双曲线焦点三角形面积公式的应用

双曲线焦点三角形面积公式的应用

定理 在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ⋅=∆b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(2

2121221c r r r r r r =-+-θ

即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ

由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . 同理可证，在双曲线122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解

例1 设1F 和2F 为双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）

A. 1

B.

25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.

例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.

解: ,12cot 2cot 221==⋅=∆θ

θb S PF F ︒=∴452θ

,即.90︒=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF

例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122

=+=a

b e .41212=+∴a

从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112

42

2=-x y . 金指点睛

1. 已知双曲线14

22

=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF •的值为( )

A. 2

B. 3

C. 2-

D. 3-

2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 14

2

2=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线122

2

=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A. 34 B. 35 C. 332 D. 3

4. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( )

A ．163

B ．323

C ．32

D ．42 5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且

32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.

6. 已知双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.

参考答案

1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴

︒=︒=60,302θθ

. 又3sin ||||2

12121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF . ∴21PF PF •=2214cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF . 故答案选A. 2. 解： ,21PF PF ⊥∴1221||||212121=⨯=⋅=

∆PF PF S PF F . 又145cot 2cot

22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .

故答案选C. 3. 解： 021=⋅MF MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22cot 221=︒==∆θb S MF F .

点M 到x 轴的距离为h ，则23||212121===⋅⋅=

∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.

4. 解：设θ=∠21PF F ，则3πθ=

. ∴3166cot 162cot 221===∆πθb S PF F .

故答案选A. 5. 解：由1449162

2=-y x 得11692

2=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800 θ）. ∴2cot 162cot

221θθ==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||2

12121=⋅⋅=∆PF PF S PF F . ∴2cot sin θθ=，即2

sin 2cos 2cos 2sin 2θ

θθθ=. 整理得：212sin 2=θ

，∴222sin =θ，︒=452

θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.