第三节 三重积分

z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
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第十章 第三节
• M(x, y,z)
o

x
r
y
•
P(r, )
24
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
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第十章 第三节
4
当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限
必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必
定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,
关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.
(1 x4)dydz
D
2
y2 z2x2

4 (1 x4 )x2dx [ x3
2
3

x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
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第十章 第三节
19
例题: 求曲面z 4a2 x2 y2与 z x2 y2 所围立体体积。
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
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第十章 第三节
26
一般适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,当积分 区域为柱体，椎体，或由柱面，锥面，旋转抛物 面与其他曲面所围形体；
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.即
f g(x2 y2 ) h(z); f g(x2 y2, z).
z
y x y,0 z 1 y}
Dz
xsin2 y dv
1
sin
2
ydy
y
xdx
1 y
dz
x

0
y
0
1y

1
(1
y) sin 2
ydy
y
xdx
0
0
y
解2 由于被积函数关于 x是奇函数,积分域关于 yOz
平面对称,所以积分等于零.
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被积函数具有zf
x2 y2
,
zf

x y

或

xf y2 z2
第三节 三重积分
教学内容
1 三重积分的定义与性质； 2 三重积分在直角坐标系下的计算； 3 三重积分在柱面坐标系下的计算； 4 三重积分在球面坐标系下的计算；
考研要求
1 理解三重积分的概念，了解其性质； 2 会计算三重积分（直角坐标，柱面坐标，球面 坐标）
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第十章 第三节
1
一. 三重积分的概念

a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
先z再y后x
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第十章 第三节
7
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
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第十章 第三节
8
例题 将三重积分 f x, y, zdv化为直角坐标
下的累次积分，积分区域分别是：
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
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第十章 第三节
6
先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的 函数，则
F ( x, y) z2( x, y) f ( x, y, z)dz z1 ( x , y )
计算 F ( x, y) 在闭区间 D 上的二重积分
y
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x
x r cos ,

y

r
sin
,
z z.
柱面坐标法可视为投影法与二重积分极坐标方法的结合
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第十章 第三节
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如图，柱面坐标系 中的体积元素为
z
rd
dr
r
dz
dv rdrddz,
o
y
f ( x, y, z)成的区域；
2由曲面z 1 x2 y2 ,平面z x x 0,
x 0所围成的区域；
3由0 x sin z, x2 y2 1,0 z 所确定的;
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第十章 第三节
9
R
解: :
0 z R (x, y) Dz {(x, y) x2 y2 R2 z2, x 0, y 0}
Dz
Ry xR
R
z d x d y d z 0 z d z dxdy
Dz
R z(R2 z2 )dz (1 R2z2 1 z4 ) R
a
y1( x)
z1( x, y)
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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第十章 第三节
23
三 利用柱面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
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第十章 第三节
12
例题 计算 zdxdydz,其中是由
z 1 x2 y2 , z 0围成的上半球体。
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第十章 第三节
13
方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
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abDZ f (x, y, z) d x d ydz
第十章 第三节
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例4 设Ω由曲面 x2=z2+y2, x=2, x=4 所围成
计算
D (1 x4)dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域 就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.
(1 x4)dxdydz
4
dx
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy
z
Dz
其结果为z 的函数F (z) ；
(4)最后计算单积分 c2 F (z)dz 即得三重积分值. c1
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第十章 第三节
15
例3.
计算三重积分

z
d
xd
yd
z,
其中：x
z
0,
y

0,
z 0 及 x2 y2 z2 R2
三重积分的性质和二重积分的性质类似,这里不再 重复.
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
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f (x, y, z) d v f (,, )V

第十章 第三节
5
二、三重积分的计算
（一） 利用直角坐标计算三重积分
y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .
其中 2020/3/11 dv 叫做体积第元十章素第三.节
3
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面
的平面来划分 , 则 vi x jykzl .
三重积记为
n

f ( x, y, z)dxdydz lim 0 i1
40
42
40
R4.
16
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第十章 第三节
16
例题. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解:
利用对称性

1 2

(
x2

y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz

1 2
4
1
d
z
2
作乘积 f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2, , n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dv ,
n

即

f
( x,
例题 改变积分顺序：将
1
dx
1 x
dy
xy f x, y, zdz按x, z, y的次序积分。
00
0
例题
设F
t

t
0
x
dx0
y
dy0
f
zdz,其中f
z
连续，试把F t 化为对z的定积分
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第十章 第三节
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例题 分别计算I1 xyzdxdydz,
0
d
0
2z r3 d r
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第十章 第三节
其中
z 4
1
Dz
oy x
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例题 已知椭球V：x2 y2 z2 1内点 a2 b2 c2
x, y, z处质量的体密度为

x,
y,
z

x2 a2

y2 b2

z2 c2
, 求椭球的质量。
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例题: 计算 ax by czdxdydz x2 y2 z2 2z
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第十章 第三节
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例5. 计算三重积分 x sin2 y dv,其中：由平面
y x, y x, z 0及y z 1 所围成.
解1 {(x, y, z) 0 y 1,
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d .
D
D z1 ( x , y )
D : y1( x) y y2( x), a x b, 得:
f (x, y, z)dv
b
dx
dy y2 ( x )
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
I2 x y z dxdydz,其中是平面
x y z 1与三个坐标面围成的四面体。
z
1 x yz1
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1 第十章 第x三节
D yOz
o
y z 1
y
1
11
例 6 计算 y 1 x2dxdydz，其中由

y 1 x2 z2 ， x2 z2 1， y 1围成.
记作 bdz f (x, y, z)dxdy
a
DZ 第十章 第三节
z b
z Dz a
y x
面密度≈
f (x, y, z) d z
14
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴（例如z 轴）投影，得投
影区间[c1,c2 ]；
(2) 对z [c1,c2 ]用过z 轴且平行xoy 平面的平面去 截 ，得截面Dz ;
第十章 第三节
21
三重积分的计算一般采取以下的步骤：
1 由所给条件（如立体不等式或立体表面方 程）确定积分区域，尽可能作出草图；
2 根据积分区域的形状及被积函数的特点悬 着合适的坐标系计算；
3 确定三次积分的上下限，把三重积分化为 三次积分进行计算。
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第十章 第三节
22
小结: 三重积分的计算方法
1 投影法（先一后二法）
如图，闭区域 在 xoy z
面上的投影为闭区域D,
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y),
过点 ( x, y) D 作直线,
o
a
从
z1
穿入，从
z2
穿出．b
x
z z2( x, y)
z2 S2

z1 S1
z z1( x, y)
D
1 问题的引入
设有一物体,在直角坐标系中,占有第一象限的一个闭
区域Ω,点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z).这里的ρ(x,y,z)>0
且在Ω上连续,现在要计算该物体的质量.解决方法:
“分割, 近似, 求和, 取极限”
由于ρ(x,y,z)在Ω上连续,把Ω任意分为n个小块,只要
小块所占的闭区域△Vi的直径很小,这小块就可以看作 是均匀体,在△Vi上任取一点(ξi,ηi,ζi),则 ρ (ξi,ηi,ζi) △Vi (i=1,2,....n) 可看作第i个小块的质量之近似值,通过求 求和,取极限,便得到质量
n
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m

lim
0
(i ,i , i )Vi
i第1十章 第三节
2
二 三重积分的定义
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域v1 ，
v2, , vn，其中vi 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个vi 上任取一点(i ,i , i )
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
D
z1(x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”

b
dx
y2 (x) d y
z2 (x, y) f (x, y, z)d z