用最小二乘法求线性回归方程

最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求

解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值等．破解此类问题的关键点如下：

①析数据，分析相关数据，求得相关系数r，或利用散点图判断两变量之间是

否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造

线性相关关系．

②建模型．根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型．

③求参数．利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出b，a，的值．从而确定线性回归方程．

④求估值．将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中，即可求得y

的预测值．

注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本点的中心（x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归直线

方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实值．

经典例题：

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线

性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1,2.，……，17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变

量的值依次为）建立模型②：y=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

思路分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.

解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在

直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性

模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性

增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较

好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得

到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模

型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的

增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

总结：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过中心点求参数.

线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相

互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。线性方程不难，公式会直接给出，有时会出现在选择题，这部分难度同样是在于计算，刚开始学这部分知识的时候很多同学没有耐心计算，其实很简单的列个表格算就行了

某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为5/6，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：

考点分析：

线性回归方程．

线性回归方程是高考新增内容，主要考查散点图、变量间的相关关系的判断以及线性回归方程的求法。

题干分析：

（1）由题意得到2×2列联表，由公式求出K2的观测值，对比参考表格得结论；

（2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数w的解析式，求出w（x）的最大值以及对应的x的值．

解题反思：

高考对线性回归方程的考查力度逐步增加，以前只有很少题型出现，但在近几年高考试题中就很常见了，逐渐成为高考数学热点问题之一，由此可以看出这部分知识的重要性了。

3.(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间

有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i

＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )

A.160

B.163

C.166

D.170

解析 由已知得x ＝22.5，y ＝160，

∵回归直线方程过样本点中心(x ，y )，且b

^＝4， ∴160＝4×22.5＋a

^，解得a ^＝70. ∴回归直线方程为y ^＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^＝166.故选C.

(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.

①由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；

②建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：