2017江苏高考中的圆锥曲线(解答题型 )

x1＋y1＝1， 9 4 因为点 A，B 在椭圆上，所以 2 2 x2 y2 ＋ 4 ＝1， 9
2 2 2 x2 － x y － y 1 2 1 2 减得 9 ＋ 4 ＝0，
2
2
两式相
2 y1－y2 y1＋y2 y2 － y 4 1 2 所以 kAB· kOP＝ · ＝ 2 2＝－9. x1－x2 x1＋x2 x1－x2
2 4 k 3k 1 x － y＋ ＝－ 2 2 . 3 ＋ 4 k k 3＋4k
1 k 在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝ . 2＝ 3＋4k 3 k ＋4k 3 3 当 k<0 时，k ＋4k≤－4 3；当 k>0 时，k＋4k≥4 3. 3 3 所以－ 12 ≤y0<0 或 0<y0≤ 12 .
得(x，y)＝(x1，y1)
2 2 2 2 2 故 4x2 ＋ 9y2 ＝ 4(x 2 1 ＋ λ x 2 ＋ 2λx1x2) ＋ 9(y 1 ＋ λ y 2 ＋ 2λy1y2) ＝ 2 2 2 2 2 (4x 2 1 ＋ 9y 1 ) ＋ λ (4x 2 ＋ 9y 2 ) ＋ 2λ(4x1x2 ＋ 9y1y2) ＝ 36 ＋ 36λ ＋
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则由椭圆的定义，PF1＋PF2 为定值， 又因为 c＝ 2 52－ 102＝ 10， 因此两焦点的坐标分别为 F1(－ 10，0)、F2( 10，0)．
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x2 y 2 2 ． 已知椭圆 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0) 的左 、 右焦点分别为 a b 2 F1、F2，离心率为 ，P 是椭圆上一点，且△PF1F2 面积 2 的最大值等于 2. (1)求椭圆的方程； (2)过点 M(0,2)作直线 l 与直线 MF2 垂直，试判断直 线 l 与椭圆的位置关系； (3)直线 y ＝2 上是否存在点 Q，使得从该点向椭圆所 引的两条切线相互垂直？若存在，求点 Q 的坐标；若不 存在，说明理由．
2
(2)由题意知 D(0，－2)，设直线 l 的斜率为 k， 当 k＝0 时，显然－2<t<2； 当 k≠0 时，设直线 l：y＝kx＋t， y x ＋ ＝1， 联立12 4 y＝kx＋t， 消去 y 得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0， 由 Δ>0 可得，t2<4＋12k2.① 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ 的中点为 H(x0，y0)，
2 2
x1＋x2 －3kt t 则 x0＝ 2 ＝ ，y ＝kx0＋t＝ ， 1＋3k2 0 1＋3k2
3kt t － ， ∴H 1＋3k2 1＋3k2.
1 ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－k . t ＋2 1＋3k2 1 2 ∴ ＝－ ，化简得 t ＝ 1 ＋ 3 k ，② k 3kt － 2－0 1＋3k 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
解：(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1. 1 因为椭圆 C 的离心率为2， 所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1. (2)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0. 当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)．
圆锥曲线综合
江苏省泗洪中学 周崇亮
热点一
圆锥曲线中的范围问题
与圆锥曲线中范围有关的问题，通常是通过 构造不等式求解．常见的命题角度有： (1)求满足条件的直线斜率范围； (2)求点的坐标范围； (3)求弦长或圆形面积的取值范围等.
命 题 角 度
[例 1]
x y 已知 A 、B、C 是椭圆 M： 2＋ 2＝1(a>b>0) a b
2 2 2 所以 x2 1＋2y1＝4，x2＋2y2＝4，
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2 2 2 故 x2＋2y2＝(x2 ＋ 4 x ＋ 4 x x ) ＋ 2( y ＋ 4 y 1 2 1 2 1 2＋4y1y2) 2 2 2 ＝(x2 1＋2y1)＋4(x2＋2y2)＋4(x1x2＋2y1y2)
y＝kx－1， 2 由x y2 4 ＋ 3 ＝1，
消去 y 并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0， 8k2 则 x1＋x2＝ 2. 3＋4k 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 线段 MN 的中点为 Q(x3， y3)， x1＋x2 －3 k 4k2 则 x3＝ 2 ＝ ，y ＝k(x3－1)＝ . 3＋4k2 3 3＋4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设 kOM，kON 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题意知， y1y2 1 kOM· kON＝x x ＝－2，因此 x1x2＋2y1y2＝0， 1 2 所以 x2＋2y2＝20， x2 y2 所以 P 点是椭圆 ＋ ＝1 上的点，设该椭圆 2 52 102 的左、右焦点为 F1、F2，
y＝kx－m＋2， 2 由x y2 4 ＋ 2 ＝1
消去 y，整理得
(1＋2k2)x2－4k(mk－2)x＋2(mk－2)2－4＝0， ∵Δ＝16k2(mk－2)2－4(1＋2k2)[2(mk－2)2－4]＝0， ∴(m2－4)k2－4mk＋2＝0.(*)
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2
2
上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆的中 心，且∠OCA ＝90° ，|BC|＝2|AC|. (1)求椭圆 M 的方程； (2)过点(0，t)的直线(斜率存在) 与椭圆 M 交于 P、Q 两点，设 D 为 椭圆与 y 轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数 t 的取 值范围．
2λ(4x1x2＋9y1y2)．
2 2 x y 所以 4x2＋9y2＝36＋36λ2，即 ＋ ＝1， 9＋9λ2 4＋4λ2
x2 y2 所以点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的点． 9＋9λ2 4＋4λ2 设该椭圆的左、 右焦点分别为 M， N， 则由椭圆的定义 PM ＋PN＝18 得 18＝2 9＋9λ2，所以 λ＝± 2 2， 所以 M(－3 5，0)，N(3 5，0)． 即存在符合题意的 λ＝± 2 2，M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
[师生共研]
2 a ＝9 5， 5 c (1)由题设可知 5 c ＝3. a
所以 a＝3，c＝ 5. 又 b2＝a2－c2，所以 b2＝4. x2 y2 所以椭圆的标准方程为 9 ＋ 4 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由 得 P(x1＋x2，y1＋y2)．
解题反思： 1.构建等式的方法。（线段长相等) 2.构建不等式的方法（判别式） 3.条件的等价应用。 4.设斜率时应注意的问题（分类思想）。
x2 y 2 1 ． 已知椭 圆 C ： 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0) 的一 个焦 点是 a b 1 F(1,0)，且离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0， y 0) ， 求 y 0 的取值范围．
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解：(1)∵点 P 在椭圆上，∴－b≤yp≤b， ∴当|yp|＝b 时，△PF1F2 面积最大，且最大值为 1 1 |yp|＝2· 2c· b＝bc＝2， 2|F1F2|· 2 2 c 又离心率为 2 ，即a＝ 2 ，
bc＝2， c 2 由 ＝ ， a 2 2 2 2 a ＝b ＋c ，
解得 a2＝4，b2＝c2＝2，
x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 4 ＋ 2 ＝1.
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2 (2)由(1)知 F2( 2，0)，∴kMF2＝ ＝－ 2， － 2 2 2 ∴直线 l 的斜率等于 2 ，直线 l 的方程为 y＝ 2 x＋2.
x ＋y ＝1， 4 2 由 2 y＝ 2 x＋2
4 由|kAB|∈(0，＋∞)得|kAB|＋|kOP|≥2 |kAB· kOP|＝3，当且 2 仅当 kAB＝± 3时取等号．
2 y1－y2 y1＋y2 y2 4 1－y2 (3)因为 kAB· kOG＝ · ＝ 2＝－ ， 9 x1－x2 x1＋x2 x2 － x 1 2 y1y2 4 所以 kOA· kOB＝x x ＝－9，所以 4x1x2＋9y1y2＝0. 1 2
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解：(1)设曲线 C 上动点的坐标为(x，y)，根据已知得 x－ 22＋y2 2 x2 y2 ＝2， 化简整理得 4 ＋ 2 ＝1， 即为曲线 C 的 |x－2 2| 方程． (2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由 得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)， 即 x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2， x2 y2 因为点 M，N 在椭圆 4 ＋ 2 ＝1 上，
设 P(x，y)，则由 ＋λ(x2，y2)＝(x1＋λx2，y1＋λy2)， 即 x＝x1＋λx2，y＝y1＋λy2. 因为点 A，B 在椭圆上， x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 所以 9 ＋ 4 ＝1， 9 ＋ 4 ＝1，
2 2 2 即 4x2 ＋ 9 y ＝ 36,4 x ＋ 9 y 1 1 2 2＝36.
3 3 综上，y0 的取值范围是－ ， . 12 12
热点二 命 题 角 度
圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题是近年来高考中对解析几何考查 的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、 参数等是否存在为主要考查角度，多以解答题形 式考查.
[例 2]
x2 y 2 (2014· 盐城三模)已知椭圆 2 ＋ 2＝1(a>b>0) a b
9 5 5 的右准线 l：x＝ ，离心率 e＝ ，A ，B 是椭圆上 5 3 的两动点， 动点 P 满足 (其中 λ 为常数)．
(1)求椭圆的标准方程； (2)当 λ ＝1 且直线 AB 与 OP 斜率均存在时， 求|kAB| ＋|kOP|的最小值； (3)若 G 是线段 AB 的中点，且 kOA · kOB＝kOG· kAB， 问是否存在常数 λ 和平面内两定点 M，N，使得动点 P 满足 PM＋PN＝18？若存在， 求出 λ 的值和定点 M， N； 若不存在，请说明理由．
Βιβλιοθήκη Baidu 解题反思：
1.变量的选择是点还是直线的斜率。
2.求最值方法-----基本不等式（找和，积是否为定值） 3.体会点在椭圆上的应用。 4.记住一个小结论（点差法推导）
3．已知平面内曲线 C 上的动点到定点( 2，0)和定 2 直线 x＝2 2的比等于 . 2 (1)求该曲线 C 的方程； ，其中 M，N 是 1 曲线 C 上的点．直线 OM 与 ON 斜率之积为－ .问：是否 2 存在两个定点 F1、F2，使得 PF1＋PF2 为定值？若存在， 求 F1、F2 的坐标；若不存在，说明理由． (2)设动点 P 满足
[师生共研]
(1)∵|BC|＝2|A C|且 BC 过点(0,0)，
则|OC|＝|A C|. ∵∠OCA ＝90° ，∴C( 3， 3)． x 2 y2 由题意知 a＝2 3，则椭圆 M 的方程为 ＋ 2＝1， 12 b 3 3 将点 C 的坐标代入得 ＋ 2＝1， 12 b 解得 b ＝4. x 2 y2 ∴椭圆 M 的方程为 ＋ ＝1. 12 4
2 2
消去 y，
整理得 x2＋2 2x＋2＝0，Δ＝(2 2)2－8＝0， ∴直线 l 与椭圆相切．
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(3)假设直线 y＝2 上存在点 Q 满足题意， 设 Q(m,2)． 显 然， 当 m＝± 2 时， 从 Q 点所引的两条切线不垂直， 当 m≠± 2 时，设过点 Q 向椭圆所引的切线的斜率为 k，则切线的方 程为 y＝k(x－m)＋2.
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设两切线的斜率分别为 k 1，k 2，显然 k 1，k 2 是方程(*) 2 的两根，故 k 1k 2＝ 2 ＝－1，解得 m ＝± 2，点 Q 的坐 m －4 标为( 2， 2)或(－ 2， 2)． 因此， 直线 y ＝2 上存在两点( 2， 2)和(－ 2，2)满足题意．