(完整word)数列经典题型总结,推荐文档
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(完整word版)数列知识点归纳及习题总结
等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点N2cab+=⇔}{na中共k nnn.......21成等差则nknnaaa......,,21也成等差定义:nnnnnnaaaaqaa1121+++-=→=Nn∈通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项:a b c 成等比数列ac b =⇒2基本概念推广m n m n q a a -⋅=前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 ｛}n a 为递减数列当 q<0时 ｛}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 (一）．一般数列数列的定义及表示方法;数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减)、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ；一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系:⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn（二)等差数列1．等差数列的概念[定义］如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
即:成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=-- 2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数）,则数列{}n a 是等差数列。
数列经典题型总结精品
【关键字】方法、条件、规律、结构、关系、分析、满足、解决一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．练习：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；．例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 三、逆序相加法例4（07豫南五市二联理22.）设函数222)(+=x xx f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2,y 2)，若)(2121OP +=,且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n nn f n f n f n f S ∈+⋯+++= 四、裂项求和法 例5 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
(完整word版)高中数学数列知识点总结(经典),推荐文档
高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、 三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空 乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
(完整word版)数列常见题型总结经典(超级经典)
高中数学《数列》常有、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前 n 项和法（知 S n 求 a n ） a nS 1(n 1)S n S n 1(n 2)例 1、已知数列 { n } 的前 n 项和 S n 12nn 2 ，求数列{| a n|} 的前 n 项和T na1、若数列 {a n } 的前 n项和 S2n，求该数列的通项公式。
n2、若数列 { a n } 的前 n 项和 S n3 a n 3 ，求该数列的通项公式。
23、设数列 {} 的前，知足 T2Sn 2，a n n 项和为S n ，数列{ S n } 的前n 项和为T nnn求数列 { a n } 的通项公式。
2. 形如 a n 1 a nf (n) 型（累加法）（ 1）若 f(n) 为常数 , 即： a n 1 a n d , 此时数列为等差数列，则 a n =a 1(n 1)d .（ 2）若 f(n) 为 n 的函数时，用累加法 .例 1. 已知数列｛ a n ｝知足 a 1 1, a n3n 11. 已知数列a n 的首项为 1，且 a n 1a n 2. 已知数列 { a n } 知足 a 1 3 ， a na n 13. 形如an 1( )f n 型（累乘法）a na n 1 ( n 2) , 证明 a n 3n122n(n N * ) 写出数列a n 的通项公式 .1 ( n 2) ，求此数列的通项公式 .n(n 1)（ 1）当 f(n) 为常数，即：a n 1q （此中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且 a n = a 1 q n 1 .a n（ 2）当 f(n) 为 n 的函数时 , 用累乘法 .例 1、在数列 { a n } 中 a 11, a nn a n 1 (n 2) ，求数列的通项公式。
n 1 1、在数列 { a n } 中 a 11, a n n 1a n 1 (n 2) ，求 a n 与 S n 。
(完整word版)数列知识点复习总结,推荐文档
数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(word完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典),推荐文档
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列题型总结(全)
11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点，求当 取最小值时， 的坐标及 的余弦值。
12、设向量 ， ， ， ， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ，
2、(1) ．
= =
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ max= ．
(2)由已知 ，得 ．
一：定义法：
例：（1）设 是等差数列，证明：数列 （c>0, 是等比数列。（2）设 是正项等比数列，证明
（c>0, 是等差数列。
变式一：数列 的前n项和记为 ，已知 （n=2,3,4…）,证明：数列 是等比数列。
变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列 满足下列条件： ， ，其中a为常数，k为非零实数。令 是等比数列。
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
例一：等差数列 的前n项和 ，若 =4， =20，则该数列的公差d等于
变式一：等差数列 中， ，则该数列的 的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列 中， ，则公比q的值为
=
= ．
3、（1）
由 得 又
（2）由 ，得
又 =
所以， = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足 即可10、（5，2）或（-5，-2）
11、设 点 在直线 上， 与 共线，而
即 有 .
故当且仅当 时， 取得最小值 ，此时
于是
12、
变式一：设数列 ， 都是等差数列，若
变式二：在等差数列 中，已知 ，则该数列前11项和等于
word完整版等差等比数列知识点梳理及经典例题推荐文档
word完整版等差等⽐数列知识点梳理及经典例题推荐⽂档(3)8A 、等差数列知识点及经典例题⼀、数列由a n 与S n 的关系求a n由S n 求a n 时，要分n=1和n > 2两种情况讨论，然后验证两种情况可否⽤统⼀的解析式表⽰，若不能，则⽤分段1例〗根据下列条件，确定数列a n 的通项公式。
⑴⑷=1 .⼬I =3%+2孑 (2 ) a\ = 1,4+i = C n+ 1) Ofl ?分析：(1)可⽤构造等⽐数列法求解； (2)可转化后利⽤累乘法求解； (3)将⽆理问题有理化，⽽后利⽤a n 与S n 的关系求解。
丁⽿初=3兔+ 2,⼆％知+ 1=3(弘+1⼋⼆詈异=3⼯丽临为等⽐数列拾⽐+⼆為+ 1 = 2 * 3" 1 , A ^ = 2 * 3^-1.E^H =(n+> ?-=服得 S T =(A ±^!当 42 时=5⼀5-='為f "(為⼫O(2) ■!.⽚?1⼀⼇「?| ^⼀ J ........................ 「「⼇记.故"—<-累乘可得，函数的形式表⽰为a nS (n 1) Si S n 1 (n 2)解答：(1)—（cud- a, i+4）（弼―a?- I〉，⼆（召+為⼁）（的—编| —4） = QrTcin>0,「*爲+ 4 i>CbA O H —I —4=0,即％—久1=4, 化数列为等差数列，"差d=4.丁⼫ +2）⼜a? = S* =-------- g ----- ?A a. -2??:%=2⼗4（川⼀1〉=如⼀2?⼀⼆、等差数列及其前n项和（⼀）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种⽅法：第⼀种是利⽤定义，a n a n 1 d（常数）（n 2），第⼆种是利⽤等差中项，即2a.务1 %i（n 2）。
2、解选择题、填空题时，亦可⽤通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列｛a n｝的通项公式为n的⼀次函数，即a n=An+B,则｛a n｝是等差数列；（2）前n项和法：若数列｛a.｝的前n项和S n是S n An2Bn的形式（A, B是常数），则｛a“｝是等差数列。
(word完整版)数列知识点总结及题型归纳,推荐文档
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个
位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an ；
数列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……，简记作 an。
）
A． 120
B． 105
C． 90
D． 75
(四)、等差数列的性质：
（1）在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列an中，对任意 m ， n N ， an
am
(n
m)d
，
d
an n
am m
A． 2
B． 1
1
C.
2
D.
3
3
3
3
8.（陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为 sn ,若 a6 s3 12 ,则 an
2
9．（全国）设｛an｝为等差数列，Sn 为数列｛an｝的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列｛ Sn ｝ n
的前 n 项和，求 Tn。 (六).对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有 2n 项，则① S 偶 S 奇 nd ； ② S奇 an ； S偶 an1
（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① S
奇
S
偶
an
a中 ；②
S奇 S偶
n n 1
。
1.一个等差数列共 2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________
数列全部题型归纳(非常全面,经典!)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期 16 （1）121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠ （1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围 2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n na a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134nn n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(word完整版)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解,推荐文档
数列专项之求和-4（一）等差等比数列前n 项求和1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nnn 项求和② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅的前n 项和.此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.例23. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x例24.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.一般地，当数列的通项12()()n ca anb an b =++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将na 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12n a an b an b λλ=-++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cb b λ=-，从而可得12211211=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+③1a b=-- ④11;m m mn n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n…… 例25. 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例26. 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。
(word完整版)求数列的通项公式和求和方法总结,推荐文档
专题—求数列的通项公式方法归纳1．归纳法【例1】已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：____________________ 2．公式法（1）利用等差、等比通项公式；（2）利用a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【例2】已知下面各数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式，求{}n a 的通项公式．(1)S n ＝3n －2. (2)S n ＝2a n ＋13．累加法形如)(1n f a a n n +=+形式，()f n 可以求和．转化为)(1n f a a n n =-+．【例3】已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n +=+，求n a ．【例4】已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a ．练习1． 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
练习2．已知数列{}n a 中，12a =满足12n n n a a n +=++,求数列{}n a 的通项公式．练习3．已知数列{}n a 中，11a =满足1n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式．4．累乘法形如1()n n a a f n +=⋅形式，()f n 可以求积．转化为1()n na f n a +=． 【例5】练习1．已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.练习2.已知数列{a n }满足)(,2)1(,11N n a n S a nn ∈+==，求{a n }的通项公式。
{}12,3,1已知中，求通n n n n n a a a a a +==⋅5．构造等差、等比数列（构造法） 类型1：q pa a n n +=+1，)01(、p ≠方法一：待定系数法设)(1x a p x a n n +=++，解出x ，数列{}x a n +即为等比数列； 方法二：结论法：1-=p qx .【例6】已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习1．已知数列{a n }满足a 1＝1，3121n n a a +=+，求n a 的通项公式．练习2．已知数列{a n }的前n 项和n S 满足21()n n S a n n N *+=+∈，求n a 的通项公式．类型2：形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p方法一：待定系数法令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列；方法二：作差法，两式相减【例7】设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .练习1．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．求数列{}n a 的通项公式；类型3：形如21n n a pa an bn c +=+++)001(≠≠，a 、p方法：待定系数法，即令221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为{}2n a xn yn c +++是公比为p 的等比数列。
数列知识点总结word文档
数列知识点总结word文档一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合。
数列中的每个数叫做这个数列的项。
二、数列的表达方式1. 通项公式：数列的每一项和项号之间的函数关系式。
2. 递归公式：通过前一项或者前几项来表示后一项的公式。
3. 初项和公差：初项表示数列中的第一个数，公差表示数列中的相邻两项之间的差值。
三、等差数列1. 概念：如果一个数列中任意两相邻的项的差值都相等，这个数列就是等差数列。
2. 通项公式：如果等差数列的首项为a1，公差为d，那么该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
四、等比数列1. 概念：如果一个数列中任意两相邻的项的比值都相等，这个数列就是等比数列。
2. 通项公式：如果等比数列的首项为a1，公比为q，那么该数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
五、数列的性质1. 数列的前n项和：数列前n项之和的公式为Sn=n(a1+an)/2。
2. 数列前n项平方和：数列前n项平方和的公式为Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6。
3. 等差数列求和公式：等差数列前n项和的公式为Sn=n(a1+an)/2。
4. 等比数列求和公式：等比数列前n项和的公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
六、常见数列1. 斐波那契数列：该数列的前两项为1，第三项开始每一项都是前两项之和。
2. 等差数列：每一项与前一项的差值都相等。
3. 等比数列：每一项与前一项的比值都相等。
4. 等比数列：首项为a1，公比为q的等比数列为an=a1*q^(n-1)。
七、数列的应用1. 数学问题：在数学中，数列常常应用于求和问题、发现规律等。
2. 物理问题：在物理学中，数列可以用来描述变化过程。
3. 经济问题：在经济学中，数列可以被用来预测发展趋势。
4. 生活中的应用：例如车流量的变化、人口增长等都可以用数列来描述和预测。
总结：数列是数学中的一个重要概念，它包含了等差数列、等比数列等不同类型的数列，具有广泛的应用价值。
(word完整版)历年高考真题汇编数列,推荐文档
、(年新课标卷文)
已知等比数列{an}
中，
a1
1 3
，公比
q
1 3
．
（）
Sn
为{an}
的前项和，证明：
Sn
1 an 2
（）设 bn log3 a1 log3 a2 log3 an ，求数列{bn}的通项公式．
解：（Ⅰ）因为 an
1 (1)n1 33
1 3n
.
Sn
1 (1 1 ) 3 3n
①②得
(1 22 ) Sn 2 23 25 22n1 n 22n1 。
即
Sn
1 [(3n 9
1)22n1
2]
、（年全国新课标卷文）
设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱ）求an的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
解：（）由 （）及，得
1 1
1 1 3n
2
,
3
所以 Sn
1 an 2
,
（Ⅱ） bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an
所以{bn }的通项公式为 bn
n(n 1) . 2
(1 2 ....... n)
n(n 1) 2
、(全国新课标卷理）
等比数列an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6. （）求数列 an 的通项公式.
1，
Sn a1 a2 an .
2 24
2n
所以，当 n 1时，
3 / 12
Sn 2
a1
a2
2
a1
an an1 an
2n1
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可转化为等比数列，设a n x c a n1 x
例如：数列a n 中，a1
3，
a n1 an
n
n
1
，求a
n
a n ca n1 c 1x
解： a 2 · a 3 …… a n 1 · 2 …… n 1 ，∴ a n 1
a1 a2
a n1 2 3
1、公式法
可能是分段形式。 数列求和的常用方法：
2、 由S n 求a n
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类
项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项
与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这
an=3（an-an-1）
因此数列{an+1-an}是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（3×1+2）-
1=4
∴an+1-an=4·3n-1
∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1
即
an=2·3n-1-1 解法二： 上法得{an+1-an}是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-
⑵已知 Sn （即 a1 a2 an f (n) ）求 an ，用作差法：
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天
4
文德教育
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an1
d或 an1 an1
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1 2
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文德教育
n 2时，a n Sn Sn1 …… 3·4 n1
a n ca n1 d c、d为常数，c 0，c 1，d 0
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可转化为等比数列，设a n x c a n1 x
例如：数列a n 中，a1
3，
a n1 an
n n 1 ，求an
a n ca n1 c 1x
解： a 2 · a 3 …… a n 1 · 2 …… n 1 ，∴ a n 1
a1 a2
a n1 2 3
n
a1 n
又a 1
3，∴a n
3 n
5、等差型递推公式
由a n a n1 f (n)，a1 a 0，求a n ，用迭加法
令(c 1)x d，∴x d c1
（3）形如 an1 ank 的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
4
文德教育
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an1
d或 an1 an1
q 时，分奇数项偶数项讨论，结果
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
可能是分段形式。 数列求和的常用方法：
2、 由S n 求a n
∴a n
c
d
1是首项为a
1
c
d ，c为公比的等比数列 1
∴a n
c
d 1
a1
c
d
1
·c
n
1
n
2时，a 2 a3
a1 a2
f (2)
f
(3)
两边相加，得：
…… ……
a n a n1 f (n)
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一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==L ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．练习：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；．例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．三、逆序相加法例4（07豫南五市二联理22.）设函数222)(+=x xx f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2,y 2)，若)(2121OP +=,且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n nn f n f n f n f S ∈+⋯+++=四、裂项求和法 例5 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；五、分组求和法例7数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。
例8求2222121234(1)n S n -=-+-++-L （n N +∈）六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例9 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征）∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ 例10 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na a n 111-=-211=a Θ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a an n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a Θ，na n 32=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---L 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则 11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1nn n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p qa n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：qb q p b nn 11+=+再待定系数法解决。
例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+•=•++n n n n a a令n nn a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )32(23-=所以nn nn n b a )31(2)21(32-== 类型5递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去 n a 进行求解。
例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .解：（1）由2214---=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S所以11121-+++-=n n n n a a a nn n a a 21211+=⇒+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n na 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n2)1(222=-+=12-=⇒n n n a类型6b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩⎨⎧==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故 n n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n 说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设 C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为 n n n qb pb b +=++12求之.。