第三章 三角函数 知识框架

高三一轮复习 第三章 知识框架

三角函数

一、[高效知识图览]

::⎧⎧⎪⎪

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⎩⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪

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角度制扇形弧长：角的表示弧度制扇形面积：角度制与弧度制的关系：；平方关系；；；同角三角函数关系式1.任意角的概念倒数关系；

任意角三角函数定义商数关系：

正弦线：单位圆与三角函数线余弦线正切线三角函数符号的判定：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2. 两角和与差的正、余弦、正切公式

cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ±=±=± tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=⋅

3. 二倍角的正、余弦、正切公式

sin 22sin cos ;

2222cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 2.(21tan ααααααααα

αα

==-=-=-=

-注：倍角具有相对性) 4. 辅助角公式：

sin cos );sin a b αααϕϕϕ±=±=

=

其中

5. 万能公式：22222tan 1tan 2tan sin 2;cos 2;tan 21tan 1tan 1tan ααα

αααααα

-===++-

6. 三角函数的图像与性质

)为；

[2在[2在；在每一个周期上对称轴：对称中心：对称中心：二、[典型题型]

题型一、有关角的概念

,2,

,

.23αα

αα例:若是第二象限角试判断角各是第几象限的角

题型二、求角求值问题（三化思想：化同名、化同次、化同角） 化同角方法： 1.若αβ±是2

k π

⋅

，则利用诱导公式化同角；

2.若αβ±是特殊角，利用两角和差公式；

3.若2αβ±是2

k π

⋅

或是特殊角，则可类似用1、2方法处理.

200020202222000sin (42)2tan(45)tan(45)sin (48)cot (270);1

(2)sin sin cos cos cos 2cos 2;

2

3

(3)cos(75),,sin(302)cos(45).

5

θθθθθαβαβαβαααα+-+⋅-+---+-+=---例(1) 已知为第三象限角求的值 （一） 求角问题：

步骤：1.求该角的某个三角函数值； 2.卡角的取值范围.

卡角方法：法1.根据已知所给三角函数值的大小与特殊角的三角函数值比较，利用三角函数单调性卡角； 法2.恰当选取所求角的三角函数名称，如当所求角α的范围是[0,]π，则求该角的余弦或正切值即可

.

.sin (1)cos();(2).5

10

αβαβαβαβ=

=

-+例已知锐角、满足 求求

（二） 求值问题： 1.齐次式化切问题：

特点是一般为分式函数，且分子分母是关于sin cos αα、的齐次式，处理方法为分子分母同时除以cos n

α.

3

324

tan ,32cos 3sin 2cos 3sin (1)

(2)2005sin cos (3)

3cos sin 3cos sin cos ααααααααα

ααα

=-++++⋅例.已知求下列各式的值

2.角的变化（即用已知角表示未知角）：如()ααββ=-+等.

12cos(),,cos .3

1332

π

ππ

ααα-

=

<<例.已知求 3.七胞胎：即sin cos ,sin(),cos()sin cos .4

4

π

π

αααααα±±

±

与之间的转化关系(利用辅助角公式或平方实现转化)

15

sin cos , (0,), cot .sin ,0,cos 25

413

4x x x ππθθθπθ+=

∈-=<<⎛⎫

⎪⎝⎭例(1)已知求的值 (2)已知求值.

4. 和差公式变形应用（“1”的代换；正切公式的变形应用）

000000

1tan 75(1)

(2)tan17tan 28tan17tan 281tan 75+++-例.

5. 公式的综合应用

1sin cos 1sin cos .(1)

1sin 1cos 1sin cos 1sin cos θθθθθθθθ

θθ

+-+++

±±+++-例 (、均可凑成完全平方，进而进行化简)

sin10sin 30sin 50sin 70.(2)求值（特点：出现正弦或余弦的连乘积，利用正弦二倍角公式）

题型三、三角函数的图像与性质

1.三角函数的定义域. [此处高考要求不高] 方法：建立三角不等式（组），解三角不等式，结合三角函数图像（或三角函数线）求角集的交集，即定义域.

2.三角函数的值域 [求值域先看定义域]