chapter 3-有穷状态自动机

第三章、有穷状态自动机
该定理不仅证明了这个结论，更重要的是为我们的运算提供了方法。 例2、通过运算构造DFA： L(M)={w ∣w含偶数个0或二个1}。 解：令L(M1)={w ∣w含偶数个0}， L(M2)={w ∣w含二个1}。 则L(M)= L(M1) ∪ L(M2)，其中，
1
1
0 0
1
q01
2 q1 3
q2
4
余额
q3 q4 q5
q6
第三章、有穷状态自动机
一、有穷状态自动机的形式定义
定义1、 确定的有穷状态自动机是一个五元组（Q, Σ, δ, q0, F ）,其 中 (1)、 Q是有限状态集； (2) 、Σ是字母表； (3)、 Δ：Q× Σ→Q称为状态转换函数，它是状态集与字 母表的笛卡尔积到状态集的一个映射； (4) 、q0∈Q是初始状态； (5) 、 F是终止状态集。
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001字串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
q1
0
M1
q2
第三章、有穷状态自动机
0 0
1
0
1
0,1
1
q02
q3
q4
q5
M2
M1=（Q1,Σ,δ1,q1,F1), M2=（Q2,Σ,δ2,q2,F2), （1）、Q1={q01,q1,q2 }, Q2={q02,q3,q4,q5}; （2）、 Σ= {0,1}; （3）、转移函数δ1, δ2如下表； （4）、q01，q02分别是M1,M2的起始状态； （5）、F1={q2}， F2={q4}.
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δ1
q01 q1 q2
0 1
q1 q2 q1
0 q02 q3 q4
q01 q1 Q2
1 q3 q4 q5
δ2
q02 q3 q4
q5
q5
q5
第三章、有穷状态自动机
下面构造M= （Q,Σ,δ,q,F)， （1）Q={(r1,r2) ∣ r1∈Q1且r2∈Q2}； （2）Σ= {0,1}； （3）转移函数 δ（（r1,r2) ,a）= δ （δ1 （r1,a) ,δ 2（r2，a））， 如下页表所示； （4）q0=（q01，q02）是M的起始状态； （5）F={（q2,q02)，(q2,q3)，(q2,q4），(q2,q5)，(q01,q4)， (q1,q4)}。
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考虑非确定性NFA，为DFA的推广，它在任何一点，下一个状态 可能存在若干个选择。那么，区别在哪里呢？主要是转移函数δ, 有很多计算分支，如果这些子过程中至少有一个接受，那么整个 计算接受。为了适应，大家运算一下010001110，100110， 11111111。非确定性NFA比DFA构造容易，实际上也是对能力更强 的计算模型的非确定性的一个很好的引入。
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δ （q01,q02） （q01,q3） （q01,q4） （q01,q02） （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q2,q02） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） 0 （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q2,q02） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） 1 （q01,q3） （q01,q4） （q01,q5） （q01,q5） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q1,q5） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） （q2,q5）
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(q01，q02)
0
0
(q1，q02) (q2，q02)
1
(q01，q3)
1
0
(q1，q3)
0 0 0 0 0 0
1
(q2，q3)
1
(q01，q4)
1
0
(q1，q4)
1
(q2，q4)
1
(q01，q5)
1 0
(q1，q5)
1
(q2，q5)
1
1
0
1Hale Waihona Puke Baidu
那么，还可以证明，连接运算与星运算也是封闭的。
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例如：教室外面的饮料销售机，就是典型的有穷状态自动机， 投币，选择饮料，找零，出口，大家试着解析一下它的工作过 程，进行数学语言描述或者画出机器草图。
条件：2元雪碧，3元橙汁，4元vc汁，红色圈表示接受状态。
请大家上来画设计图！
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这就是我们天天见到的售货机，也称为自动机。
关键问题：DFA与NFA等价吗？
第三章、有穷状态自动机
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NFA与DFA的等价性
NFA与DFA等价是指两种模型识别相同的语言类（正则语言）。 对于任意给定的DFA，存在一个NFA与之等价； 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 DFA本身就是一种NFA，所以，要证明DFA与NFA等价，只需证明 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 下面根据给定的NFA构造一个DFA： 这里M2=（Q2,Σ,δ,q0,F ），Q2 =P(Q），
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例6、假设字母表为{0,1}，构造一个识别L(E)={0,ε}的DFA的 状态图。
0
q1
1 0,1
q2
q3
0,1
第三章、有穷状态自动机
0 0
1
q1 1
比如例1的自动机的形式描述： （1）、Q={q1,q2}; （2）、 Σ={0,1}； （3）、 δ (q1,0)=q1, δ (q1,1)=q2, δ (q2,0)=q2, δ (q2,1)=q1； （4）、q1为起始状态； （5）、F={q2}为接受状态集。
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四、非确定性
前面所有的有穷自动机都是确定性的，记为DFA，特点是必须每个符
号都有相应的运算结果，自然的，考虑非确定性NFA，为推广，它在
任何一点，下一个状态可能存在若干个选择。那么，区别在哪里呢？
1
1 0 0
1
q01
0,1
q1
0
q2
0,1
q01
0,ε
q1
0
q2
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那么，NFA如何计算呢？ 对于一个输入串，它能以多种行进方式到达一个状态， 比如，输入01，下面是它的运算：从而，该机器识别01字符串。
q01
0 0
0
q1
1
q01
q2
1
q01
q1
q2
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NFA的形式定义：
定义2、 非确定的有限自动机是一个五元组（Q,Σ,δ,q0,F ）,其中 (1) Q是有限状态集； (2) Σ是字母表； (3) Δ：Q× Σε→P（Q）称为状态转换函数，它是状态集 与字母表的笛卡尔积到状态集的一个映射， Σε= Σ∪{ε}，P（Q）为Q的幂集； (4) q0∈Q是初始状态； (5) F是终止状态集。
例1、假设字母表为{0,1}，所考虑的语言由所以含有奇数个1的字 符串组成，构造一个识别这个语言的所有字符串的DFA的状 态图。 大家先设计。
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0 1
0
q1 1
q2
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
第三章、有穷状态自动机
例3、假设字母表为{0,1}，构造一个识别从1开始以0结束的 所有字符串的DFA的状态图。
1
0 0
q0
0
1
q1
1
q2
q3
0,1
第三章、有穷状态自动机
例4、假设字母表为{0,1}，构造一个识别空集Ф的DFA的状态图。
q1
例5、假设字母表为{0,1}，构造一个识别L(E)={ε}的DFA的状态图。
q1
第三章、有穷状态自动机
有穷状态自动机是具有离散输入和输出的系统的一种数学模 型。 其主要特点有以下几个方面： (1)、 系统具有有穷个状态，不同的状态代表不同的意义。按照 实际的需要，系统可以在不同的状态下完成规定的任务。 (2)、 我们可以将输入字符串中出现的字符汇集在一起构成一个 字母表。系统处理的所有字符串都是这个字母表上的字符串。 (3) 、系统在任何一个状态下，从输入字符串中读入一个字符， 根据当前状态和读入的这个字符转到新的状态。 (4)、 系统中有一个状态，它是系统的开始状态。 (5) 、系统中还有一些状态表示它到目前为止所读入的字符构成 的字符串是语言的一个句子。
δ也是根据子集计算结果来讨论，最后化简。举例如下：
第三章、有穷状态自动机
将此图画出。有效运算表如下。
第三章、有穷状态自动机
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综上，我们设置了有穷状态自动机，实际上，就是：
1、一个运算器，而且是存储容量极低的这样一个运算模型； 2、这个模型识别的集合就称为是正则语言； 3、有很多种形式，如DFA、NFA、GNFA、FA等等，全都等价。
第三章、有穷状态自动机
定义：如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正 则语言。 定义：如果DFA M1和DFA M2识别的语言分别为L(M1)和 L(M2)，且L(M1)= L(M2)，称M1与M2等价。 下面如何演绎规则？ 首先，封闭性 ： A={1,2,3}关于数字的加法不封闭； N={1,2,3,…}关于数字的加法封闭。 那么，正则语言关于并运算，如何？
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定理：正则语言类在并运算下封闭。 证明：思路：即假设A，B正则，再证明A∪B正则。 设自动机M1，M2分别识别A，B ，造一个M识别A∪B即可。 M1=（Q1,Σ,δ1,q1,F1), M2=（Q2,Σ,δ2,q2,F2),下面开始构造一个 M=（Q,Σ,δ,q0,F)使其符合要求。 （1）Q={（r1，r2) ∣r1∈A1且r2∈A2}=Q1×Q2; （2） Σ相同，若不同，则Σ= Σ1 ∪ Σ2; （3）转移函数δ：任意（r1，r2) ∈Q，a ∈ Σ，令 δ （（r1，r2) ，a）= δ （δ1 （r1，a) ，δ 2（r2，a））， 于是， δ 取M的一个状态和一个输入符号，返回M的下一个状 态; （4）q0是有序对（q1,q2); （5）F={(r1,r2) ∣r1∈F1或r2∈F2} （注意，F≠F1×F2） 综上，我们构造了自动机M。
第三章、有穷状态自动机
0 1
0
q1 1
q2
0,1
q3 1
例如机器运行时：010: reject 11: accept 010100100100100: accept 010000010010: reject : reject
第三章、有穷状态自动机
二、设计有穷自动机
就是针对给定的语言，你来设计一台自动机，并且准确识别这 个语言。确定性的有穷自动机记为DFA。 定义：如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语 言。
q2
第三章、有穷状态自动机
问题（讨论）：
1、DFA如何进行运算？
第三章、有穷状态自动机
三、正则运算
在算术中，基本对象是数，工具是处理数的运算，如+， ×；在计算理论中，对象是语言，工具是处理语言所设计的 如下3种运算，称作正则运算。 定义：设A和B为语言，则下列3种运算称作正则运算。 （1）并：A∪B={x∣x∈A或x ∈B} （2）连接：AB={xy∣x∈A且x ∈B} （3）星号：A*={x1 x2…xk∣xi∈A，i=1, …k,k≧0} 例1、Σ={0,1}，A={01,11}，B={001,100}，则 A∪B={01,11,001,100}； AB={01001,01100,11001,11100}； A*={ε，01,11,0101,0111,1101,1111,010101，…}。 注意：Ф ∪ Ф = Ф ， Ф Ф = Ф ， Ф *={ε}， A Ф = Ф