度量空间上的绝对连续函数

1.4 在这节中我们将看到
的实值绝对连续函数的一些性质.
I．命题： 取
中的度量为：
( 中的子集的这种度量简称通常度量，以后 中子集不加声明均指这种度量).
绝对连续，则
，
，
均绝对连续.
证明：只需证明
是绝对连续即可.
绝对连续，
，
，
，
是 中两两不相交
的开球，
，就有
，取
与线段 又有
的交，
， ，即有：
是绝对连续的.
,从而
在范数 和映射 下是
代数。
我们知道一个 和 是 代数并
代数的范数是由它的代数结构唯一地决定的，就是说若 是 同构，则 一定是保范的。
但这性质
代数则不一定成立，由 和 我们找到非可数个不相同
的 不是保范的。
，使得
是拓扑同构和 同构但
最后我们来计算
的谱
Ⅰ 定义：设 是具有单位元的交换
代数，称
为同态，若满足：
的映射，
令
,
,
当 连续，绝对连续时，考察 性质.
参考文献： [1] 周性伟，实变函数，科学出版社，2004 [2] J.B.Conway，A course in Functional Analysis，Springer-Verleg，1994 [3] Jan Mal ，Absolutely Continuous Functions of Several Variables， J.Math.Anal.Appl.231 (1999)492-508 [4] Donatella Bongiorno ， Absolutely Continuous Function in ， J.Math.Anal.Appl.303 (2005)119-134 [5] Jakub Duda，Absolutely Continuous Functions with Values in Metric Spaces，preprint(2005) [6] Brenden Ashton and Ian Doust，Functions of Bounded Variation on Compact Subsets of The Plane，preprint(2000)
证明：可由定义直接得到.
是绝对连续(绝对
1.6 在这节中，我们描述从 到 的绝对嵌入.
I．命题
， 绝对嵌入当且仅当 严格单调并且绝对连续.
证明： 是绝对嵌入，必然是一个单射，再由绝对嵌入的定义， 是一个绝对连
续函数.
是道路连通的，由连续函数的界值性，
的连续单射是严
格单调的.
是严格单调的且是绝对连续的，自然 是一个单射. 不妨设 是单增的 是绝对连
例子： 则 证明：
. 是单一的连续可微，但不是绝对嵌入.
，总存在 且
的子集，
都是连续可微的，
，使得
，
，
.
，
，
，
是
当
时. 因此
，
时，
连续的改变超过了 ，从原
点出发的任意一条射线与
，
的开球
对嵌入的条件矛盾.
，
都有交点. 那么在
中包含
都必须包含原点，即有
. 这就和绝
III. 若 ， 均为
的绝对嵌入函数，则
按是否与 或 中子集相交分成两个部分 ，因
这就证明了 是 －绝对连续的.
1.3 从绝对连续，我们定义绝对等价. 下面我们可以比较一下绝对等价，拓扑等 价和度量等价的关系.
和
为度量空间。考虑下面三种定义：
1) 与 拓扑等价，若存在从 到 的既单又满的连续映射 ，使其逆映射也连 续； 2) 与 绝对等价，若定义 1) 中的 及其逆映射绝对连续；
，就有
.
注： 1) Lipschitz 连续函数是绝对连续的. 2) 绝对连续函数是一致连续的.
1.2 在这一节中我们比较 Mal 的 －绝对连续和 1.1 中定义的绝对连续
I．定义[3，1]：
为 －绝对连续
，如果
，
，使得
，
，， 以 及
，只要
，及
， ，那么就有
，其中
。
II．可以举出例子说明当 是 －绝对连续时不一定绝对连续. 这表明这两个定
3) 与 度量等价，若存在从 到 的既单又满的连续映射 ，以及
，满
足
，我们有：
。
I. 很明显，上述定义中，3)强于 2)，2)强于 1). 同时可以举出 1)，2)不等价和 2)，3)不等价的例子.
II. 1) ， 2) 不 等 价 的 例 子 ：
，
，
，
. 其中 ， 的度量是 的通常度量， 保证了 与 是拓扑
续的，
，
满足
，以
及
，
,使得
，注意到
，
是 中的开
球.
是单射，所以
. 这正好满足
绝对嵌入的定义.
II．推论
， 单一并且连续可微，则 绝对嵌入.
证明：闭区间上连续可微的函数一定是绝对连续的，再由命题 1 即可.
1.7 在这节中我们讨论从 到 的对角线映射是否绝对嵌入.
命题
为度量空间，乘积空间
,
义:
,其中 和 分别定
引理 设 是 的一个极大理想，则
是
；反过来，
若是
的极大理想，则唯一存在 的一个极大理想 满足
。
证明 由于
是 的子代数，从而若 是
是
的真理想；
的一个真理想，则
若是
的极大理想，则 作为 的子代数，考虑由 生成的理想
，下证
。不然存在
满足
由于
是 的稠子代数，从而对每一 存在
从而
,满足
由此知，存在
，从而
，因此从
未必绝对嵌入。反例如下：令
， .
证明：
，即有
，
，显然 都
是绝对嵌入. 取
个不相交的球为
，
，当 时，这
个圆都包含在 同时注意到
中且互不相交. . 那么给定 ，
，于是
.
，总可以找到充分大的 ，
使得取球
，
，所以 不是绝对连续的.
，时
第二章 紧度量空间上的绝对连续复函数
是紧度量空间，若 ,对任意 定义
记所有绝对连续复函数的全体为
II．其逆命题不真，例子如下：
.
证明：
，是一个常数函数. 显然是绝对连续的.
，这关于 也明显是一个绝对连续函数. 下面证明
不是绝对连续的. 取 个不相交的球为
，
，当 时，这
个圆都包含在 同时注意到
中且互不相交. . 那么给定 ，
，于是
.
，总可以找到充分大的 ，
使得取球
，
，所以 不是绝对连续的.
，时
1.5 两个绝对连续函数的复合不一定是绝对连续的，为此我们引入绝对嵌入.
，所有连续复函数的全体为 。
很容易看出
是绝对连续函数
使
。
以下命题中的
是从参考文献[6]的思路中得到的。
命题
，则有以下性质：
,当
若
，则
证明 按定义
显然成立。
则按定义，对于
存在
满足
，
当
由 知，
；
当 时，对任意 不失一般性，可假设
有上述构造知
从而
，
对任意
从而 。
从而 则按定义
满足对任意
从而
因此
从
我们知道
I．定义： 和 为度量空间，定义 使得对任意的 ，对任意的
只要
及
为绝对嵌入，如果对
，
，
，以及对任意的
，
，当 ，那么就存在
及
，满足
且
，
，
.
II．由定义可见，若 绝对嵌入则必为绝对连续. 是一个单射，这是因为如果
，有
. 那么
，使得
，但由
绝对嵌入的定义
，矛盾.
III．命题
是度量空间，
为绝对嵌入，
嵌入)，那么 是绝对连续(绝对嵌入).
下证 连续，由于 从而
当且仅当 ，
也即
即 连续。这说明 是从紧空间到豪斯道夫空间的既单又满的连续映射，从而 是
同胚。因此
。
第三章 有待解决问题
以下是一些绝对连续函数的有待解决的问题
1 描述所有
的绝对嵌入函数.
2 描述所有
的绝对连续函数.
3
为 －绝对连续
，问当 绝对连续时是否一定 －绝对连续.
4设
，
环，则 在 中稠。
命题 证明:
是紧度量空间, 则
是 的稠密子代数。
是 的子代数。
,由其定义易知
，再由 的 知
。
，显然
，
，从而由
定理知
是 的稠密子代数。
在这节中，我们证明对于所有 ，
在 之下是
定理
为
代数
代数。
证明
显然成立，当取到等号时有
由 的知 从而
也即
由于 从而
由 的知
现在说明
设
为
的完备性。 的柯西列，则由定义知
证明：
，，
是 中不相交的开集
，那么
中至多只有一个点，
.给 ，只要
于是
，因此 是绝对连续. 同样的方法可以证明
也是绝对连续的，这就证明了 与 绝对等价. 下面说明 与 不是度
量等价的. 如果现在存在一个映射
使得这是一个度量等价，这是一个一
一对应，必然存在
的子列
使得
. 因此
由于当
时，
. ，所以不存在映射使得 与 度量等价.
，其中 是与
内最大的开球，此时总有
；如
果开球 如果
，明显的有 ， 仅与
； 中任意一个开球 ， ，中唯一的一个可能有非空的交集.
，
，使得
，取
，
，若
是 个互不相交的开球，且满足 .那么 至多只与
，那么
，
中的唯一的一个开球相交，这
时：
，当 与
中的某个开球 相交时，有：
时，
.将
此我们有：
，由前面的描述，
，所以当
的绝对连续函数的
概念，Jan Maly[3] 给出了从 的开子集 到 的 绝对连续函数的概念，
Donatella Bongiorno[4] 给出了从 的开子集 到 的 绝对连续函数的概念。
本文上半部分是拟对一般的度量空间
和
，给出从
到
的绝对连续函数的概念，并证明了当
，
时，本概念与 绝
对连续的意义是不同的；而后引进绝对嵌入的概念，重点研究了它与绝对连续的
义不是完全一样.
例子：
是 －绝对连续而不是绝对连续.定义
证明：先证明 不是绝对连续的.
，
，满足
，令
，取
中的子集
，其中 表示球 的半径. 我们会有：
，满足
由绝对连续的定义知 不是绝对连续的.
再证明 是 －绝对连续的. 我们明显有这样的三个事实： 是 中的一个开球半
径为 ，如果 仅与一个 ，(
)中交集不空，我们一定有
致谢
1．感谢指导老师吴志强老师。在他近一年来精心指导和严格要求下我们取得了 一些的成果。 2．感谢数学院的老师给予我们参加百项的机会。 3. 感谢学校的资金支持。 4．感谢吴侃同学提供电脑以完成论文。
中取两点 ， ，
分别在这两点作
的两条法线 ，那么存在唯一的
中的开球
与 相切于 ， . 由 导函数的一致连续性，不难得到
，
以及一个只和 有关的常数
Fra Baidu bibliotek
，只要
，
就有
且
；
，
，满足
，
，就有
.
取
，
，
，
是 中不相交的
开区间，满足
，那么
是
中互不相交的开
球，有
，且
.因
此 是绝对嵌入.
II. 若在上面的命题中把
去掉，则结果不一定成立.
则 证明：先证 为绝对嵌入。
为绝对嵌入。
那么就
满足
。
至于 为绝对嵌入，其证明过程类似，只需取
.
1.8 以下我们来看一下在
取值的绝对嵌入的一些性质.
I. 命 题 函 数
是单一的连续可微函数，
有
，则 是绝对嵌入.
证明：因为 是连续可微的，所以
是一个大于 的定义域为
的连续函数，因此
是可求长的曲线. 在
令
，则由
知
弱星拓扑并称为 的谱(见
)。
，赋予
Ⅱ 若 是复数域上具有单位元的交换
代数，则它的谱 是紧豪斯道夫
空间。若 是 的一个极大理想，则存在一个同态
满足
。反过
来若
是一个非零同态，则 是一个极大理想。并且相关映射
是一一的。（见
）
众所周知，
的谱
同胚于 。
Ⅲ 下面我们要证明的是 一个引理：
。为此，先给出
知
，从而
的极大性知
。
，矛盾。由此可知
，再由
由于 的极大理想皆可表示为如下形式
若 为 中不同的极大理想，则显然
的一个极大理想，则
是
,从而 。并且若 是 的极大理想。
Ⅳ
的所有极大理想的集合记为 ，
的所有极大理想的集合记为 ，
则由引理知映射
是既单又满的。
定理
证明 考虑映射
，从而
，其中 由此知
交换，因此映射 既单又满。
关系。下半部分是对紧度量空间
，定义了绝对连续函数空间
，并给
出了一族范数，使其成为
代数，最后还计算了它的谱。
第一章 绝对连续函数和绝对嵌入
1.1 定 义 ： 绝 对 连 续 函 数 .
和
为度量空间，固定
，令
，
是一个映射， 是 的子集，
是一个简写记号，为
. 是绝对连续函数即
，
，
，
是 中两两不相交的开球，只要满足
为
的柯西列，从而存在
满足
下证
。由
为
的柯西列知
对于
，及上述 ，按照定义存在
，满足对任意
也即 取
,则由定义知
, 对任意
由于当
时，
，从而有
对
，又因
一致收敛于 ，从而有
进而
即
，再者
类似上面证明过程，
，对任意
从而
由 的任意性知
因此 也即
上述证明说明了
是
代数 。
在
上定义映射
,容易验证映射 是
上的对合，并且
度量空间上的绝对连续函数
胡昊宇 严再立
前言
在实变函数论中，闭区间上的绝对连续实函数无疑占据着十分重要的地位。 这一类函数有着连续、几乎处处可微、导函数勒贝格可积、有界变差等重要性质， 因而推广绝对连续函数的概念，并研究推广后的函数的性质是一项有意义的工 作。
Jakub Duda[5]给出了从闭区间 到一般度量空间
等价的， 但 与 不是绝对等价的.
证明：首先 和 都是连续函数，所以 与 是拓扑等价. 若对于任意的一个一
一映射
，因为
，而
当
. 所以 不是 与 绝对等价. 所以 与 不是绝对
等价.
III. 2)，3)不等价的例子：
，
， ，的
度量是作为 的子空间被 的通常度量赋予的的度量，
，
出了 与 的绝对等价但 与 不是度量等价的.
例子：
，
证明：只要证明
，
，当 ；一般来说， 满足 即可.首先任取
当
。
当
.
，
显然有
，那么由 的定义，有
使得
. 另 为圆形为以正方形
.
，
，
的中心为圆心，半径为
的开球
，明显有
两两互不相交的开球，且
所以 . 此时有：
，因此
是
综
上
所
述
.
证
毕
.
在本节中我们证明
是 的稠密子代数，对其证明我们须要
定理[2] ：若 是 的包含所有常数且分离 内的点的子