(高中数学人教A版 必修第一册)3.2.2双曲线的简单几何性质 教学课件

y2 b2
1
a
0, b
0
c2 a2 b2
图象
y
M
y p
F1 0 F2
x
F1
0
F2 x
范围 对称性
顶点
离心率 渐近线 准线
x a, y b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
e c 0 e 1
a
无
x a2 c
1，相应于焦点F (c，0)的准线方程是x
a2 c
.
根据双曲线的对称性，相应于焦点F'(c，0)的准线方程是x a2 .
c
双曲线的第一定义：
| | MF ' | | MF | | 2a (2a | F ' F |)
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程 y kx m 与双曲线的方程
x2 a2
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条 定直线l 的距离的比是常数e (e 1)，则 这 个 点 的 轨 迹 是 双 曲 线. 定 点 是 双 曲 线 的 焦 点 ，定 直 线 叫 做 双 曲 线 的 准 线 ， 常 数e是 双 曲 线 的 离 心 率.
对于双曲线x2 a2
y2 b2
a2 b2
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是 x2 m2
c2
y2 m2
1.
小结
椭圆
双曲线
方程
ａ、b、c 关系
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
c2 a2 b2
x2 a2
双曲线标准方程： 双曲线性质：
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y2 a2
x2 b2
1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
*4.渐近线方程：y a x
5.离心率：
e
c
b
1
a
B1 o B2 x A1
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
y N(x,y’) Q
a
（它2）与等y轴 ba双x的曲位线置x关2 系y: 2 m
b B2
M(x,y)
(m在y0b)的x的渐下近方线为
a
A1
A2
o a
x
它与yy b
x
x的位置的变化趋势
:
（3）利用渐a 近线可以较准确
的画出慢双慢曲靠线近的草图
B1
ybx
ybx
a
a
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设 x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
叫做双曲线的虚轴，它的长
为2b,b叫做双曲线的虚半 轴长 （3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
（1双）y 曲ba的 线双渐在曲x2近线 第线ax一a222为象(yxby限22 内0)b1部(xa
分的方程为
0, b 0)
双曲线焦点在y轴上
当λ =0时,
即为双曲线的渐近线方程
共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样 得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的 焦点在同一圆上。
2）如何确定双曲线的共轭双曲线？ 将1变为-1
18
例题讲解
例:求下列双曲线的标准方程：
关于x、y轴对称，
关于原点对称
A1(0,-a)、A2(0,a)、 B1(-b,0)、B2(b,0)
复习2 双曲线的标准方程
形式一：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二： y2 x2 1(a 0,b 0)
a2 b2
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））
其中 c2 a2 b2
问题1：
类比椭圆几何性质的研究方法，我
们根据双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
得出双曲线的范围、对称性、顶点等几
何性质？
课堂探究
一、研究双曲线
1、范围
x2 a2
1,即x2
a2
x a, x a
2、对称性
的简单几何性质
(-x,y)
y (x,y)
双曲线的简单几何性质
复习1 椭圆的图像与性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
范围 对称性
a xa
b y b
(-a,0) A1
对称轴：坐标轴
顶点 离心率
对称中心：原点 (椭圆的中心)
A1,A2,B1,B2
长轴，短轴
0e c 1 a
F1 (-c,0)
y
B2 (0,b)
(a,0)
A2
o
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4
y2 4
1
法二：巧设方程,运用待定系数法. ⑴设双曲线方程为 x2 y2 ( 0) ,
(3)2 (2
3)2
9 16
9
16
1
4
双曲线的方程为 x2 y2 1 94 4
根据下列条件，求双曲线方程:
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
x a, y R
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
e c e 1
a
ybx a
小结
标准方程 范围
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0)
x a或
x a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1,A2
渐近线 离心率
ybx a
e c 1 a
(c,0) F2
x
B1 (0,-b)
根据的
方程
性质说出
的性质
图
形
范围
A1
F1
y B2 o
B!
A2
F2
x
|x|≤a ; |y|≤b
对称性 顶点
关于x、y轴对称，
关于原点对称
A1(-a,0)、A2(a，0)、 B1(0,-b)、B2(0,b)
离心率
y A2
F1
B1 o
B2 x
F 2 A1
|x|≤b ; |y|≤a
是正三角形，求双曲线的离心率．（ AB 叫做双曲线的通经 AB 2b2 ）
a
解：∵|F1F2|=2c，△ABF2 是正三角形，
∴ | AF1 | 2c tan 30
23 3
c
，|
AF2
|
2
2c tan
30
4 3c，
3
∴|
AF2
|
|
AF1
|
43 3
c
23 3
c
23 3
c
2a
，
∴
e
c a
3．
4.双曲线的渐近线方程是y=±2x，虚轴长是4， 求双曲线的标准方程。
4
3
的轨迹。
.
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
由题意知 | M F | 4
d
3
即 (x 4)2 y2 4 .
|
x-
9 4
|
3
两边平方，并化简得：
l' y l
d .M
.
.
F’ O
F
7x2 9 y2 63 即 x2 y2 1.
9
7
点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2 7的双曲线
a (-x,-y)
oa
x
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2(a,0) 只有两个！
（2）如图，线段
叫做双曲
线的实轴，它的长为2a,a
叫做实半轴长；线段
42
y2 x2 1
44
2
虚半轴长 顶点坐标
2
4 2,0
2 (0,±2)
焦点坐标
6,0
0,2 2
离心率 渐近线
e 3 2 4
y
2 x
4
e 2
y x
应用探 究
【例】已知
F1，F2 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点，
过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，若△ABF2
代入方程1,
得
252 122
5b 12
2
55
b2
B`
25
2
图3.2 10
1,化简得
B
19b2 275b 18150 0.用计算器解得b 25.
所以,
所求双曲线的方程为 x2 144
y2 625
1.
28
例5、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到
定直线 l : x 9 的距离的比是常数 4 ，求点M
双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
等轴双曲线的 离心率e= ? 2 ,
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
法二：设双曲线方程为
x2 y2 1 16 k 4 k
16 k 0且4 k 0
∴ (3 2)2
16 k
22 4k
1
,
解之得k=4,
∴ 双曲线方程为
x2 y2 1
12 8
1、“共渐近线”的双曲线的应用
与 x2 a2
y2 b2
1共渐近线的双曲线系
方程为 x2 y2 ( 0，为参数)，
y2 b2
1 (a
0,b
0) 联立成方程组，消元转化为关于
x
或 y 的一元二次方程，其判别式为Δ．
． (b2 a2k 2 )x2 2a2mkx a2m2 a2b2 0
2
设双曲线的方程为
图 3.2 10
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0,
令点C的坐标为13, y,
则点B的坐标为25, y 55.
因为点B,C 在双曲线上,所以
27
y
252 122
y 552
b2
1,1
132 122
y2 b2
1.
2
C` 13 C
12
x
A` O A
由方程2,
得y
5b 12
负值舍去,
能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？
双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得
x2 a2
y2 b2
0
( x y)(x y) 0 a ba b
x y 0或 x y 0.
ab
ab
y＝ b x a
（记忆双曲线的渐进线方程的方法）
结论：
双曲线 x2 a2
C′
C
12
适 当 的 坐 标 系 ,求 出
A′ 0 A x此 双 曲 线 方 程 ( 精 确
到 1 m ).
B′
25 B
解 如图3.2 102,建立直
角坐标系 xOy,使小圆的直 径AA`在x轴上,圆心与原点
y
C` 13 C
12
x
A` O A
重合.这时, 上、下口的直径
B`
25 B
CC`, BB`都平行于 x 轴 ,且 | CC`| 13 2,| BB`| 25 2.
y2 b2
(
0)
渐近线方程 x2 a2
y2 b2
0.
双曲线
x2 a2
y2 b2
1, (a
0,b
0)
直线y b x叫做双曲线的渐进线. a
例如：
x2 y2 43
1的渐近线为：y
3x 2
x2 y2 1的渐近线为：y x
22
y ybx
a
O
x
y b x a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
x2 y 2 1的渐近线方程为: 4
y x 2
y2 x2 4
1
的渐近线方程为： y
x 2
已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系
如果两条渐近线方程为 x y 0 ,那么双曲线的方程为
ab
x2 a2
y2 b2
,这里λ是待定系数
当λ >0时,
双曲线焦点在x轴上
当λ <0时,
解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
13
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
x2 8 y2 32 x2 y2 4
标准方程 实半轴长
x2 y2 1
32 4
y B2
A1 o A2 x B1
例 4 双曲线型冷却
塔 的 外 形 ,是 双 曲 线
的一 部分绕 其 虚轴
旋 转 所 成 的 曲 面 (图
2 .2 8 1 ) 它 的 最 小
半 径 为 12 m,上 口 半
径 为 13 m ,下 口 半 径
y
13 为 2 5 m , 高 5 5 m .试 选 择
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) 16 4
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)