第六章 离散化方法

❖ 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。 ❖ 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
例 试用向前差分法离散下述传递函数
。
来自百度文库稳定性判断：要求
•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0) 为圆心， 以r=1/T为半径的圆外 .
4 .双线性变换法
•变换也是z变换的一种近似
s与z之间的变换关系
•T=1s时的单位阶跃响应与连续系统响应接近 •T=0.2s时的单位阶跃响应与连续系统响应非 常接近。 •这表明该方法精度较高。
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不变法)
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
混叠现象。 ❖ 其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解
为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
❖ 基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
例 已知连续控制器传递函数 试用双线性变换法离散，并比较D(s)与D(z)的频率特性。 解：
当T=1s时， 当T=0.2s时，
MATLAB命令：
num=[1]; Den=[1 0.8 1] [n,d]=c2dm(num,den,1,’tustin’ )
n = [0.1515 0.3030 0.1515] d= [1.0000 -0.9091 0. 5152]
❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 ❖ 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
3.差分变换法
1).一阶向后差分
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
•对于给定 •其微分方程为 •用一阶向后差分代替微分，则
•两边取Z变换得
•可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相 同
•离散化公式
•对于给定
•其微分方程为 • 相当于数学的梯形积分法，即以梯形面积近似代替积分 • 每个题型面积的宽度为T，上底和下底面积分别为 • 故面积为
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
•当=0（s平面虚轴)映射为z平面
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
令 （单位圆）
•只有当D(s)的所有极点位于左 半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内，离 散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
图 向前差分法的映射关系
❖ s若D(s)稳定，采用向前差分法离散化，D(z)不一定稳定。只 有采用较小的采样周期T，方能保证D(z)稳定。
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
❖ 基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟 滤波器的脉冲响应函数的采样值。
❖ 设模拟控制器的传递函数为 ❖ 在单位脉冲作用下输出响应为 ❖ 其采样值为
例 已知模拟控制器 解：
控制算法为：
，求数字控制器D(z)。
2)．脉冲响应不变法特点
❖ D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 ❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的频率响应。 ❖ D(z)将ωs的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了
双线性变换的频率关系
当采样频率较高
双线性变换频率特性失真
足够小
•双线性变换后环节的稳态增益不变
•双线性变换后D(z)的阶次不变，
且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
应用
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好 的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用 于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化 。
分析所得结果可知： • 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
D2(z) 两个根分别为：
均位于单位圆内
• 稳态增益不变
❖ 单位阶跃响应
2).一阶向前差分法
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换
对 其微分方程为 用一阶向前差分代替微分
两边取Z变换得
第六章 离散化方法
2020年4月23日星期四
模拟控制器的离散化方法
❖ 模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器 ❖ 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递
函数D(z) 。 ❖ “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数； ---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
平面单位圆内 。
图 双线性变换映射关系
•双线性变换将
--整个s平面左半部到z平面单位圆内。 --整个s平面右半部映射到单位圆外。 --s平面虚轴映射为单位圆。
--映射是一对一的非线性映射。
s域角频率
z域角频率
•若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
•频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性 不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例 已知 一阶向后差分法离散。
解
， T=1s、0.1s，试用
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， 当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，
s与z之间的变换关系
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
主要特性 • s平面与z平面映射关系
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
❖ 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。