解直角三角形 应用题题型

解直角三角形 应用题题型

一、方程思想

根据题意设适当的未知数，从已知和未知中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解．

例1 如图1，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求缆绳AC 的长（答案可带根号）．

二、数形结合思想

将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路

例2 如图2，A 、B 、C 表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置，AB 、BC 表示连接三个缆车站的钢缆。已知A 、B 、C 所处位置的海拔高度分别为124m 、400m 、1100m ，如图建

立直角坐标系，即A(a ，124)、B(b ，400)、C(c ，1100)，若直线AB 的解析式为y ＝12 x ＋4，直线BC

与水平线BC 1的交角为45°．

⑴分别求出A 、B 、C 三个缆车站所在位置的坐标；

⑵求缆车从B 站出发到达C 站单向运行的距离(精确到1m)．

三、转化思想

抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法．

例3 如图3，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC ＝20米，斜坡坡面上的影长CD ＝8米，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面成30°的角．求旗杆AB 的高度（精确到1米）．（tan26°=0.43

四、建模思想

所谓建模思想就是认真分析题意，将实际问题抽象、转化为数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的．

例4 如图4，MN 表示一段高速公路的设计路线图．在点M 测得点N 在它的南偏东30°的方向．测

得另一点A 在它的南偏东60°的方向；取MN 上另一点B ，在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向．以点A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为某居民区．已知MB=400m ，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？

应用 1测量类

图2

图1 F 图3 E D C B A

例5、如图，小明在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30°，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线CA 与江岸所成的夹角∠ACE ＝60°。根据上述信息，你能测出江宽AD 吗？若能，写出求解过程(结果可保留根号)；若不能，请说明理由。

练6、（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长．练

7、一次数学活动中，小明利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小明在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为（ ）Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米

例8、（2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．

练9、如图，小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道 m ．

B 图1

A

C D

B E F β α

G

A B C 北东

2航行类 练10、如图，某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处，问B 处与灯塔M 的距离是多少海里？

例11、（2011山东济宁，

18， 5分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．上午9时,海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观测到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离？

练12、一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？

练13、问题可变为：如果小岛C 周围 海里内有暗礁，轮船继续向东航行有触礁危险。

练14、再变为：如果轮船行驶时，小岛C 周围 米以内会受到噪音的影响．那么轮船以 海里/时的速度继续向东航行时，岛C 受噪音影响的时间为多少?

3筑坝类

练15、（2011甘肃兰州）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1i=1∶1，则两个坡角的和为 。

练16、一座建于若干年前的水库大坝的背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 横断面如图所示。现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地 种草与栽花 ⑴ 求整修后背水坡面的面积；

⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少．．

需要多少元？

75° 15° 东