】已知数列｛a n}满足首项为ａ１=２,a n＋1＝2a n（ｎ∈N＊）。设bｎ＝3lｏｇ2a n-2（n∈N＊)，数列{cｎ}满足ｃｎ＝aｎb n、

（1)求证：数列｛b n}为等差数列;

（2)求数列｛c n｝得前ｎ项与Ｓn、

高频考点三裂项相消法求与

例3、设各项均为正数得数列｛a n}得前n项与为S n，且S n满足Ｓ错误!－（ｎ2＋ｎ－3)S n －3（n２+n）＝0,n∈N＊、

（１）求a1得值;

（２)求数列{a n}得通项公式;

(３)证明：对一切正整数n，有错误!＋错误!＋…+错误!＜错误!、

【变式探究】已知函数f(x）＝x a得图象过点（4，２)，令a n＝错误!,n∈N＊、记数列｛a n}得前ｎ项与为S n，则Ｓ2０１７＝___＿____、

【感悟提升】（1）用裂项相消法求与时，要对通项进行变换,如：1

＼r(n)+＼r（ｎ＋k）

=错误!（错误!—错误!）,错误!=错误!（错误!－错误!）裂项后可以产生连续可以相互抵消得

项.(2）抵消后并不一定只剩下第一项与最后一项,也有可能前面剩两项，后面也剩两项．【举一反三】在数列｛a n｝中，a1＝1，当ｎ≥２时，其前n项与S n满足Ｓ错误!＝a n错误!、

(1）求Sｎ得表达式;

（2）设ｂn=错误!,求｛b n｝得前n项与Ｔn、

练习：

1．已知数列{a n}得通项公式就是a n=错误!，其前n项与Ｓn=错误!,则项数n=（）

A。1３ B. 1０ C.９D．6

2．已知数列{a n｝满足a1＝1，a n＋1·a n=2n（n∈N*),则S2 012=( ）

A.２2 01２－１

B.3·2100６—３

C.3·21 0０６－1 Ｄ．3·２1 00５－２

３.已知函数f(x)=ｘ２+2ｂｘ过(1,2）点,若数列{错误!｝得前ｎ项与为S n，则Ｓ2 ０12得值为( )

A、＼f（20１２，２0１1)Ｂ、错误!C、错误!D、错误!

4。数列{a n}满足a n＋ａn+1＝＼f（1，２）（n∈N*)，且a1＝１，S n就是数列{a n}得前ｎ项与，则S21＝（)

A、错误!B．6 C。1０D．1１

5．已知函数ｆ(n）＝ｎ2cｏs(nπ)，且ａn＝ｆ（n）＋f（n＋1）,则a１+ａ2+a3＋…+a100＝( ）

Ａ.－1０0 B。０Ｃ。１00 D.１0 200

6．在数列{ａｎ}中，已知ａ1＝１，a n+1—aｎ＝ｓin错误!,记S n为数列{a n｝得前n项与,则S2 014＝(）

A.1 006

B.1 ００7Ｃ。100８Ｄ。1 00９

７．在数列{a n}中，a1=1，ａｎ＋1=（－1）n(a n＋1)，记S n为{a n}得前ｎ项与，则S2０13＝__＿___＿＿＿＿.

8。等比数列{ａn｝得前ｎ项与Ｓn=2ｎ—1,则a错误!+ａ错误!+…+ａ错误!=___＿______。

9.对于每一个正整数ｎ,设曲线y=ｘn＋1在点(1，1）处得切线与ｘ轴得交点得横坐标为ｘn，令a n=lg xｎ，则ａ1＋a２＋…+ａ9９＝___＿__＿_＿_。

10。已知等比数列｛ａn｝中,首项ａ1=3，公比ｑ〉１,且3（aｎ+2+a n)—1０aｎ+1＝0（n∈Ｎ＊）。

(1)求数列｛ａn｝得通项公式。

(2）设错误!就是首项为1,公差为２得等差数列,求数列｛ｂn}得通项公式与前n项与Sｎ. 11。设数列｛a n}得前ｎ项与为Ｓn,已知2Ｓn＝３n+3。

（1）求{a n｝得通项公式；

（2）若数列｛ｂn｝满足ａn bｎ＝lｏg3aｎ,求{ｂn｝得前ｎ项与T n。

12。已知数列｛a n}就是公差为2得等差数列，它得前n项与为S n，且a1+1,ａ3+1,a７＋1成等比数列。

（1）求｛aｎ｝得通项公式。

(２)求数列错误!得前n项与T n。