新湘教版初中数学八年级下册解题技巧特殊平行四边形中的解题方法

解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题

一、利用对称性求最值【方法10】

1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABD是菱形，A＝8，DB＝6，P，Q分别是A，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．

第1题图第2题图

2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABD内，在对角线A上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．

二、利用面积法求定值

3．如图，在矩形ABD中，点P是线段B上一动点，且PE⊥A，PF⊥BD，AB＝6，B＝8，则PE＋PF的值为________．

【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和

(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．

变式题(1)图变式题(2)图

(2)如图，正方形ABD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝B，点P为线段E上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥B于N，则PM＋PN的值为________．

◆类型二正方形中利用旋转性解题

4．如图，在四边形ABD中，∠AD＝∠AB＝90°，AD＝D，DP⊥AB于P若四边形ABD 的面积是18，则DP的长是__________．

5．如图，在正方形ABD中，点E，F分别在B，D上，∠EAF＝45°求证：S△AEF＝S△ABE ＋S△ADF

6．如图，在正方形ABD中，对角线A，BD交于点O，P为正方形ABD外一点，且BP⊥P，

连接OP

求证：BP＋P＝2OP

参考答案与解析

1.错误!解析：如图，过点Q作QE⊥A交AB于点E，则PQ＝PE∴DP＋PQ＝DP＋PE 当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，

DE最小．∵四边形ABD是菱形，∴A⊥BD，OA＝错误!A＝4，OB＝错误!BD＝3，∴AB＝5∵S

＝错误!A·BD＝AB·DE，∴错误!×8×6＝5·DE，∴DE＝错误!∴DP＋PQ的最小值为菱形ABD

错误!

2．6 解析：如图，设BE与A交于点P，连接BD∵点B与D关于A对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为A与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABD的边长为6，∴AB＝6又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6故所求最小值为6故答案为6

3.错误!解析：∵四边形ABD为矩形，∴∠AB＝90°∵AB＝6，B＝8，∴A＝10，∴OB ＝O＝错误!A＝5如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OP＝S△OB，∴错误!＋错误!＝S△OB，∴错误!＋错误!＝S△OB∵S△OB＝错误!S矩形ABD＝错误!AB·B＝错误!×6×8＝12，∴错误!＋错误!＝12，∴PE＋PF＝错误!

【变式题】(1)错误!解析：∵菱形ABD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD ＝错误!连接AP，则S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴错误!×10(PE＋PF)＝错误!，∴PE＋PF＝错误!

(2)错误!解析：连接BP，过点E作EH⊥B于H∵S△BPE＋S△BP＝S△BE，∴错误!＋错误!＝错误!又∵BE＝B，∴错误!＋错误!＝错误!，即PM＋PN＝EH∵△BEH为等腰直角三角形，且

BE＝B＝1，∴EH＝错误!，∴PM＋PN＝EH＝错误!

4．3 2

5．证明：延长B到点H，使得HB＝DF，连接AH∵四边形ABD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF

6．证明：∵四边形ABD是正方形，∴OB＝O，∠BO＝90°将△OP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝P，∠OBE＝∠OP，∠BOE＝∠OP∵BP⊥P，∴∠BP＝90°∵∠BO＋∠OBP＋∠BP＋∠OP＝360°，∴∠OBP＋∠OP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠PO＋∠POB＝∠BO＝90°，∠BOE＝∠OP，∴∠BOE ＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP∵PE＝BE＋BP，BE＝P，∴BP＋P＝2OP