初中数学知识点精讲精析 定义与命题 (2)

6·2定义与命题

1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.

定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”

等不能在定义中出现.

2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.

正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.

疑问句不是命题.图形的作法不是命题.

每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.

注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.

我们把正确的命题称为真命题（T），不正确的命题称为假命题（F）

3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.

除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.

4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.

例1. 下列语句哪些是命题.

（1）北京是中华人民共和国的首都.

（2）白色的墙.

（3）过直线l外一点作l的垂线.

（4）经过平面内的两点，有且只有一条直线.

【解析】

（1）命题，这是一个判断语句。

（2）不是。

（3）不是，这是作图语句，不是判断句。

（4）命题，经过两点可以画一条直线，也只能画一条直线，因此两点是条件，确定一条直线为结论，这也是判断语句。

点评：判断一个语句是否为命题，关键是看其是否为判断句。

2. 把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。

（1）两直线平行，同位角相等

（2）垂直于同一直线的两直线平行.

【解析】

（1）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等.

（2）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行.

3. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题.

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角.

（2）如果a＞b，那么ac＞bc.

（3）如果两个三角形相似，那么它们的对应高的比等于相似比.

（4）因为全等三角形的面积相等，那么面积相等的三角形是全等三角形.

【解析】

（1）假命题，因为全等三角形对应角相等，相似三角形的对应角相等，两直线平行同位角内错角相等，还有度数相等的两个角相等，所以相等的角不一定是对顶角.

（2）假命题，因为从a＞b到ac＞bc，在不等式两边同乘以c，而不知道c＞0，c ＝0还是c＜0，当c≤0时得出的结论就不成立.

（3）真命题，在说两个三角形相似的条件下，可证得一组对应的角相等，再加上对应高得到直角，就可以得到一组对应三角形相似，从而对应高之比等于相似比.

（4）假命题，因为全等三角形的面积相等不能作为判定两个三角形全等的条件，所有等底（同底）等（同）高的三角形面积都相等.

点评：真命题一般是指公理和经过论证的定理，可作为推理的依据，而假命题是不成立的命题，往往有不成立的例子，举一个反例说明一下即可.

4. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：

（1）a∥b，（2）b∥c，（3）a⊥b，（4）a∥c，（5）a⊥c，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_______________.

【解析】

由（1）a∥b，（2）b∥c为条件，可推断（4）a∥c.

点评：此题为其中两个推断为条件，另三个推断中的一个为结论可以组成30个命题，但只有6种情况的命题是真命题.