计量经济学教程(赵卫亚)课后答案

第二章 回归模型思考与练习参考答案

2.1参考答案

⑴答：解释变量为确定型变量、互不相关（无多重共线性）；随机误差项零的值、同方差、非自相关；解释变量与随机误差项不相关。

现实经济中，这些假定难以成立。要解决这些问题就得对古典回归理论做进一步发展，这就产生了现代回归理论。

⑵答：总体方差是总体回归模型中随机误差项i ε的方差；参数估计误差则属于样本回归模型中的概念，通常是指参数估计的均方误。参数估计的均方误为

MSE ()i i b b ˆ=E ()2

ˆi

i b b -=D ()i b ˆ=()[]ii

u 1

2-'χχσ

即根据参数估计的无偏线，参数估计的均方误与其方差相等。而参数估计的方差

又源于总体方差。因此，参数估计误差是总体方差的表现，总体方差是参数估计误差的根源。

⑶答：总体回归模型 ()i i i x y E y ε+=

样本回归模型i i i e y

y +=ˆ i ε是因变量y 的个别值i y 与因变量y 对i x 的总体回归函数值()i x y E 的

偏差；i e 为因变量y 的观测值i y 与因变量y 的样本回归函数值i y

ˆ的偏差。 i e 在概念上类似于i

ε，是对i ε的估计。

对于既定理论模型，OLS 法能使模型估计的拟和误差达最小。但或许我们可选择

更理想的理论模型，从而进一步提高模型对数据的拟和程度。

⑷答：2R 检验说明模型对样本数据的拟和程度；F 检验说明模型对总体经济关系的近似程度。

()

()()

k

k n R

R

k n Model

Total

k

Model k

m Error k Model F 1

1112

2--∙

-=

---=

--=

由

2

>∂∂R

F 可知，F 是2R 的单调增函数。对每一个临界值∂F ，都可以找到一个2

∂R 与之对应，当2

2∂>R R 时便有∂>F F 。

⑸答：在古典回归模型假定成立的条件下，OLS 估计是所有的线形无偏估计量中的有效估计量。

⑹答：如果模型通过了F 检验，则表明模型中所有解释变量对被解释变量的影响显著。但这并不说明多个解释变量的影响都是显著的。建模开始时，常根据先验知识尽可能找出影响被解释变量的所有因素，这样就可能会选择不重要的因素作为解释变量。对单个解释变量的显著性检验可以剔除这些不重要的影响因素。 ⑺答：考虑两个经济变量y 与x ，及一组观测值(){},,2,1,,n i y x i i =。

若假定这两个变量都是随机的，要确定相关关系的存在性及相关程度，则相应的统计分析就是相关分析。

若假定两变量一为随机变量一为确定变量，则相应的统计分析就是回归分析。回归分析以随机变量为因变量而确定型变量为自变量，研究自变量对因变量的影响，对因变量值进行预测。 相关分析是回归分析的基础，进行回归分析之前，通常要检验自变量与因变量间、自变量与自变量间是否存在相关关系。

2.2参考答案

答：考虑一元线形回归模型

,i i i bx a y ε++= I=1,2,……,n

根据古典回归模型的假定，我们有：0)(=i E ε；

0)(,=J I E εε， j i ≠； 2

)(σε=i D 。 从而

①i i i i bx a E bx a y E +=++=)()(ε

②2)()()(σεε==++=i i i i D bx a D y D

③0),()])([(),(==--=j i j j i i j i E Ey y Ey y E y y Cov εε 2.3参考答案

答：对于样本回归模型e B x y +=ˆ，使用OLS 法求解B

ˆ的微分极值条件为0='e x 。展开X 矩阵，有

,,1[1x e x ='…,0]='e x k

①0

111121='=⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑

e e e

e e n i ②0)(ˆˆ)ˆ(ˆˆˆˆˆ2121=''=''='='=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡'

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑

e x B e x B e B x e y e e

e y

y

y e y

n n i i

2.4 参考答案

答：注意区分模型与函数、总体与样本。

模型是满足某些假设条件的方程；样本是来自总体的随机抽样。

总体回归模型：i i i i i bx a x y E y εε++=+=)( 总体回归函数：i i bx a x y E +=)(

样本回归模型：i i i i i e x b a e y y ++=+=ˆˆˆ 样本回归函数：i

i x b a y ˆˆˆ+= 因此，⑵⑷⑺正确。

2.5 参考答案

证：设有一元样本回归模型形式如下：

e x b b e y y ++=+=1

10ˆ1ˆˆ 令1110

'-

=n

I M

n ，则0

M

为离差幂等阵，并且有010=M 和e e M =0。

由)ˆ()ˆ1ˆ(ˆ1

1011000x b M x b b M y M =+=，从而 回归模型的判定系数为

y

M y x M x b y

M y b x M b x y

M y y M y R 0

1

1

210

1

0110

02

)ˆ()ˆ()ˆ(ˆˆ''=''=

''=

y 与x 的相关系数为

2

10

1011

10121010101210101012

10

10101][ˆ

][ˆ][)ˆ(][1y M y x M x b x M x y M y x M x y M x y M y x M x e y M x y M y x M x y

M x r yx '''='''=''+'='''=

进而 y

M y x M x b r yx 0

10

12

1

2)ˆ()(1

''=

因此 22)(1

R r yx = 证毕。

注意：证明过程中隐含了OLS 法求解的微分极值条件

[]01

1='

='e x e x 。 于是，有

e e e n e e n I e M n =-='-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'-=0)1(11

1110

0101='='

e x e M x