达朗贝尔原理及其应用习题解

（a ）

习题11－1图

达朗贝尔原理及其应用

11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a ），图（c ）的转动角速度为常数，而图（b ），图（d ）的角速度不为常量。试对图示四种情形进行惯性力的简化。

解：设圆盘的质量为m ，半径为r ，则如习题11-1解图：

（a ）2

I ωmr F =，0I =O M

（b ）2n I ωmr F =，αmr F =t

I ，αα2I 2

3mr J M O O == （c ）0I =F ，0I =O M （d ）0I =F ，αα2

I 2

1mr J M O O =

=

11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg ，由两个销子 A 、B 悬挂。若突然撤去销子B ，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A 的约束力。

解：如图（a ）：设平板的质量为m ，长和宽分别为a 、b 。 αα375.3I =⋅=AC m F

ααα5625.0])(12

1

[222I =⋅++==AC m b a m J M A A

∑=0)(F A M ；01.0I =-mg M A ；2rad/s 04.47=α

∑

=0x F ；0sin I =-Ax F F θ；其中：6.05

3sin ==θ

N 26.956.004.47375.3=⨯⨯=Ax F

∑=0y F ；0cos I =-+mg F F Ay θ；8.05

4sin ==θ

N 6.1378.004.47375.38.927=⨯⨯-⨯=Ay F

习题11－2图

习题11-1解图

（a ）

（a ）

11－3在均质直角构件ABC 中，AB 、BC 两部分的质量各为3.0kg ，用连杆AD 、DE 以及绳子AE 保持在图示位置。若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD 、BE 所受的力。连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m ，φ = 30º。 解：如图（a ）：设AB 、BC 两部分的质量各为m = 3.0kg 。 直角构件ABC 作平移，其加速度为a = a A ，质心在O 处。

ma F 2I =

∑=0)(F O M ；

04

sin )(43cos 4cos =+--l

F F l F l F B A A B ϕϕϕ （1）

∑=0AD F ；

0cos 2=-+ϕmg F F B A （2） 联立式（1）和式（2），得：A B F mg F 3+=

N 38.5)13(4

1

=-=mg F A ；

N 5.4538.53=⨯+=mg F B

11－4 两种情形的定滑轮质量均为m ，半径均为 r 。图a 中的绳所受拉力为W ；图b 中块重力为W 。

试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。

解：1、图（a ）：

① Wr J O =a α Wr mr =a 22

1α

mr

W

2a =α

（1） ②绳中拉力为W （2） ③∑=0x F ，0=Ox F （3） ∑=0y F ，W F Oy = （4） 2、图（b ）： ① b 2I 2

1αmr M O =

（5） b I αr g

W a g W F ==

（6）

∑=0O M ，0I I =-+W r r F M O （5）、（6）代入，得

)

2(2b W mg r Wg +=α

（7）

②绳中拉力（图c ）：

∑=0y F ，W F T =+I b

W W

mg mg

a g W W T 2

b +=-= （8）

③轴承反力：

∑=0x F ，0=Ox F

（9） ∑=0y F ，0I =-+W F F Oy

W mg mgW

F Oy 2+=

（10）

由此可见，定滑轮的角加速度a α、b α，绳中拉

A

B C

D

E

l

l

φ φ

习题11－3图

（a ）

F I

F A

F B

a A 2m g A B C

3l /4

3l/4 φ

φ O a

b

T I

F W

(a)

习题11-4图

αa

F Oy

F Ox

F Oy

F Ox

αb

M I O

F I W

a

2

2

g m y

O

Ax

F ϕ

g

1

m x

I F A

Ay F

(a) I

F 0.61m

0.102m

g

m A

a

O

N

F

(c)

力，轴承反力均不相同。

11－5 图示调速器由两个质量各为1m 的圆柱状的盘子所构成，两圆盘被偏心地是悬于与调速器转动轴相距a 的十字形框架上，而此调速器则以等角速度ω绕铅垂直轴转动。圆盘的中心到悬挂点的距离为l ，调速器的外壳质量为2m ，放在这两个圆盘上并可沿铅垂轴上下滑动。如不计摩擦，试求调速器的角速度ω与圆盘偏离铅垂线的角度ϕ之间的关系。

解：取调速器外壳为研究对象，由对称可知壳与圆盘接 触处所受之约束反力为2/2g m 。

取左圆盘为研究对象，受力如图（a ），惯性力

21I )sin (ωϕl a m F +⋅=

由动静法

∑=0A M ，0cos sin )2

(I 21=-+ϕϕl F l g

m g m 将I F 值代入，解出

ϕϕωan t )

sin (2212

12g l a m m m ++=

11－6图示两重物通过无重滑轮用绳连接，滑轮又铰接在无重支架上。已知物G 1、G 2的质量分别为m 1 = 50kg ，m 2 = 70kg ，杆AB 长l 1 = 120cm ，A 、C 间的距离l 2 = 80cm ，夹角θ = 30˚。试求杆CD 所受的力。

解：取滑轮和物G 1、G 2如图（a ）所示，设物G 1、G 2的加速度为a ，则其惯性力分别为： a m F 11I =；a m F 22I =

∑=0)(F B M ；0)(212I 1I =-++r g m g m F F ；6120201212g

g g m m m m a ==+-=

∑=0y

F ；0212I 1I =--+-g m g m F F F B ；g g g F B 3

350

120310=+-= 取杆AB 为研究对象，受力如图（b ）所示，

∑=0)(F A M ；0sin 12='-l F l F B CD θ；kN 43.3N 34303

350221==⋅=

g l l F CD

11－7 直径为1.22m 、重890N 的匀质圆柱以图示方式装置在卡车的箱板上，为防止运输时圆柱前后

滚动，在其底部垫上高10.2cm 的小木块，试求圆柱不致产生滚动，卡车最大的加速度？

习题11－5图

A B D C G 1 θ G 2

习题11－6图

习题11－7图

B G 1 G 2 A

C θ a F I1

F I2 m 1g m 2g F B

（a ） F Ay

F Ax

F CD B ′ （b ）