信号与系统-第三章 连续信号与系统的频域分析

3.1 周期信号分解为傅里叶级数
周期信号的表达式
f (t ) f (t nT )
n为整数
T 为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。 2 ，为该信号的角频率。 0 T 周期分别为 T1 , T2 的两个周期信号相加，当 T1 , T2 之间存在最小公倍数 T 时，所得到的信号仍然为周期信 号，其周期为T 。 即T=n1T1 =n2T2 ，其中 n1 和 n2 为整数，或者说 n2/n1 为有理数。
代入三角形傅氏级数，有
an jbn jn 0t an jbn jn 0t f ( t ) a0 e e 2 2 n 1 n 1

F0 Fn e jn 0t F n e jn 0t
n 1 n 1


式中
an jbn an jbn Fn , Fn Fn 2 2 是一对关于变量 n0 的共轭复数，

T


T 2
f (t )e jn 0t dt
注意：指数型和三角型 傅里叶级数中，n 的取 值范围不同。
物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐 波分量之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB 返回
例：试将图示周期矩形脉冲 信号 f (t )展开为(1)三角型和 (2)指数型傅里叶级数。
4.当 f (t ) 是实偶函数时，则 Fn是实偶函数； 当 f (t ) 是实奇函数时，则 Fn 是虚奇函数。 （利用 《信号与系统》 SIGNALS AND SYSTEMS Fn的计算公式可以证明）
ZB
指数型和三角型傅里叶级数系数之间的关系
Fn Fn e
j n
1 1 (an jbn ) An e j n 2 2
(n 0)
1 1 Fn An an 2 bn 2 2 2 bn n n arctg a ( n 0) n F0 a0 A0 ( n 0)
f (t )
Fn
n T 1 2
jn 0 t F e n
n n n
2 Fn
cosn0t Fn
n
Fn 和Fn 互为共轭复数，有 3.当 f (t )是实周期信号时，
Fn F n , n n ; Rn R n , I n I n 即傅里叶复系数 Fn 的模和实部是 n0 的偶函数；Fn 的相角和虚部是 n0 的奇函数。
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作业
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连续信号与系统的频域分析概述 返回
实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号
之和
– – – –
这一认识来源于对波形的观察，物理意义明确。 正弦信号是最常见、最基本的信号。 正弦信号便于产生、传输和处理。 线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应 仍是同一频率的正弦信号。 – 三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。
3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱
Fn Fn e j n Rn jI n 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
注意： 1. F0 a0 A0 为直流分量，一般情况下要单独计算。
2.负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意 义。F e jn0 t F e jn0 t F eFn e jn0 t F eF n e jn0 t
A
f (t )


T


2 2
T
t
解： (1) f (t )是偶函数，故只含有常 数项和余弦项。
1 2 2 2 A a0 f (t )dt Adt T T 0 T 2


2 an T


2


2
4 2 f (t ) cosn 0tdt A cosn 0tdt T 0
ZB
信号波形的对称性与傅氏系数的关系 1. 偶函数： f ( t ) f ( t ) ，则 只含有常数项和余弦项。
f (t )
...
0
...
t
2 a0 T
4 an T
bn



T 2
f ( t ) dt
偶函数在对称区间内 积分为半区间积分的 两倍。
0
T 2 f ( t ) cosn tdt 0 0
A cos(n t )
n 0 n n 1


n


Fn e jn0t
n


Fn e j ( n 0t n )
说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅 里叶系数 An或 Fn 反映了不同谐波分量的幅度， n 或 n 反 映了不同谐波分量的相位。 频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域 角度反映了该信号携带的全部信息。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
SIGNALS AND SYSTEMS
信号与系统
第三章 连续信号与系统的频域分析
南京邮电大学 信号分析与信息处理教学中心
2017.9
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
第三章 连续信号与系统的频域分析

连续信号与系统的频域分析概述 3.1 周期信号分解为傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱 3.5 一些常见信号的频域分析 3.6 傅里叶变换的性质及其应用 3.7 相关函数与谱密度 3.8 连续系统的频域分析 3.9 信号的无失真传输和理想滤波器 3.11 取样定理 本章要点 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS

T 2 T 2
f 源自文库t )e
jn0t

1 dt T


2


2
Ae jn0t dt
Ae T jn0
jn 0t

2


2
n0 n0 sin( ) sin( ) 2A A 2 2 n0 T n 0 T 2
sin x 令 Sa ( x) 称为抽样函数或取样函数 x
1
Sa( x )
2 2
x
1 3. 随着 x 增大，Sa( x )的振幅按 的规律衰减，并趋于零 。 x
4. 过零点： ， 2， 3，
5.



Sa( x )dx
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
3.3 周期信号的频谱
f (t ) A0
傅里叶变换 揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特 性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解 傅里叶变换的性质。 频谱分析 直观、方便地从另一个角度来认识信号。
频域分析法
求解系统在任意信号激励下的零状态响应。
SIGNALS AND SYSTEMS ZB 其它《信号与系统》 频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等
2 2
T1 解：T1 , T2 , 2为有理数，故f 3 (t )是周期信号， 3 2 6 2 T2 2 周期为 。 《信号与系统》 SIGNALS AND SYSTEMS ZB 3 2
3.1.1 三角型傅里叶级数
以 T 为周期的周期信号 f (t )，若满足狄里赫勒条件：
(1) 在一个周期内只有有限个不连续点； (2) 在一个周期内只有有限个极大值、极小值；


Fn e jn 0t
考虑到 F0 Fn e
jn0t
n 0
，于是 f ( t )
n
这就是指数型傅里叶级数，其系数
1 Fn T

T 2 T 2
f (t )e jn 0 t dt
n 0, 1, 2,

一般情况下， Fn是关于变量 n 0 的复函数，称为指数 型傅里叶级数的复系数，可写成
T 2 T 2
(3) 在一个周期内绝对可积，即

f ( t ) dt
则可以展开为三角型傅里叶级数
n 1
f (t ) a 0 (a n cos n 0 t bn sin n 0 t )
其中
1 a 0 f (t )dt T T 2 an f (t ) cosn 0tdt T T
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例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号， 试计算其周期。 2 7 (1) f1(t ) 2 3 cos( t 1 ) 5 cos( t 2 )
T1 2 7 解： 为有理数，故f1(t )为周期信号。 T2 1 4 其周期T是T1, T2的最小公倍数 12。
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而 F0 a0 A0 是实数。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS 返回
f (t ) F0

n 1

Fn e jn 0t

n 1

F n e jn 0t F0

n 1

Fn e jn 0t
n 1
jn 0 t F e n

n 1,2,
2 bn f (t ) sin n 0 tdt n 1,2, 《信号与系统》 SIGNALS AND SYSTEMS 返回 T T
ZB
2 0 为基波频率，n0为谐波频率，an 和bn为傅里叶系数， T

[]dt表示从任意起始点 开始，取一个周期 T为积分区间。
T 2
2 f (t ) sin n0tdt 0 奇函数在对称区间内 T T 《信号与系统》 SIGNALS AND 积分为零。 SYSTEMS ZB
2
2. 奇函数： f ( t ) f ( t )，则 只含正弦项。
f (t )

0
t
2 a0 T
2 an T
4 bn T


T 2 T 2 T 2
T 2
f (t )dt 0



f (t ) cosn0tdt 0
f ( t ) sin n 0tdt
ZB
T 2
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0
3. 偶谐函数： f (t ) f (t T ) ，则 只含偶次谐波。
2
周期本来就是T/2 。
f (t )
...
0
T 4 T 2
...
T
t
4. 奇谐函数： f (t ) f (t T ) ，则 只含奇次谐波。
2
f (t )
...
T 2
T
...
0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
T 2
t
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3.1.2 指数型傅里叶级数
由欧拉公式
sin n0t 1 jn 0t 1 jn 0t jn 0t jn 0t e e , cos n t e e 0 2j 2
A n0 jn 0t f (t ) Fn e Sa( )e T 2 n n 《信号与系统》 SIGNALS AND SYSTEMS ZB
jn 0t




抽样函数
sin x Sa ( x ) x
1. 偶函数
sin x 2. Sa(0) lim 1 x 0 x
T1 解：T1 , T2 2, 为无理数，故f 2 (t )不是周期信号。 T2 2
3
6
(2) f 2 (t ) 2 cos( 2t 1 ) 5 sin( t 2 )
(3) f 3 (t ) 3 cos(3 2t 1 ) 7 cos(6 2t 2 )
T
因为 an cosn0t bn sin n0t An cos(n0t n )
所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式
f (t ) A0
A cos(n t )
n 0 n n 1

其中
A0 a0
直流分量
An an 2 bn 2 n次谐波振幅 bn n arctg( ) n次谐波初相 an 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS


4A n 0 2A n 0 sin( ) sin( ) n 0T 2 n 2
f (t )
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A T
n 1

2A n sin( 0 ) cosn 0t n 2
ZB
(2) 指数型傅立叶级数
1 Fn T