【最新】数学物理方法试卷(全答案)
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嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题
一、简答题(共70分)
1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分)
解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。
2、奇点分为几类?如何判别?(6分)
在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。
判别方法:洛朗级数展开法
A,先找出函数f(z)的奇点;
B,把函数在的环域作洛朗展开
1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点;
2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点;
3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。
3、何谓定解问题的适定性?(6分)
1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。
4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分)
在某区域上处处可导的复变函数
称为该区域上的解析函数.
1)在区域内处处可导且有任意阶导数.
2)
()
()
⎩
⎨
⎧
=
=
2
1
,
,
C
y
x
v
C
y
x
u
这两曲线族在区域上正交。
3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数)
4)在边界上达最大值。
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分)
数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。
5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分)
()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-⎰⎰⎰∞
∞∞-∞∞
-)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ
6、写出复数2
31i +的三角形式和指数形式(8分) 三角形式:()3
sin 3cos 231cos sin 2
321isin cos 222ππϕ
ϕρϕϕρi i i +=++=+=+ 指数形式:由三角形式得:
313πρπϕi e
z ===
7、求函数
2)2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解:
奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡---=→z z z z sf z
1)1(1lim )2)(1()2(!11lim
Re 22222)2(\-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→→z z z z z dz d sf z z 8、求回路积分 dz z
z z ⎰=13cos (8分)
解:)(z f 有三阶奇点z=0(在积分路径内)
[]21-cosz lim z cosz !21lim Re 033220)0(\==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=→→z z z dz d sf ∴原积分=i i sf i πππ-=-=)2
1(2)0(Re 2
9、计算实变函数定积分
dx x x ⎰∞∞-++1
142(8分) 解:⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++=)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242i z i z i z i z z z z z f 它具有4个单极点:只有z=)1(22i --和z=)1(2
2i +在上半平面,其留数分别为: ππ2)221221(2I 221)1(22)1(22)1(221lim Re 221)1(22)1(22)1(221lim Re 20))1(22(\20))1(22(\=+=∴=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=→+→--i
i i i i z i z i z z sf i i z i z i z z sf
z i z i
10、求幂级数k k i z k )(11
-∑∞
= 的收敛半径(8分) 1
11lim 1
11
lim lim 1
≤-=+=+==∞→∞→+∞→i z k k k k a a R k k k k k 所以收敛圆为
二、计算题(共30分)
1、试用分离变数法求解定解问题(14分)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===><<=-====0
,2/100,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
令)()(),(t T x X t x u =,并代入方程得
⎪⎩
⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0
''''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X X T a T ''2'' ⎪⎩
⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''''l X X X X λ和02''=+T a T λ x
C x C x X C x C x X e C e C x X x x λλλλλλ
λsin cos )(0)(0)(0212
121+=+==+=---时,方程的解为:>在时,方程的解为:在时,方程的解为:<在
由边界条件0)(0)0(''==l X X ,得: