第三节 三重积分
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第三节三重积分的概念与计算
过 z轴且平行 xoy平面的平面去截 ，得截面
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy
简介三重积分资料讲解
2020/7/30
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
第三节 三重积分
第三节 三重积分㈠本课的基本要求理解三重积分的概念，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）㈡本课的重点、难点三重积分在直角坐标、柱面坐标中的计算为本课的重点、球面坐标中的计算为难点 ㈢教学内容一．三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。
定义 设),,(z y x f 是空间有界区域Ω上的有界函数。
将Ω任意分成n 个小闭区域n v v v ∆∆∆,,,21 ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。
在每个i v ∆上任取一点),,(i i i ζηξ，作乘积),,2,1(),,(n i v f i i i i =∆ζηξ，并作和i i i i ni v f ∆∑=),,(1ζηξ。
如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分。
记作⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(，即 ∑⎰⎰⎰-→Ω∆=n i i i i i v f dv z y x f 10),,(),,(lim ζηξλ ⑴其中dv 叫做体积元素。
在直角坐标系中，有dxdydz dv =，称dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。
当函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续时，⑴式右端的和的极限必定存在，也就是函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分必定存在。
以后我们总假定函数),,(z y x f 在闭区域Ω上是连续的。
关于二重积分的一些术语也可相应地用到三重积分上。
三重积分的性质也与二重积分的性质类似，请同学们自己对比写出。
如果),,(z y x f 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(表示该物体的质量M 。
二．三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算。
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分
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面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
z
1
1 2
x d x d y d z
k 1
n
记作
f ( x, y, z)dv
若存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在空间直角坐标系下常写作 dxd ydz.
物理意义：
M lim ( k ,k , k )vk x, y, z dv 0
2
2 h
z
h
z
2
4
x x 2 y 2 4h 2 h
o
y
dv d d d z
3. 利用球面坐标计算三重积分
1、 设 M ( x, y, z ) R 3 ,其柱面坐标为 ( , , z ),令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 称为点M 的球面坐标. z
x r sin
由直角坐标与球面坐标的关系:
x rsin cos y r sin sin
r sin d
d
z
dr
z r cos
r
rd
o x
2、 在球面坐标系中体积元素为
d
y
dv rd r sin d dr 2 r sin d r d d 因此有:
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
z
1
1 2
x d x d y d z
k 1
n
记作
f ( x, y, z)dv
若存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在空间直角坐标系下常写作 dxd ydz.
物理意义：
M lim ( k ,k , k )vk x, y, z dv 0
2
2 h
z
h
z
2
4
x x 2 y 2 4h 2 h
o
y
dv d d d z
3. 利用球面坐标计算三重积分
1、 设 M ( x, y, z ) R 3 ,其柱面坐标为 ( , , z ),令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 称为点M 的球面坐标. z
x r sin
由直角坐标与球面坐标的关系:
x rsin cos y r sin sin
r sin d
d
z
dr
z r cos
r
rd
o x
2、 在球面坐标系中体积元素为
d
y
dv rd r sin d dr 2 r sin d r d d 因此有:
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
6.3三重积分的计算
Ω
z
z=z2( x, y) =
P 2
P 1
z=z1( x, y) =
将积分区域
向 oxy 平面
o
Dxy
( x, y)
y
投影, 得投影区域 D xy .
x
xy 型区域
= {( x , y , z ) z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D xy },
2
π
例3. 计算 ∫∫∫ yzdxdydz , 其中 Ω 由 z =
Ω
R2 − x2 − y2 ,
x 2 + y 2 = Ry 及 z = 0 所围成 .
z
R
解： Ω 在 oxy 面上的投影 区域为 区域为 D xy ： x + y ≤ Ry ，
2 2
o
R
y
x
Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D xy .
第三节 三重积分的计算 3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分
∫∫∫ f ( x , y , z）dV = λlim0 ∑ f（ξ i ,η i , ς i）⋅ ∆V i →
Ω i =1
n
其中 d V 称为体积元素 .
三重积分必定存在. 若 f ∈ C (Ω) ，则 f 在Ω上 的三重积分必定存在.
Ω
c2
c1
dz
D( z )
∫∫ f ( x, y, z)dxdy . (先二后一法)
x y . 类似地有 型和 型空间区域
例4. 计算 ∫∫∫ z dxdydz , 其中
2 Ω
z
z=z2( x, y) =
P 2
P 1
z=z1( x, y) =
将积分区域
向 oxy 平面
o
Dxy
( x, y)
y
投影, 得投影区域 D xy .
x
xy 型区域
= {( x , y , z ) z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D xy },
2
π
例3. 计算 ∫∫∫ yzdxdydz , 其中 Ω 由 z =
Ω
R2 − x2 − y2 ,
x 2 + y 2 = Ry 及 z = 0 所围成 .
z
R
解： Ω 在 oxy 面上的投影 区域为 区域为 D xy ： x + y ≤ Ry ，
2 2
o
R
y
x
Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D xy .
第三节 三重积分的计算 3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分
∫∫∫ f ( x , y , z）dV = λlim0 ∑ f（ξ i ,η i , ς i）⋅ ∆V i →
Ω i =1
n
其中 d V 称为体积元素 .
三重积分必定存在. 若 f ∈ C (Ω) ，则 f 在Ω上 的三重积分必定存在.
Ω
c2
c1
dz
D( z )
∫∫ f ( x, y, z)dxdy . (先二后一法)
x y . 类似地有 型和 型空间区域
例4. 计算 ∫∫∫ z dxdydz , 其中
2 Ω
8-3(1)三重积分
1 ∫∫ dxdy = 2(1 − z )(1 − z ) D 1 1 1 2 . 原式= ∫ z ⋅ (1 − z ) dz = 0 2 24
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
第九章,第三节、三重积分
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
f ( x, y, z)dv
d
Dxy
zz12((xx,,yy))
f
( x,
y,
z)dz
将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算
积分次序是先定积分，后二重积分
（3）进一步，若 Dxy是 X 型区域
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解：被积函数为 z 的一元函数
Dz
{
( x,
y) |
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}
cz
Dz
z
o
y
原式 cc dz z2dxdy
Dz
x c
cc z2dz dxdy cc z2SDz dz
Dz
SDz
a
y
Dx
12(1 x2 )d x dydz 12(1 x2 )SDx d x
Dx
12(1 x2 ) x2d x
430
21
2、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点，
点 M 在xoy 面上的投影 为P ( x, y)
设点 P 的极坐标为 ( , )，
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
f
(
x,
y,
z)dv
abdx
y2( x) y1( x)
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
f ( x, y, z)dv
d
Dxy
zz12((xx,,yy))
f
( x,
y,
z)dz
将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算
积分次序是先定积分，后二重积分
（3）进一步，若 Dxy是 X 型区域
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解：被积函数为 z 的一元函数
Dz
{
( x,
y) |
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}
cz
Dz
z
o
y
原式 cc dz z2dxdy
Dz
x c
cc z2dz dxdy cc z2SDz dz
Dz
SDz
a
y
Dx
12(1 x2 )d x dydz 12(1 x2 )SDx d x
Dx
12(1 x2 ) x2d x
430
21
2、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点，
点 M 在xoy 面上的投影 为P ( x, y)
设点 P 的极坐标为 ( , )，
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
f
(
x,
y,
z)dv
abdx
y2( x) y1( x)
第十章第三节三重积分教学内容
方法3 . 三次积分法
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
优学课堂
方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
优学课堂
方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
优学课堂
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
优学课堂
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
优学课堂
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
优学课堂
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
先假设连续函数
并将它看作某物体
通过计算该物体的质量引出下列各计算
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
*
优学课堂
方法1. 投影法 (“先一后二” )
该物体的质量为
细长柱体微元的质量为
微元线密度≈
记作
*
优学课堂
方法2. 截面法 (“先二后一”)
由柱面
围成半圆柱体.
*
优学课堂
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中 由抛物面
原式 =
*
优学课堂
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
*
优学课堂
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在 内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
*
优学课堂
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
第三节 三重积分
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下 直角直角坐标系下 直角 2.柱坐标下计算三重积分 柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分 球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 物质 密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含 种形式 各有特点, 三种方法 包含12种形式 各有特点 具体计算时应根据 包含 种形式)各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下 直角直角坐标系下 直角 2.柱坐标下计算三重积分 柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分 球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 物质 密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含 种形式 各有特点, 三种方法 包含12种形式 各有特点 具体计算时应根据 包含 种形式)各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz
第三章 重积分及其应用 第三节 三重积分
z
z
z 1
x y
2
2
1
2
z dz
4
31 5
o
y
- 13 -
x
第三节
三重积分
三
重积分在柱坐标系下计算
3
设 M ( x , y , z ) R , 将 x , y用极坐标 , 代替, 则 , , z ) （
第 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 九 章 0 x cos z 0 2 重 y sin 积 ( ) z zz 分 M ( x, y, z ) z 及 其 坐标面分别为 应 用 圆柱面 常数 o y 常数 半平面 ( x , y ,0) x 平面 z 常数
解: 在柱面坐标系下 : 0 2 cos
2 cos
原式
z
2
d d d z
o
y
0
2
d
2
0
2 cos
d
2
0 zdz
8 9 a
3
a
x
y
z0
4a 3
2
2 cos
x
0
cos d
3
o
- 17 -
第三节
三重积分
y
y z 1
z
1
0 dz 1 1 z dy 0 2 2
f ( x , y , z ) dx
y
1 2
1 2
z
y 1 z
o
- 10 -
三重积分计算
方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
机动
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结束
方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”
z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
机动
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
三重积分 ppt课件
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
三重积分-高等数学PPT
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
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z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
2020/3/11
第十章 第三节
• M(x, y,z)
o
x
r
y
•
P(r, )
24
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
2020/3/11
第十章 第三节
4
当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限
必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必
定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,
关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.
(1 x4)dydz
D
2
y2 z2x2
4 (1 x4 )x2dx [ x3
2
3
x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
2020/3/11
第十章 第三节
19
例题: 求曲面z 4a2 x2 y2与 z x2 y2 所围立体体积。
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
2020/3/11
第十章 第三节
26
一般适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,当积分 区域为柱体，椎体，或由柱面，锥面，旋转抛物 面与其他曲面所围形体；
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.即
f g(x2 y2 ) h(z); f g(x2 y2, z).
z
y x y,0 z 1 y}
Dz
xsin2 y dv
1
sin
2
ydy
y
xdx
1 y
dz
x
0
y
0
1y
1
(1
y) sin 2
ydy
y
xdx
0
0
y
解2 由于被积函数关于 x是奇函数,积分域关于 yOz
平面对称,所以积分等于零.
2020/3/11
被积函数具有zf
x2 y2
,
zf
x y
或
xf y2 z2
第三节 三重积分
教学内容
1 三重积分的定义与性质； 2 三重积分在直角坐标系下的计算； 3 三重积分在柱面坐标系下的计算； 4 三重积分在球面坐标系下的计算；
考研要求
1 理解三重积分的概念，了解其性质； 2 会计算三重积分（直角坐标，柱面坐标，球面 坐标）
2020/3/11
第十章 第三节
1
一. 三重积分的概念
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
先z再y后x
2020/3/11
第十章 第三节
7
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
2020/3/11
第十章 第三节
8
例题 将三重积分 f x, y, zdv化为直角坐标
下的累次积分，积分区域分别是：
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
2020/3/11
第十章 第三节
6
先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的 函数，则
F ( x, y) z2( x, y) f ( x, y, z)dz z1 ( x , y )
计算 F ( x, y) 在闭区间 D 上的二重积分
y
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
柱面坐标法可视为投影法与二重积分极坐标方法的结合
2020/3/11
第十章 第三节
25
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
z
rd
dr
r
dz
dv rdrddz,
o
y
f ( x, y, z)成的区域；
2由曲面z 1 x2 y2 ,平面z x x 0,
x 0所围成的区域；
3由0 x sin z, x2 y2 1,0 z 所确定的;
2020/3/11
第十章 第三节
9
R
解: :
0 z R (x, y) Dz {(x, y) x2 y2 R2 z2, x 0, y 0}
Dz
Ry xR
R
z d x d y d z 0 z d z dxdy
Dz
R z(R2 z2 )dz (1 R2z2 1 z4 ) R
a
y1( x)
z1( x, y)
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
2020/3/11
第十章 第三节
23
三 利用柱面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
2020/3/11
第十章 第三节
12
例题 计算 zdxdydz,其中是由
z 1 x2 y2 , z 0围成的上半球体。
2020/3/11
第十章 第三节
13
方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
2020/3/11
abDZ f (x, y, z) d x d ydz
第十章 第三节
18
例4 设Ω由曲面 x2=z2+y2, x=2, x=4 所围成
计算
D (1 x4)dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域 就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.
(1 x4)dxdydz
4
dx
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy
z
Dz
其结果为z 的函数F (z) ；
(4)最后计算单积分 c2 F (z)dz 即得三重积分值. c1
2020/3/11
第十章 第三节
15
例3.
计算三重积分
z
d
xd
yd
z,
其中：x
z
0,
y
0,
z 0 及 x2 y2 z2 R2
三重积分的性质和二重积分的性质类似,这里不再 重复.
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
2020/3/11
f (x, y, z) d v f (,, )V
第十章 第三节
5
二、三重积分的计算
（一） 利用直角坐标计算三重积分
y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .
其中 2020/3/11 dv 叫做体积第元十章素第三.节
3
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面
的平面来划分 , 则 vi x jykzl .
三重积记为
n
f ( x, y, z)dxdydz lim 0 i1
40
42
40
R4.
16
2020/3/11
第十章 第三节
16
例题. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1 2
4
1
d
z
2
作乘积 f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2, , n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dv ,
n
即
f
( x,
例题 改变积分顺序：将
1
dx
1 x
dy
xy f x, y, zdz按x, z, y的次序积分。
00
0
例题
设F
t
t
0
x
dx0
y
dy0
f
zdz,其中f
z
连续，试把F t 化为对z的定积分
2020/3/11
第十章 第三节
10
例题 分别计算I1 xyzdxdydz,
0
d
0
2z r3 d r
21
2020/3/11
第十章 第三节
其中
z 4
1
Dz
oy x
17
例题 已知椭球V：x2 y2 z2 1内点 a2 b2 c2
x, y, z处质量的体密度为
规定： 0 r ,
0 2,
z .
2020/3/11
第十章 第三节
• M(x, y,z)
o
x
r
y
•
P(r, )
24
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
f (i ,i , i )vi .
其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
2020/3/11
第十章 第三节
4
当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限
必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必
定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,
关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.
(1 x4)dydz
D
2
y2 z2x2
4 (1 x4 )x2dx [ x3
2
3
x7 7
]42
( 43 23 47 27 ) 2340 20
3
7
21
2020/3/11
第十章 第三节
19
例题: 求曲面z 4a2 x2 y2与 z x2 y2 所围立体体积。
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
2020/3/11
第十章 第三节
26
一般适用情形
1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单,当积分 区域为柱体，椎体，或由柱面，锥面，旋转抛物 面与其他曲面所围形体；
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.即
f g(x2 y2 ) h(z); f g(x2 y2, z).
z
y x y,0 z 1 y}
Dz
xsin2 y dv
1
sin
2
ydy
y
xdx
1 y
dz
x
0
y
0
1y
1
(1
y) sin 2
ydy
y
xdx
0
0
y
解2 由于被积函数关于 x是奇函数,积分域关于 yOz
平面对称,所以积分等于零.
2020/3/11
被积函数具有zf
x2 y2
,
zf
x y
或
xf y2 z2
第三节 三重积分
教学内容
1 三重积分的定义与性质； 2 三重积分在直角坐标系下的计算； 3 三重积分在柱面坐标系下的计算； 4 三重积分在球面坐标系下的计算；
考研要求
1 理解三重积分的概念，了解其性质； 2 会计算三重积分（直角坐标，柱面坐标，球面 坐标）
2020/3/11
第十章 第三节
1
一. 三重积分的概念
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
先z再y后x
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第十章 第三节
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注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的 直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
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例题 将三重积分 f x, y, zdv化为直角坐标
下的累次积分，积分区域分别是：
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
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先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的 函数，则
F ( x, y) z2( x, y) f ( x, y, z)dz z1 ( x , y )
计算 F ( x, y) 在闭区间 D 上的二重积分
y
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
柱面坐标法可视为投影法与二重积分极坐标方法的结合
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如图，柱面坐标系 中的体积元素为
z
rd
dr
r
dz
dv rdrddz,
o
y
f ( x, y, z)成的区域；
2由曲面z 1 x2 y2 ,平面z x x 0,
x 0所围成的区域；
3由0 x sin z, x2 y2 1,0 z 所确定的;
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R
解: :
0 z R (x, y) Dz {(x, y) x2 y2 R2 z2, x 0, y 0}
Dz
Ry xR
R
z d x d y d z 0 z d z dxdy
Dz
R z(R2 z2 )dz (1 R2z2 1 z4 ) R
a
y1( x)
z1( x, y)
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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三 利用柱面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
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例题 计算 zdxdydz,其中是由
z 1 x2 y2 , z 0围成的上半球体。
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
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abDZ f (x, y, z) d x d ydz
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例4 设Ω由曲面 x2=z2+y2, x=2, x=4 所围成
计算
D (1 x4)dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域 就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.
(1 x4)dxdydz
4
dx
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy
z
Dz
其结果为z 的函数F (z) ；
(4)最后计算单积分 c2 F (z)dz 即得三重积分值. c1
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例3.
计算三重积分
z
d
xd
yd
z,
其中：x
z
0,
y
0,
z 0 及 x2 y2 z2 R2
三重积分的性质和二重积分的性质类似,这里不再 重复.
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
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f (x, y, z) d v f (,, )V
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二、三重积分的计算
（一） 利用直角坐标计算三重积分
y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .
其中 2020/3/11 dv 叫做体积第元十章素第三.节
3
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面
的平面来划分 , 则 vi x jykzl .
三重积记为
n
f ( x, y, z)dxdydz lim 0 i1
40
42
40
R4.
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例题. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1 2
4
1
d
z
2
作乘积 f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2, , n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dv ,
n
即
f
( x,
例题 改变积分顺序：将
1
dx
1 x
dy
xy f x, y, zdz按x, z, y的次序积分。
00
0
例题
设F
t
t
0
x
dx0
y
dy0
f
zdz,其中f
z
连续，试把F t 化为对z的定积分
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例题 分别计算I1 xyzdxdydz,
0
d
0
2z r3 d r
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其中
z 4
1
Dz
oy x
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例题 已知椭球V：x2 y2 z2 1内点 a2 b2 c2
x, y, z处质量的体密度为