概率论与数理统计(完整版)ppt课件
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概率论与数理统计课件ppt
简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计课件(完整版)
21
蒲丰投针试验
例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为l ( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
a M
x
22
几何概型的概率的性质
(1) 对任一事件A ,有 0p(A )1;
( 2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对于两两互个 斥事 的 A1,件 A 可 2, 列 , 多 P(A1A2 )P(A1)P(A2)
A -B A AB 显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
10
5.事件的互不相容(互斥):
若 A B,则A 与 称 B 是互不 ,或 相 互 ,即 容 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
AB
A
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且AB， 则A与 称B互 为 逆 事 件
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10对于每 B有 一 ,1P 个 (|A B 事 )0.件
20 P(|A S)1.
30 设B1,B2,两 两 互 不,则 相 容
P( Bi |A) P(B i |A.)
i1
1i jn
P(A i A jAk )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率: ( 1 ) P ( A B ) ( ; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) ( ; ( 4 A B )
蒲丰投针试验
例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为l ( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
a M
x
22
几何概型的概率的性质
(1) 对任一事件A ,有 0p(A )1;
( 2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对于两两互个 斥事 的 A1,件 A 可 2, 列 , 多 P(A1A2 )P(A1)P(A2)
A -B A AB 显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
10
5.事件的互不相容(互斥):
若 A B,则A 与 称 B 是互不 ,或 相 互 ,即 容 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
AB
A
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且AB， 则A与 称B互 为 逆 事 件
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10对于每 B有 一 ,1P 个 (|A B 事 )0.件
20 P(|A S)1.
30 设B1,B2,两 两 互 不,则 相 容
P( Bi |A) P(B i |A.)
i1
1i jn
P(A i A jAk )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率: ( 1 ) P ( A B ) ( ; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) ( ; ( 4 A B )
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计ppt课件
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
*
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
概率论与数理统计教程ppt课件
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
《概率论于数理统计》PPT课件
这里固然有把哪个假设作为原假设从而引起检验结果不同这一原因；除此外还有一个根本的原因，即样本容量不够大．
若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为原假设所得检验结果基本上应该是一样的．否则假设检验便无意义了！
由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95( 17, 12 ) =
拒绝外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.
8.2.4 样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.
8.2 正态总体的参数检验
8.2.1 单个正态总体情况
1. 方差 已知，关于 的检验(u检验法)
(2) 选取检验统计量
~ N(0,1)
(1)
(3) 对给定的显著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使
得拒绝域为
W：
(4) 由样本观察值算出统计量的实测值
假设检验与置信区间对照
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
0
0
（ 2 已知)
（ 2 已知)
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
0
0
0
0
0
若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为原假设所得检验结果基本上应该是一样的．否则假设检验便无意义了！
由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者尽量使后果严重的错误成为第一类错误.
查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,
F0.95( 17, 12 ) =
拒绝外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.
8.2.4 样本容量的选取
虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.
8.2 正态总体的参数检验
8.2.1 单个正态总体情况
1. 方差 已知，关于 的检验(u检验法)
(2) 选取检验统计量
~ N(0,1)
(1)
(3) 对给定的显著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使
得拒绝域为
W：
(4) 由样本观察值算出统计量的实测值
假设检验与置信区间对照
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
0
0
（ 2 已知)
（ 2 已知)
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
接受域
置信区间
检验统计量及其在 H0为真时的分布
枢轴量及其分布
原假设 H0
备择假设 H1
待估参数
0
0
0
0
0
概率论与数理统计 课件
05
多元统计分析
多元正态分布
01
多元正态分布的定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 联合分布，其概率密度函数是多元高 斯函数。
02
多元正态分布的性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、最大似然估计等性质。
03
多元正态分布的应用
在多元统计分析中，多元正态分布被 广泛用于描述多维数据的分布特征， 例如在回归分析、主成分分析、因子 分析等中都有应用。
正态分布与指数分布
正态分布
一种常见的连续概率分布，其概率密 度函数呈钟形曲线，对称轴为均值， 形状由标准差决定。
指数分布
描述随机事件在单位时间内发生的次 数，其概率密度函数为指数函数。
均匀分布与对数正态分布
均匀分布
在一定区间内随机变量取值的可能性相等，其概率密度函数 为常数。
对数正态分布
描述随机变量取值的对数服从正态分布的情况，其概率密度 函数在对数尺度上呈正态分布。
因子分析
因子分析的定义
因子分析是一种探索性 统计分析方法，通过寻 找隐藏在数据中的公共 因子来解释变量之间的 相关性。
因子分析的步骤
包括确定因子个数、因 子旋转、因子得分计算 等步骤。
因子分析的应用
在多元统计分析中，因 子分析被广泛应用于市 场细分、顾客满意度分 析、社会问题研究等方 面。
06
随机过程与时间序列分析
描述随机变量取离散值的概率规 律。
02
离散概率分布的特 点
随机变量取值有限或可数，概率 质量函数定义了每个可能取值的 概率。
03
离散概率分布的表 示方法
列表法、图示法、概率质量函数 。
二项分布与泊松分布
1 2
《概率论与数理统计》课件
n
XXXX大学
单选题 1分
下列对古典概型说法正确的个数是 ( )。 A ①试验中可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
B ③若基本事件总数为n ，事件 A 包括 k 个基本事件，则P(A) = k n ；
④每个基本事件出现的可能性相等。 C A. 0
B. 1 C. 2 D D. 3
柯尔莫哥洛夫
概率的公理化定义
概率的性质
频率方法：
频率= nA n
概率=频率的稳定值
Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加
Ⅰ.P( ) = 0 ； Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.对
立事件概率Ⅳ.减法公式； Ⅴ加法公式
概率
三种计算方法
几何方法：一维线段的长度；
二维区域的面积； 三维立体的体积.
古典方法：
Ⅰ .随机试验中只有有限个可能的结果；
AB
A
B
A = (A− B) + AB 显然A− B与AB互斥
2
P(A) = P(A− B) + P(AB)
P(A− B) = P(A) − P(AB)
B 仁 A，则P(A− B) = P(A) − P(B). 显然P(A) > P(B)
1.3.2概率的公理化定义及其性质
P( ) = 0;
A1 , A2 , , An
A
B. P(AB) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) C. P(AB) = P(A)P(B)
B
D. P(A− B) = 0
C
P(A− B) = P(A) − P(AB) ，排除选项 A。
D
1− P(A) − P(B) + P(AB)=P(A) −1+ P(B) + P(A B)
XXXX大学
单选题 1分
下列对古典概型说法正确的个数是 ( )。 A ①试验中可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
B ③若基本事件总数为n ，事件 A 包括 k 个基本事件，则P(A) = k n ；
④每个基本事件出现的可能性相等。 C A. 0
B. 1 C. 2 D D. 3
柯尔莫哥洛夫
概率的公理化定义
概率的性质
频率方法：
频率= nA n
概率=频率的稳定值
Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加
Ⅰ.P( ) = 0 ； Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.对
立事件概率Ⅳ.减法公式； Ⅴ加法公式
概率
三种计算方法
几何方法：一维线段的长度；
二维区域的面积； 三维立体的体积.
古典方法：
Ⅰ .随机试验中只有有限个可能的结果；
AB
A
B
A = (A− B) + AB 显然A− B与AB互斥
2
P(A) = P(A− B) + P(AB)
P(A− B) = P(A) − P(AB)
B 仁 A，则P(A− B) = P(A) − P(B). 显然P(A) > P(B)
1.3.2概率的公理化定义及其性质
P( ) = 0;
A1 , A2 , , An
A
B. P(AB) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) C. P(AB) = P(A)P(B)
B
D. P(A− B) = 0
C
P(A− B) = P(A) − P(AB) ，排除选项 A。
D
1− P(A) − P(B) + P(AB)=P(A) −1+ P(B) + P(A B)
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
相关主题
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可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2)AB
A B
(3)A B
.S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
对偶律: A B A B;
A B AB.
证明 对偶律.
.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基. 本事n件总数 15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集. (2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算: P(A)SA 中 中的 的基 基本 本事 事 kn件 件总 数
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
.
4
.
19
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其中 m()是样本空间,m 的 (A)度 是量 构成事 A 件 的子区域的 )这度样量借助于几量 何来 上合 的理 度 规定的概率 几称 何为 概 . 率
A的 对 立 事A件 .若A与 记B互 为为 对 立 事 件 A， B, 或BA.
B A
S
BA
.
12
7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A .
结合律: A(BC)(AB )C; A(BC)(AB )C.
分配律: A(BC )(AB)(AC ); A(BC )(AB)(AC ).
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
.
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB.
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
.
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
.
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
.
10
5.事件的互不相容(互斥):
若 AB,则A 称 与 B 是 互 不 ,或 相 互 容 ,即 斥
A 与 B 不能同 . 时发生
B
A B
A
.
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且A B，则A称 与B互为逆事件
为对立.事 即:在 件一次实 , 事 验件 A中 与B中必然有 个 发,且 生仅 有 一.个 发 生
.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为