高中数学必修5《基本不等式》教学设计

课 题：
》第一课时（教学设计）
教 材：普通高中课程标准实验教科书（人教社A 版）
数学必修5 第三章3.4节
一、教学分析：
2
a b
+≤
赵爽：弦图
创设情景，体会感知
总结提炼，归纳新知
布置作业，课堂延伸 类比推导，建构新知 联系生活，解决问题 深入探究，开阔视野
教学手段：
借助多媒体平台，运用几何画板、PowerPoint 课件、实物投影整合教学内容，提高课堂效率，同时营造生动活泼的课堂教学氛围；将抽象的数学知识
直观化，促进学生对数学知识的理解和掌握，使学生在学习中体会到成功的喜悦。

授课类型： 新授课。

二、教学基本流程：
三、教学过程设计：
【环节一：创设情景，体会感知】 情景引入：
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。

据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达500多种了。

通过向学生介绍中国古代数学家赵爽证明勾股定理的方法，引导
学生发现赵爽弦图中存在的不等关系，从几何角度直观地引出不等式
()2220,0a b ab a b +≥>>，从而引出本节课的内容。

1.
重要不等式：()222,a b ab a b R +≥∈，当且仅当a b =时，等号成立。

分析：
（1）代数证明：()()2
2
2
2
2
2200
,a b ab a b ab a b a b R +≥⇔+-≥⇔-≥∈，
当且仅当a b =时，等号成立；
（2）代换变形: 当0,0a b >>,a b 得到基本不等式。

2.()0,02
a b
a b +≤>>，当且仅当a b =时，等号成立。

分析：
（1）类比证明：引导学生类比重要不等式的证明方法完成课本基本不等式的推导过程； （2）特征剖析：几何平均数不大于算术平均数；
（3）几何解释：直角三角形斜边上的高不大于斜边的中线长；
（4）思维拓展：课后探究基本不等式的其他几何解释（课本P98探究）。

【环节三：深入探究，开阔视野】 学生探究活动：
暑假是电脑销售的旺季，商家会开展一系列的促销活动吸引顾客，现有两种不同的打折方式：
方式一：甲商家采取的促销方式是在原价打a 折的基础上再打b 折； 方式二：乙商家的促销方式是在原价打
2a b +折的基础上再打2
a b
+折；
其中甲、乙商家的商品原价相同，(),0,10a b ∈。

请问： （Ⅰ）如果你是顾客，你认为在哪个商家购买更合算？为什么？ （Ⅱ）如果你是商家，你会使用哪种打折方式？为什么？ 分析：（1）组织学生分组分角色讨论；
（2）在学生讨论过程中适当引导学生利用具体数据猜想结果； （3）设商品原价为1，则
方式一的商品价格：
1
100
ab 方式二的商品价格： 2
11002a b +⎛⎫
⎪⎝⎭
()0,02a b a b +≤>>可得：2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
【环节四：联系生活，解决问题】 1.例题讲解：
例1：（Ⅰ）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
（Ⅱ）用一段长为36米的篱笆围一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大。

最大面积是多少？ 分析：
（1）设矩形的长为x 米，宽为y 米，则题（Ⅰ）的本质是已知0x >、0y >，且100xy =，求当,x y 为何值时，2()x y +最小。

由
2
x y
+≥易得。

结论1：若两正数的积为定值P ，则它们和的最小值是
（2）设矩形的长为x 米，宽为y 米，则题（Ⅱ）的本质是已知0x >、0y >，且18x y +=，
求当,x y 为何值时，xy
2
x y
+易得。

结论2：（引导学生类比结论）若两正数的和为定值S ，则它们积的最大值是 。

（3）归纳运用基本不等式解最值问题的要点：一正、二定、三相等。

2.模仿练习：
练习1：（课本P100练习2）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
解：设直角三角形的两条直角边分别为,x y ，则0x >、0y >，且
1
502
xy =即100xy =
所以两直角边的和x y +≥20x y +≥， 当且仅当10x y ==时，等号成立
所以两条直角边都为10时，两条直角边的和最小，最小值是20．
练习2：（变式）已知直角三角形的两条直角边之和等于20，两条直角边各为多少时，直角三角形的面积最大，最大值是多少？
解：设直角三角形的两条直角边分别为,x y ，则0x >、0y >，且20x y +=
所以直角三角形的面积2
11222x y xy +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，即1502xy ≤， 当且仅当10x y ==时，等号成立
所以两条直角边都为10时，直角三角形的面积最大，最大值是50． ３.引申思考：
已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，周长最小，最小值是多少？
【环节五：总结提炼，归纳新知】
１．基本不等式的内容，证明方法，几何解释； ２．运用基本不等式解简单的最值问题；
３．渗透数形结合的数学思想。

【环节六：布置作业，课堂延伸】
1.基础训练：
（1）做一个体积为3
32cm ，高为2cm 的长方体纸盒，底面的长与宽各取什么值时，用纸最少？
（2）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少
时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 2.巩固提高：
（1）在面积为定值S 的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ （2）在周长为定值P 的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？ 3. 课外探究：
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为A 。

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么A 并非实际质量。

不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为B 。

有人把两次称得的物体质量“平均一下”，用2
A B
表示物体的质量。

这样的做法，你认为合理吗？
四、板书设计：。