度量空间上的绝对连续函数
度量空间中的连续性与收敛性分析
度量空间中的连续性与收敛性分析度量空间是数学中一个重要的概念，它是指一个集合和定义在该集合上的一个度量函数的组合。
在度量空间中，我们可以讨论元素之间的距离、连续性以及收敛性等概念。
本文将对度量空间中的连续性和收敛性进行详细分析。
一、连续性在度量空间中，连续性是一个基本的性质。
一个函数在度量空间中的连续性可以通过以下方式进行定义：定义1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意的x1和x2∈X，只要d(x1,x2)<δ，就有d(f(x1),f(x2))<ε成立，则称函数f在点x∈X处连续。
定义2：若函数f在X的每一个点上都连续，则称函数f在X上连续。
根据上述定义，我们可以看出，一个函数在度量空间中的连续性与其在每个点的局部性质有关。
换句话说，函数f在点x处的连续性要求当x的邻域内的点趋近于x时，函数值也要趋近于f(x)。
二、收敛性在度量空间中，收敛性是另一个重要的性质。
一个数列在度量空间中的收敛性可以通过以下方式进行定义：定义3：设X是一个度量空间，{xn}是X中的一个数列。
若存在一个点x∈X，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛于x。
定义4：若数列{xn}在X中对于任意的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有d(xn,x)<ε成立，则称数列{xn}在X中收敛。
根据上述定义，我们可以看出，数列{xn}在度量空间X中的收敛性要求当n趋近于无穷大时，数列的元素趋近于某个点x。
三、连续性与收敛性的关系在度量空间中，连续性和收敛性是密切相关的。
事实上，连续性是收敛性的一个重要推论。
具体而言，我们有以下定理：定理1：设X和Y分别是两个度量空间，f：X→Y是一个函数。
若函数f在X上连续，且数列{xn}在X中收敛于x，则函数f在点x处的函数值序列{f(xn)}收敛于f(x)。
福建自考2005年4月实变与泛函分析
2005年上半年高等教育自学考试福建省统一命题考试实变与泛函分析初步 试卷(课程代码2012)一、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1．n 维欧几里得空间R n 的基数为 。
2．设A k 2={(x ，y)| 0≤x ≤2k ，0≤y ≤k21}，k=1，2…，A 12+k ={(x ，y)| 0≤x ≤121+k ，0≤y ≤2k+1}，k=0，1，2…，则= 。
3．设E={(x ，y) | x>0，y=sin x1}，则E ′= 。
4．设P 为康托尔集，则= 。
5．设E n ={(x ，y)| 0≤x ≤2–n1，n1<y<2}，n=l ，2，…6．半开闭区间(a ，b 〕可以写成(a ，b 〕= 所以它是G δ型集。
7．填写叶果洛夫定理：设mE <∞，{f n (x)}是E 上一列a ．e ．收敛于一个a ．e ．有限的函数f(x)的可测函数，则 。
8．E 〔f ≥a 〕–E 〔f>a 〕=E 〔__________〕。
10．设P ⊂〔0，1〕表示康托尔集，E=〔0，1〕–P ，则dx xE⎰1= 。
11．设P 为〔0，1〕上的康托尔集，A={(x ，y)| |x|≤1, |y|≤l}E=P ×A ⊂ R 3，则mE =_____. 12．设f n (x)定义在〔0，1〕区间上，n=l ，2，3，4，而且f 1(x)一致连续, f 2(x)满足Lipschitz条件，f 3(x)单调增加，f 4(x)囿变，则可以断言 必绝对连续。
13．设{ f n }是Banach 空间X 上的一列泛函，如果{ f n }在X 的 ，那么{ f n }一致有界。
14．设T 是度量空间(X ，d )到度量空间(Y ，d)中的映照，那末T 在x 0∈X 连续的充要条件为当x n →x 0时 。
15．如果度量空间(X ，d)中每个柯西点列都收敛，那末称(X ，d )是 。
深圳大学 实变函数与泛函分析教学大纲
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向） 3．开设学期：第七学期 4．学时安排：周学时 6，总学时 72 5．学分分配：4 学分
（二）开设目的
《实变函数与泛函分析》是数学分析课程的深化和发展。从内容上看，它将微积分中 区域的面积推广到一般集合的测度，将区域上的黎曼积分推广到可测函数的勒贝格积分； 从研究方法上看，它运用点集分析方法揭露函数的许多深刻性质。通过对实变函数与泛函 分析的学习，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许 多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称 实变函数与泛函分析
课程类别
综合选修
教材名称 实变函数与泛函分析基础
制订人
张文俊
审核人
胡鹏彦
2005 年 4 月修订
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张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
第五章 积分论
教学目的
通过本章的系统学习，使学生理解 Lebesgue 积分的定义，掌握 Lebesgue 积分的基本 性质，Lebesgue 积分的定理（包括这些定理的条件结论），弄懂其证明思路。
主要内容
1. Lebesgue 积分的若干等价定义 2. Lebesgue 积分的初等性质和极限定理(Levi 单调收敛定理，Fatou 引理，
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张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
空间 C、连续函数空间 C[a,b]等都是完备度量空间）；知道完备度量空间的压缩 映射原理；知道一个空间是否完备与它被赋予的度量是密切相关的：C[a,b]在 Lp 范数下是不完备的； 3. 掌握可分空间的定义与基本例子（欧氏空间 Rn、连续函数空间 C[a,b]都是可分空 间）；熟悉可分空间中任意一点都可以通过它的一个确定的可数稠密子集来逼近 的特点；知道不可分空间是存在的：有界数列空间 l∞是不可分空间；知道一个空 间是否可分与它被赋予的度量是密切相关的； 4. 掌握线性空间、线性空间的维数的定义与基本例子（欧氏空间 Rn、可测函数空间
连续函数的性质
连续函数的性质引言连续函数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
连续函数的性质是研究连续函数的一种方法，可以帮助我们更好地理解和运用连续函数。
在这篇文档中，我们将介绍连续函数的性质，以及它的重要性。
连续函数是一类函数，它在某一区间上的定义域内无间断，即函数值在定义域内可以无限接近于某个常数或趋于无穷。
这种特性使得连续函数在建模、预测、优化等问题中起到关键作用。
了解连续函数的性质可以帮助我们分析函数的行为、研究函数的变化趋势以及解决一些实际问题。
通过研究连续函数的性质，我们可以推导出函数的导数、极值、范围等重要信息，从而更好地理解和运用连续函数。
在接下来的内容中，我们将探讨连续函数的性质及其在不同领域中的应用。
通过对连续函数的性质进行深入研究，我们可以更好地理解和运用这一重要的数学概念。
定义连续函数是一种在数学上具有很重要性质的函数。
下面我们来解释连续函数的严格定义和符号表示。
连续函数的严格定义：设函数 f(x) 在区间 (a。
b) 上有定义。
如果对于任意给定的ε。
0，存在一个δ。
0，使得当。
x ∈ (a。
b) 且 |x - x0| < δ时，都有 |f(x) - f(x0)| < ε 成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
符号表示：函数 f(x) 在点 x0 处连续的符号表示为：f(x) |x = x0.连续函数是数学中一类重要的函数类型，具有许多特殊的性质。
下面将概述连续函数的主要性质，包括介值定理、最大最小值定理等。
介值定理介值定理是连续函数的重要性质之一。
对于一个在闭区间[a。
b]上连续的函数f(x)，如果f(a)和f(b)有不同的符号，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数c，都存在a和b之间的某个数x0，使得f(x0)=c。
换句话说，介值定理保证了连续函数在一个闭区间上可以取到所有介于函数值之间的值。
最大最小值定理最大最小值定理也是连续函数的重要性质之一。
证明函数连续的几种方法
证明函数连续的几种方法
本文将介绍几种证明函数连续的方法，包括直接证明法、ε-δ定义法、极限运算法和函数连续性定理法。
1. 直接证明法
直接证明法是最简单的证明函数连续的方法之一。
假设函数f(x)在某一点a处连续，那么我们需要证明对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε。
2. ε-δ定义法
ε-δ定义法是一种比较严谨的证明函数连续的方法。
假设函数f(x)在某一点a处连续，那么对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε。
这个定义中的ε和δ都是任意给定的正数。
3. 极限运算法
极限运算法是一种比较巧妙的证明函数连续的方法。
如果函数f(x)在某一点a处连续，那么当x趋近于a时，f(x)的极限值也应该等于f(a)。
换句话说，lim(x→a) f(x) = f(a)。
这个性质可以用来证明函数在某一点处的连续性。
4. 函数连续性定理法
函数连续性定理法是一种比较高级的证明函数连续的方法。
其中包括了中间值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等定理，通过运用这些定理可以证明函数在某一点处的连续性。
这种方法需要一定的数学基础和技巧，适合于高等数学的学习者。
度量空间中的自列紧集、紧集、连通集与连续映射
由 d x, r r 和 d r, s r s 得 d s, x d r, s d r, x r s r s 。所
以 x N 。同理可得，若 x N ，则 x M 。所以 M N 。
因为集 A 是连通的，所以集合 A \ M N 不空(若空则 M 、 N 分离集 A )。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射 1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。 证明: 设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的自列紧子集。
设 f : A Y 是连续映射,象集为 B f X Y 。设yn 是 B 的序列。对任意
正整数 k，设 yk 的某个原象是 xk A X ，这样得到 X 的序列xn 。因为 X 是自
R 的定义是函数值小于 y0 的自变量集合)。同理，对于任意点 s S ，存在邻域
U s, s 使得U s, s A S 。
对任意点 r R ，s S ，设s s 2 ；设 dr inf d r, s s S ，显然 dr 0
(否则，便不存在不包含 S 的点的邻域)， d r, s s d r, s s 0 。
紧集与连续映射 1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。 证明:
设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的紧子集。设 f : A Y 是连续映射,象集为
B f XY 。
设 B 的一个开覆盖为 G 。任意 S G 是开集，所以对任意 y S ，存在邻域
U y, y S 。对于任意 x f 1 y ( f 1 y 是 y 的原象集)，因为 f : A Y 是连
所以，对任意 r R ，s S 都有 d r, s s dr 4 。对任意 r R ，设r dr 4 。
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
![泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2a560a02cfc789eb172dc87a.png)
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
函数的绝对连续性
函数的绝对连续性第23卷第1期2006年3月江苏教育学院(自然科学版)JournalofJiangsulns/iluteofEducation(NaturalSciences)V o1.23NO.1Mar..2Oo6函数的绝对连续性仇惠玲(江苏教育学院数学系,江苏南京210013)摘要本文先讨论了绝对连续与一致连续的关系,然后分别给出了在闭区间上绝对连续函数的必要件和充分条件,最后用一个例子来说明这些条件的应用.关键词连续;一致连续;绝对连续1一些概念与性质/()在区间,上一致连续意指:对任意的8>O,都存在占>O,对于任意的,X2E,,只要J一}<占,就有J.)-f()}<成立.)在区间,上一致连续意指:对任意的>0,都存在占>0,对于区间,中的任意有限个互不相交的开区间(口.,b),(口,6:),…,(n,6),只要∑.(b一n.)<6,就有l,(b)-y(0){<8成立.从上面的叙述容易看到,若)在区间,上绝对连续就一定有-厂()在区问,上一致连续,但反之不成立,见下例:f(x):J….7/",0<≤【0.=0显然_厂()是[0,1]上的连续函数,所以)在[0,1]上一致连续,但是_厂()在[0,1]不是绝对连续.因为,对任意的正数r/,=2k,取个互不相交的开区间(o,),(,),…,(,),将它们分另Ⅱ记为(n.,b1),(.:,6:),…,(an6),这些区间的长度总和为,但是.耋『f(b.)一l=1++…去=÷所以_厂()在[0,1]上不是绝对连续.下面有必要讨论一致连续函数在什么条件下能成为绝对连续函数.2绝对连续函数的必要件和充分条件先给出绝对连续函数的必要条件定理1若)在[o,6]上是绝对连续函数,则_厂()在[n,6]上几乎处处可导,且f()在[n,6]上是勒贝格可积函数.证明:因为闭区间上的绝对连续函数一定是有界变差函数,而闭区间上的有界变差函数是几乎处处可导的,且导函数是勒贝格可积函数.用上面的必要条件可以较容易来证明例1中的_厂()不是绝对连续函数.因为有):'『c.s+丢sin丢,01/,():jco"'u"【不存在,:0虽然/()在[0,1]上几乎处处存在,但/()在[0,1]上不是勒贝格可积函数.事实上c在[0,1]上可积,但由于J8In__丢sin=号I—彳dt,该积分不收敛,所以-厂()在[0,1]上不是勒贝格可积函数.根据定理1)在[0,1]上不是绝对一10—连续函数.下面给出绝对连续函数的充分条件.定理2若-厂(X)在闭区间[a,b]上是连续(从而一致连续))在[a,b]上除点列{c}外处处可导,其中a<c.<c<…<c<…<b,且f(X)在[o,b]上是黎曼可积函数,则,()在[a,b]上是绝对连续函数.定理2的证明需要用到下面两个引理.,b引理1若_厂()在闭区间[o,b]上是连续,在(n,b)内可导,且,()在[n,b]上是黎曼可积,则有If()dx:Jr(b)-f(o).证明:任取[o,b]上的一个分割T:a=o<l<2<…<=b,我们有b)一a)=(,()一一t))=(.)(.一)其中<;<(i=1,2,…,n).在上式中令llII—O,因为/()在[n,b]上是黎曼可积,所以等式右边∑/(.)(.一一)一』-厂()因此I,()dx=b)一八o),证毕.引理2若)在闭区间[n,b]上是连续)在[a,b]上除点列{C}外处处可导,其中ac,<c<…<c<…≤b,且-厂()在[a,b]上是黎曼可积函数,则有I,()dx=6)一八n).证明:因为点列{c}单调有界,所以{c}有极限.设limc=c0,则n≤c.≤b.由引理1,我们有:I/()dx=,(c.)一n),f,()dx:,(C2)一c),…,f/,()=Cn)一c),…,f()=6)一C0),根据勒贝格积分的可数可加性,有Cl.n一1')dx=)+㈩+..')dx+..'+)dx=…lim(f(Cn)一f(a))+一f(Co)因为)在闭区间[o,b]上是连续,所以liraf(c)=c.).根据上式我们可以得到J/()dx=b)-f(n),证毕.定理2的证明:根据引理2,对任意的,,X2E[o,b],我们有:)一.)=J(￡)dt.因为-厂(X)在[a,b]上是黎曼可积函数,所以由积分的绝对连续性,即:对任意的>0,存在6>0,对于任意的可测集Ac[a,b],只要mA<6,就有fl/()ldx<s成立.因而对于区间[a,b]中的任意有限个互不相交的开区间(a-,b-),(a,b),…,(.^,6),当毫(6.一n)<6时,就有毫l,(6)一口)l=毫l()『≤砉『()dxl=,l()l<占所以)在[a,b]上是绝对连续函数.3一个例子下面我们来讨论函数):xmsin1,O<(m>0),()='(m>0)【0.=0在[a,b]上的绝对连续性.首先,我们容易得到下面的性质:(1)当m>0时)在[n,b]上连续;(2)当m>1时)在[a,b]上可导;(3)当m>2时()在[a,b]上连续关于_厂()的绝对连续性,我们有定理3设,()同上,则有(1)当0<m1时)在[a,b]上连续但不绝对连续;(2)当m>1时)在[o,6]上绝对连续;证明:(1)当0<ms1时,有一l1一iltXm-1sin÷～cos÷10<【不存在,=0在fo,b]上不是勒贝格可积函数,根据定理1可知)在[a,b]上不是绝对连续函数(3)当m>I时,有加【in—1—一m-2.0<s1SlCOSXn一一——.(=0在[a,b]上是黎曼可积函数且满足定理2的其它条件,所以)在[a,b]上是绝对连续函数,证毕AbsoluteContinuityofFunctionQlUHuiling(MathematicsDepartment,JiangsuInstituteofEducation,J,u,Na.jing210013) AbstractInthispaper,first,westudytherelationbetweenabsolutecontinuousfunctionandun iformlycontinuousfunction.Then,wegiveanecessary conditionandasufficientconditionaboutabsolutelycontinuousfunctioninaclosedinterva1. Finally,weusetheseconditiontosolveaproblem. Keywordscontinuousfunction,'absolutelycontinuousfunction,uniformlycontinuousfunc tion(责任编辑胡明)(上接14页)值问题转化为Cauchy问题(二二=g(7Gu)lV"Id广—)+V占(I7Gu1)?Vu—jⅡI(I7nIg)}7G—ZJ7uJ(Ⅱ一,),∈R,t>0,0)=I(),∈R即为本文所求的模型.采用常见的有限差分法在计算机上实现,可以验证文中采用的PDE模型在处理图像降噪和图像分割上具有较好的效果.参考文献1L.Alvarez,P.L.Lions,J.M.Morel,"Imageselectivesmoothingandedgedetectionbynonlin eardiffusionI1".SIAMJ.NumeficMAnalysis,1992,29(3):845～8662Y—MChen,B.C.V emuri,L.Wang,"Imagedenoisingandsegmentationvianonlineardiffusion". ComputersandMathematicswithApplication,2000,39:1313张兆礼,赵春晖,梅晓丹.现代图像处理技术及Matlab实现.人民邮电出版社,2001 AModelinImageProcessingBasedPDEW ANGZhongqian(DepartmentofMathematics,JiangsuInstituteofEducation,Jiangsu,Nanjing210013) AbstractThepaperstudiesatypeofenergyfunetionalswhich0flenoccurredinrecentarticles onPDEimageprocessing.Wereviewtheresearchout?come,thenpresentanEuler—Lagrangeequationbyaccuratecomputation.Thenproposeahighlynonlinearsecond—orderPDEofparabolictype.Keywordsimagedenoising,anisotropicdiffusion,energyfunction,euler-lagrangeequation (责任编辑仇惠玲)一l2一。
连续函数 离散函数
连续函数离散函数连续函数与离散函数连续函数与离散函数是数学中常见的两种函数类型，它们在实际问题中具有不同的应用场景和特点。
本文将分别介绍连续函数和离散函数，并探讨它们在各自领域中的应用。
一、连续函数连续函数是数学中的重要概念，它在实数范围内的每一个点都有定义，并且在这些点上具有连续性。
简单来说，连续函数可以被认为是没有断点或间断的函数。
连续函数的特点是在定义域内的任何两个点之间，都存在中间值。
这意味着无论这两个点有多接近，函数值也会随之接近。
连续函数在数学中有广泛的应用，尤其在物理学和工程学中起着重要作用。
例如，在物理学中，连续函数可以用来描述运动物体的轨迹，通过对轨迹上的点进行函数建模，可以推导出物体的速度、加速度等相关信息。
在工程学中，连续函数可以用来描述信号的变化，如音频信号、图像信号等。
通过对信号的连续函数建模，可以进行信号处理和分析，从而实现各种应用。
二、离散函数与连续函数相对应的是离散函数，它在定义域内只取离散的数值。
简单来说，离散函数是由一系列离散的点组成的函数。
离散函数的特点是在定义域内的某些点之间存在间断，函数值在这些点上发生突变。
离散函数在实际问题中也有广泛的应用。
在计算机科学中，离散函数常用于描述离散的数据结构，如数组、链表等。
通过对数据的离散函数建模，可以进行各种数据处理和算法设计。
在统计学中，离散函数可以用来描述离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
通过对随机变量的离散函数建模，可以进行概率统计和数据分析。
三、连续函数与离散函数的区别与联系连续函数和离散函数在数学中起着不同的作用，它们之间有着明显的区别和联系。
首先，连续函数在定义域内具有连续性，而离散函数在定义域内只取离散的数值。
其次，连续函数可以通过微积分来进行求导和积分，而离散函数则需要通过差分和累加来进行近似计算。
然而，连续函数和离散函数之间也存在联系。
事实上，离散函数可以看作是连续函数的一种特殊情况，当定义域内的点只有有限个或可数个时，连续函数就变成了离散函数。
连续函数的概念
连续函数的概念
连续函数是一种特殊的函数类型，它在数学中具有重要的地位。
它的定义是：对于一个函数f(x)，如果它在某个区间[a,b]内的任何一个点x0处的极限值等于f(x0)，那么就称这个函数在该区间内是连续的。
换句话说，如果一个函数在每个点的极限值都等于函数在该点处的值，那么它就是连续函数。
连续函数在实际应用中广泛存在，例如在物理学、经济学和工程学等领域。
在微积分中，连续函数是一种非常重要的函数类型，因为它们具有很多良好的性质，使得它们可以被用来求解各种数学问题。
连续函数的概念在数学中的发展历史非常悠久。
早在17世纪，欧拉和伯努利就开始研究连续性的概念，并提出了一些连续函数的定义。
但是直到19世纪末，连续函数的概念才被正式地定义出来，并被广泛应用于各个数学分支中。
总之，连续函数的概念是数学中不可或缺的一部分，它的重要性不仅仅在于理论上的意义，更在于实际应用中的广泛性。
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绝对连续函数
绝对连续函数
绝对连续函数是一种特殊的函数，它可以将一个定义域上的每一个值映射到一个完全不同的值。
在数学上，这意味着它可以将一个定义域上的每一个值映射到另一个定义域上的每一个不同的值。
因此，绝对连续函数具有极强的性质：它可以将定义域上的任意值映射到另一个定义域上的不同值，而不会破坏其连续性。
绝对连续函数的研究一直是数学家们的研究热点，在绝对连续函数的研究中，数学家们探索了多种不同的方法来求解绝对连续函数的值。
其中一种最常用的方法就是用特征方程来求解绝对连续函数的值，特征方程是一种数学方程，用于求解绝对连续函数的值。
另一种常用的求解绝对连续函数的方法是使用积分法。
使用积分法可以求出绝对连续函数在定义域上的准确值。
结合特征方程和积分法，可以很好地求解绝对连续函数的值。
绝对连续函数在数学上有着重要的意义，它可以用来推导出一些重要的数学定理，如泰勒级数定理，拉格朗日定理等。
此外，绝对连续函数还可以用于数学建模，如求解概率问题，求解热力学问题等。
绝对连续函数是一种特殊的函数，它可以将一个定义域上的每一个值映射到另一个定义域上的每一个不同的值，并且不会破坏其连续性。
它也被用于数学建模，如解概率问题，求解热力学问题，以及
推导出一些重要的数学定理，如泰勒级数定理，拉格朗日定理等。
因此，绝对连续函数在数学上有着重要的意义，研究它将有助于更好地理解数学知识，并为更多的数学应用提供支持。
测度论精选习题
实分析精选50题第一章 测度论1. 设,μυ是定义在σ−代数S 上的两个测度, μ是有限的,且υ对于μ是绝对连续的,则存在可测集E ,使得X E −对于υ而言具有σ−有限测度,并使得对E 的任何可测子集F ,()F υ或为0或为∞.证明:(ⅰ)若υ本身是一个有限测度或者σ−有限测度,取E 为空集即可.(ⅱ)考虑υ不是一个有限测度或者σ−有限测度的情形:引理: 设,μυ是定义在σ−代数S 上的两个测度, μ是有限的,且υ对于μ是绝对连续的,υ不是一个有限测度或者σ−有限测度.若()E υ=∞,并且对于υ而言并非一个σ−有限集,则存在一个可测子集F ,F 的任何子集G ,()G υ或为0或为∞.证明:设sup{()|,0()G G E G αμυ=⊂<<∞或(),G υ=∞但1,()}i i i G G G υ∞==<∞∪则存在,(),()i i E E E i μα⊂→→∞,且i E 满足:,0()G E G υ⊂<<∞或(),G υ=∞但1,()i i i G G G υ∞==<∞∪.令1nn i i F E ==∪,则()(),n n F E μμ≥且n F 也满足上式的条件.()n F μα∴≤()()n F n μα∴→→∞,故:1()i i E μα∞==∪.考虑:1,i i F E E ∞==−∪()F υ=∞,否则E 对于υ而言具有σ−有限测度. F 的任何子集G ,()G υ或为0或为∞.如若不然:存在可测子集:0()M M υ<<∞,则:()0M μ≠,1i i M E ∞=⎛⎞=∅⎜⎟⎝⎠∩∪,且1()i i M E μα∞=⎛⎞>⎜⎟⎝⎠∪∪.但1i i M E ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∪∪满足:“,0()G E G υ⊂<<∞或(),G υ=∞但1,()i i i G G G υ∞==<∞∪”的条件.故与1()i i M E μα∞=⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∪∪矛盾.所以存在一个可测子集F ,F 的任何子集G ,()G υ或为0或为∞.令sup{()|,E E S βμ=∈()0E υ≠,对E 的任何可测子集F ,()F υ或为0或为}∞.类似与证明引理中的讨论,利用穷举法,存在:,(),()i i G G i μβ→→∞,1()i i G μβ∞==∪ ,这里,i G S ∈对i G 的任何可测子集F ,()F υ或为0或为}∞.()1,2,...i =考虑:1i i G E ∞==∪,则对E 的任何可测子集F ,()F υ或为0或为∞.在X E −中,不存在一个可测子集F ,()0F υ≠,F 的任何可测子集G ,()G υ或为0或为∞.事实上,若X E −中存在这样一个可测子集H ,则E H ∪满足:E H S ∈∪,()0E H υ≠∪,对E H ∪的任何可测子集F ,()F υ或为0或为∞.但 E H =∅∩,所以()()()E H E H μμμ=+∪. 又注意到()0H υ≠,所以()0H μ≠,所以()()()E H E H μμμβ=+>∪.这与β的定义是矛盾的.所以在X E −中,不存在一个可测子集F ,()0F υ≠,F 的任何可测子集G ,()G υ或为0或为∞.若X E −对于υ而言不具有σ−有限测度,则由引理, 存在一个可测子集F ,F 的任何子集G ,()G υ或为0或为∞.这与上面的讨论是矛盾的.所以X E −对于υ而言具有σ−有限测度. 证毕2. 设{}n μ是可测空间(,)X R 上一列有限的广义测度，()i 若{}n μ是全有限的测度序列，则必存在(,)X R 上全有限测度μ，使得n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =.()ii 证明必存在(,)X R 上全有限测度μ，使得n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =． 证明：()i {}n μ中0()2X μ≤≤的测度记为n υ，重新排列，其余的记为n T ，重新排列 定义111()()()2()n n nn n n nE T E E T X υμ∞∞+===+∑∑. 可以证明()0,()X μμ∅=<+∞,对于1,i i i i E E E ∞==∅∩∪:111111()()2()n i n i i i i nn n n i nE T E E TX υμ∞∞∞∞∞==+===⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑∑∪∪∪=11111()()2()nin ii i nn n n n E T E T X υ∞∞∞∞==+==+∑∑∑∑由于二和均收敛,故可交换顺序.∴1i i E μ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∪=11111()()2()n i n i nn i n i n n E T E T X υ∞∞∞∞+====+∑∑∑∑=1()i i E μ∞=∑ 所以μ是一个全有限测度,容易验证: n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =．()ii 考虑{}n μ的全变差测度{}n μ,n μ仍是一个全有限测度,由()i 的证明存在 有限测度μ，使得n μ对于μ是绝对连续的，所以n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =. 证毕.3.()i 设μ是可测空间(,)X R 上全σ−有限的测度，证明：必存在(,)X R 上全有限测度υ，使得μ等价于υ.()ii 设{}n μ是可测空间(,)X R 上全σ−有限的广义测度序列, 证明必存在(,)X R 上全有限测度μ，使得n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =. ()i 证明:μ∵是可测空间(,)X R 上全σ−有限的测度,1i i X E ∞=∴=∪,且()i E μ<+∞i E 互斥将{}i E 分类,()02i E μ≤≤的记作{}i F (重新排列), 其余的记为{}i G (重新排列),作(,)X R 上的可测函数f :()()11,1,2,...21,1,2,...n n n n n x F n f x G n G μ+⎧∈=⎪⎪=⎨∈=⎪⎪⎩考虑f 在X 上的积分:Xfd μ∫=11111()()2()n n n n n n nF G G μμμ∞∞+==+<∞∑∑, 令()EE fd υμ=∫. 易证υ是(,)X R 上全有限测度.1. 若()0()0E E μυ=⇒=2. 若()0E υ=,0,f >∵易证()0E μ= 所以μ等价于υ.()ii 考虑{}n μ的全变差测度{}n μ,n μ仍是一个全σ−有限测度, 由()i 的证明: 存在(,)X R 上全有限测度n υ，使得n μ等价于n υ.由第2题()i 的证明, 必存在(,)X R 上全有限测度μ，使得n υ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =． 所以:. n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =,即: n μ对于μ是绝对连续的(1,2...)n =． 证毕.4. 设(,,)X S μ是一个全有限测度空间，f 是(,,)X S μ上的一个可测函数，如果对于扩张数直线上的任何Borel 集M ，有1()(())M f M υμ−=，则υ是Borel 集类上的一个测度，设{}()():()g t x X f x t μ=∈<，若f 是有限函数，则g 具有下列性质：（1） 它是单调增加的 （2）左连续的()0,()()g g X μ−∞=∞=.我们称g 为f 的分布函数.若g 是连续的,则g 引出的Lebesgue Stieltjes −测度g μ是υ的增补.f 是可测集E 的特征函数,则()(1)()(0)()c M M M E E υχμχμ=+.证明:考虑∅,1()(())()0f υμμ−∅=∅=∅=考虑i M ,11()()i j i j M M f M f M −−=∅⇒=∅∩∩,1111()()i i i i f M f M ∞∞−−===∪∪所以由μ的可列可加性可以得到υ的可列可加性,所以υ是Borel 集类上的一个测度.考虑{}()():()g t x X f x t μ=∈<:{}()11():()g t x X f x t μ=∈<,{}()22():()g t x X f x t μ=∈<.若12t t <则12()()g t g t ≤.因为()g t 是单调增加的函数,其任一点的左极限必定存在,所以只需证明对某一列单调增加的数列:12......n x x x x <<<→,有lim ()()n n g x g x →∞=.事实上{}()11()():()g x g x t X x f t x μ−=∈≤<={}11:()n n n t X x f t x μ∞+=⎛⎞∈≤<⎜⎟⎝⎠∪ {}()11:()n n n t X x f t x μ∞+==∈≤<∑=[]11()()n n n g x g x ∞+=−∑[]11lim ()()n n g x g x +→∞=−11lim ()()n n g x g x +→∞=−.所以lim ()()n n g x g x →∞=,所以g 是左连续的.显然()0,()()g g X μ−∞=∞=.考虑g 引出的Lebesgue Stieltjes −测度g μ,设*g s 为*g μ−可测集类,s 是Borel 集类,任意的Borel 集必是*gμ−可测集,设__S 为υ的增补所组成的集类.(){}()*[,)()():()g a b g b g a x X a f x b μμ=−=∈≤<()[,)a b υ=所以*()()g M M υμ=. 对于任意*g E S ∈,不妨设*()g E μ<∞,对于E ,存在F S ∈,**()()g g E F μμ=.F 为E 的可测覆盖,*()0g F E μ∴−=,而F E −也有一个可测覆盖,()0g G G μ=()()E F G E G =−∪∩,E ∴∈__S ,所以*gS ⊂__S ,又注意到g μ是一个完全测度,所以由增补的定义, g μ是υ的增补.设f 是可测集E 的特征函数,则()()E f x x χ=.若11,0,()M M f M E −∈∉∴=,所以()(1)()(0)()c M M M E E υχμχμ=+ 类似进行讨论,可以得到结论. 证毕.5. 设*μ是可传σ−环H 上的正则外测度，如果{}n E 是H 中之集的一个增序列，且lim n n E E →∞=，则**lim ()()n n E E μμ→∞=.证明：(i) 若*lim ()n n E μ→∞=+∞,则问题不证自明.(ii)若*lim ()n n E μ→∞=+∞,由正则外测度的性质:__**()()n n E E μμ=.设 所有__μ−可测集为__S , ____()S S S =.__S ∴中存在n F 使得n n E F ⊂,____*()()n n E F μμ=,且对于n n G F E ⊂−__()0G μ= 对于1n E +,存在1n F +使得11n n E F ++⊂,____*11()()n n E F μμ++=.注意到1n n n n F E F E +−⊂−,所以__1()0n n F E μ+−=,所以可以作到1n F +包含n F . 同样有lim n n F F →∞=,____lim ()()n n F F μμ→∞=,____***()()()()n n n E F E E μμμμ==≤,所以__*()(),F E μμ≤但注意到1n n E E ∞==∪,1n n F F ∞==∪,故____**()()()F E E μμμ≥≥.所以__*()()F E μμ=,即**lim ()()n n E E μμ→∞=. 证毕6. 设(,,)X S μ是σ−有限测度空间，如果{}n υ是定义在S 上的有限广义测度的一个序列，其中每一个n υ对于μ都是绝对连续的，且对于S 中的每一个E ，lim ()n n E υ→∞存在且有限，则集函数n υ对于μ是一致绝对连续的．证明：设,E F S ∈，如果,E F 满足()0E F μΔ=，则我们将,E F 看作相等的．记为：[]E F μ=．在新的相等意义下，测度μ在S 上仍然无歧义地确定．又()0E μ=∵与E =∅等价，所以在新的相等意义下μ成为一个正测度，((),)S μμ作成一个测度环．设R 表示S 中一切具有有限测度的元素的集合，对于,E F R ∈，令：(,)()E F E F ρμ=Δ．这是R 上的一个度量，称R 为((),)S μμ连带的度量空间． 考虑下面的两个引理：引理1：R 按度量(,)()E F E F ρμ=Δ作成一个完备度量空间． 证明：若{}n E 是R 中一个基本列，即：(,)0()0n m n m E E E E ρμ→⇔Δ→()0,n m E E Xd n m χχμ∴−→→∞→∞∫所以{}n E χ是依测度基本的，故存在可测函数f ，使得{}n E χ依测度收敛于f ． 根据黎斯引理，存在一个子列{}n kE χ，使得{}nkE χ几乎处处收敛于f ．显然f 也是一个集合的特征函数，（设为E ）所以由积分的定义和控制收敛定理，有：()0n E Xf d n χμ∴−→→∞∫，即()0nE E X d n χχμ∴−→→∞∫所以(,)0()0n n E E E E ρμ→⇔Δ→．即：R 按度量(,)()E F E F ρμ=Δ作成一个完备度量空间．引理2：υ是定义在S 上的有限测度，且υ对于μ是绝对连续的，则υ在R 上可以无歧义地确定，且是R 上的连续函数． 证明：由于υ对于μ是绝对连续的，所以()0()0E F E F μυΔ=⇒Δ=显然υ在R 上可以无歧义地确定，事实上由()E F μΔ的定义，只考虑在零点∅的连续性情形．若结论不成立：00ε∃>，存在,n E R ∈使得1(),1,2,3,...2n nE n μ<=但0()n E υε>． 令1i n i nF E ∞∞===∩∪：因为1(),1,2,3,...2n n E n μ<=所以11()()1,2,3,...2i n i nF E n μμ∞−=<<=∑故()0()0F F μυ=⇒=．但()0()lim lim m n n n m n F E E υυυε∞→∞→∞=⎛⎞=≥≥⎜⎟⎝⎠∪，矛盾．所以υ是R 上的连续函数．下面考虑本问题：考虑0ε∀>令：:,()()1,2,...3k n m n k m k E E R E E k εευυ∞∞==⎧⎫=∈−≤=⎨⎬⎩⎭∩∩．由引理2，n υ和m υ都是R 上的连续函数，所以:,()()3n m E E R E E ευυ⎧⎫∈−≤⎨⎬⎩⎭是闭集，由闭集的性质：:,()()1,2,...3k n m n k m k E E R E E k εευυ∞∞==⎧⎫=∈−≤=⎨⎬⎩⎭∩∩也是闭集．显然1k k R ε∞=⊂∪，对于本题来说，由于对于S 中的每一个E ，lim ()n n E υ→∞存在且有限，所以R 上的每一个E ，总存在一个1,k 使得1k E ε∈，所以1k k R ε∞=⊃∪．又因为1k k R ε∞=⊂∪，所以1k k R ε∞==∪．由引理1，R 按度量(,)()E F E F ρμ=Δ作成一个完备度量空间．所以由Baire 定理：完备的度量空间不能表示为可数个无处稠密集并的形式．故0,k ∃使得0k ε在某一个球中稠密，即：,B ∃使得00___k k B εε⊂=．这就说明：在R 中存在0E 和正数0r 使得：{}000:(,)k E E E r ρε<⊂．因为每一个n υ对于μ都是绝对连续的，由引理2：0,0n εδ∀>∃>，当()n E μδ<时，()3n E ευ<．取{}0012min ,,...k δδδδ=，所以00,0εδ∀>∃>，当0()E μδ<时，()3n E ευ<()01n k ≤≤令：00min(,)r δδ=，当()E μδ<时，000(,)E E E r ρ<∪，000(,)E E E r ρ−< 所以()()000n k E E E E υυ−∪∪3ε<，()()000k n E E E E υυ−−−3ε<对于0n k ≥的n υ来讲，因为()()00E E E E E =−−∪所以：()()()()0000()()n n n n E E E E E E E E E υυυυ=−−=−−∪∪()()()()()()0000000000n k k k k n E E E E E E E E E E E E υυυυυυ=−+−−+−−−∪∪∪ ()()()()()()0000000000n k k k k n E E E E E E E E E E E E υυυυυυ≤−+−−+−−−∪∪∪ ()()()()()0000000n k k k n E E E E E E E E E υυυυυ=−++−−−∪∪ 333εεεε<++=．所以集函数n υ对于μ是一致绝对连续的．进一步考虑：如果lim ()()n n E E υυ→∞=，显然υ具有有限可加性．设{},lim k k k E R E →∞∈=∅，且k E 是递减的．所以lim ()0k k E μ→∞=．则由刚刚证明的结论可以得到：()()sup ()0k n k E E υυ≤→．利用＜＜测度论讲义＞＞（严加安著）.13P 1.3.4定理，()E υ是一个有限的广义测度，且υ对于μ是绝对连续的． 证毕7. 设{}n A 是互不相交的可测集列，()1,2,...n n B A n ⊂=,则()**11()n n n n m B m B ∞∞===∑∪．证明：由外测度的定义及性质：()**11()n n n n m B m B ∞∞==≤∑∪考虑到可测集的性质：对于任意的T ，***()()()c m T m T E m T E =+∩∩，所以**()()m T m T E ≥∩．令1n n T B ∞==∪，1n n E B ∞==∪ 所以有()**11()n n n n m B m B ∞∞==≥∑∪．故问题得到证明． 证毕8. 设点集12,E E ，且1E 是可测集，若12()0m E E Δ=.则：2E 可测，且12()()m E m E =． 证明：因为12()0m E E Δ=，所以*12()0m E E Δ=．∵12112212()()()()E E E E E E E E =Δ=Δ∪∪∪，所以***1212()()()m E E m E m E ==∪．1E 是可测集，12E E Δ可测，故()()121212\E E E E E E Δ=∪∩可测．考虑到：()()212112\E E E E E E =Δ⎡⎤⎣⎦∪∩，()12112E E E E E Δ=∪∪，故12E E ∪可测，所以()12E E ∩可测．则2E 可测．又由：***1212()()()m E E m E m E ==∪， 所以12()()m E m E =． 证毕9. 设1E R ⊂，是一个可测集，且0()m E α<<．则存在E 中有界闭集F ，使得()m F α=．证明：令[],x E x x =−，[]()(),g x m x x E =−∩，()0x ≥．易知：()g x 是[0,)+∞上的连续函数，(0)0,lim ()()x g g x m E →∞==．所以存在0x 使得0()()2m E g x αβα+==>定义[]00,x x E G −=∩，()m G βα=>，则G 是一个有界的集合，并且可测． 考虑G 的内测度（详见那汤松书）：**()()()sup{():m G m G m G m F F ===是G 的闭子集}故存在G 的闭子集0F ，使得0()2m F αβηα+==>同样令[]()0(),f x m x x F =−∩，()0x ≥．易知：()f x 是[0,)+∞上的连续函数，(0)0,lim ()x f f x η→∞==．所以存在1x 使得1()f x α=．显然[]110,x x F −∩是一个有界的闭集．令F []110,x x F =−∩即可． 证毕10. 设X 是由1R 中某些互不相交的正测集组成的集类．则X 是可数的．证明：由上题可以得到：对于X 中任意一个元素E ，存在E 中有界闭集F ，使得()()m F m E α=<．这里因为F 属于某一个闭区间，去掉闭区间的两个端点， 考虑到开集的构造，由于0()()m F m E α<=<,所以必存在一个区间属于F ．故对于每一个E ，存在一个区间,I I E ⊂．考虑到有理数的稠密性，所以每一个I 中存在有理数点．又因为有理数全体是可数的，所以X 是可数的． 证毕11. 设1E R ⊂有界，试证明：E 是可测集当且仅当0ε∀>,存在有限个互不相交的区间12,,...m I I I 之并集1mk k J I ==∪，使得*()m E J εΔ<．证明：⇒因为E 是可测集，且有界．所以存在一个闭集F E ⊂，使得(\)2m E F ε<．对于F ，必存在一个开集G F ⊃，使得(\)2m G F ε<．由开集的构造可以得到，存在{}k I ()1,2,...k =，使得1k k G I ∞==∪．注意到F 是一个有界闭集，所以是紧的．故存在有限个i I ，（不妨记为：12,,...m I I I ）使得1mk k J I F ==⊃∪．注意到()()\\E J G F E F Δ⊂∪，所以*()()m E J m E J εΔ=Δ<．⇐由题意，0ε∀>,存在有限个互不相交的区间12,,...m I I I 之并集1mk k J I ==∪，使得*()m E J εΔ<．考虑\E J E J ⊂Δ，因为*()m E J εΔ<，总存在一个开集G 覆盖\E J 使得()m G εε<+．令\E J 0E =，所以*0(\)2m G E ε<．不妨考虑这有限个区间为开区间．这时0G J G ∪ 也为开集．并且：**00(\)(\)2m G E m G E ε<<由于ε的任意性，我们可以得到：0ε∀>，存在开集G ，使得G E ⊃，*(\)m G E ε<事实上这就是E 可测的充分必要条件．所以E 是可测集． 证毕12. 设,A B 是1R 上的正测集，令{};,E b a b B a A =−∈∈,则E 必包含一个区间． 证明：由周民强书P98定理2.15取34λ=，存在区间12,I I 使得： 113()()4m A I m I >∩，223()()4m B I m I >∩记：112(,)I x x =，234(,)I x x =. （ⅰ）若12()()m I m I ≥；考虑()()4321031313,44x x x x x x x x x −−⎡⎤∀∈−−+−⎢⎥⎣⎦：令0102,A A I B B I ==∩∩若{}01;,x E b a b B a A ∉=−∈∈，则：{}()0x A B+=∅∩但是{}()()()4321003333,44x x x x x A x x −−⎡⎤+⊂++⎢⎥⎣⎦．注意到12()()m I m I ≥，所以34(,)x x ()()43213333,44x x x x x x −−⎡⎤⊂++⎢⎥⎣⎦．于是得到：0B ()()43213333,44x x x x x x −−⎡⎤⊂++⎢⎥⎣⎦．又因为{}()000x A B +=∅∩，所以{}()()()432100033()()44x x x x m x A m B −−++≤+． 但由题意：{}()()()43210000033()()()()44x x x x m A m B m x A m B −−+=++>+ 所以矛盾故{}01;,x E b a b B a A ∈=−∈∈，即：()()432131313,44x x x x x x x x −−⎡⎤−−+−⊂⎢⎥⎣⎦{};,b a b B a A −∈∈．（ⅱ）若12()()m I m I <；考虑()()2143013133,44x x x x x x x x x −−⎡⎤∀∈−−+−⎢⎥⎣⎦：若{}02;,x E a b b B a A ∉=−∈∈，则{}()000x B A +=∅∩．但是：{}()00x B +()()43211133,44x x x x x x −−⎡⎤⊂++⎢⎥⎣⎦因为12()()m I m I <，所以0A ()()43211133,44x x x x x x −−⎡⎤⊂++⎢⎥⎣⎦．于是：{}()()()432100033()()44x x x x m x A m B −−++≤+ 但由题意：{}()()()43210000033()()()()44x x x x m A m B m x A m B −−+=++>+，矛盾． 所以{}02;,x E a b b B a A ∈=−∈∈，即：()(){}214313133,;,44x x x x x x x x a b b B a A −−⎡⎤−−+−⊂−∈∈⎢⎥⎣⎦由讨论知：无论如何E 必包含一个区间． 证毕13. 设*μ是可传σ−环上的外测度，__S 是由全体*μ−可测集组成的类，若A H ∈，{}n E 是__S 中之集的增序列，则()()**(lim )lim n n n n A E A E μμ→∞→∞=∩∩. 证明:事实上可以得到()()11lim n n n n n n A E E A E A ∞∞→∞==⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∩∩∩∪∪．令0E =∅,1n n n D E E −=−,()1,2,...n =．所以()***111m mm n n n n n n E A D A D A μμμ===⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞≤≤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∩∩∩∪∪． 因为:____1,,n n E S E S −∈∈所以__n D S ∈．于是由卡氏条件:***()()()cn n n n n A E A E D A E D μμμ=+∩∩∩∩∩易见: **1()()cn n n A E D A E μμ−=∩∩∩,**()()n n n A E D A D μμ=∩∩∩所以***1()()()n n n A D A E A E μμμ−=−∩∩∩ ()1,2,...n =故()**1m n m n E A E A μμ=⎛⎞⎛⎞≤⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∩∩∪．令,m →∞有()()**(lim )lim n n n n A E A E μμ→∞→∞≤∩∩，而我们可以很容易地得到:()()**(lim )lim n n n n A E A E μμ→∞→∞≥∩∩，于是()()**(lim )lim n n n n A E A E μμ→∞→∞=∩∩.证毕 14. 设*μ是定义在X 上的一切子集所成的类上的正则外测度,使得*()1X μ=.设M 是X 的一个子集,使得*()0M μ=,*()1M μ=.如果令:***()()()E E E M υμμ=+∩试证明:(ⅰ)*υ是一个外测度.(ⅱ)集E 是*υ−可测集的充要条件：E 是*μ−可测集.(ⅲ)设A 是一个给定的集合,则对于包含A 的任何*υ−可测集E ,**inf ()2()E A υμ=. (ⅳ)*υ不是正则外测度. 证明:(ⅰ) 对于E =∅,***()()()0M υμμ∅=∅+∅=∩.若()()()()****121212,;E E E E E M E M μμμμ⊂≤≤∩∩,所以()()**12E E υυ≤．而()***111i i i i i i E E E M υμ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∩∪∪∪ **11()()i i i i E E M μμ∞∞==≤+∑∑∩=***11(()())()i i i i E E M E μμυ∞∞==+=∑∑∩所以*υ是一个外测度. (ⅱ) 若E 是一个*μ−可测集.所以对于任意的T :***()()()c T T E T E μμμ=+∩∩，***()()()c T M T M E T M E μμμ=+∩∩∩∩∩， 考虑对于任意的T :***()()()T T T M υμμ=+∩，***()()()T E T E T E M υμμ=+∩∩∩∩， *()c T E υ∩=**()()c c T E T E M μμ+∩∩∩，所以 ***()()()c T T E T E υυυ=+∩∩．即集E 是*υ−可测集. 若集E 是*υ−可测集,则有:******()()()()()()c c T T M T E T E M T E T E M μμμμμμ+=+++∩∩∩∩∩∩∩．由外测度的性质: *()T M μ≤∩ *()T E M μ∩∩ *()c T E M μ+∩∩． 所以E 是*μ−可测集.(ⅲ) E 是*υ−可测集,由(ⅱ), E 是*μ−可测集.所以由测度论书中P65定理8:()()()***c E E M E M μμμ=+∩∩．因为()()**c c E M M μμ≤∩，又因为：()***()()1c c M M M M μμμ+≤=∪,*()1M μ=所以*()0c M μ=, ()*0c E M μ=∩；()()**E E M μμ=∩故()**()2E E υμ=．由于*μ是正则外测度,所以存在可测覆盖F ,使得**()()F A μμ=．即:__**()inf ():,A E E A E S μμ⎧⎫=⊃∈⎨⎬⎩⎭.这里__S 指全体*μ−可测集.所以**inf ()2()E A υμ=. (ⅳ) __S 指全体*μ−可测集考虑:______*()inf ():,E F F E F S υυ⎧⎫=⊃∈⎨⎬⎩⎭：对于cM ,()__**()2c c M M υμ=，但()****()()()c c c c M M M M M υμμμ=+=∩．而事实上*()0c M μ≠．若*()0c M μ=，由*()0c M μ=，得到c M 是*μ−可测集.但事实上cM 并不是*μ−可测集.所以*()0cM μ≠.即: ()__**()ccMMυυ≠.即*υ不是正则外测度. 证毕15. 设,n A B R ⊂，A B ∪可测，且()m A B <∞∪.若:**()()()m A B m A m B =+∪.则:,A B 皆为Lebesgue 可测集. 证明:由题意,存在A 的等测包1H ,1H A ⊃;存在B 的等测包2H ,2H B ⊃; 且**12()(),()()m H m A m H m B ==，12H H A B ⊃∪∪.所以： 1212()()()()m H H m A B m H m H ≥=+∪∪ 由测度的性质: 1212()()()m H H m H m H ≤+∪，所以： 1212()()()()m H H m H m H m A B =+=∪∪． 故12H H ∪是A B ∪的等测包,且12()0m H H =∩．由外测度的性质:()()()**11212(\)(\)(\)0m H A m H H A B m H H A ≤+=∪∪∩所以1(\)0m H A =．故1\H A 可测，所以A 可测．同理可得B 可测． 证毕第二章 可测函数16.设{})(k f k 是E 上可测函数列（其中E 是n R 上的可测集）且： lim ()(),..k k f x f x a e x E →∞=∈．若有E 上非负可积函数)(x g ，使),2,1()()( =≤k x g x f k ．试证明对任给,0>ε有{}0)()(:lim =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛>−∈∞≥∞→∪j k k j x f x f E x m ε． 证明：因为lim ()(),..k k f x f x a e x E →∞=∈，对于任意的0ε>，令：(){,}k k E x E f f εε=∈−>显然1()k j k jE ε∞∞==∩∪中的点一定不是收敛点．从而1(())0k j k jm E ε∞∞===∩∪．考虑若1{,()}k k x x E E ε∞=∈∈∪，x 必然属于{,()}2x E g x ε∈≥，所以：1{,()}k k x E E ε∞=∈⊂∪{,()}2x E g x ε∈≥．因为()g x 可积，所以({,()})2m x E g x ε∈≥<∞， 根据递减集合列测度定理，{}0)()(:lim =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛>−∈∞≥∞→∪j k k j x f x f E x m ε． 证毕 17. 设),2,1)((),( =k x f x f k 是))((1∞<⊂E m R E 上正实值可测函数，且有E x x f x f k k ∈=∞→),()(lim ．试证明对任给0>δ存在E A ⊂以及δ<)(,0A m k 使得当0k k >时，()(),\k f x f x x E A δ≤+∈． 证明：对任给0>δ,令{,()()}k k E x E f x f x δ=∈>+．则考虑1k j k jE ∞∞==∩∪：因为E x x f x f k k ∈=∞→),()(lim ，所以1k j k jE ∞∞==∩∪=∅．否则，将存在一些点，使在这些点上lim ()(),k k f x f x →∞≠所以1ckj k jE E ∞∞===∪∩．于是1()()c k j k jm E m E ∞∞===∪∩．因为()m E <∞，所以对于0>δ，存在0k ，使得01()k c k j k jm E E δ∞==−<∪∩．则令01k c k j k j A E E ∞===−∪∩，在01k c k j k jE A E ∞==−=∪∩上，0k k >时，()()k f x f x δ≤+． 证毕18. 设(,,)X R μ是测度空间，E R ⊂，{}n f 是E 上可测函数序列，并且n f f μ⇒（有限函数），证明：必存在子序列{}v n f ，使得0δ∀>，E E δ∃⊂，()E E δμδ−<，且{}v n f 在E δ上一致收敛于f . 证明：∵ n f f μ⇒， ∴ {}():0n x E f f με∈−>→()n →∞．取1v ε=，存在v n ，使得11:2v n v x E f f v μ⎛⎞⎧⎫∈−><⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠．按照这种方法取得{}v n f ， 其中1v v n n +<．易有：1v μ∞=∑1:v n x E f f v ⎛⎞⎧⎫∈−><∞⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠． 所以：lim j →∞1:0v n v j x E f f v μ∞=⎛⎞⎧⎫∈−>=⎜⎟⎨⎬⎩⎭⎝⎠∪．于是0δ∀>，取k j 充分大，使得1:2v k n k v j x E f f v δμ∞=⎛⎞⎧⎫∈−><⎜⎟⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠∪，k j <1k j + 令11:v k n k v j E x E f f v δ∞∞==⎛⎞⎧⎫=∈−<⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠∩∩，1()2k k E E δδμδ∞=−<=∑．下面证明在E δ上{}v n f 一致收敛于f ：事实上，∵11:v k n k v j E x E f f v δ∞∞==⎛⎞⎧⎫=∈−<⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠∩∩，对于一切x E δ∈，0ε∀>，只要0,k j ∃使得01k j ε<，即v ≥0k j 时，1vε<，有 v n f f ε−<．即：{}v n f 在E δ上一致收敛于f . 证毕19. 证明:存在[],a b 上一列连续函数{}()n f x ,使得形式级数123......n f f f f +++++在不打乱顺序的情况下,可将其中插入括号分段求和后所成的函数项级数(关于m )几乎处处收敛于任何给定的Lebesgue 可测函数.证明:有理系数多项式全体为一个可列集,将它们排成一列{}()n x ϕ,作:1()()()n n n f x x x ϕϕ+=− ()0()0x ϕ=对于任意的Lebesgue 可测函数()f x ，存在多项式函数[]()(),..,n P x f x a e x a b →∈ 对于每一个()k P x ,()k n x ϕ∃∈{}()n x ϕ()1k k n n −>,使得 1()()k k n P x x kϕ−<． 在()n P x 收敛于()f x 的集合上,考虑将123......n f f f f +++++加括号:()()()111111......lim lim k k k k k k k nn n n n n n n n k k k k ff ϕϕϕϕϕ+++∞∞→∞→∞===++=−=−=∑∑∑于是()lim lim 0k k n n n n k k f p p f ϕϕ→∞→∞−≤−+−=．得到lim k n k f ϕ→∞=,即:()[]11........,k k n n k ff fa e x ab +∞=++=∈∑ 证毕20. 设12(),(),(),......()...k f x f x f x f x 是[],a b 上几乎处处有限的可测函数，且有： []lim ()()..,k k f x f x a e x a b →∞=∈则存在[],n E a b ⊂，使得[]1,\0n n m a b E ∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪，而()k f x 在每一个n E 上一致收敛于()f x ． 证明：由ΕΓΟΡΟΒ定理： 对于1n ,存在n B ，使得1()n m B n <．在[],\n a b B 上，{}()k f x 一致收敛于()f x ．取[],\n n E a b B =，1()0.n n m B ∞==∩ 因为[]11,\n n n n B a b E ∞∞===∩∪所以[]1,\0n n m a b E ∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪，而()k f x 在每一个n E 上一致收敛于()f x ． 证毕21. 设),,(μR X 是测度空间，X ⊂Ε，}{n f 是Ε上的可测函数列，+∞<Ε)(μ，∞⎯→⎯•μn f .则对0>∀δ，Ε∃的可测子集 δΕ，使得δμδ<Ε−Ε)(，且}{n f 在δΕ上均匀发散与∞.（即对任何0>m ，0>∃N ，使N n ≥，对一切δΕ∈x ，M x f n ≥)(）.证明：∵∞⎯→⎯•μn f ，+∞<Ε)(μ，∴考虑集合}|:|{M f x n ≥Ε∈(M 为任意自然数)，令∩∪∩∞=∞=∞=≥Ε∈=11}|:|{M k k n nM fx F ：则)()(Ε=μμF ，():()n x F f x ∈→∞．令∪∩∞=∞=≥Ε∈=1}|:|{k kn n m M f x F ，)()(lim Ε=∴+∞→μμm m F ，)(F −Εμ0=．这里∪∩∪∞=∞=∞=≤Ε∈=−Ε11}|:|{M k kn nM fx F ，)(F −Εμ0=．∴0)}|:|{(1=≤Ε∈∞=∞=∩∪k kn n M f x μ∴lim ({:||})0n k n kx f M μ∞→+∞=∈Ε≤=∪于是0>∀δ，对于每一个k M ，存在一个k n ，使kkn k n M f x 2)}|:|{(δμ<≤Ε∈∞=∪这里K M k =（不妨取1−>k k n n ）．∴δμμ<≤Ε∈≤≤Ε∈∞=∞=∞=∞=∑)}|:|{(})|:|{(11∪∪∪kn n k n k k kn k n M f x M f x ，令∪∪∞=∞=≤Ε∈−Ε=Ε1}|:|{k kn k n M f x δ，则在∩∩∞=∞=≥Ε∈=Ε1}|:|{k n n k n kM f x δ上有：0>∀M ，M M k >∃，使δΕ∈∀x ，M f n ≥||，k n n ≥，即：n f 在δΕ上均收敛于∞+． 证毕22. 设(),()f x g x 是[],a b 上严格递减的连续函数.且对任意的1t R ∈,有:[]{}()[]{}(),:(),:()m x a b f x t m x a b g x t ∈>=∈>．则[]()(),f x g x x a b =∈． 证明:取()t f a =,[]{}(),:()()0m x a b f x f a ∈>=．所以： []{}(),:()()0m x a b g x f a ∈>=.(＊)由于(),()f x g x 是[],a b 上严格递减的连续函数.所以(＊)说明()()f a g a ≥．取()t g a =,[]{}(),:()()0m x a b g x g a ∈>=．所以： []{}(),:()()0m x a b f x g a ∈>=.(＊＊) 所以(＊＊)说明：()()f a g a ≤． 故()()f a g a =．对于00(),(,]t f x x a b =∈:[]{}()00,:()()m x a b f x f x x a ∈>=−，所以：[]{}()00,:()()m x a b g x f x x a ∈>=−．故()00()f x g x ≥； 对于00(),(,]t g x x a b =∈⇒()00()f x g x ≤.所以()00()f x g x =．所以[]()().,f x g x x a b =∈． 证毕23．设f 是有界变差函数，对任何分点b x x x a n =<<<=…10，记号： ),,(10n f x x x p …=))()((1'−−∑i i x f x f∑'表示满足0)()(1≥−−i i x f x f 的i 的求和，称),,(10n f x x x p …为正变差，而称)},(sup{)(0n f bax x p f P …=为正全变差．则)(i ：对任何)(b c a c <<，bcc ab aP P f P +=)(；)(ii ：)()(x p f P xa=，这里)(x p 是)(x f 的正变差函数．证明：)(i 0>∀ε，在],[c a ，],[b c 上分别取分点：c x x x a n =<<<=…10，b x x x c m =<<<=''1'0…，使),,(10n f x x x p …ε−>)(f P ca，>),,(''1'0mf x x x p …ε−)(f P b c．≥)(f P ba ),,,,,(''1'010m n f x x x x x x p …… =),,(10n f x x x p …+>),,(''1'0mf x x x p …ε→+bcc af P f P )()(令0→ε，便有bcc ab af P f P f P )()()(+≥另：0>∀ε，∃],[b a 上的一个分点n x x …0使),,(10n f x x x p …ε−>)(f P ba．设k k x c x ≤<−1作分点：n k k x x c x x ……,,10−． 于是：ε−)(f P ba <),,(10n f x x x p …),,,,(110n k k f x x c x x x p ……−≤=+−),,,(110c x x x p k f …(,)f k n p c x x ≤…bcc af P f P )()(+令0→ε，b cc ab af P f P f P )()()(+≤，∴bcc ab af P f P f P )()()(+=．)(ii )}()()({21)(a f x f f V x P xa −+=题目即证：=)(f P x a )}()()({21a f x f f V xa−+∵−=−)()()(x p a f x f )(x n ，令)(x n =)(x h −∴+=−)()()(x p a f x f )(x h ，))()((a f x f P ba−=))((x f P ba∴))((x f P b a =))()((x h x p P ba−，事实上由定义得()'11()()()()iii i p x h x p xh x −−+−−∑≤()'1()()ii p x p x −−∑+()'1()()ii h x h x −−∑∴))((x f P b a))((x p P b a≤))((x h P ba+)(b P =下证))((x f P b a)(b P ≥，对于 )(x f V ba，0>∀ε，存在一个分法：b x x x a n =<<<=…10 使|)()(|1−−∑i i x f x f ε−≥)(x f V ba令|)()(|1"−−∑i i x f x f 表示1()()0i i f x f x −−≤时绝对值求和 即()'1()()i i f x f x −−+∑()"1()()i i f x f x −−∑ε−≥)(x f Vba．()1()()ii f x f x −−+∑()'1()()ii f x f x −−+∑()"1()()ii f x f x −−∑+−≥ε)(x f V ba()1()()ii f x f x −−∑∴()'12()()i i f x f x −−∑ε−−+≥)()()(a f b f x f Vba∴()'1()()i i f x f x −−≥∑ε−−+)}()()({21a f b f f V ba =ε−)(b P ∴)(f P b aε−≥)(b P ，由ε的任意性，得)(f P b a)(b P ≥． ∴)(f P ba )(b P =对于任意的x ，)()(x p f P xa=也类似成立． 证毕第三章 积分论24. 设(,,)X R μ是测度空间,1,0p p η≤<∞<<．如果：lim 0,pn Xn f f d μ→∞−=∫lim 0pn X n g g d μ→∞−=∫试证明：lim p p nn XXn f g d fg d ηηηημμ−−→∞=∫∫证明：先证明三个引理：引理1：0,0,1,a b p ≥≥>则()pp p a b a b +≤+．证明：不妨设0a b >>，()1pp p a b a p b ξ−+−=，这里a a b ξ<<+，1111p p p p p p b b a b b b b ξξ−−−−∴>>>>，()pp p a b a b ∴+>+，其它情形会出现等号成立的情形.引理2:设(,,)X R μ是测度空间,f 是可积函数,则存在一个σ−有限测度集合,E 使得EXfd fd μμ=∫∫．证明:f ∵可积,f ∴可积,所以Xf d μ<+∞∫．令(1),0,1,2,...N E X N f N N =<≤+=()NN E N E f d μμ≤<∫X f d μ<+∞∫,所以()N E μ<+∞．设{:()0}E x X f x =∈≠,0NN E E∞==∪,所以E 是一个σ−有限测度集合,且EXfd fd μμ=∫∫．引理3: :设(,,)X R μ是测度空间.,n f f 是非负可测函数,(),()p p n f L X f L X ∈∈,1,p >则lim 0pn Xn f f d μ→∞−=⇔∫lim 0p p n Xn f f d μ→∞−=∫．证明:⇒由引理2，存在n E 使得np pn n E Xf d f d μμ=∫∫，n E 是一个σ−有限测度集合．令1n n A E ∞==∪，易见A 是一个σ−有限测度集合，令{:()0}B x X f x =∈≠，B 也是一个σ−有限测度集合，令S A B =∪，所以S 是一个σ−有限测度集合．且p pn n XSf f d f f d μμ−=−∫∫．2()p p pp n n SSSf d f f d f d μμμ≤−+∫∫∫∵．0,ε∀>对于S ，存在一个E ，使得(),pS EE f d μμε−<∞<∫．调整ε，能达到以下结果：0,ε∀>对于S ，存在一个F ，使得(),,33ppn S FS FF f d f d εεμμμ−−<∞<<∫∫1,2,3,.....n =（事实上lim 0pn Xn f f d μ→∞−=∫在这一个过程中起着至关重要的作用.）由闵可夫斯基不等式：()()()111ppppppn n FFFf d f fd fd μμμ≤−+∫∫∫()()()111ppppppn n FFFf d f fd f d μμμ≤−+∫∫∫所以lim p p n FFn f d f d μμ→∞=∫∫，又因为lim 0pn Xn f f d μ→∞−=∫，所以在X 上n f f ⇒．注意到在F 上，()F μ<∞，p p n f f ∴⇒．由周民强《实变函数论》第177页结论：在F 上lim 0p p n Fn f f d μ→∞−=∫，即：0,,N ε∀>∃当n N ≥时，3p p n Ff f d εμ−<∫，p p n Xf f d μ−<∫p p n Ff f d μ−∫+pS Ff d μ−∫+pn S Ff d με−<∫，lim 0p p n Xn f f μ→∞∴−=∫． ⇐0,0,n f f ≥≥∵当()()n f x f x >时，()()0n f x f x −>． 由引理1：[][][],p p p n n f f f f ∴−+≤[][][]p p pn n f f f f ∴−≤− 当()()n f x f x <时，()()0n f x f x −< 同样有：[][][]pppn n f f f f ∴−≤−，pp pn n f ff f∴−≤−，所以：lim 0p p n Xn f f d μ→∞−=∫⇒lim 0pn Xn f f d μ→∞−=∫．下证本题：0,0ppn n XXf f d f fd μμ−→∴−→∫∫∵，由引理30,()p pn Xf fd n μ∴−→→∞∫()()0,()p p p p p p nXf fd n ηηηημ−−−−∴−→→∞∫再由引理3：0,()pp p p nXf f d n ηηημ−−−∴−→→∞∫（2）同理有0,()pn X g gd n ηηημ∴−→→∞∫ （3）0pn Xf f d μ−→∫∵ ()n →∞()2pp ppn n XXXf d f d f f d μμμ∴≤+−∫∫∫所以1,M ∃使得11,,1,2...pp n X Xf d M f d M n μμ≤≤=∫∫ 同理2,M ∃22,,1,2...ppn XXg d M g d M n μμ≤≤=∫∫p p nn XXf g d fg d ηηηημμ−−∴−∫∫ =p p p p nn nnXXXXf g d f g d f g d fg d ηηηηηηηημμμμ−−−−−+−∫∫∫∫p p p nn nXXf g g d gf f d ηηηηηημμ−−−≤−+−∫∫；([])()p p pp p p pp nn nn XXXf g g d f d g gd ηηηηηηηηηημμμ−−−−−≤−∫∫∫(3)1()p p p p n XMg gd ηηηηημ−≤−⎯⎯→∫0 ()n →∞p p nXgf fd ηηημ−−−∫(2)2()0p p p p p pp nXM f f d ηηηηημ−−−−≤−⎯⎯→∫()n →∞0p p nn XX f g d fg d ηηηημμ−−∴−→∫∫ ()n →∞所以lim p p nn X Xn f g d fg d ηηηημμ−−→∞=∫∫． 证毕25. 设{}()n f x 是[],a b 上的连续函数序列，且n f 处处收敛到[],a b 上的Lebesgue 可积函数f ，问等式：[][],,lim()()n n a b a b f x dx f x dx →∞=∫∫是一定成立？解：不一定成立；举个反例：令：[]221()0,11n nf x x x n =∈⎛⎞+⎜⎟⎝⎠lim ()()n n f x f x →∞=0()0(0,1]x f x x ∞=⎧=⎨∈⎩ []0,1()0f x dx =∫ 但[]()[]20,10,1lim()limlim arctan 21n n n n nf x dx dx n nx π→∞→∞→∞===+∫∫0≠所以不一定成立. 解毕26. 设{}()n f x 是E 上的可积函数序列,且一致收敛至()f x . 问(1) ()f x 在E 上是否可积?(2)等式lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=∫∫是否一定成立?解(1) ()m E <∞时, ()f x 可积. 事实上:0ε∀>,0N ∃>,当n N ≥时: ()()()1n f x f x m E ε−<+所以()()()1N f x f x m E ε<++,这里()()1L E m E ε∈+．故()f x 可积.当()m E =∞,不一定成立; 考虑:2211()nn k f x x k==+∑()0,x ∈+∞因为22211x k k ≤+, 所以2211k x k∞=+∑一致收敛. 即: ()n f x 一致收敛至()f x ()()2210,0,1()nn k f x dx dx x k=+∞+∞=<∞+∑∫∫ 但()10,1()2k f x dx kπ∞=+∞==∞∑∫,即: ()f x 在E 上不可积.(2) ()m E <∞时,等式成立. 由(1) :0ε∀>,0N ∃>,当n N ≥时: ()()()1n f x f x m E ε−<+所以当n N ≥时:()()()()1n Ef x f x dx m E m E εε−<⋅<+∫于是lim ()()0n En f x f x dx →∞−=∫成立: lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=∫∫.当()m E =∞,不一定成立;令:()1(0,2]2()02,n nn n x f x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈∞⎩显然()n f x 一致收敛至0.但是()1n Ef x dx =∫,所以lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞≠∫∫ 解毕27. 设lim ()(),,()k k f x f x x E E μ→∞=∈<+∞,且()(1,2,...)rk Ef x d M k μ≤=∫,0.r <<∞则对0,p r <<有lim ()()0pk Ek f x f x d μ→∞−=∫．证明: 考虑,r q p=令:111'q q +=,对E 的任何可测子集e ：()()11'()()1ppqq q k k eeef x d f x d d μμμ≤∫∫∫11'()q q M e μ≤于是:。
21度量空间与连续映射
2.1 度量空间与连续映射1.定义σ, 'σ:⨯R R →R 使得对任意x , y ∈R , 有2(,)()x y x y σ=-和22'(,)||x y x y σ=-. 证明σ和'σ都不是R 的度量.证明: 取2x y z +=, 其中,x y ∈R , x y ≠. 则()()2,,2x y x z z y σσ-⎛⎫== ⎪⎝⎭,()()()()2,,,2x y x z z y x y σσσ-+=<. 故σ不是R 的度量.()22',0x y x y x y σ=⇒=⇒=±. 故'σ也不是R 的度量.2. 证明: 只含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间.证明: 设(),X ρ是一个度量空间, 其中{}1,n X x x = .(){},1min |,,2i j i j x x x x X i j δρ∈≠. 则对任意i j x x ≠,(),i j x x ρδ>. 这样, (),X ρ是一个离散的度量空间.3. 设(,)X ρ是一个离散的度量空间. 证明: (1) X 的每一个子集都是开集;(2) 如果Y 也是一个度量空间, 则任何映射:f X Y →都是连续的.证明: (1) 对任意x X ∈, 取0x δ>, 使得y X ∈, y x ≠有(),xx y ρδ>. 则(){},x B x x δ=. X 的单点子集都是开集. 从而X 的每一个子集都是开集.(2) 设f 是从X 到Y 的任一映射.任取x X ∈及0ε>. 则()()(){}()(),,x f B x f x B f x δε=⊂,其中x δ定义如(1). 故f 连续.4. 集合X 的两个度量1ρ和2ρ称为等价的, 如果X 的子集A 是度量空间1(,)X ρ的开集当且仅当A 是度量空间2(,)X ρ的开集.设1ρ和2ρ是集合X 的两个等价的度量, Y 是一个度量空间, :f X Y →. 证明f 相对于度量1ρ是连续的当且仅当f 相对于度量2ρ是连续的.证明: 设f 相对于度量1ρ是连续的. 任取Y 中开集B . ()1f B -为1(,)X ρ的开子集.因为1ρ和2ρ是X 的等价度量, ()1f B -亦为2(,)X ρ的开子集. 由定理2.1.4, f 相对于度量2ρ是连续.若f 相对于度量2ρ是连续, 则同理可推出f 相对于度量1ρ连续.5. 定义1ρ,2ρ22:→R R 使得对于任何12(,)x x x =, 212y=(y ,)y ∈2R ,1(,)x y ρ=max {}1122||,||x y x y -- 21122(,)||||x y x y x y ρ=-+-证明:1ρ和2ρ以及2R 的通常度量ρ是2R 的等价的度量.在平面上取定一个直角坐标系, 就以上提到的每一种度量画一个单位圆, 看看它们是什么样子的.证明: 先证明1ρ,2ρ是2R 的度量. 显然它们满足度量的条件(1), (2). 下面证明它们满足三角不等式. 设()()()2121212,,,,,x x x y y y z z z ===∈R .(){}{}{}{}()()11122111122221122112211,max ||,||max ||||,||||max ||,||max ||,||,,.x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y x z z y ρρρ=--≤-+--+-≤--+--=+()()()()()21122111122221122112222,||||||||||||||||||||,,.x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y x z z y ρρρ=-+-≤-+-+-+-=-+-+-+-=+故1ρ,2ρ是2R 的度量.其次证明证明1ρ, 2ρ和ρ等价.()()()11,,2,.x y x y x y ρρρ≤≤(1)设U 为()2,ρR 中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使(),B x U ρε⊂, 其中(),B x ρε表示度量空间()2,ρR 中x 的ε-邻域.由(1)右边不等式, ()1,/2B x U ρε⊂. 即见U 是()21,ρR 中的开集.反之, 设U 是()21,ρR 中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使()1,B x U ρε⊂. 由(1)左边不等式, (),B x U ρε⊂. 即见U 是()2,ρR 中的开集.因此, ()21,ρR 和()2,ρR 有相同的开集, 1ρ和ρ等价.又()()()2,,2,x y x y x y ρρρ≤≤(2)利用此不等式, 仿上可证()22,ρR 和()2,ρR 有相同的开集. 从而2ρ和ρ等价.图形略.6. 从欧氏平面2R 到实数空间R 的映射m , 2:s →R R 定义为对于任何12(,)x x x =,()m x =max {}12,x x12()s x x x =+证明m 和s 都是连续映射.证明: 先征m 是连续映射. 设(),x x y =是2R2中任意一点. 对任意0ε>, ()212,y y y =∈R , 因为(){}{}{}()()111221212,max ||,|||max ,max ,|||x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=- (其中1ρ是第5题中定义的2R2大度量), 故()()()(),,m B x B m x εε⊂. 于是m 在点x 对于度量1ρ而言是连续的. 由于2x ∈R 是任意的, 从而m 对于度量1ρ而言连续. 由第4题知m 对于2R2通常的度量ρ连续.其次证明s 连续. 设(),x x y =是2R2中任意一点. 对任意0ε>, ()212,y y y =∈R , 因为()()()()211221212,|||||()|||x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=- (其中2ρ是第5题中定义的2R2大度量), 故()()()(),,s B x B s x εε⊂. 于是s 在点x 对于度量2ρ而言是连续的. 由于2x ∈R 是任意的, 从而m 对于度量2ρ而言连续, 从而由第4题知知s 对度量ρ连续.7. 设(),X ρ是一个度量空间.1ρ, 2ρ:X X ⨯→R 分别定义为对于任意x , y X ∈,1(,)(,)1(,)x y x y x y ρρρ=+2(,),(,)1(,)1,(,)1x y x y x y x y ρρρρ≤⎧=⎨>⎩如果如果证明1ρ,2ρ和ρ是X 的三个等价度量.证明: 先证明1ρ,2ρ是X 的度量. 1ρ, 2ρ显然满足度量的条件(1), (2). 下面证明它们满足三角不等式. 设,,x y z X ∈.1ρ满足三角不等式是因为()()()()()()()()()()()()1111,11,111,,,,1,,1,,,,.x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρ=-+≤-++=+++++≤+若2ρ不满足三角不等式, 即存在,,x y z X ∈, 使()()()222,,,.x y x z z y ρρρ>+ 由2ρ的定义, ()()2,,x y x y ρρ≤, 且()2,1x y ρ≤, 从而()2,1x z ρ<, ()2,1z y ρ<, 故()()2,,x z x z ρρ=, ()()2,,z y z y ρρ=, 于是()()(),,,x z z y x y ρρρ+<, 与ρ是度量矛盾.因此,1ρ, 2ρ都是X 的度量.其次证明1ρ,2ρ和ρ等价.对任意,x y X ∈, 0ε>, 因为()()1,,x y x y ρρ≤, 所以()()1,,B x B x ρρεε⊂. 从而()1,X ρ中的开集是(),X ρ中的开集. 反之, 若V 是(),X ρ中的开集, 对任意x V∈, 存在01/2ε<<, 使得(),B x V ρε⊂. 对任意()1,/2y B x ρε∈, 因为()()()11,2,,11,14x y x y x y ερρερ=<<--所以()()1,/2,B x B x V ρρεε∈⊂. 这样, V 是()1,X ρ中的开集. 故(),X ρ, ()1,X ρ有完全相同的开集, ρ和1ρ等价.因为()()2,,x y x y ρρ≤, 所以()2,X ρ中的开集是(),X ρ中的开集. 另一方面, 当(),1x y ρ≤时,()()()21,,,x y x y x y ρρρ=≥; 当(),1x y ρ>时,()()21,1,x y x y ρρ=>. 因此, 总有()()21,,x y x y ρρ≥. 从而()1,X ρ中的开集也是()2,X ρ中的开集. 即(),X ρ中的开集也是()2,X ρ中的开集. (),X ρ和()2,X ρ有完全相同的开集, ρ和2ρ等价.所以, 1ρ, 2ρ和ρ等价.2.2 拓扑空间与连续映射1. 证明例2.2.5.证明: (1) ∅∈T . 'X X ∈⇐=∅T.(2) 设,A B ∈T. 若{},A B ∅∈, 则A B ⋂=∅∈T. 若{},A B ∅∉, 则()'''A B A B ⋂=⋃可数,A B ⋂∈T.(3) 设1⊂T T.{}21-∅ TT . 显然12= TT. 若2=∅T, 则12==∅∈ TTT.若2≠∅T, 选取02A ∈T. 这时有()()122''''0A A A A A A A ∈∈∈==⊂TTT . 可见()1'A A ∈T可数. 故1∈ T T.2. 对于每一个n +∈Z , 令{}|n A m m n +=∈≥Z , 证明{}{}|n A n +=∈⋃∅Z T 是正整数+Z 的一个拓扑.证明: ∅∈T. 1A +=∈Z T. ∅⋂∅=∅∈T; i A ∅⋂=∅∈T, i ∀;{}max ,i j i j A A A ⋂=∈T .{}∅=∅∈ T;{}{}11min |i i A A ∈-∅=∈ T T T,{}1∀∅≠∈T T.3. 就2n =, 3, 4指出:(1) 恰含n 个点的集合一共有多少个拓扑?(2) 恰含n 个点的拓扑空间一共有多少个同胚等价类?解: 略.4. 分别确定有限补空间和可数补空间何时是可度量化空间.解: 我们证明, 有限(可数)补空间X 可度量化当且仅当X 有限(可数). 若有限(可数)补空间X 有限(可数), 易验证X 的单点集为开集, 从而X 离散, 故可度量化(见第5题). 下证条件的必要性.设X 是可度量化的有限补空间, X 的度量ρ诱导X 的有限补拓扑. 若X 为单点集, 显然有限. 设X 含有至少两个点. 取,x y X ∈, x y ≠. 令正数()1/2,x y ερ<⋅. 因为(),B x ε是X 的开集, 则()()',B x ε有限. 同理()()',B y ε有限. 利用三角不等式可验证()(),,B x B y εε⋂=∅, 即()()()',,B x B y εε⊂. 所以(),B x ε有限. 这样()()()',,X B x B x εε=⋃有限.设X 是可数补空间且X 的度量ρ诱导X 的可数补拓扑. 取x X ∈. 则{}{}(){}{}'''11,,.n n X x x x B x x B x n n ++∈∈⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋃=⋃=⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z Z由于各'1,B x n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可数, 易见X 可数.5. 证明每一个离散空间都是可度量化的.证明: 设X 离散, 即X 的任一子集都是开集. 令()20,;:,, 1..x y X x y x y ρρ=⎧→=⎨≠⎩若若R则ρ是X 上的度量. 对任意x X ∈, (){},1/2B x x =. 即X 的单点集都是(),X ρ中的开集. 从而X 对所有子集都是(),X ρ中的开集. ρ诱导X 的离散拓扑.6. 设(),X ρ是一个度量空间. 证明作为拓扑空间X 是一个离散空间, 当且仅当ρ是一个离散度量.证明: 如果ρ离散, 则对任意x X ∈, 存在δ使得(){},B x x δ=. 从而X 的单点集都是闭集,(),X ρ离散. 如果ρ不离散, 则存在x X∈, 对任意0δ>, 存在y X ∈, y x ≠,(),x y ρδ<. 那么{}x 不是(),X ρ中的开集, (),X ρ作为拓扑空间不是离散的.7. 设1T和2T是集合X 的两个拓扑. 证明12⋂TT也是X 的拓扑. 举例说明12⋃T T可以不是X 的扑拓.证明: 由于12,,X ∅∈T T, 所以12,X ∅∈⋂TT. 对任意12,A B ∈⋂TT, 则12,A B ⋂∈T T, 所以12A B ⋂∈⋂TT. 对任意12⊂⋂TT T, 即12,⊂TT T,有12,∈ TT T. 故12∈⋂ TT T. 所以12⋂TT是X 的拓扑.{}1,2,3X , {}{}{}1,1,1,2,3∅ T , {}{}{}2,2,1,2,3∅ T. 则12,T T是X 的拓扑. 但{}{}{}{}12,1,2,1,2,3⋃=∅T T不是X 的扑拓.8. 设{}γγ∈ΓT是由X 的一些拓扑构成的集族, 其中指标集Γ非空. 证明:γγ∈ΓT是X 的一个拓扑.证明: 因为对任意γ∈Γ有,X γ∅∈T, 所以,X γγ∈Γ∅∈T. 对任意,A B γγ∈Γ∈ T, 则对每一γ∈Γ有A B γ⋂∈T , 从而A B γγ∈Γ⋂∈T. 对任意γγ∈Γ⊂ TT, 则对任意γ∈Γ, γ∈T T,γ∈ TT. 故γγ∈Γ∈ T T.γγ∈ΓT是X 的一个拓扑.9. 设(),X T 是一个拓扑空间,∞是任何一个不属于X 的元素. 令{}*X X =⋃∞,{}**X =⋃TT. 证明()**,X T 是一个拓扑空间.证明: **,X ∅∈T. 任取*,A B ∈T . 若,A B 有一个位*X , 则*A B ⋂∈T; 若,A B ∈T , 则*A B ⋂∈⊂TT. 任取*1⊂T T. 若*1X ∈T, 则**1X =∈ T T ; 若*1X ∉T, 即1⊂T T, 则*1∈⊂ TTT. 所以()**,XT是一个拓扑空间.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射.证明: 设()():,,XY f X Y →T T .(1) {}(){}1,,YYXY f X -=∅⇒=∅⊂TTT.(2)若X 离散, 则()()1Y Xf X -⊂=T P T11. 举例说明拓扑空间的连续的一一映射的逆映射可以不是连续的. 如果要求所涉及的拓扑空间都是可度量化的, 你还能举出这样的例子吗?解: {}0,1X , ()1X TP, {}2,X ∅ T. X 上的恒同映射X i 是从()1,X T到()2,X T 的连续的一一映射, 但不是从()2,X T 到()1,X T 的连续的映射.在所涉及的空间都是度量空间时这样的例子也是存在的. 令12:,it p S t e π→ R .1[0,1)|:[0,1)p S →是连续的一一映射而()1[0,1)|p -不连续.12. 设X 和Y 是两个同胚的拓扑空间. 证明: 如果X 是可度量化的, 则Y 也是可度量化的.证明: 设h 是从拓扑空间(),XX T到拓扑空间(),Y Y T 的同胚,X ρ是X 上诱导拓扑XT的度量. 令()()()()211122:,,,.Y X Y y y h y h y ρρ--→ R 易验证Y ρ是Y 的度量.由于h 是等距, 从而是从(),X X ρ到(),Y Y ρ的同胚. 则()()()(),,Y X XYY X h h ρρ===TTTT, 即Y ρ诱导YT.习题2.41. 求集合的导集和闭包.(1) 设A 是有限补空间X 中的一个无限子集. 求A 的导集和闭包; 解: (),.d A X A X ==(2) 设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集. 求A 的导集和闭包; 解: (),.d A X A X ==(3) 求实数空间R 中的有理数集Q 的导集和闭包; 解: (),.d ==(4) 设*X 是§2习题9中定义的拓扑空间. 求单点集{}∞的导数和闭包. 解: ({}),{}{}.d ∞=Φ∞=∞ 2. 设X 是一个拓扑空间, ,.A B X ⊂证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; 证明:x 为A 的聚点⇔对于任意的U ∈x U ,({})U A x ⋂-≠Φ⇔(({}){})(({})U A x x U A x ⋂--=⋂-≠Φ⇔x 为{}A x -的聚点.(2) 如果(),d A B A ⊂⊂ 则B 是一个闭集.证明: 由于(),d A B A ⊂⊂ 故()().d B d A B ⊂⊂因此B 是一个闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件: 对于任何,,A B X ⊂*****()(())()()A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-Φ证明: 若Kuratovski 公理成立, 则********()(())()()()()().A c A c c B c A c B c A B c A B c ⋃⋃=⋃=⋃=⋃-Φ反之, 令,A B ==Φ 则*****()(())()(),c c c c c Φ⋃Φ⋃Φ=Φ-Φ=Φ即*().c Φ=Φ 令,B =Φ 则 *****()(())()(),A c A c c A c A c A ⋃⋃Φ=⋃= 这说明*().A c A ⊂ 令,A =Φ 则 *****()(())()(),c c c B c B c Φ⋃Φ⋃=-Φ即***(())().c c B c B = 由上述结论知***()()().c A B c A c B ⋃=⋃4. 设X 是一个拓扑空间; {}A γγ∈Γ是X 中的一个任意子集族, 其中指标集Γ非空;,.A B X ⊂证明以下三个包含关系, 并举例说明每一个都不能改为等号.(1) A A γγγγ∈Γ∈Γ⋃⊂⋃; (2) A A γγγγ∈Γ∈Γ⋂⊃⋂; (3) .A B A B -⊂-解: (1) 对于每一个γ∈Γ, 都有A A γγγ∈Γ⊂⋃, 所以 ,A A γγγ∈Γ⊂⋃ 从而A A γγγγ∈Γ∈Γ⋃⊂⋃.(2) 对于每一个γ∈Γ, 都有A A γγγ∈Γ⊃⋂, 所以 ,A A γγγ∈Γ⊃⋂从而A A γγγγ∈Γ∈Γ⋂⊃⋂.(3) 因为()(),A A B A B =-⋃⋂ 所以()()().A B A B A B B A B A B B A B -=-⋃⋂-=-⋃⋂-⊂-5. 设X 是一个集合; F 是的一个子集族, 满足定理2.4.3中的条件 (1), (2), (3). 证明有惟一的一个拓扑T 使得F恰好为拓扑空间(,)X T中的全体闭集构成的集族.证明: 记{}'|F X F =⊂∈TF.因为,X Φ∈F ,所以,X Φ∈T ;设,A B ∈T , 则'',A B ∈F , '''()()A B A B ⋂=⋃∈F,所以A B ⋂∈T.设⊂1T T, 则'''()A A A A ∈∈⋃=⋂∈11TFT.其中'{|}A A =∈11F T .因此T 是X 的一个拓扑并且由T的构造知, F 恰好是拓扑空间(,)X T全体闭集族. 若1T也是X 的拓扑, 且使F 恰好使拓扑空间(,)X 1T 的全体闭集族, 设U ∈T , 即'U 是拓扑空间(,)X T的闭集. 从而也是拓扑空间(,)X 1T 的闭集. 即U ∈1T, 所以 ⊂1TT . 同理可证⊂1T T, 因此=1T T.6. 证明: 拓扑空间中的每一个子集的导集为闭集当且仅当每一个单点集的导集为闭集. 证明: 必要性显然, 下面证充分性.设,A X ⊂ 任取,x A ∈ 已知({})({}),dd x d x ⊂于是()(({}){})({})({})({})({})({})({})()()()({})()()x Ax Add A dd A x x dd A x dd x A x d A x d x A x d A dd A dd A A x d A d A ∈∈=-⋃=-⋃⊂-⋃-⋃=-⋃=⊂-⋃=这说明A 是闭集. (这是熊金城教授给出的答案)7. 设X 是一个拓扑空间; {}A γγ∈Γ是X 中的一个子集族. 证明: 如果对于每一个,γ∈Γ集合A γ导集是闭集, 则集合A γγ∈Γ⋃的导集是闭集. 利用第六题的方法依虎画猫就可以作出来.8. 证明: 度量空间中的每一个子集的导集都是闭集.证明: 设(,)X ρ是度量空间, {}x 是(,)X ρ的独点集, 对任意的'({})y x ∈,.y x ≠ 记(,)0,x y ερ=> 则'(,)({})2B y x ε⊂, 即 '({})x 是开集, 从而{}x 是闭集.下证(,)X ρ的每一个子集的导集都是闭集, 设ρT是由X 的度量ρ诱导出来的拓扑, 作为拓扑空间(,)X ρT的每一个独点集都是闭集, 即({}){},d x x ⊂ 又因为({}),x d x ∉ 所以({})d x =Φ. 因此(,)X ρT 中的每一个独点集都是闭集.由第6题知(,)X ρT中每一个子集的导集都是闭集. 所以(,)X ρ中每一个子集的导集都是闭集.习题2.51. 就§2.4习题1的条款求取指定集合的内部和边界. 解: (1) 若'A 是一个有限集, 则 ',()A A A A =∂= ; 若'A 是一个无限集, 则,()A A X =Φ∂= .(2) 若 'A 是一个可数集, 则 ',()A A A A =∂= ;若'A 是一个不可数集, 则,()A A X =Φ∂= .(3) (),().=Φ∂= (4) ({}),({}){}.∞=Φ∂∞=∞2. 设X 是一个拓扑空间, ,.A B X ⊂ 证明: (1) ();A A A -=⋃∂ ()A A A =-∂ .证明: ''()()()A A A A A A A A A X A ⋃∂=⋃⋂=⋂⋃=⋂=.''()()()A A A A A A A A A A -∂=-⋂=⋂⋃=Φ⋃= .(2) ()(),()();A A A A -∂⊂∂∂⊂∂证明: ''()()()()()A A A A A A ∂=⋂⊂⋂=∂ . (3) ()()(),();A B A B A B A B ∂⋃⊂∂⋃∂⋃⊃⋃证明:''''''()()()()()(())(())()()()()A B A B A B A B A B A A B B A B A A B B A B ∂⋃=⋃⋂⋃=⋃⋂⋃=⋂⋃⋃⋂⋃⊂⋂⋃⋂=∂⋃∂(4) ()A ∂=Φ当且仅当A 是一个既开又闭的集合;证明: 由于 ()A A A =⋃∂=Φ; ()A A A A =-∂=. 所以A 是既开又闭的集合;反之, 若A 是既开又闭的集合, A A =, ''A A =, 所以 ''()A A A A A ∂=⋂=⋂=Φ. (5) (())();A A ∂∂⊂∂ 证明:因为'()A A A ∂=⋂为闭集, 所以()()A A ∂=∂.则'()()(())()()A A A A A ∂∂=∂⋂∂⊂∂=∂.(6) ()(()()).A B A B A B A B ⋂⋂∂⋂=⋂⋂∂⋃∂ 证明:'''''''''()()()()()()()()(())(())(()())A B A B A B A B A B A B A B A B A A B B A B A A A B B B A B A A B B A B A B ⋂⋂⋂⋂⋂=⋂⋂⋃=⋂⋂⋃=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂=⋂⋂∂⋃⋂⋂∂=⋂⋂∂⋃∂ 3. 仿照闭包运算的定义自行定义“内部运算”. 并且自行叙述和证明与定理2.4.8相应的定理.定义：设X 是一个集合. 映射 *:()()e X X →P P 如果满足条件: 对于任何,()A B X ∈P , (1) *()e X X =; (2) *()e A A ⊂;(3) ***()()()e A B e A e B ⋂=⋂; (4) **(())e e A A =.则称为集合X 的一个内部运算.定理: 设X 是一个集合, *:()()e X X →P P 是集合X 的一个内部运算. 则存在X 的惟一一个拓扑T使得在拓扑空间(,)X T中对于每一个A X ⊂有*()e A A = .证明: 我们证明X 的子集族*{|()}U X e U U =⊂=T 便是定理要求的那个惟一的拓扑.首先验证T是X 的一个拓扑:(i) 根据 (1), (2) *()e X X =, *()e Φ⊂Φ, 即*()e Φ=Φ, 故 ,X Φ∈T .(ii) 设,A B ∈T , 则 **(),()e A A e B B ==. 根据 (3)式 ***()()()e A B e A e B ⋂=⋂, 所以 A B ⋂∈T .(iii) 设⊂1TT ,对于任意的A ∈1T 都有*()e A A =. 由(2) 得*()A A e A A ∈∈⊂ 11T T , 另一方面, 若A B ⊂, 则A AB =⋂, *****()()()()()e A e A B e A e B e B =⋂=⋂⊂,所以**()()A e A e A ∈⊂ 1T ,**()()A A e A e A ∈∈⊂11TT , 故 *()A A e A A ∈∈= 11T T . 所以A A ∈∈1TT.假设 T也是X 满足定理要求的拓扑, 也就是说, 任何一个集合A X ⊂在拓扑空间(,)X T中的内部也是*()e A . 若A ∈T, 则 **1()()A e A A e A === . 所以⊂1TT , 同理可得 ⊂1TT故 1T =T.4. 证明: 对于任何拓扑空间中的任何一个子集A , 经过取补集, 闭包, 内部三种运算最多只能产生14个集合. 并且在实数空间中选取一个适当的子集, 使它经过上述三种运算恰能产生14个不同的集合.证明: 由于''()A A = , 即A 取内部运算可以通过取补集及闭包得到, 因此仅需考虑A 取补集和闭包所生成的集合, 有因为 '',A A A A ==, 因此只考虑交替取补集及闭包的运算. 首先易证: A A ---= , 又因为''()A A = , 所以 ''''''A A ------=, '''''A A ------=. 对A 先取补集运算, 最多可以得到7个不同的集合: '''''''''''''''',,,,,,A A A A A A A------------.对A 取闭包运算, 最多可以得到6个不同的集合: ''''''''',,,,,A A A A A A------------. 综上: 连同集合A , 至多有14个不同的集合. 5. 设A 是度量空间(,)X ρ中的一个子集. 证明: (1) x A ∈当且仅当'(,)0;x A ρ>(2) ()x A ∈∂当且仅当既有(,)0x A ρ=又有'(,)0x A ρ=. 证明: (1) ''()x A A ∈= 当且仅当 'x A ∉当且仅当'(,)0.x A ρ>(2) ()x A ∈∂ 当且仅当 'x A A ∈⋂ 当且仅当 x A ∈ 并且 'x A ∈当且仅当(,)0x A ρ= 并且 '(,)0x A ρ=.6. 设X 和Y 是两个拓扑空间, :f X Y →. 证明以下两个条件等价: (1) f 连续;(2) 对于Y 中的任何一个子集B , B 的内部的原像包含于B 的原像的内部, 即11()(()).f B f B --⊂证明: (1)⇒(2) 由于f 连续, 所以对于Y 中的任何一个子集B , 1()f B - 是开集, 故()()11()f B f B --= , 又因为 ()()11f B f B --⊂ , 所以 11()(()).f B f B --⊂反之, 对于任意的开集B , 111()(())(()).f B f B f B ---=⊂这说明 11(())(())f B f B --= ,1()f B -是开集, f 连续.7. 设X 和Y 是两个拓扑空间. 又设映射:f X Y →满足条件: 对于X 的任何一个子集,A A 的像的内部包含于A 的内部的像, 即(())()f A f A ⊂ .(1) 证明: 如果f 是一个满射, 则f 连续;(2) 举例说明当f 不是满射时f 可以不是连续映射.证明: 对于Y 中任意的开集B , 由于f 是满射, 故1(())B f f B -=.11((()))((()))B f f B f f B --=⊂ , 所以 ()11()()f B f B --⊂ , 这说明1()f B -是开集.f 是连续的.习题2.61. 设X 是一个集合, 则X 的子集族B和 B是X 的同一个拓扑的两个基的充分必要条件是B和 B满足条件: (1) 如果x B ∈∈B, 则存在 B∈B 使得 x B B ∈⊂; (2) 如果 ,x B∈∈B 则存在B ∈B 使得 x B B∈⊂. 证明: 设 B, B是X 的拓扑T 的两个基, 如果 x B ∈∈B, 根据定理2.6.2, 存在B∈B , 使得 x B B ∈⊂. 同理(2)也成立. 反之, 如果 B 和 B 分别是拓扑T 和 T的基, 并且(1),(2)成立.设x B∈∈B , 由条件(2), 存在x B ∈B, 使得 x x B B ∈⊂. 从而 {}x x B x B B x B B ∈∈=⊂⊂ , 即 x x B B B ∈= . 任取 A ∈T, 存在 ⊂1B B 使得 ()x B B x B A B B ∈∈∈==∈ 1B BT , 所以 ⊂TT ; 类似可以得到 ⊂TT.因此 T=T.2. 欧式平面2R 的一个子集D 叫做一个开矩形, 如果存在,,,a b c d ∈R 满足条件a b <和,c d < 使得(,)(,),D a b c d =⨯ 其中(,)a b 和(,)c d 都表示开区间. 证明: 2R 中所有的开矩形构成的集族是2R 的一个基. 证明: 记 {(,)(,)|,,,,,}a b c d a b c d a b c d =⨯∈<< B, 则B 是2 的一个开集族.任取2(,)P x y =∈ , 任意的PU ∈U , 存在0,ε> 使得(,)B P U ε⊂, 取,,,,2222a x b x c y d y εεεε=-=+=-=+ 则(,)(,)(,),a b c d B P U ε⨯⊂⊂ 且(,)(,)a b c d ⨯∈B , 由定理2.6.2知B 构成2 的基.3. 证明实数集合R 有一个拓扑以集族{[,)|}{(,]|}a a b b ∞∈⋃-∞∈ 为它的一个基,并说明这个拓扑的特点. 证明:记{(,]|}{[,)|}a ab b =-∞∈⋃∞∈ C , 因为(,][S S aa ∈=⊃-∞⋃∞= C, 所以 S S ∈= C. 由定理2.6.4知, 存在 的惟一的拓扑以C为子基.任意x ∈ , 因为(,][,){}x x x -∞⋂∞=∈T, 即 的每一个独点集都是开集, 因此T 是 的离散拓扑.4. 考虑实数集合 有一个拓扑T以集族{(,)|}a a ∞∈ 为它的一个基, 并且(1) 将T明确地表示出来;(2) 设A ⊂ , 求A 在拓扑空间(,)X T 中的闭包. 实数集合 的这个拓扑T通常称为右手拓扑. 解: 记{(,)|}a a =∞∈ B, 显然B B ∈= B , 设12(,),(,)B a B b =∞=∞∈B, 则12B B ⋂∈B . 由定理2.6.3知 有以B 为基的拓扑.(1) {,}X =⋃ΦTB ;(2) 设{(,]|}b b =-∞∈ F 是(,) T的所以闭集构成的集族, 任意的A ⊂ ,,{(,]|(,]}(,]F F AA F b A b SupA ∈⊃==-∞⊂-∞=-∞ F .5. 考虑实数下限拓扑空间l . 令B为例2.6.1中定义这个拓扑空间的拓扑的那个基. 证明: (1) B中的每一个元素在l 中既是开集又是闭集;(2) l 有一个子基{(,)|}{[,)|}b b a a -∞∈⋃∞∈ . 证明: (1) 任意的[,)a b ∈⊂B T , 即[,)a b 是开集. 又因为(,)[,),[,)[n n a a n a b b b n ∈∈∞=-∞=+∈T , 所以'(,)[,)([,aba b -∞⋃∞=∈T , 因此[,)a b 是闭集, 故B 中的成员是既开又闭的集合. (2) 记{(,)|}{[,)|}b b a a =-∞∈⋃∞∈ S , 则S是T 的子族, 不难验证,S 中任意有限个成员的交恰好是下限拓扑T 的基, 因此S是T的子基.6. 设X 是一个集合, {}γγ∈ΓT 是集合X 的一族拓扑, 其中指标集Γ≠Φ.证明:(1) 集族γγ∈Γ⋃T是X 的某一个拓扑T的一个子基.(2) 如果 T是X 的一个拓扑, 并且对于每一个γ∈Γ有 ,γ⊂T T则 .⊂T T证明(2)因为γγ∈Γ⋃T为T的子基,所以12{|,1,2,}n i S S S S i n γγ∈Γ=⋂⋂∈⋃= B T为T 的基. 任意的B ∈B, 则存在,1,2,i S i n γγ∈Γ∈⋃= T使得12n B S S S =⋂⋂ , 由于对每一个 ,γγ∈Γ⊂TT, 所以 γγ∈Γ⋃⊂TT, 即 i S ⊂T,1,2,i n = . 从而 B ∈T. 因为 ∈BT, 故⊂TT.7. 设X 是一个度量空间. 证明: 如果X 有一个基只含有有限个元素, 则X 必为只含有有限多个点的离散空间. 证明: 设12{,,}n B B B = B为X 的一个基, 假定X 无限, 取互异的1n +个点121,,,n n x x x x X +∈ , 令11min {(,)}i j n i j x x δρ≤<≤+=, 其中ρ为X 的度量, 则(,),1,2,1,i i x B x i n δ∈=+ U 并且(,)(,),i j B x B x i j δδ⋂=Φ≠. 因为B是X 的基, 故存在i B ∈B,(,),1,2,1,i i i x B B x i n δ∈⊂=+ 从而,,i j B B i j ⋂=Φ≠因此B至少有1n +个成员,矛盾.习题2.71. 设X 是一个离散空间, {}i i x +∈ 是X 中的一个序列. 证明: 序列{}i i x +∈ 收敛当且仅当存在M +∈ 使得当,i j M >时, 有i j x x =. 证明: 充分性显然, 下证明必要性设{}i i x +∈ 是X 中的一个序列, 并且{}i i x +∈ 收敛于x , 因为{}x 是x 的开邻域, 所以存在M +∈ 使得当i M >时, 有i x x =,因此当,i j M >时, 有i j x x =.2. 举出定理2.7.2和2.7.3的逆定理不成立的例子, 使得所涉及的空间都只含有可数多个点.3. 设X 是一个度量空间. 证明:(1) X 中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限; (2) 定理2.7.2的逆定理成立;(3) 对于任何一个映射:f X Y →定理2.7.3的逆定理成立, 其中Y 是任何一个拓扑空间. 证明: (1) 设{}i i x +∈ 是X 中的一个序列, 并且,x y 为其极限, 若x y ≠, 则(,)0x y ρ>, 取0(,)x y ερ<<, 存在N ∈ , 使得当i N >时, (,)(,)22i x B x B y εε∈⋂. 从而(,)(,)(,)i i x y x x y x ρρρε<+<矛盾.(4) 逆定理: 如果X 中的一个序列{}i i x ∈ 收敛于x X ∈蕴涵着Y 中的序列{()}i i f x ∈ 收敛于()f x , 则f 连续.证明: 假设f 不连续, 则存在一个Y 中的开集U , 使得1()f U -不是X 的开集. 即存在1()x f U -∈, 对于任意的0ε>, 1(,)()B x f U ε-⊄. 取{}n n x ∈ , ,n x x →并且1()n x f U -∉, 则{()}n n f x ∈ 不可能收敛于()f x ,矛盾.。
一类广义非线性非局部高阶 Kirchhoff型方程的整体吸引子
一类广义非线性非局部高阶 Kirchhoff型方程的整体吸引子摘要：本文主要讨论了高阶kirchhoff方程的整体吸引子，对于低阶kirchhoff方程的整体吸引子，已有相当的研究.本文在低阶型kirchhoff方程研究的基础上，研究了一类广义非线性高阶kirchhoff型方程的整体吸引子.首先，在对高阶kirchhoff方程中的非线性项做出合理的假设下，得到方程的整体解和吸收集，然后由整体吸引子的判定定理(渐近紧性)，得到此类高阶kirchhoff方程的整体吸引子.关键词：高阶Kirchhoff方程；整体解；吸收集；整体吸引子中图分类号：O175GlobalAttractor for a Class of Generalized Nonlinear nonlocalHigher-Order Kirchhoff Type EquationsLU Jingxin(1Department of Information, Tourism and Culture College of YunnanUniversity,Lijiang,Yunnan 6741992School of Mathematics and Statistics,Yunnan University,kunming650500,yunnan,China)Abstract：In this paper, we mainly discuss the global attractor of higher order Kirchhoff equation. For lower order Kirchhoff equation, the global attractor has been studied considerably. In this paper, the global attractors of a class of generalized nonlinear higher-order Kirchhoff equation are studied on the basis of the study of lower-order Kirchhoff equation. Firstly, under the reasonable assumption ofthe non-linear term in the higher-order Kirchhoff equation, the global solution and the absorbing set of the equation are obtained. Then, the global attractor of the higher-order Kirchhoff equation is obtained by the determination theorem of the global attractor (asymptotic compactness).Keywords：Higher-Order Kirchhoff equations；global solutions；absorbing set；global attractors1 引言本文研究下列非线性高阶Kirchhoff型方程的整体吸引子：(1)(2)(3)其中是R N中具有光滑边界的有界域，而有关的假设将在后文中给出.1883年Kirchhoff在研究弹性横截面运动时，建立了下列方程,作为描述该运动模型，其中是形变静止能量的一部分.此方程比经典波动方程更准确的描述了弹性杆运动.因此后人将此类方程命名为kirchhoff方程.关于低阶kirchhoff方程已有很多深入的研究[1-11]，Yang Zhijian[1]也研究了在中具有强阻尼项的Kirchhoff型方程的长时间行为:, (4)其中 , . 是具有光滑边界的有界域，是一个外力项。
度量空间上的绝对连续函数
为
的柯西列，从而存在
满足
下证
。由
为
的柯西列知
对于
，及上述 ，按照定义存在
，满足对任意
也即 取
,则由定义知
, 对任意
由于当
时，
，从而有
对
，又因
一致收敛于 ，从而有
进而
即
，再者
类似上面证明过程，
，对任意
从而
由 的任意性知
因此 也即
上述证明说明了
是
代数 。
在
上定义映射
,容易验证映射 是
上的对合，并且
关系。下半部分是对紧度量空间
，定义了绝对连续函数空间
，并给
出了一族范数，使其成为
代数，最后还计算了它的谱。
第一章 绝对连续函数和绝对嵌入
1.1 定 义 ： 绝 对 连 续 函 数 .
和
为度量空间，固定
，令
，
是一个映射， 是 的子集，
是一个简写记号，为
. 是绝对连续函数即
，
，
，
是 中两两不相交的开球，只要满足
续的，
，
满足
，以
及
，
,使得
，注意到
，
是 中的开
球.
是单射，所以
. 这正好满足
绝对嵌入的定义.
II．推论
， 单一并且连续可微，则 绝对嵌入.
证明：闭区间上连续可微的函数一定是绝对连续的，再由命题 1 即可.
1.7 在这节中我们讨论从 到 的对角线映射是否绝对嵌入.
命题
为度量空间，乘积空间
,
义:
,其中 和 分别定
3) 与 度量等价，若存在从 到 的既单又满的连续映射 ，以及
度量空间与连续映射
[a，b]={x∈R|a≤x≤b} 却不是R中的开集．因为对于 a∈[a，b]而言， 任何ε＞0，B（x，ε） [a,b] 都不成立．类 似地，半开半闭的区间 （a，b]={x∈R |a＜x≤b}， [a，b)＝{x∈R|a≤x＜b} 无限的闭区问 [a，∞)={x∈R|x≥a} , （－∞，b]={x∈R|x≤b} 都不是R中的开集．
1
（2）* 蕴涵（2）． 设（2）* 成立． 对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域， 即 存在包含 f（x）的一个开集V U．
f （U）． 从而 x∈ f （V）
1 1
f （V）是一个开集， 根据（2）*，
1 f 所以 （U）是x的一个邻域，
1
因此 对于x而言，（1）*成立， 于是 f在点x处连续． 由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．
三、连续映射
1、定义 •定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f: X→Y， x0 x0 以及 ∈X如果对于f( )的任何一个球形邻域 x0 x0 B（f( ),ε），存在 的某一个球形邻域 x0 x0 x0 B( ,δ),使得f(B（ ,δ）) B(f( ),ε), x0 则称映射在 点处是连续的．
即：A为度量空间X的开集 a A, B (a, ) A.
•球形邻域都是开集
def
例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．
设a，b∈R，a＜b．我们说开区间 （a，b）={x∈R|a＜x＜b} 是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b）， 若令ε＝ min{ x- a，b- x}， 则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明 无限的开区间 （a，∞）＝{x∈R|x＞a}， （-∞，b）＝ {x∈R|x＜b} （-∞,∞）＝R 都是R中的开集．然而闭区间
证明函数连续的几种方法
证明函数连续的几种方法函数连续是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、实分析、拓扑学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍几种证明函数连续的方法。
一、ε-δ定义在数学中，函数连续的定义是：对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。
这个定义被称为ε-δ定义。
这个定义的意思是，如果我们想要证明函数f在点x0处连续，我们需要证明对于任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。
二、极限定义另一种证明函数连续的方法是使用极限定义。
如果函数f在点x0处连续，那么limx→x0f(x)=f(x0)。
这个定义的意思是，当x趋近于x0时，f(x)趋近于f(x0)。
因此，我们可以使用极限定义来证明函数f在点x0处连续。
具体来说，我们需要证明limx→x0f(x)=f(x0)。
这可以通过直接计算极限来完成，或者使用夹逼定理等方法来证明。
三、中值定理中值定理是另一种证明函数连续的方法。
中值定理的基本思想是，如果函数f在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这个定理的意思是，如果我们想要证明函数f在区间[a,b]上连续，我们可以使用中值定理来证明。
具体来说，我们需要证明存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
四、利用连续函数的性质我们可以利用连续函数的性质来证明函数连续。
具体来说，如果函数f和g在点x0处连续，那么f+g、f-g、fg、f/g（其中g(x0)≠0）也在点x0处连续。
因此，如果我们想要证明函数f在点x0处连续，我们可以利用这个性质来证明。
具体来说，我们可以将f表示为若干个连续函数的和、差、积或商的形式，然后利用这个性质来证明f在点x0处连续。
如何理解弗雷歇距离（fréchetdistance）
如何理解弗雷歇距离（Fréchet distance）作者：陈郁葱定义设二元组S,d是一个度量空间，其中d是S上的度量函数，在无需指明度量函数的情况下，我们把度量空间简称为S。
定义1如果定义在单位区间0,1上的映射γ:0,1→S是连续映射，则称γ为S上的连续曲线。
定义2如果从单位区间到其自身的映射ζ，即函数ζ:0,1→0,1，满足如下三个条件：○1ζ是连续的，○2ζ是非降的，即对于任意x,y∈0,1，且x≤y，都有ζx≤ζy成立，○3ζ是满射，则称函数ζ为单位区间0,1的重参数化函数，且此时有ζ0=0，ζ1=1。
特别地，当ζ为恒等函数ζx=x时，称ζ为平凡重参数化函数，否则，称ζ为非平凡重参数化函数。
显然，单位区间的重参数化函数有无穷多个。
有了以上设定，我们来正式定义度量空间中两条曲线之间的弗雷歇距离。
定义3设A和B是S上的两条连续曲线，即A:0,1→S，B:0,1→S；又设α和β是单位区间的两个重参数化函数，即α:0,1→0,1，β:0,1→0,1；则曲线A与曲线B的弗雷歇距离F A,B定义为：F A,B=infα,βmaxt∈0,1d Aαt,Bβt其中d是S上的度量函数。
几个引理为了更好地理解弗雷歇距离，我们先引入如下几个概念与命题。
定义4对于度量空间S上的任一连续曲线γ:0,1→S，我们称γ0为该曲线的起点，称γ1为该曲线的终点；如果参数η,ξ∈0,1，且η≤ξ，则称γη在γξ的前面，也称γξ在γη的后面。
命题1连续曲线上某点是起点，当且仅当它在所有点的前面；连续曲线上某点是终点，当且仅当它在所有点的后面。
证明：命题显然为真，证略。
∎定义5设度量空间S上有一连续曲线γ:0,1→S，单位区间上有一重参数化函数ζ:0,1→0,1，我们把复合映射γ∘ζ:0,1→S称为曲线γ在重参数化函数ζ作用下的重参数化曲线γ′，即γ′=γ∘ζ。
命题2度量空间中连续曲线的重参数化曲线不改变原曲线上各点的前后关系。
绝对连续函数
绝对连续函数
绝对连续函数是一种特殊的数学函数，它在数学上有着重要的意义和应用。
绝对连续函数是指在数轴上，从左到右每一个点上的函数值都是完全连续的。
首先，简单来说，绝对连续函数指的是从定义域到值域的一种映射，它的定义域可以是实数范围或复数范围，而值域也可以是实数或复数。
其次，我们可以把绝对连续函数看作是一种特殊的函数，它的定义域和值域之间的映射是连续的，即在定义域上的任意两点之间的映射，在值域上也能获得完整的连续性。
此外，绝对连续函数也可以作为判断一个函数是否是连续函数的标准。
如果一个函数在定义域上的任意两点之间的映射在值域上都是连续的，那么这个函数就是绝对连续函数。
绝对连续函数在数学上有着重要的地位，它有助于我们了解函数的特性，并帮助我们更好地利用函数来解决实际问题。
比如，绝对连续函数可以帮助我们求解微分方程，从而求解物理学和工程学等领域的问题。
总之，绝对连续函数是一种特殊的数学函数，它的定义域和值域之间的映射是完全连续的，它在数学和实际应用中都有着重要的意义。
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例子：
，
证明：只要证明
，
，当 ；一般来说， 满足 即可.首先任取
当
。
当
.
，
显然有
，那么由 的定义，有
使得
. 另 为圆形为以正方形
.
，
，
的中心为圆心，半径为
的开球
，明显有
两两互不相交的开球，且
所以 . 此时有：
，因此
是
综
上
所
述
.
证
毕
.
在本节中我们证明
是 的稠密子代数，对其证明我们须要
定理[2] ：若 是 的包含所有常数且分离 内的点的子
，所有连续复函数的全体为 。
很容易看出
是绝对连续函数
使
。
以下命题中的
是从参考文献[6]的思路中得到的。
命题
，则有以下性质：
,当
若
，则
证明 按定义
显Hale Waihona Puke 成立。则按定义，对于存在
满足
，
当
由 知，
；
当 时，对任意 不失一般性，可假设
有上述构造知
从而
，
对任意
从而 。
从而 则按定义
满足对任意
从而
因此
从
我们知道
环，则 在 中稠。
命题 证明:
是紧度量空间, 则
是 的稠密子代数。
是 的子代数。
,由其定义易知
，再由 的 知
。
，显然
，
，从而由
定理知
是 的稠密子代数。
在这节中，我们证明对于所有 ，
在 之下是
定理
为
代数
代数。
证明
显然成立，当取到等号时有
由 的知 从而
也即
由于 从而
由 的知
现在说明
设
为
的完备性。 的柯西列，则由定义知
则 证明：先证 为绝对嵌入。
为绝对嵌入。
那么就
满足
。
至于 为绝对嵌入，其证明过程类似，只需取
.
1.8 以下我们来看一下在
取值的绝对嵌入的一些性质.
I. 命 题 函 数
是单一的连续可微函数，
有
，则 是绝对嵌入.
证明：因为 是连续可微的，所以
是一个大于 的定义域为
的连续函数，因此
是可求长的曲线. 在
证明：可由定义直接得到.
是绝对连续(绝对
1.6 在这节中，我们描述从 到 的绝对嵌入.
I．命题
， 绝对嵌入当且仅当 严格单调并且绝对连续.
证明： 是绝对嵌入，必然是一个单射，再由绝对嵌入的定义， 是一个绝对连
续函数.
是道路连通的，由连续函数的界值性，
的连续单射是严
格单调的.
是严格单调的且是绝对连续的，自然 是一个单射. 不妨设 是单增的 是绝对连
1.4 在这节中我们将看到
的实值绝对连续函数的一些性质.
I．命题： 取
中的度量为：
( 中的子集的这种度量简称通常度量，以后 中子集不加声明均指这种度量).
绝对连续，则
，
，
均绝对连续.
证明：只需证明
是绝对连续即可.
绝对连续，
，
，
，
是 中两两不相交
的开球，
，就有
，取
与线段 又有
的交，
， ，即有：
是绝对连续的.
义不是完全一样.
例子：
是 －绝对连续而不是绝对连续.定义
证明：先证明 不是绝对连续的.
，
，满足
，令
，取
中的子集
，其中 表示球 的半径. 我们会有：
，满足
由绝对连续的定义知 不是绝对连续的.
再证明 是 －绝对连续的. 我们明显有这样的三个事实： 是 中的一个开球半
径为 ，如果 仅与一个 ，(
)中交集不空，我们一定有
II．其逆命题不真，例子如下：
.
证明：
，是一个常数函数. 显然是绝对连续的.
，这关于 也明显是一个绝对连续函数. 下面证明
不是绝对连续的. 取 个不相交的球为
，
，当 时，这
个圆都包含在 同时注意到
中且互不相交. . 那么给定 ，
，于是
.
，总可以找到充分大的 ，
使得取球
，
，所以 不是绝对连续的.
，时
1.5 两个绝对连续函数的复合不一定是绝对连续的，为此我们引入绝对嵌入.
按是否与 或 中子集相交分成两个部分 ，因
这就证明了 是 －绝对连续的.
1.3 从绝对连续，我们定义绝对等价. 下面我们可以比较一下绝对等价，拓扑等 价和度量等价的关系.
和
为度量空间。考虑下面三种定义：
1) 与 拓扑等价，若存在从 到 的既单又满的连续映射 ，使其逆映射也连 续； 2) 与 绝对等价，若定义 1) 中的 及其逆映射绝对连续；
关系。下半部分是对紧度量空间
，定义了绝对连续函数空间
，并给
出了一族范数，使其成为
代数，最后还计算了它的谱。
第一章 绝对连续函数和绝对嵌入
1.1 定 义 ： 绝 对 连 续 函 数 .
和
为度量空间，固定
，令
，
是一个映射， 是 的子集，
是一个简写记号，为
. 是绝对连续函数即
，
，
，
是 中两两不相交的开球，只要满足
,从而
在范数 和映射 下是
代数。
我们知道一个 和 是 代数并
代数的范数是由它的代数结构唯一地决定的，就是说若 是 同构，则 一定是保范的。
但这性质
代数则不一定成立，由 和 我们找到非可数个不相同
的 不是保范的。
，使得
是拓扑同构和 同构但
最后我们来计算
的谱
Ⅰ 定义：设 是具有单位元的交换
代数，称
为同态，若满足：
I．定义： 和 为度量空间，定义 使得对任意的 ，对任意的
只要
及
为绝对嵌入，如果对
，
，
，以及对任意的
，
，当 ，那么就存在
及
，满足
且
，
，
.
II．由定义可见，若 绝对嵌入则必为绝对连续. 是一个单射，这是因为如果
，有
. 那么
，使得
，但由
绝对嵌入的定义
，矛盾.
III．命题
是度量空间，
为绝对嵌入，
嵌入)，那么 是绝对连续(绝对嵌入).
，就有
.
注： 1) Lipschitz 连续函数是绝对连续的. 2) 绝对连续函数是一致连续的.
1.2 在这一节中我们比较 Mal 的 －绝对连续和 1.1 中定义的绝对连续
I．定义[3，1]：
为 －绝对连续
，如果
，
，使得
，
，， 以 及
，只要
，及
， ，那么就有
，其中
。
II．可以举出例子说明当 是 －绝对连续时不一定绝对连续. 这表明这两个定
知
，从而
的极大性知
。
，矛盾。由此可知
，再由
由于 的极大理想皆可表示为如下形式
若 为 中不同的极大理想，则显然
的一个极大理想，则
是
,从而 。并且若 是 的极大理想。
Ⅳ
的所有极大理想的集合记为 ，
的所有极大理想的集合记为 ，
则由引理知映射
是既单又满的。
定理
证明 考虑映射
，从而
，其中 由此知
交换，因此映射 既单又满。
，其中 是与
内最大的开球，此时总有
；如
果开球 如果
，明显的有 ， 仅与
； 中任意一个开球 ， ，中唯一的一个可能有非空的交集.
，
，使得
，取
，
，若
是 个互不相交的开球，且满足 .那么 至多只与
，那么
，
中的唯一的一个开球相交，这
时：
，当 与
中的某个开球 相交时，有：
时，
.将
此我们有：
，由前面的描述，
，所以当
引理 设 是 的一个极大理想，则
是
；反过来，
若是
的极大理想，则唯一存在 的一个极大理想 满足
。
证明 由于
是 的子代数，从而若 是
是
的真理想；
的一个真理想，则
若是
的极大理想，则 作为 的子代数，考虑由 生成的理想
，下证
。不然存在
满足
由于
是 的稠子代数，从而对每一 存在
从而
,满足
由此知，存在
，从而
，因此从
中取两点 ， ，
分别在这两点作
的两条法线 ，那么存在唯一的
中的开球
与 相切于 ， . 由 导函数的一致连续性，不难得到
，
以及一个只和 有关的常数
，只要
，
就有
且
；
，
，满足
，
，就有
.
取
，
，
，
是 中不相交的
开区间，满足
，那么
是
中互不相交的开
球，有
，且
.因
此 是绝对嵌入.
II. 若在上面的命题中把
去掉，则结果不一定成立.
的映射，
令
,
,
当 连续，绝对连续时，考察 性质.
参考文献： [1] 周性伟，实变函数，科学出版社，2004 [2] J.B.Conway，A course in Functional Analysis，Springer-Verleg，1994 [3] Jan Mal ，Absolutely Continuous Functions of Several Variables， J.Math.Anal.Appl.231 (1999)492-508 [4] Donatella Bongiorno ， Absolutely Continuous Function in ， J.Math.Anal.Appl.303 (2005)119-134 [5] Jakub Duda，Absolutely Continuous Functions with Values in Metric Spaces，preprint(2005) [6] Brenden Ashton and Ian Doust，Functions of Bounded Variation on Compact Subsets of The Plane，preprint(2000)