第二章 函数2-4指数与指数函数

第2章 第4节

一、选择题

1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )

A ．幂函数

B ．对数函数

C ．指数函数

D ．余弦函数

[答案] C

[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠log a x ＋log a y ，a x ＋y ＝a x ·a y ，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.

2．(2010·南充市)若A ＝{x ∈Z |2≤22－x

<8}，B ＝{x ∈R ||x －1|>1}，则A ∩(∁R B )的元素个

数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] C

[解析] 由2≤22－x <8得，1≤2－x <3，

∴－11得，x >2或x <0，

∴B ＝{x |x >2或x <0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩∁U B ＝{0,1}．

3．(文)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系

是( )

A ．a >b >c

B ．a

C ．b

D ．a

[答案] C

[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>1

2>0.3，∴1>a >b ，

又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b

(理)(2010·重庆诊断)设0

B.12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．a 2

2a <0

[答案] B

[解析] 依题意得ab －b 2

＝b (a －b )>0，∴ab >b 2

，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数得，当0⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛121，即12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.

[点评] 可利用a ，b 取值的任意性取特值检验，令b ＝14，a ＝12可得，14>18>116，∴a 2>ab >b 2

，

排除A 、C ；log

1214＝2，log 1212＝1，∴log 12b >log 1

2

a ，排除D ，故选B. 4．(文)(2010·泰安质检)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )

A ．60万吨

B ．61万吨

C ．63万吨

D ．64万吨

[答案] C

[解析] 设年增长率为x ，则由题意知40(1＋x )10＝50，∴(1＋x )10＝5

4，∴2010年的年产

量为40(1＋x )20

＝40×⎝⎛⎭⎫542＝2504≈63万吨．

(理)(2010·安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为1

3

，则？处的关系式是( )

A ．y ＝log 9x

B ．y ＝3x

C ．y ＝3－x

D ．y ＝x 1

3

[答案] B

[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝1

3

，故选B.

5．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的图象可能是( )

[答案] D

[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b

2a

<0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－

b

2a

>0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b

2a >0，且f (0)＝c <0，故

选D.

6．(文)(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．－3

[答案] D

[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.

(理)(2010·辽宁省实验中学)已知函数f (x )＝2x

－1，对于满足0

(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f

⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(4)

D ．(3)(4)

[答案] C

[解析] ∵f (x )为增函数，x 1