2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2018年硕士研究生入学考试

数学一 试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1） 下列函数不可导的是：

()(

)()(

)sin sin cos cos

A y x x

B y x

C y x

D y

====

（2）22过点（1，

0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222

A z

x y z B z x y z C y x D y

x c y z =+-==+-===+-=

（3）0

23

(1)(2n 1)!

n

n n ∞

=+-=+∑

()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1

sin 1cos 13sin 12cos 1

A B C D ++++

（4

）2

2

2

2

22

2

2

(1x)1x

N= K=(11x

M dx dx x e π

π

π

π

ππ

-

--++=

++⎰⎰⎰），则M,N,K

的大小关系为

()()()()A M N K B M K N C K M N D N

M K

>>>>>>>>

（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则

A.()()r A AB r A =

B.()()r A BA r A =

C.()max{(),()}r A B r A r B =

D.()()T

T r A B r A B =

（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20

()d 0.6f x x =⎰，则

{0}p X = .

A. 0.2

B. 0.3

C. 0.4

D. 0.6 （8）给定总体2(,)X

N μσ，2σ已知，给定样本12,,

,n X X X ，对总体均值μ进

行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则

A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

（9）1

sin 01tan lim ,1tan kx

x x e x →-⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

则k =

（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1

'()xf x dx =⎰

（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求

（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，

21212()(),=A A αααα+=+则

（14）A,B 独立，A,C 独立，11

,()()(),()2

4

BC P A P B P AC AB

C P C φ≠===，则=

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）.求不定积分2x e ⎰

（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。

（17）.x =取正面，求33()xdydz y z dxdz z dxdy ∑

+++⎰⎰

（18）微分方程'()y y f x +=

（I ）当()f x x =时，求微分方程的通解.

（II ）当()f x 为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.

（19）数列{}n x ，10x >，11n n x x n x e e +=-.证：{}n x 收敛，并求lim n n x →∞

.

（20）设实二次型2221231232313(,,)()()(),f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 是参数，

（I ）求123(,,)0f x x x =的解 （II ）求123(,,)f x x x 的规范形

（21）已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦可经初等变换化为矩阵12011111a B ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

（I ）求a

（II ）求满足AP B =的可逆矩阵P

（22）,X Y 随机变量相互独立，1{1}P X y ==，2{1}P X y =-=，Y 服从λ的泊松分布.

Z XY =

（1）求cov(,)X Z . （2）求Z 得概率分布.

（23）12,,

,n X X X 来自总体X 的分布，1()2x

f x e σ

σ

-=（σ未知，x -∞<<+∞）.

（1）求σ得极大似然估计. （2）求()E σ∧

，()D σ∧

.