chapter 3-有穷状态自动机
合集下载
第三章有穷自动机
例：将图示的DFA M最小化。
a
b
6
4
a
a
a
b
a
1
ab
5a
7
b3
b
b
2 b
1、将M状态分为两个子集： P0=({1,2,3,4},{5,6,7})
2、{1,2,3,4}读入a后划为： P1=({1,2},{3,4},{5,6,7})
3、进一步划分： P2=({1,2},{3},{4},{5,6,7})
对M的状态集S进行划分的步骤：
①把S的终态与非终态分开，分成两个子集， 形成基本划分，属于这两个不同子集的 状态是可区别的。
②假定某个时候已含m个子集，记={I(1) , I(2) , …,I(m) }且属于不同子集的状态是可 区别的，再检查中的每个I能否进一步划 分，对于某个I(i) ，令I(i) ={S1,S2,…,Sk}， 若存在一个输入字符使得move(I(i) ,a)不包 含在现行的某一子集I(i)中，则将I(i)一分 为二。
若M的某些结既是初态结，又是终态结，
或者存在一条从某个初态结到某个终态结 的道路，则空字可为M所接受。
例： NFA M=({0,1,2,3,4},{a,b},f,{0},{2,4})
f(0,a)={0,3} f(2,b)={2} f(0,b)={0,1}
f(3,a)={4} f(1,b)={2} f(4,a)={4}
M’=(K, ,f,S,Z)
一个含有m个状态和n个输入字符的NFA 可表示为一张状态转换图，该图含有m个 状态结，每个结可射出若干条 箭弧与别的 结点相连接，每条弧用*中的一个字（不 一定要不同的字，且可以为空字）作标记 （称输入字），整个图至少含有一个初态 结以及若干个终态结。
第三章有穷自动机-PPT课件
q 0 c h a rc h ,n a m e [ k ] n a m e r e a d ( c h ) 若 c h = l q 1 q 2 符 号 表 ， n a m e查 n a m e n a m e + c h 非 l , d 用 r e a d ( c h ) 若 没 有 ， 则 填 表 ， 否 则 返 回 其 地 址 r e a d ( c h ) 若 c h = lo rd
自动机接受(收)字符串
• 3）自动机接收语言 自动机 M所能接收的串组成一个集合， 则称该集合为自动机 M所能接收（识别）的 语言。 用L（M）表示： L （ M ） ＝ {ω ∣ t(q0, ω )∈ F , ω ∈ * }
3.2.4 自动机的等价性
•定义3.2 M和M是等价的，当且仅当 对每一个串x，M接收x当且仅当M接收x。 •定义3.3 如果M仅通过重新标记它的 状态就能转换称M,则M和M称为同构的 (Isomorphic)。 •FSA的一个基本定理是：对每一个自动 机M，存在一个等价的具有最少状态个 数的自动机M，而且对于每一个其状态 个数与M相同且等价于M的自动机M″, 必是与M同构的。换句话说，M在结构 上是唯一的。
3.2.5 非确定有穷状态自动机
•定义3.4 一个非确定有穷自动机NDFSA是一个
五元组
NDFSA=(Q, , t, q0, F) 其中，Q是一个非空有穷状态集， 是一个非空有穷输入字母集， 映射t为QQ的子集(即t是一个多值映射)， Q0Q是开始状态集， FQ是终止状态集。 •同样的，NDFSA也可以用状态转换表和状态转换 图表示。
3.2.3 构形和移动（2）
• 构形(q0，ω)称为初始构形，其中q0 是初始状态，ω是由该自动机可接 收或拒绝的任何输入串。构形(q, ) 称为终止构形，其中是空串， qF(终态集)。 • 自动机的移动(记为├)是从一种构 形到另一种构形的转换。 • DFSA的工作过程就是一系列的移动 过程。 • 记号├+称为├的传递闭包；├*称为 ├的自反闭包。 ├*表示“0次或多 次移动”；├+表示“一次或多次移 动”。
自动机接受(收)字符串
• 3）自动机接收语言 自动机 M所能接收的串组成一个集合， 则称该集合为自动机 M所能接收（识别）的 语言。 用L（M）表示： L （ M ） ＝ {ω ∣ t(q0, ω )∈ F , ω ∈ * }
3.2.4 自动机的等价性
•定义3.2 M和M是等价的，当且仅当 对每一个串x，M接收x当且仅当M接收x。 •定义3.3 如果M仅通过重新标记它的 状态就能转换称M,则M和M称为同构的 (Isomorphic)。 •FSA的一个基本定理是：对每一个自动 机M，存在一个等价的具有最少状态个 数的自动机M，而且对于每一个其状态 个数与M相同且等价于M的自动机M″, 必是与M同构的。换句话说，M在结构 上是唯一的。
3.2.5 非确定有穷状态自动机
•定义3.4 一个非确定有穷自动机NDFSA是一个
五元组
NDFSA=(Q, , t, q0, F) 其中，Q是一个非空有穷状态集， 是一个非空有穷输入字母集， 映射t为QQ的子集(即t是一个多值映射)， Q0Q是开始状态集， FQ是终止状态集。 •同样的，NDFSA也可以用状态转换表和状态转换 图表示。
3.2.3 构形和移动（2）
• 构形(q0，ω)称为初始构形，其中q0 是初始状态，ω是由该自动机可接 收或拒绝的任何输入串。构形(q, ) 称为终止构形，其中是空串， qF(终态集)。 • 自动机的移动(记为├)是从一种构 形到另一种构形的转换。 • DFSA的工作过程就是一系列的移动 过程。 • 记号├+称为├的传递闭包；├*称为 ├的自反闭包。 ├*表示“0次或多 次移动”；├+表示“一次或多次移 动”。
第三章有穷自动机
第三章有穷自动机
有穷自动机分为两类： （1）确定的有穷自动机
(Deterministic Finite Automata简称DFA) （2）不确定的有穷自动机
(Nondeterministic Finite Automata简称 NFA) 。
第三章有穷自动机
3.1.1 确定有穷自动机的形式定义
一个DFA M＝(K，Σ，f，S，Z)，其中
假定I是M中状态集的一个子集，定义 _closure(I)如下： ➢ 若qI，则q_closure(I)； ➢ 若q_closure(I)，q是由q出发经多条 弧到达的状态，则q_closure(I)。
第三章有穷自动机
定义：假定I是NFA M中状态集的一个子集，
a，定义
Ia=_closure(J) 其中J是所有那些可从子集I中的任一状态 出发，经过一条a连线(跳过a连线前的ε连 线)而到达的状态(结)的全体。
④ 将由上述过程得到的最终形式的表看作一 个状态转换表，即把其中第一列中的元素 作为状态，把Ia ,Ib分别看作是输入符号a， b，把其余信息看作是状态转换函数之值。 这个表唯一地刻画了一个确定的有穷状态 自动机M，其初态是该表第一行第一列的 元素，其终态是该表中所有那些含有原终 态的元素。可以证明，这个DFA M和NFA M是等价的。 第三章有穷自动机
3.1.4 自动机的等价性
为了讨论自动机的等价性，先对DFA 中的映射进行扩充。
扩充的转换函数f
➢ 设QK，函数f(Q, )=Q，即如果输入字符 是空串，则仍停留在原来的状态上。
➢ 对QK,T,t1*,f(Q,Tt1)=f(f(Q,T), t1) 该定义是一个递归定义，说明当自动机处 在状态Q且面临某个输入串Tt1时，则先应 用函数 f(Q,T)=P，然后应用函数f(P,t1)。
有穷自动机分为两类： （1）确定的有穷自动机
(Deterministic Finite Automata简称DFA) （2）不确定的有穷自动机
(Nondeterministic Finite Automata简称 NFA) 。
第三章有穷自动机
3.1.1 确定有穷自动机的形式定义
一个DFA M＝(K，Σ，f，S，Z)，其中
假定I是M中状态集的一个子集，定义 _closure(I)如下： ➢ 若qI，则q_closure(I)； ➢ 若q_closure(I)，q是由q出发经多条 弧到达的状态，则q_closure(I)。
第三章有穷自动机
定义：假定I是NFA M中状态集的一个子集，
a，定义
Ia=_closure(J) 其中J是所有那些可从子集I中的任一状态 出发，经过一条a连线(跳过a连线前的ε连 线)而到达的状态(结)的全体。
④ 将由上述过程得到的最终形式的表看作一 个状态转换表，即把其中第一列中的元素 作为状态，把Ia ,Ib分别看作是输入符号a， b，把其余信息看作是状态转换函数之值。 这个表唯一地刻画了一个确定的有穷状态 自动机M，其初态是该表第一行第一列的 元素，其终态是该表中所有那些含有原终 态的元素。可以证明，这个DFA M和NFA M是等价的。 第三章有穷自动机
3.1.4 自动机的等价性
为了讨论自动机的等价性，先对DFA 中的映射进行扩充。
扩充的转换函数f
➢ 设QK，函数f(Q, )=Q，即如果输入字符 是空串，则仍停留在原来的状态上。
➢ 对QK,T,t1*,f(Q,Tt1)=f(f(Q,T), t1) 该定义是一个递归定义，说明当自动机处 在状态Q且面临某个输入串Tt1时，则先应 用函数 f(Q,T)=P，然后应用函数f(P,t1)。
第3章 有穷状态自动机 计算机专业 形式语言课件
状态说明
状态
输入字符
0
开始状态
q0
q1
q1
q2
终止状态
q2
q1
2020/10/3
13
3.2有穷状态自动机
M2=({q0，q1，q2，q3}，{0，1，2}，δ2，q0，{q2}) δ2(q0,0)= q1，δ2(q1,0)= q2 δ2(q2,0)= q1，δ2(q3,0)= q3 δ2(q0,1)= q3，δ2(q1,1)= q3 δ2(q2,1)= q3，δ2(q3,1)= q3 δ2(q0,2)= q3，δ2(q1,2)= q3 δ2(q2,2)= q3，δ2(q3,2)= q3
2020/10/3
8
3.1 语言的识别
• 相应的物理模型
一个右端无穷的输入带。 一个有穷状态控制器(finite state control,FSC) 。 一个读头。
• 系统的每一个动作由三个节拍构成：读入 读头正注视的字符；根据当前状态和读入 的字符改变有穷控制器的状态；将读头向 右移动一格。
2020/10/3
q0——q0∈Q，是M的开始状态(initial state)， 也可叫做初始状态或者启动状态。
2020/10/3
11
3.2有穷状态自动机
δ——状态转移函数(transition function)，有 时候又叫做状态转换函数或者移动函数。δ： Q×∑Q，对(q，a)∈Q×∑，δ(q，a)=p 表示：M在状态q读入字符a，将状态变成p， 并将读头向右移动一个带方格而指向输入 字符串的下一个字符。
第3章 有穷状态自动机
• 主要内容 • 确定的有穷状态自动机(DFA)
– 作为对实际问题的抽象、直观物理模型、形式 定义，DFA接受的句子、语言，状态转移图。
03有穷状态自动机
set(q0)={x | x∈∑*，x=ε 或者x以1结尾} set(q1)={x | x∈∑*，x=0或者x以10结尾} set(q2)={x | x∈∑*，x=00或者x以100结尾} set(q3)={x | x∈∑*，x以000结尾} set(q4)={x | x∈∑*， x以001结尾} 这5个集合是两两互不相交。
M2=({q0,q1,q2,q3}，{0,1,2}，δ2，q0，{q2}) δ2(q0,0)= q1，δ2(q1,0)= q2，δ2(q2,0)= q1，δ2(q3,0)= q3 δ2(q0,1)= q3，δ2(q1,1)= q3 ，δ2(q2,1)= q3，δ2(q3,1)= q3 δ2(q0,2)= q3，δ2(q1,2)= q3 ，δ2(q2,2)= q3，δ2(q3,2)= q3 表3-2 δ 2转换函数 状态说明 开始状态 终止状态 状态 0 q0 q1 q2 q3 q1 q2 q1 q3 输入字符 1 q3 q3 q3 q3 2 q3 q3 q3 q3
8
例3-1
下面是一个有穷状态自动机 M1=({q0 ,q1 ,q2}, {0}, δ1 , q0 , {q2}) 其中，δ1(q0,0)= q1 ,δ1(q1,0)= q2 , δ1(q2,0)= q1 用表3-1表示δ1。
状态说明
状态
输入字符 0
开始状态
终止状态
q0 q1
q2
q1 q2
q1
9
Hale Waihona Puke 例3-110扩展的状态转移函数
将δ 扩充为
ˆ : Q * Q
对任意的 q∈Q，w∈∑*，a∈∑，定义
ˆ (1) (q, ) q ˆ ˆ (2) (q, wa ) ( (q, w), a)
3 FA 语言与自动机导论
A
i FA M
B
状态 A i B d F
FA f (A, i) = B f (B, i) = B f (B, d) = B (B为终止状态)
RG AiB BiB BdB Bε
B
B
B
1
状态转换矩阵
11
FA的状态转换图
状态转换图显示了一个由状态、转换组成的状态 机。
有限自动机的状态转换图说明系统的动态视图。 状态图强调一个对象按事件次序发生的行为。
22
例3.3扩：接受语言{x000 | x {0,1}*} ∪{x001 | x {0,1}*}的 FA
解：该语言定义的句子以000或001结尾。设q0为DFA的开 始状态，用q1记住结尾串中的第一个0；用q2记住在q1之 后紧接着又读到的一个0；用q3记住在q2后紧接着又读到 的一个0，用q4记住在q2后紧接着又读到的一个1，识别 该语言的FA如下图（3-5）：
则 A也作为终止状态
13
3.2 有穷状态自动机
主要内容：
1、DFA的形式化定义
2、DFA的仿真算法（伪代码描述）
14
一.有穷自动机的形式化定义
1. 确定的有穷自动机DFA
一个确定的有穷自动机DFAM是一个五元组（5-tuple）： M=（K，Σ， δ ，q0，F） 其中：K：状态的非空有穷集 Σ：有穷输入字母表 δ：K× Σ到K的一个映射（是单值函数）
q0∈K 是开始状态
F K 是终止状态集
15
例3-2：构造一个DFA，识别语言{x000y | x,y {0,1}*} 解：该语言定义的句子都会有三个连续的0。设q0为DFA 的开始状态，用q1记住子串“000”的第一个0；用q2记住 在q1之后紧接着又读到的一个0，这可能是子串“000”的 第2个0；用q3记住在q2后紧接着又读到的一个0，发现子 串“000”即识别结束。识别该语言的确定的有穷状态自 动机如下图：
第03章有穷状态自动机-电子科技大学
作为对DFA的修改
q1 0
0
0,1
S q0
10
1
1 q3
q2
构造接受语言
L={x| x{0,1}*,且 x含有子串00或11}的DFA
“直接”的FA
0,1 0 q1
0
0,1
S q0
1
1 q3
q2
希望是接受语言
L={x| x{0,1}*,且 x含有子串00或11}的FA
与DFA的区别
并不是对于所有的(q, a) Q ，(q, a)
M = (Q, , , q0, F)
其中，Q, , q0, F 状态的意义同DFA(定义3-1)
—状态转移函数。 : Q 2Q。 对(q, a) Q ，(q, a)={p1, p2, …, pm} 表示M在
状态q读入字符a，可以选择地将状态变成p1, p2, …, 或者pm，并将读头向右移动一个带方格而指向输入 字符串的下一个字符。
状态说明 状态
开始状态 [q0] [q1] [q2]
即时描述
设M = (Q, , , q0, F)为一个FA，x, y *，
(q0, x)=q，xqy称为M的一个即时描述。
它表示xy是M 正在处理的一个字符串，x引导M
从q0启动并到达状态q，当前正指向y的首字符。
如果xqay是M的一个即时描述，且(q, a)=p，则
经过字符a的处理后，即时描述变为xapy。这一 过程记作：
NFA不适于构造“不包含子串…”， “不满足条件…”的语言，在这些情况 下它可能退化为DFA。
定理3-1
NFA与DFA等价。 ➢ NFA与DFA等价是指NFA和DFA能识
别相同的语言类。 ➢ 回顾等价的概念：
第3章 有穷自动机
形如U→aW的规则，引一条从状态U到W的a弧。
33
正规文法FA
给定文法G[S]： S→aS|aA|bB A→bA|cC B→aB|dD C →cC|c D →dD|d 给出其对应的状态转换图。S是开始状 态,Z是终止状态.图3.16 FA
34
FA正规文法
①自动机A中的每一个状态均作为G的非终结符号，
q1 q2
q5 q6 q6 q4 q6
26
q3 q4 q3
NFA到DFA的转换 ③ 利用子集法构造确定的有穷自动机
假设已知的NFA为（Q′，Σ′，t′，Q0′，F′）。与NFA等 价的DFA为（Q，Σ，t，Q0，F）。 Σ：可由NFA所含有的输入字母集合得到。 Q：由Q ′的一些子集组成。 Ｑ0：是包含NFA的开始状态在内的Q ′的一个子集。 F：由包含NFA的终止状态F ′在内的Q ′的一些子集组 成。
31
DFA化简举例
G 0 0 I
0
start
F 1
1
0
1
0
H
1
J
1
32
3.3 正规文法与FA
由正规文法G[S]可直接构造一个与之等价的FA A。
令G的终结符号集为A的字母表；
G的非终结符号作为A的状态，G的开始符号为A的开始 状态；
增加一个终止状态Z（ZVN）；
形如U→a的规则，引一条从状态U到终止状态Z的标记为a 的 弧；
a T U T V W S b
a a Z b
15
a b
B a
a
3.1.4非确定的有穷自动机NDFA的形式定义 非确定的有穷自动机NFA
NFA=(Q，∑，t， Q0，F) Q——有穷非空的状态集 。
33
正规文法FA
给定文法G[S]： S→aS|aA|bB A→bA|cC B→aB|dD C →cC|c D →dD|d 给出其对应的状态转换图。S是开始状 态,Z是终止状态.图3.16 FA
34
FA正规文法
①自动机A中的每一个状态均作为G的非终结符号，
q1 q2
q5 q6 q6 q4 q6
26
q3 q4 q3
NFA到DFA的转换 ③ 利用子集法构造确定的有穷自动机
假设已知的NFA为（Q′，Σ′，t′，Q0′，F′）。与NFA等 价的DFA为（Q，Σ，t，Q0，F）。 Σ：可由NFA所含有的输入字母集合得到。 Q：由Q ′的一些子集组成。 Ｑ0：是包含NFA的开始状态在内的Q ′的一个子集。 F：由包含NFA的终止状态F ′在内的Q ′的一些子集组 成。
31
DFA化简举例
G 0 0 I
0
start
F 1
1
0
1
0
H
1
J
1
32
3.3 正规文法与FA
由正规文法G[S]可直接构造一个与之等价的FA A。
令G的终结符号集为A的字母表；
G的非终结符号作为A的状态，G的开始符号为A的开始 状态；
增加一个终止状态Z（ZVN）；
形如U→a的规则，引一条从状态U到终止状态Z的标记为a 的 弧；
a T U T V W S b
a a Z b
15
a b
B a
a
3.1.4非确定的有穷自动机NDFA的形式定义 非确定的有穷自动机NFA
NFA=(Q，∑，t， Q0，F) Q——有穷非空的状态集 。
自动机与形式语言_第三章_DFA_NFA解析
2019/8/24
6
3.1 语言的识别
• 识别系统(模型) • ⑴ 系统具有有穷个状态，不同的状态代表
不同的意义。按照实际的需要，系统可以 在不同的状态下完成规定的任务。 • ⑵ 我们可以将输入字符串中出现的字符汇 集在一起构成一个字母表。系统处理的所 有字符串都是这个字母表上的字符串。
2019/8/24
F——FQ，是M的终止状态(final state)集 合。q∈F，q称为M的终止状态，又称为 接受状态(accept state)。
2019/8/24
13
3.2有穷状态自动机
• 例 3-1 下面是一个有穷状态自动机
M1=({q0，q1，q2}，{0}，δ1，q0，{q2}) 其中，δ1(q0,0)= q1，δ1(q1,0)= q2，δ1(q2,0)= q1 用表3-1表示δ1。
q0——q0∈Q，是M的开始状态(initial state)， 也可叫做初始状态或者启动状态。
2019/8/24
12
3.2有穷状态自动机
δ——状态转移函数(transition function)， 有时候又叫做状态转换函数或者移动函数。 δ：Q×∑Q，对(q，a)∈Q×∑，δ(q， a)=p表示：M在状态q读入字符a，将状态 变成p，并将读头向右移动一个带方格而指 向输入字符串的下一个字符。
18
3.2有穷状态自动机
• 将δ 扩充为
ˆ : Q * Q
对任意的q∈Q，w∈∑*，a∈∑，定义
(1)ˆ(q, ) q (2)ˆ(q, wa) (ˆ(q, w),a)
2019/8/24
19
q1
q2
0
2019/8/24
15
3.2有穷状态自动机
编译原理：第3章 有穷自动机
编译原理第3章内容简介学习目标第3章有穷自动机3.1 有穷自动机的形式定义3.1 有穷自动机的形式定义DFA的表示举例——状态转换表DFA的表示举例——状态转换图 3.13.1 FA的形式定义有穷自动机识别的符号串举例DFA A3.1 有穷自动机的形式定义 3.1 有穷自动机的形式定义NFA举例 3.13.1用NFA识别符号串yFA的构造FA的构造举例—1FA的构造举例—2FA的构造举例—3请构造一个有穷自动机FA的构造举例—4 3.1请构造一个有穷自动机FA的等价性举例3.2 NFA到DFA的转换 3.2 NFA到DFA的转换—NFA确定化3.2 NFA到DFA的转换3.2 NFA到DFA的转换—NFA确定化——ε闭包状态子集I的ε闭包——举例状态子集I的状态子集I的ε闭包——举例状态子集I的——Ia 子集3.2 NFA到DFA的转换Ia子集——举例Ia子集——举例 3.2 NFA到DFA的转换NFA到DFA的转换——子集法NFA=（Q NFA到DFA的转换——举例1aNFA到DFA的转换——举例2NFA DFA DFA NFA DFA DFADFA化简举例1DFA化简——注意NFA到最小化DFA的转换——举例33.3 正规文法与FA3.3 正规文法与FAFA⇒右线性正规文法FA⇒右线性正规文法——举例1y3.4 正规表达式RE与FA 正规表达式与有穷自动机3.4 RE与FA——RE的性质 3.4 RE与FA—RE⇒FARE⇒FA举例1RE⇒FA举例23.4 RE与FA——FA⇒RE FA⇒REFA⇒RE FA⇒RE举例FA⇒RE举例正规文法到正规表达式正规文法到正规表达式DFA的程序实现DFADFA的程序实现DFA DFA的程序实现lDFA的程序实现l第3章内容小结第3章内容小结参考文献。
第3章 有穷状态自动机 计算机专业 形式语言课件
因为a可能需要用来判定输入串的最初45个字符组成的子串是否满足语言的要当i45也就是m读到输入串的第45个字符时在a3的情况下m需要将a201111195532当i6也就是m读到输入串的第6个字符此时以前读到的第1个字符a就没有用了此时它要看a3是否成立如果成立m需要将a201111195632i4的考察并发现它满足语言的要求时m记下来的是i4此时它读入输入串的第i5个字符i5以前读到的第i个字符a就没有用了此时它要看ai1i53是否成立如果成立m需要将ai1下来
2021/4/26
19
3.2有穷状态自动机
• 例 3-2 构造一个DFA，它接受的语言为 {x000y|x，y∈{0，1}*}
q0——M的启动状态； q1—第—1个M0读；到了一个0，这个0可能是子串“000”的
q2—是—子M串在“q001后0”紧的接第2着个又0；读到了一个0，这个0可能
q3—符—串M含在有q子2后串紧“接00着0”又；读因到此了，一这个个0状，态发应现该输是入字终 止状态。
2021/4/26
7
3.1 语言的识别
• ⑷ 系统中有一个状态，它是系统的开始状 态，系统在这个状态下开始进行某个给定 句子的处理。
• ⑸ 系统中还有一些状态表示它到目前为止 所读入的字符构成的字符串是语言的一个 句子，把所有将系统从开始状态引导到这 种状态的字符串放在一起构成一个语言， 该语言就是系统所能识别的语言。
– 定义。 – ε-NFA与DFA的等价性。
• FA是正则语言的识别器
– 正则文法(RG)与FA的等价性。 – 相互转换方法。 – 带输出的有穷状态自动机。 – 双向有穷状态自动机。
2021/4/26
2
第3章 有穷状态自动机
• 重点：DFA的概念，DFA、NFA、ε-NFA 、 RG之间的等价转换思路与方法。
2021/4/26
19
3.2有穷状态自动机
• 例 3-2 构造一个DFA，它接受的语言为 {x000y|x，y∈{0，1}*}
q0——M的启动状态； q1—第—1个M0读；到了一个0，这个0可能是子串“000”的
q2—是—子M串在“q001后0”紧的接第2着个又0；读到了一个0，这个0可能
q3—符—串M含在有q子2后串紧“接00着0”又；读因到此了，一这个个0状，态发应现该输是入字终 止状态。
2021/4/26
7
3.1 语言的识别
• ⑷ 系统中有一个状态，它是系统的开始状 态，系统在这个状态下开始进行某个给定 句子的处理。
• ⑸ 系统中还有一些状态表示它到目前为止 所读入的字符构成的字符串是语言的一个 句子，把所有将系统从开始状态引导到这 种状态的字符串放在一起构成一个语言， 该语言就是系统所能识别的语言。
– 定义。 – ε-NFA与DFA的等价性。
• FA是正则语言的识别器
– 正则文法(RG)与FA的等价性。 – 相互转换方法。 – 带输出的有穷状态自动机。 – 双向有穷状态自动机。
2021/4/26
2
第3章 有穷状态自动机
• 重点：DFA的概念，DFA、NFA、ε-NFA 、 RG之间的等价转换思路与方法。
第3章 有穷自动机共45页
(c)
空移环路的消除
• 找到空移环路之后，要消除它只要把空移环路上 所有结点q1,q2,…,qn合成一个结点，并消除它们 所有的弧。如果其中的某一个结点qi(i=1或 2,…,n)是开始结点或终止结点，则将此合并后的 新结点相应地设置为开始状态或终止状态。
例3.8
q0
a
q1
q2
则L(A)=L(B)={(ab)n|n1}, 所以自动机A,B等价。
非确定的有穷自动机NDFA
• 定义3.5 一个非确定的有穷自动机是一个五 元组，NDFA=Q，，t，Q0，F，其中Q 为状态的有穷非空集， 为有穷输入字母 表，t为Q 到Q的子集(多值映射)， Q0Q是初始状态集，F Q为终止状态集。
例3.5 DFA A=({q0,q1}, {a,b}, t, q0, {q0} ), 其中 t(q0,a)=q1, t(q1,b)=q0.
DFA B=({q0’,q1’,q2’}, {a,b}, t’, q0’, {q2’} ), 其中 t’(q0’,a)=q1’, t’(q1’,b)=q2’, t’(q2’,a)=q1’.
有穷自动机DFA定义：
一个确定的有穷自动机（DFA）M是一个五元组：M=（Q， Σ，t，q0，F）其中
✓ 1 Q是一个有穷集，它的每个元素称为一个状态；
✓ 2 Σ是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入符 号，所以也称Σ为输入符号字母表；
✓ 3 t是转换函数，是在Q×Σ→Q上的映射，即，如 t（qi， a）=qj，（qi，qjQ）就意味着，当前状态为qi，输入 符为a时，将转换为下一个状态qj，我们把qj称作qi的一 个后继状态；
例子
NDFA N=（{S，P，Z}，{0，1}，t，{S，P}， {Z}）
第三章有穷自动机
第三章有穷自动机
例：将图示的DFA M最小化。
a
b
6
4
a
a
a
b
a
1
a
b
5a
7
b3
b
b
2 b
第三章有穷自动机
1、将M状态分为两个子集： P0=({1,2,3,4},{5,6,7})
2、{1,2,3,4}读入a后划为： P1=({1,2},{3,4},{5,6,7})
3、进一步划分： P2=({1,2},{3},{4},{5,6,7})
② 检查Ia 和Ib，看它们是否已在表的第一列 中出现，把未曾出现者之一填入下一空行 的第一列上，再计算该行的第二、第三列 上的Ia 和Ib。
第三章有穷自动机
③ 重复第二步，直至表中所有第二、第三列 上的元素全部再第一列出现为止。
因为M中的状态(子集)的个数是有限的，所 以上述三步必定在有限步骤内终止。
f(V,a)＝U f(V,b)＝Q U Q V
f(Q,a)＝Q f(Q,b)＝Q V U Q
QQQ
第三章有穷自动机
3.1.3 状态转换图
图中标有的为开始状态，标有双圈的状态为终止 状态。
若f(Ki,a)=Kj，则从状态结点Ki到状态Kj画标记为a
的弧。
a
q0
q1
a
bb
bb
a
q3
q2
a
第三章有穷自动机
➢ NFA有一个开始状态集，而DFA只有一个 开始状态。
➢ NFA的映射是QQ的子集，是一个多 值映射，而DFA的映射是QQ，是一 个单值映射。
➢ DFA是NFA的特例，对于每个NFA M，存 在一个DFA M’，使得L(M)=L(M’)。
例：将图示的DFA M最小化。
a
b
6
4
a
a
a
b
a
1
a
b
5a
7
b3
b
b
2 b
第三章有穷自动机
1、将M状态分为两个子集： P0=({1,2,3,4},{5,6,7})
2、{1,2,3,4}读入a后划为： P1=({1,2},{3,4},{5,6,7})
3、进一步划分： P2=({1,2},{3},{4},{5,6,7})
② 检查Ia 和Ib，看它们是否已在表的第一列 中出现，把未曾出现者之一填入下一空行 的第一列上，再计算该行的第二、第三列 上的Ia 和Ib。
第三章有穷自动机
③ 重复第二步，直至表中所有第二、第三列 上的元素全部再第一列出现为止。
因为M中的状态(子集)的个数是有限的，所 以上述三步必定在有限步骤内终止。
f(V,a)＝U f(V,b)＝Q U Q V
f(Q,a)＝Q f(Q,b)＝Q V U Q
QQQ
第三章有穷自动机
3.1.3 状态转换图
图中标有的为开始状态，标有双圈的状态为终止 状态。
若f(Ki,a)=Kj，则从状态结点Ki到状态Kj画标记为a
的弧。
a
q0
q1
a
bb
bb
a
q3
q2
a
第三章有穷自动机
➢ NFA有一个开始状态集，而DFA只有一个 开始状态。
➢ NFA的映射是QQ的子集，是一个多 值映射，而DFA的映射是QQ，是一 个单值映射。
➢ DFA是NFA的特例，对于每个NFA M，存 在一个DFA M’，使得L(M)=L(M’)。
03 有穷状态自动机
13
例3-2
构造一个 DFA，它接受的语言为{ x000y | x, y∈{0, 1}* }。 关键：是否出现了子串“000”？ q0——M 的启动状态； q1——M 读到了一个 0，这个 0 可能是子串“000”的第 1 个0； q2——M 在 q1 后紧接着又读到了一个 0，这个 0 可能是子串 “000”的第 2 个0； q3——M 在 q2 后紧接着又读到了一个 0，发现输入字符串含 有子串“000”；因此，这个状态应该是终止状态。 可以给出 M 的状态转移函数的部分定义： δ(q0 ,0)=q1——M 读到了一个0，这个 0 可能是子串 “000”的 第1个0。 δ(q1,0)=q2——M 又读到了一个 0，这个 0 可能是子串 “000” 的第2个0。 δ(q2 ,0)=q3——M 找到了子串 “000”。
14
例3-2
δ(q0,1)=q0——M 在 q0 读到了一个 1，它需要继续在 q0 “等待” 可能是子串“000”的第 1 个 0 的输入字符 0； δ(q1,1)=q0——M 在刚刚读到了一个 0 后，读到了一个 1，表明 在读入这个 1 之前所读入的 0 并不是子串“000”的第 1 个 0， 因此，M 需要重新回到状态 q0，以寻找子串“000”的第1个0； δ(q2,1)=q0——M 在刚刚发现了00后，读到了一个1，表明在读入 这个1之前所读入的00并不是子串“000”的前两个0，因此， M 需要重新回到状态 q0，以寻找子串“000”的第 1 个 0； δ(q3,0)=q3——M 找到了子串“000”，只用读入该串的剩余部分。 δ(q3,1)=q3——M 找到了子串“000”，只用读入该串的剩余部分。
开始状态
状态
q0 q1
输入字符
第03章有穷状态自动机-电子科技大学
nfadfa0101dfanfa1637状态说明状态输入字符减少工作量的方法只列出可达状态的转移即填表时不需要填完填表时可用01代替q总是不可达的可将该状态对应的转移去掉说明这种记法主要是为了保持上下文一致实际上它与q画出nfa状态转移图
即时描述
设M = (Q, , , q0, F)为一个FA，x, y *， (q0, x)=q，xqy称为M的一个即时描述。 它表示xy是M 正在处理的一个字符串，x引导M 从q0启动并到达状态q，当前正指向y的首字符。 如果xqay是M的一个即时描述，且(q, a)=p，则 经过字符a的处理后，即时描述变为xapy。这一 过程记作： xqay
证明思路
(1) 显然，DFA是NFA的特殊形式；即所有 的DFA已经用NFA的形式表示； (2) 需要证明对于任意给定的NFA，存在与 之等价的DFA。
根据NFA构造DFA，将状态集合从Q变换到2Q， 这样DFA中的任意一个状态实际上是NFA中某 些状态的组合(这里避免使用术语“集合”)。 使用归纳法证明DFA与NFA的状态转移存在一 一对应关系。 证明由DFA和NFA能识别相同的语言。 L(M1) = L(M2)
作为对DFA的修改 q1 0 0 S 1 0 q0 1 1 q2
构造接受语言
0,1
q3
L={x| x{0,1}*,且 x含有子串00或11}的DFA
“直接”的FA
q1
0,1
S q0
0 1
0 1
0,1
q3
q2 希望是接受语言 L={x| x{0,1}*,且 x含有子串00或11}的FA
与DFA的区别
当这个子集为空时，表示没有状态与之对应；
当这个子集的元素个数大于1时，表示有多个状 态与之对应。
即时描述
设M = (Q, , , q0, F)为一个FA，x, y *， (q0, x)=q，xqy称为M的一个即时描述。 它表示xy是M 正在处理的一个字符串，x引导M 从q0启动并到达状态q，当前正指向y的首字符。 如果xqay是M的一个即时描述，且(q, a)=p，则 经过字符a的处理后，即时描述变为xapy。这一 过程记作： xqay
证明思路
(1) 显然，DFA是NFA的特殊形式；即所有 的DFA已经用NFA的形式表示； (2) 需要证明对于任意给定的NFA，存在与 之等价的DFA。
根据NFA构造DFA，将状态集合从Q变换到2Q， 这样DFA中的任意一个状态实际上是NFA中某 些状态的组合(这里避免使用术语“集合”)。 使用归纳法证明DFA与NFA的状态转移存在一 一对应关系。 证明由DFA和NFA能识别相同的语言。 L(M1) = L(M2)
作为对DFA的修改 q1 0 0 S 1 0 q0 1 1 q2
构造接受语言
0,1
q3
L={x| x{0,1}*,且 x含有子串00或11}的DFA
“直接”的FA
q1
0,1
S q0
0 1
0 1
0,1
q3
q2 希望是接受语言 L={x| x{0,1}*,且 x含有子串00或11}的FA
与DFA的区别
当这个子集为空时，表示没有状态与之对应；
当这个子集的元素个数大于1时，表示有多个状 态与之对应。
第03章 有穷状态自动机-19、20、21节课-2011-10-22
由于这里的陷井状态不是终止状态，它可以 在文法中被删除。化简后文法：
q0 0q1
q1 0q1 | 1q2 q2 1q2 | 2q3| 2 q3 2q3| 2
练习(见习题)
20（左图）
习题评讲
q0 0q1 | 1q3 | 1 q1 0q0 | 1q3| 1 q2 1q0 | 0q3| 0 q3 0q1 | 1q1
Ø {q1} Ø Ø Ø {q2}
M接受(识别)的语言
M接受(识别)的语言 对于x∈∑*，仅当
时，称x被M接受。
*
ˆ ( q0 , x ) F
ˆ L(M ) {x | x 并且 (q0 , x) F }
定理3-2
-NFA与NFA等价。
证明思路： (1) 显然， NFA是-NFA的特殊形式；即所 有的NFA 已经用-NFA的形式表示； (2) 需要证明对于任意给定的-NFA ，存在 与之等价的NFA 。
定理3-4（续）
对(a，A)∈T×V
{B|AaB∈P}∪{Z} 如果Aa∈P 如果AaP
δ(A，a)=
{B|AaB∈P}
用B∈δ(A，a)与产生式AaB对应 用Z∈δ(A，a)与产生式Aa对应。
注意
ε-CLOSURE(q)与δ(q,ε)不同
定义3-9
带空移动的不确定的有穷状态自动机(nondeterministic finite automaton with -moves, NFA) M是一个五元组： M = (Q, , , q0, F) 其中，Q, , q0, F 状态的意义同DFA (定义3-1)。
定理3-2（续）
设有-NFA M1 = (Q, , 1, q0, F) (1) 构造与之等价的NFA 取 NFA M2 = (Q, , 2, q0, F2)，其中 F2 = F {q0} 如果F -CLOSURE(q0) Ø F 如果F -CLOSURE(q0) =Ø
q0 0q1
q1 0q1 | 1q2 q2 1q2 | 2q3| 2 q3 2q3| 2
练习(见习题)
20（左图）
习题评讲
q0 0q1 | 1q3 | 1 q1 0q0 | 1q3| 1 q2 1q0 | 0q3| 0 q3 0q1 | 1q1
Ø {q1} Ø Ø Ø {q2}
M接受(识别)的语言
M接受(识别)的语言 对于x∈∑*，仅当
时，称x被M接受。
*
ˆ ( q0 , x ) F
ˆ L(M ) {x | x 并且 (q0 , x) F }
定理3-2
-NFA与NFA等价。
证明思路： (1) 显然， NFA是-NFA的特殊形式；即所 有的NFA 已经用-NFA的形式表示； (2) 需要证明对于任意给定的-NFA ，存在 与之等价的NFA 。
定理3-4（续）
对(a，A)∈T×V
{B|AaB∈P}∪{Z} 如果Aa∈P 如果AaP
δ(A，a)=
{B|AaB∈P}
用B∈δ(A，a)与产生式AaB对应 用Z∈δ(A，a)与产生式Aa对应。
注意
ε-CLOSURE(q)与δ(q,ε)不同
定义3-9
带空移动的不确定的有穷状态自动机(nondeterministic finite automaton with -moves, NFA) M是一个五元组： M = (Q, , , q0, F) 其中，Q, , q0, F 状态的意义同DFA (定义3-1)。
定理3-2（续）
设有-NFA M1 = (Q, , 1, q0, F) (1) 构造与之等价的NFA 取 NFA M2 = (Q, , 2, q0, F2)，其中 F2 = F {q0} 如果F -CLOSURE(q0) Ø F 如果F -CLOSURE(q0) =Ø
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001字串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
关键问题：DFA与NFA等价吗？
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
NFA与DFA的等价性
NFA与DFA等价是指两种模型识别相同的语言类（正则语言）。 对于任意给定的DFA，存在一个NFA与之等价； 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 DFA本身就是一种NFA，所以，要证明DFA与NFA等价，只需证明 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 下面根据给定的NFA构造一个DFA： 这里M2=（Q2,Σ,δ,q0,F ），Q2 =P(Q），
第三章、有穷状态自动机
δ1
q01 q1 q2
0 1
q1 q2 q1
0 q02 q3 q4
q01 q1 Q2
1 q3 q4 q5
δ2
q02 q3 q4
q5
q5
q5
第三章、有穷状态自动机
下面构造M= （Q,Σ,δ,q,F)， （1）Q={(r1,r2) ∣ r1∈Q1且r2∈Q2}； （2）Σ= {0,1}； （3）转移函数 δ（（r1,r2) ,a）= δ （δ1 （r1,a) ,δ 2（r2，a））， 如下页表所示； （4）q0=（q01，q02）是M的起始状态； （5）F={（q2,q02)，(q2,q3)，(q2,q4），(q2,q5)，(q01,q4)， (q1,q4)}。
第三章、有穷状态自动机
定理：正则语言类在并运算下封闭。 证明：思路：即假设A，B正则，再证明A∪B正则。 设自动机M1，M2分别识别A，B ，造一个M识别A∪B即可。 M1=（Q1,Σ,δ1,q1,F1), M2=（Q2,Σ,δ2,q2,F2),下面开始构造一个 M=（Q,Σ,δ,q0,F)使其符合要求。 （1）Q={（r1，r2) ∣r1∈A1且r2∈A2}=Q1×Q2; （2） Σ相同，若不同，则Σ= Σ1 ∪ Σ2; （3）转移函数δ：任意（r1，r2) ∈Q，a ∈ Σ，令 δ （（r1，r2) ，a）= δ （δ1 （r1，a) ，δ 2（r2，a））， 于是， δ 取M的一个状态和一个输入符号，返回M的下一个状 态; （4）q0是有序对（q1,q2); （5）F={(r1,r2) ∣r1∈F1或r2∈F2} （注意，F≠F1×F2） 综上，我们构造了自动机M。
第三章、有穷状态自动机
例6、假设字母表为{0,1}，构造一个识别L(E)={0,ε}的DFA的 状态图。
0
q1
1 0,1
q2
q3
0,1
第三章、有穷状态自动机
0 0
1
q1 1
比如例1的自动机的形式描述： （1）、Q={q1,q2}; （2）、 Σ={0,1}； （3）、 δ (q1,0)=q1, δ (q1,1)=q2, δ (q2,0)=q2, δ (q2,1)=q1； （4）、q1为起始状态； （5）、F={q2}为接受状态集。
第三章、有穷状态自动机
四、非确定性
前面所有的有穷自动机都是确定性的，记为DFA，特点是必须每个符
号都有相应的运算结果，自然的，考虑非确定性NFA，为推广，它在
任何一点，下一个状态可能存在若干个选择。那么，区别在哪里呢？
1
1 0 0
1
q01
0,1
q1
0
q2
0,1
q01
0,ε
q1
0
q2
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
例如：教室外面的饮料销售机，就是典型的有穷状态自动机， 投币，选择饮料，找零，出口，大家试着解析一下它的工作过 程，进行数学语言描述或者画出机器草图。
条件：2元雪碧，3元橙汁，4元vc汁，红色圈表示接受状态。
请大家上来画设计图！
第三章、有穷状态自动机
这就是我们天天见到的售货机，也称为自动机。
第三章、有穷状态自动机
该定理不仅证明了这个结论，更重要的是为我们的运算提供了方法。 例2、通过运算构造DFA： L(M)={w ∣w含偶数个0或二个1}。 解：令L(M1)={w ∣w含偶数个0}， L(M2)={w ∣w含二个1}。 则L(M)= L(M1) ∪ L(M2)，其中，
1
1
0 0
1
q01
第三章、有穷状态自动机
0 1
0
q1 1
q2
0,1
q3 1
例如机器运行时：010: reject 11: accept 010100100100100: accept 010000010010: reject : reject
第三章、有穷状态自动机
二、设计有穷自动机
就是针对给定的语言，你来设计一台自动机，并且准确识别这 个语言。确定性的有穷自动机记为DFA。 定义：如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语 言。
例3、假设字母表为{0,1}，构造一个识别从1开始以0结束的 所有字符串的DFA的状态图。
1
0 0
q0
0
1
q1
1
q2
q3
0,1
第三章、有穷状态自动机
例4、假设字母表为{0,1}，构造一个识别空集Ф的DFA的状态图。
q1
例5、假设字母表为{0,1}，构造一个识别L(E)={ε}的DFA的状态图。
q1
2 q1 3
q2
4
余额
q3 q4 q5
q6
第三章、有穷状态自动机
一、有穷状态自动机的形式定义
定义1、 确定的有穷状态自动机是一个五元组（Q, Σ, δ, q0, F ）,其 中 (1)、 Q是有限状态集； (2) 、Σ是字母表； (3)、 Δ：Q× Σ→Q称为状态转换函数，它是状态集与字 母表的笛卡尔积到状态集的一个映射； (4) 、q0∈Q是初始状态； (5) 、 F是终止状态集。
q2
第三章、有穷状态自动机
问题（讨论）：
1、DFA如何进行运算？
第三章、有穷状态自动机
三、正则运算
在算术中，基本对象是数，工具是处理数的运算，如+， ×；在计算理论中，对象是语言，工具是处理语言所设计的 如下3种运算，称作正则运算。 定义：设A和B为语言，则下列3种运算称作正则运算。 （1）并：A∪B={x∣x∈A或x ∈B} （2）连接：AB={xy∣x∈A且x ∈B} （3）星号：A*={x1 x2…xk∣xi∈A，i=1, …k,k≧0} 例1、Σ={0,1}，A={01,11}，B={001,100}，则 A∪B={01,11,001,100}； AB={01001,01100,11001,11100}； A*={ε，01,11,0101,0111,1101,1111,010101，…}。 注意：Ф ∪ Ф = Ф ， Ф Ф = Ф ， Ф *={ε}， A Ф = Ф
第三章、有穷状态自动机
δ （q01,q02） （q01,q3） （q01,q4） （q01,q02） （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q2,q02） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） 0 （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q2,q02） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） 1 （q01,q3） （q01,q4） （q01,q5） （q01,q5） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q1,q5） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） （q2,q5）
例1、假设字母表为{0,1}，所考虑的语言由所以含有奇数个1的字 符串组成，构造一个识别这个语言的所有字符串的DFA的状 态图。 大家先设计。
第三章、有穷状态自动机
0 1
0
q1 1
q2
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
考虑非确定性NFA，为DFA的推广，它在任何一点，下一个状态 可能存在若干个选择。那么，区别在哪里呢？主要是转移函数δ, 有很多计算分支，如果这些子过程中至少有一个接受，那么整个 计算接受。为了适应，大家运算一下010001110，100110， 11111111。非确定性NFA比DFA构造容易，实际上也是对能力更强 的计算模型的非确定性的一个很好的引入。
第三章、有穷状态自动机
(q01，q02)
0
0
(q1，q02) (q2，q02)
1
(q01，q3)
1
0
(q1，q3)
0 0 0 0 0 0
1
(q2，q3)
1
(q01，q4)
1
0
(q1，q4)
1
(q2，q4)
1
(q01，q5)
1 0
(q1，q5)
1
(q2，q5)
1
1
0
1
那么，还可以证明，连接运算与星运算也是封闭的。
q1
0
M1
q2
第三章、有穷状态自动机
0 0
1
0
1
0,1
1
q02
q3
q4
q5
M2
M1=（Q1,Σ,δ1,q1,F1), M2=（Q2,Σ,δ2,q2,F2), （1）、Q1={q01,q1,q2 }, Q2={q02,q3,q4,q5}; （2）、 Σ= {0,1}; （3）、转移函数δ1, δ2如下表； （4）、q01，q02分别是M1,M2的起始状态； （5）、F1={q2}， F2={q4}.
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
关键问题：DFA与NFA等价吗？
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
NFA与DFA的等价性
NFA与DFA等价是指两种模型识别相同的语言类（正则语言）。 对于任意给定的DFA，存在一个NFA与之等价； 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 DFA本身就是一种NFA，所以，要证明DFA与NFA等价，只需证明 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 下面根据给定的NFA构造一个DFA： 这里M2=（Q2,Σ,δ,q0,F ），Q2 =P(Q），
第三章、有穷状态自动机
δ1
q01 q1 q2
0 1
q1 q2 q1
0 q02 q3 q4
q01 q1 Q2
1 q3 q4 q5
δ2
q02 q3 q4
q5
q5
q5
第三章、有穷状态自动机
下面构造M= （Q,Σ,δ,q,F)， （1）Q={(r1,r2) ∣ r1∈Q1且r2∈Q2}； （2）Σ= {0,1}； （3）转移函数 δ（（r1,r2) ,a）= δ （δ1 （r1,a) ,δ 2（r2，a））， 如下页表所示； （4）q0=（q01，q02）是M的起始状态； （5）F={（q2,q02)，(q2,q3)，(q2,q4），(q2,q5)，(q01,q4)， (q1,q4)}。
第三章、有穷状态自动机
定理：正则语言类在并运算下封闭。 证明：思路：即假设A，B正则，再证明A∪B正则。 设自动机M1，M2分别识别A，B ，造一个M识别A∪B即可。 M1=（Q1,Σ,δ1,q1,F1), M2=（Q2,Σ,δ2,q2,F2),下面开始构造一个 M=（Q,Σ,δ,q0,F)使其符合要求。 （1）Q={（r1，r2) ∣r1∈A1且r2∈A2}=Q1×Q2; （2） Σ相同，若不同，则Σ= Σ1 ∪ Σ2; （3）转移函数δ：任意（r1，r2) ∈Q，a ∈ Σ，令 δ （（r1，r2) ，a）= δ （δ1 （r1，a) ，δ 2（r2，a））， 于是， δ 取M的一个状态和一个输入符号，返回M的下一个状 态; （4）q0是有序对（q1,q2); （5）F={(r1,r2) ∣r1∈F1或r2∈F2} （注意，F≠F1×F2） 综上，我们构造了自动机M。
第三章、有穷状态自动机
例6、假设字母表为{0,1}，构造一个识别L(E)={0,ε}的DFA的 状态图。
0
q1
1 0,1
q2
q3
0,1
第三章、有穷状态自动机
0 0
1
q1 1
比如例1的自动机的形式描述： （1）、Q={q1,q2}; （2）、 Σ={0,1}； （3）、 δ (q1,0)=q1, δ (q1,1)=q2, δ (q2,0)=q2, δ (q2,1)=q1； （4）、q1为起始状态； （5）、F={q2}为接受状态集。
第三章、有穷状态自动机
四、非确定性
前面所有的有穷自动机都是确定性的，记为DFA，特点是必须每个符
号都有相应的运算结果，自然的，考虑非确定性NFA，为推广，它在
任何一点，下一个状态可能存在若干个选择。那么，区别在哪里呢？
1
1 0 0
1
q01
0,1
q1
0
q2
0,1
q01
0,ε
q1
0
q2
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
例如：教室外面的饮料销售机，就是典型的有穷状态自动机， 投币，选择饮料，找零，出口，大家试着解析一下它的工作过 程，进行数学语言描述或者画出机器草图。
条件：2元雪碧，3元橙汁，4元vc汁，红色圈表示接受状态。
请大家上来画设计图！
第三章、有穷状态自动机
这就是我们天天见到的售货机，也称为自动机。
第三章、有穷状态自动机
该定理不仅证明了这个结论，更重要的是为我们的运算提供了方法。 例2、通过运算构造DFA： L(M)={w ∣w含偶数个0或二个1}。 解：令L(M1)={w ∣w含偶数个0}， L(M2)={w ∣w含二个1}。 则L(M)= L(M1) ∪ L(M2)，其中，
1
1
0 0
1
q01
第三章、有穷状态自动机
0 1
0
q1 1
q2
0,1
q3 1
例如机器运行时：010: reject 11: accept 010100100100100: accept 010000010010: reject : reject
第三章、有穷状态自动机
二、设计有穷自动机
就是针对给定的语言，你来设计一台自动机，并且准确识别这 个语言。确定性的有穷自动机记为DFA。 定义：如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语 言。
例3、假设字母表为{0,1}，构造一个识别从1开始以0结束的 所有字符串的DFA的状态图。
1
0 0
q0
0
1
q1
1
q2
q3
0,1
第三章、有穷状态自动机
例4、假设字母表为{0,1}，构造一个识别空集Ф的DFA的状态图。
q1
例5、假设字母表为{0,1}，构造一个识别L(E)={ε}的DFA的状态图。
q1
2 q1 3
q2
4
余额
q3 q4 q5
q6
第三章、有穷状态自动机
一、有穷状态自动机的形式定义
定义1、 确定的有穷状态自动机是一个五元组（Q, Σ, δ, q0, F ）,其 中 (1)、 Q是有限状态集； (2) 、Σ是字母表； (3)、 Δ：Q× Σ→Q称为状态转换函数，它是状态集与字 母表的笛卡尔积到状态集的一个映射； (4) 、q0∈Q是初始状态； (5) 、 F是终止状态集。
q2
第三章、有穷状态自动机
问题（讨论）：
1、DFA如何进行运算？
第三章、有穷状态自动机
三、正则运算
在算术中，基本对象是数，工具是处理数的运算，如+， ×；在计算理论中，对象是语言，工具是处理语言所设计的 如下3种运算，称作正则运算。 定义：设A和B为语言，则下列3种运算称作正则运算。 （1）并：A∪B={x∣x∈A或x ∈B} （2）连接：AB={xy∣x∈A且x ∈B} （3）星号：A*={x1 x2…xk∣xi∈A，i=1, …k,k≧0} 例1、Σ={0,1}，A={01,11}，B={001,100}，则 A∪B={01,11,001,100}； AB={01001,01100,11001,11100}； A*={ε，01,11,0101,0111,1101,1111,010101，…}。 注意：Ф ∪ Ф = Ф ， Ф Ф = Ф ， Ф *={ε}， A Ф = Ф
第三章、有穷状态自动机
δ （q01,q02） （q01,q3） （q01,q4） （q01,q02） （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q2,q02） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） 0 （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q2,q02） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） （q1,q02） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） 1 （q01,q3） （q01,q4） （q01,q5） （q01,q5） （q1,q3） （q1,q4） （q1,q5） （q1,q5） （q2,q3） （q2,q4） （q2,q5） （q2,q5）
例1、假设字母表为{0,1}，所考虑的语言由所以含有奇数个1的字 符串组成，构造一个识别这个语言的所有字符串的DFA的状 态图。 大家先设计。
第三章、有穷状态自动机
0 1
0
q1 1
q2
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
考虑非确定性NFA，为DFA的推广，它在任何一点，下一个状态 可能存在若干个选择。那么，区别在哪里呢？主要是转移函数δ, 有很多计算分支，如果这些子过程中至少有一个接受，那么整个 计算接受。为了适应，大家运算一下010001110，100110， 11111111。非确定性NFA比DFA构造容易，实际上也是对能力更强 的计算模型的非确定性的一个很好的引入。
第三章、有穷状态自动机
(q01，q02)
0
0
(q1，q02) (q2，q02)
1
(q01，q3)
1
0
(q1，q3)
0 0 0 0 0 0
1
(q2，q3)
1
(q01，q4)
1
0
(q1，q4)
1
(q2，q4)
1
(q01，q5)
1 0
(q1，q5)
1
(q2，q5)
1
1
0
1
那么，还可以证明，连接运算与星运算也是封闭的。
q1
0
M1
q2
第三章、有穷状态自动机
0 0
1
0
1
0,1
1
q02
q3
q4
q5
M2
M1=（Q1,Σ,δ1,q1,F1), M2=（Q2,Σ,δ2,q2,F2), （1）、Q1={q01,q1,q2 }, Q2={q02,q3,q4,q5}; （2）、 Σ= {0,1}; （3）、转移函数δ1, δ2如下表； （4）、q01，q02分别是M1,M2的起始状态； （5）、F1={q2}， F2={q4}.