第7章 图(2)
第七章 2汉密尔顿图
L: v1
vp
2021/2/16
7-2 汉密尔顿图 2021/2/16
7-2 汉密尔顿图
如果 v p 不邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结点，则 deg(vp ) p 1 k ，
deg(u)＋deg(v)≥ n， 则G是汉密尔顿图。
2021/2/16
11
7-2 汉密尔顿图
设G＝〈V ,E〉是有n个结点的简单图， (1) 如果任两结点u，v∈V， 均有
deg(u)＋deg(v)≥ n－1， 则在G中存在一条汉密尔顿路；
（1）证明：首先证明图 G 连通。用反证法进行证明。假设图 G 不连通，则图 G 至少
deg(v1) k ， deg(vp ) deg(v1) p 1 k k p 1 n 1 ， 这 与 前 提 条 件
deg u ＋deg v n－1矛盾。因此 v p 必然邻接于 vl1, vm1,..., v j1,..., vt1 中的任意一个结
点。回路 L1 一定存在。 STEP 3：打开回路，得到基本路径 L2。
有两个连通分支 G1 和 G2 。G1＝<V1, E1> ，G2＝<V2 , E2> 。| V1 | n1 ，| V2 | n2 。在G1 中取 一 个 结 点 v1 ， deg(v1) n1 1 ， 在 G2 中 取 一 个 结 点 v2 ， deg(v2 ) n2 1 。
deg(v1) deg(v2 ) n1 1 (n2 1) n1 n2 2 n 2 ，与 deg u＋deg v n－1 矛
因此该定理不能证明彼得森图是非 汉密尔顿图。但彼得森图是非汉密尔 顿图。
第7章 信号处理电路 习题解答
7.3简述电荷放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：电荷放大器应用于压电式加速度传感器、压力传感器等的后端放大。
上述两种传感器属于电容性传感器，这类传感器的阻抗非常高，呈容性，输出电压很微弱；他们工作时，将产生正比于被测物理量的电荷量，积分运算电路可以将电荷量转换成电压量，电路如下图所示。
解：1）LBF；2）BPF；3）HPF；4）BEF。
二、判断下列说法是否正确，用 “√”（正）和“ ”（误）填入括号内。
1）高通滤波器的通频带是指电压的放大倍数不变的频率范围。（）
2）低通滤波器的截止频率就是电压放大倍数下降1/2的频率点。（）
3）带通滤波器的频带宽度是指电压放大倍数大于或等于通带内放大倍数0.707的频率范围。（）
其中 ；
该滤波器为二阶低通滤波电路，幅频特性如下图：
7.7试说明图P7－8所示各电路属于哪种类型的滤波电路，是几阶滤波电路。
（1）
（2）
图P7-7
解：
图（1）所示电路二阶带通滤波器或者二阶带阻滤波器。
前一个运放为高通滤波器（截止频率f1），后一个运放为低通滤波器（截止频率f2），如果 ，则f1<f2，该滤波器为二阶带通滤波器；如果 ，则f1>f2，该滤波器为二阶带阻滤波器。
电容性传感器可等效为因存储电荷而产生的电动势Ut与一个输出电容Ct串联，如图中虚线框内所示。根据集成运放的特点，可得到输出电压为： 。
7.4简述隔离放大器有什么特点，应用于何种场合。
解：隔离放大器通常应用于远距离信号传输。
在远距离信号传输的过程中，常因强干扰的引入使放大电路的输出有很强的干扰背景，甚至将有用信号淹没，造成系统无法正常工作。隔离放大器将电路的输入侧和输出侧在电气上完全隔离，它既可切断输入侧和输出侧电路间的直接联系，避免干扰混入输出信号，又可使有用信号畅通无阻。目前集成隔离放大器有变压器耦合式、光电耦合式和电容耦合式三种。
(名师整理)最新人教版物理8年级下册第7章第2节《弹力》精品课件
解析：弹簧测力计 A 的读数为 3 N 时，说明弹簧测力 计 A 的弹簧受力为 3 N，由于弹簧测力计 A 处于静止，受 平衡力作用，则左侧手对弹簧测力计的拉力为 3 N；弹簧 测力计 A 的弹簧受力大小为 3 N，由于力的作用是相互的， A 弹簧对 B 弹簧的拉力等于弹簧测力计 A 的弹簧受力大 小，也是 3 N，即弹簧测力计 B 的示数为 3 N；而两个弹 簧测力计整体要处于平衡状态，右手对弹簧测力计 B 的拉 力等于左侧手对弹簧测力计的拉力，也是 3 N．故选：A.
面挂一个钩码时长度为 6 cm，挂 2 个相同的钩码时
长度为 7 cm，挂 4 个相同的钩码时，弹簧测力计的
伸长量是( D )
A．8 cm
B．7 cm
C．9 cm
D．4 cm
10．如图所示的三个装置中，弹簧和小球均完 全相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略 不计，平衡时各弹簧的长度分别为 L1、L2、L3，其 大小关系是( D )
图 3 中弹簧受到两个小球的拉力而平衡，其情况可以 等效为图 2，故弹簧的长度 L3＝L2；
故 L1＝L2＝L3.
11．某实验小组的同学对 A、B 两根长度相同、 粗细不同的橡皮筋进行研究，并做成橡皮筋测力 计．将橡皮筋的一端固定，另一端悬挂钩码(如图甲 所示)，记录橡皮筋受到的拉力大小 F 和橡皮筋伸长 量Δx，根据多组测量数据作出的图线如图乙所示．
解析：物体间力的作用是相互的可知，对弹簧测力计施加 力，弹簧测力计的长度就伸长，则该力的受力物一定为弹簧测 力计；
A、秒表的重力，施力物体是地球，受力物体是秒表，故 A 错误；
B、秒表对弹簧的拉力，施力物体是秒表，受力物是弹簧测 力计，故 B 正确；
C、弹簧对秒表的拉力，施力物体是弹簧，受力物体是秒表， 故 C 错误；
第7章图(2)-数据结构教程(Python语言描述)-李春葆-清华大学出版社
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或者
def DFS1(G,v): print(v,end=' ') visited[v]=1 for p in G.adjlist[v]: w=p.adjvex if visited[w]==0: DFS1(G,w)
#邻接表G中从顶点v出发的深度优先遍历 #访问顶点v #置已访问标记 #处理顶点v的所有出边顶点 #取顶点v的一个邻接点w
图采用邻接矩阵为存储结构，其广度优先遍历算法如下：
from collections import deque
MAXV=100
#全局变量，表示最多顶点个数
visited=[0]*MAXV
def BFS(g,v):
#邻接矩阵g中顶点v出发广度优先遍历
qu=deque()
#将双端队列作为普通队列qu
print(v,end=" ")
#访问顶点v
visited[v]=1
#置已访问标记
qu.append(v)
#v进队
while len(qu)>0:
#队不空循环
v=qu.popleft()
#出队顶点v
for w in range(g.n):
if g.edges[v][w]!=0 and g.edges[v][w]!=INF:
#全局变量，表示最多顶点个数
#邻接表G中顶点v出发广度优先遍历 #将双端队列作为普通队列qu #访问顶点v #置已访问标记 #v进队
#队不空循环 #出队顶点v
#处理顶点v的所有出边 #取顶点v的第j个出边邻接点w #若w未访问 #访问顶点w #置已访问标记 #w进队
时间复杂度为O(n+e)。
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第7章《平面图形的认识(二)》考点+易错
第7章《平面图形的认识（二)》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 和平移有关的图形周长、面积计算【考点解读】本考点解题时,一般运用平移的性质(如:连接平移前后对应点的线段的长等于平移的距离）来解决有关图形的周长、面积计算问题.例 1 如图所示是重叠的两个直角三角形,将直角三角形ABC 沿BC 方向平移到DEF ∆.如果8AB =c ｍ，4BE =cm,3DH =cm ，那么图中阴影部分的面积为 ｃm 2．分析:阴影部分是一个梯形,用我们目前所学的知识无法求出该梯形的上、下底和高，因而不能运用梯形的面积公式求其面积.注意到DEF ∆是由ABC ∆经过平移得到的,因此ABC DEF S S ∆∆=,即HEC DEF ABEH S S S S ∆∆+=+阴影梯形，于是ABEH S S =阴影梯形1(883)4262=+-⨯=（cm ２). 答案：26【规律·技法】本题考查平移的性质:经过平移,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等,对应角相等。
解题的关键是找到平移的对应点。
【反馈练习】1。
(2018·苏州期中)如图,将ABC ∆沿BC 方向平移2 cm 得到DEF ∆.若ABC ∆的周长为16 ｃm ，则四边形ABFD 的周长为( ）A 。
16 c ｍ Ｂ． 18 c ｍ C. ２0 c ｍ Ｄ。
２2 ｃｍ点拨:由平移的性质可知2BE FC AD ===ｃm,AC DF =。
2。
（201８·扬州期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD ，长50AB =m ，宽30BC =m,为方便游人观赏,公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）,小路的宽均为1 m ，那么小明沿着小路的中间从出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线)长为 m.点拨:分别求出小明横向和纵向移动的距离即可。
考点2 利用平行线的性质和三角形内角和定理求角度大小【考点解读】本考点解题时要熟练掌握平行线的性质与三角形内角和定理，这是解题的基础,要善于分解图形，即将较复杂的图形分解出“两条平行线被第三条直线所截"与“三角形”的图形,然后分析各角之间的联系．例2 (2０17·重庆)如图，//AB CD ,E 是CD 上一点,42AEC ∠=︒,EF 平分AED ∠交AB于点F ，求AFE ∠的度数．分析:由互补的性质求出AED ∠的度数,由角平分线的定义得出DEF ∠的度数，再由平行线的性质即可求出AFE ∠的度数.解答：因为42AEC ∠=︒,所以18042138AED ∠=︒-︒=︒。
第7章第2节 区域产业结构、演进机制、演进理论
（资料来源： Bergman E F, Renwick W H .Introduction to Geography: Pe3o2ple, Places, and Environment. New Jersey :Prentice-Hall,Inc,1999.447）
(二) 区域产业结构演进理论
图 区域产业结构示意图
4
一、区域产业分类
（一）三次产业分类法（克拉克(C.G.Clark)产业分类）
第一产业、第二产业、第三产业
（二）产业功能分类
根据各个产业在经济增长中的作用和相互之间的联系，分为主导产业、关 联产业、基础产业
（三）要素集约度产业分类
根据产业对自然资源、资本、劳动力、技术等生产要素的依赖程度划分的产业类型。 例如资源密集型产业、资本密集型产业、劳动密集型产业、技术密集型产业
支柱产业—延长其生命力
➢ 给予必要的支持和保护。同时，要积极采用新的技术改造 支柱产业，使它能够保持长久的生命力，防止它过早地出 现衰退而限制了区域经济增长。
22
三、区域产业结构演变理论
（一）区域产业结构演进机制 ➢ 1、市场机制 ➢ 2、政府干预
市场机制与政府干预相互补充、相互制约，引导和 推动着区域产业结构不断地发生变化。
环保产业，重点产业等
14
二、区域产业结构模式
区域产业结构模式代表了区域内各产业之间的典型 组合方式。
此处主要介绍以主导产业、关联产业和基础 性产业所构建的区域产业结构模式。
15
以主导产业为核心的区域产业结构
主导产业是区域经济的组织核心。 关联产业的配套就是根据主导产业来合理规划、促进其相关产
（2）重要性——这类产业有可能在不远的将来发展 为新的主导产业。
华南理工大学 运筹学 第7章 图论-2(简) 工商管理学院
节点标号—对已标号未检查的节点v1，对与其相邻 、未标号的节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,4]
(7,3) v1 (7,2)
[+v1,4]
v4 (9,6)
(5,1) v2
[-, ∞]
vs
(8,4)
(4,0) (7,1) (16,5) (6,4) v5
18
(10,4)
vt
(4,0)
(10,4)
[-, ∞]
vs
(10,4)
(4,0) (10,4) v3
(16,5)
(6,4) v5
22
Ford-Fulkerson标号算法示例1
（第2轮迭代） 1-搜索过程：
节点标号—对节点v4（前向非饱和弧）进行标号。
[+vs,1]
(7,6) v1 (7,5)
[+v1,1]
v4 (9,9)
(5,1) v2
图G为流量网络。
2
最大流问题示例1
Petro公司的天然气管道输送网络：vs为Petro公 司的制气厂，vt为输送目的地的储气库，其它 中间节点为流量检测和控制站。各点间的弧代 表输送管道，其权值的两个数字分别表示容量 和当前的流量。问：如何利用输送管道，可以 使从制气厂运输到目的地的天然气最多？
(1) 已标号已检查；(2)已标号未检查；(3)未标号。
检查是指从一个已取得标号、未检查的节点vi 出发，搜寻与之邻接的其它未取得标号的节点 vj ，并根据vi的标号计算得到vj的标号。
7
Ford-Fulkerson标号算法
节点vj的标号为[+vi,θj]或[−vi,θj]：
第7章图(下)-数据结构简明教程(第2版)-微课版-李春葆-清华大学出版社
成
树
（1）置U的初值等于V（即包含有G中的全部顶点），TE的初
和 最
值为空集（即图T中每一个顶点都构成一个连通分量）。
小
（2）将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取：若选取
生
成
的边未使生成树T形成回路，则加入TE；否则舍弃，直到TE中包
树
含n-1条边为止。
实现克鲁斯卡尔算法的关键是如何判断选取的边是否与生成树 中已保留的边形成回路？
7.4
建立了两个辅助数组closest和lowcost。
所有顶点分为U和V-U两个顶点集。
U中的顶点i：lowcost[i]=0；
生
V-U中的顶点j：lowcost[j]>0。
成
树
和
最
小 生
i
j
成
树
U中i：lowcost[i]=0
V-U中j：lowcost[j]>0
7.4
实现普里姆算法（2/3）：
生
通过深度优先遍历产生的生成树称为深度优先生成树。
成
树
通过广度优先遍历产生的生成树称为广度优先生成树。
和
最
小
生
成
树
无向图进行遍历时：
7.4
连通图：仅需要从图中任一顶点出发，进行深度优先遍历或广
度优先遍历便可以访问到图中所有顶点，因此连通图的一次遍
历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一
7.4
为此设置一个辅助数组vset[0..n-1]，它用于判定两个顶点之
生
间是否连通。
成
数组元素vset[i]（初值为i）代表编号为i的顶点所属的连通
树
子图的编号。
和
第7章_2串联、并联电路 电阻的测量 电压表和电流表
图乙
点评：限流法和分压法是针对滑动变阻 器来说的．限流法只能对被测电阻的电流进 行调节，分压法可使被测电阻的电压从0连续 变化到所要求的值．以下几种情况只能用分 压法：(1)当题中要求被测电阻所测电压必须 从0连续变化到所要求值．
(2)当使用限流法，滑动变阻器最大阻值接入 电路时，电路的电流仍大于仪表所要求的电流或 大于题中所要求的值． (3)当使用限流法，滑动变阻器最大阻值接入 电路时，被测电阻的电压仍大于所要求的电压 值． (4)滑动变阻器的最大电阻值远远小于被测电 阻的估计值．其余视情况而定，但最好用限流法， 因为分压法，电流产热大，消耗能量多．
U真 10 R真 = Ω=20.08Ω. I R 0.498
点评：由于所用电压表和电流表都不是 理想电表，即电压表的内阻并非趋近无穷大， 电流表也存在内阻，因此实验测量出的电阻 值与真实值不同，存在误差．为了减小测量 过程中的系统误差，通常伏安法测电阻的电 路有两个基本连接方法：内接法和外接法．
测一个阻值约为25kΩ的电阻，备有 下列器材： A.电流表（量程100μA，内阻2kΩ）；B.电流表 （量程500μA，内阻300Ω）；C.电压表（量程 10V，内阻100kΩ）；D.电压表（量程50V，内 阻500kΩ）；E.直流电源（电动势15V，允许最 大电流1A）；F.滑动变阻器（最大电阻1kΩ，额 定功率1W）；G.导线若干.
例5：某电压表的内阻在20～50kΩ之间， 现要测量其内阻，实验室可提供下列选择器材： 待测电压表(量程3V)；电流表A1(量程200μA)； 电流表A2(量程5mA)；电流表A3(量程0.6A)；滑 动变阻器R(最大值1kΩ)；电源E(电动势4V)，电 键S，导线． (1)所提供的电流表中，应选用______(填字 母代号)． (2)为了尽量减小误差，要求多测几组数据， 试在方框图7-2-12中画出符合要求的实验电路 图(其中电源和电键已连好)．
离散数学--第7章 图论-2(路与连通)
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通 单向连通—— G 中任一对顶点至少一 向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反 复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会 超过n-1条边。
v n 在一个 阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在 推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回 结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称 有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。 短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。 距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是 连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回 结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：
材料力学第七章(2)
e3 ＝
23
E
s 1 ＋s 2
例题 7-3
已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex ＝240× 10-6，y 方向的线应变ey=-160 × 10-6，试求该点处x 和y截面上的正应力sx和sy，并求自由表面法线的线应变ez。 已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比＝0.3。
需要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并 未说明在xy平面内无切应变，故不能把求得的sx和sy认为 是主应力。
27
例题 7-3
有人认为，根据e'=-e，所以有
e z (e x e y ) 0.3( 240 10 160 10 )
6 6
24 10 6
3
2、主应力已知条件下任意斜截面的应力
（1）平行于z轴方向的斜截面的应力 y
s2
s2
s1
z
s1
x
s1
s3
s
s3
s2
t
s2
s3
（2）平行于x、y轴方向的斜截面的应力
s2
t
s1
2015/12/6 3
s1
s3
O
s3
s2
s1
4
s
s
t
I
s3
s2
II
s2
III
s1
s s1
s3
在s-t平面内，代表任意斜截面的应力的点 或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域 内。
前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立 的应力分量： sx 、sy 、sz 、txy 、 tyz 、tzx；与之相应 的有6个独立的应变 分量：ex、ey 、ez、 gxy 、gyz 、gzx。
第7章图(Graphs)
7.1 图的概念及术语
v1 v3 有向边<v3, v4> V3：始点， v4: 终点 v2 v4
图的构成： • 结点集：V={v1,v2,v3,v4}, • 有向边集：E={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>}
7.1 图的概念及术语
v1 v3 v2 v4 v1 v2
v3
为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。 • 路径长度 –非带权图的路径长度是指此路径上的边数。 –带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
7.1 图的概念及术语
• 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重 复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 连通图与连通分量 在无向图中, 若从顶点v1到顶 点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。 • 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连 通图。 • 非连通图的极大连通子图叫做连通分量.
7.1 图的概念及术语
v1
v2
v4Βιβλιοθήκη v3路径: (1) <v1, v3>, <v3, v4> (简单路径)
(2) <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1> (环)
(3) <v3, v4>
7.1 图的概念及术语
• 路径: 在图 G＝(V, E) 中, 若存在边的序列 (vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj )
v4 v5
材料科学基础-第7章2合金相图
8
8
Figure Solidification, precipitation, and microstructure of a Pb-10% Sn alloy. Some dispersion strengthening occurs as the β solid precipitates.
9
9
Example SOLUTION
Phases in the Lead–Tin (Pb-Sn) Phase Diagram
Determine (a) the solubility of tin in solid lead at 100oC, (b) the maximum solubility of lead in solid tin, (c) the amount of β that forms if a Pb-10% Sn alloy is cooled to 0oC, (d) the masses of tin contained in the α and β phases, and (e) mass of lead contained in the α and β phases. Assume that the total mass of the Pb-10% Sn alloy is 100 grams.
6
6
Figure Solidification, precipitation, and microstructure of a Pb10% Sn alloy. Some dispersion strengthening occurs as the β solid precipitates.
7
7
Example
22
22
《地下地质绘图》第7章 构造图制图(2)
为什么前提是45度？
32
该解释基于测井曲线 和地震剖面。
完成的构造图显示了 地层顶深、井中获得 的断层数据和地震测 线上不同炮点的断层 水下的深度。
这是一个乍一看极具 诱惑力的远景预测图。
33
左构造图是用 相同的构造和 断层数据制作 的。 不同的是，先 做断面图，然 后与构造图综 合来确定上升 盘和下降盘断 层迹线的正确 位置。
深度在构造制图时同等重要。
15
在有限的井的控制区，有 断层的井的恢复顶深提供 了现实的、精确的构造图 制图所需的构造信息。
16
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18
利用所有的现有数据制作各类构造图的重要性怎 么强调都不过分。我们使用的数据总是有限的， 所以，不论什么原因，忽视或不使用有价值的 数据都是不可想象的。
我们的工作就是从现有数据中作出最合理的、最 精确的构造解释。
46
2
一、正断层
• 递进法及其四个综合制图步骤
3
断层A 等间距1000ft。 快速阅读有关 断层的几点信 息？
4
7000 ft制图地 层，等间距 200ft。 快速阅读构造 样式？判断断 层存在？
5
第一步：断面图叠加在构造图之下确定断层上升盘迹线
内插这些等值线有 两个目的： （1）阐明断层和构 造等值线在海拔7000 ft、-7200 ft、7400 ft、-7600 ft、7800 ft和-8000 ft交 线的确切位置； （2）说明用200 ft 断层等值线在全区 制图将导致不必要 的混乱。
断层间隙和断层重叠被定义为垂直断层迹线测量 的上升和下降盘断层迹线之间的水平距离。
关于断层迹线和断层间隙或重叠，存在一些常见 的需要澄清的误解。我们讨论一些描绘断层迹 线和间隙的捷径，以及与捷径有关的陷阱。
《离散数学》第七章_图论-第2节-预习
定理7-2.1推论
推论1： 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有 路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明： 若路不是通路， 则路上有重复结点， 删除所有重复结点之间的回路， 得到的是通 路， 其长度小于等于n-1。 推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在 经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路（圈）。
Whitney定理
（最小点割集<=最小边割集<=最小点度数）
Whitney定理的证明
证明：设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)； 若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有 边显然包含一个边割集，因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边，则使G不连通，即 存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) ， 即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数 目。 规定： G非连通： (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度 ：边的数目。
回路(closed walk)
回路： … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5
机械制图第7章 零件图
零件图
形状特征原则
选取能将零 件各组成部分的 结构形状以及相 对应的位置反映 得最充分的方向 作为主视图投射 方向
零件图
该方向投影 最能显示零件的 形状特征，故作 为主视图投射方 向。
零件图
加工位置原则
按照零件在主要加工工序中的装夹位置 选取主视图，使主视图尽量与加工位置一 致，以便制造者看图。
零件图
二、典型结构的尺寸标注
锪平面
锥形沉孔
零件图
二、典型结构的尺寸标注
柱形沉孔
倒角
零件图
§7-4 零件图的技术要求
一、表面结构的图样表示及标注方法 二、极限、公差、偏差 三、形状和位置公差简介
四、材料的热处理及表面处理
零件图
一、表面结构的图样表示法
表面结构是表面粗糙度、表面波纹度、表面缺陷、 表面纹理和表面几何形状的总称，本节主要介绍常用 的表面粗糙度表示法。
Z
表面轮廓
Ra
X O 取样长度L
基准线
零件图 2.表面结构要求符号
2H
画法比例 H=3.5mm 线宽 0.35mm
H
60°
60°
零件图
符号名称 基本图形符号 符号 含义 未指定工艺方法的表面， 当通过一个注释解释时可 单独使用。 用去除材料方法获得的表 面，仅当其含义是“被加 工表面“时可单独使用 不去除材料的表面，也可 用于表示保持上道工序形 成的表面，不管这种状况 是通过去除或不去除材料 形成的 在以上各种符号的长边上 加一横线，以便注写对表 面结构的各种要求
该零件主要加工工序为车削，取轴线水平放置， 并取剖视表达内部结构。为表达端面、孔、筋等的分 布，配置左视图。配置辅助视图表达局部结构。
零件图
人教版 七年级地理下册课件：第七章第二节东南亚 (共92张ppt)
例1 (2019山东淄博临淄期中)下列关于东南亚位置、范围的描述,正确的 一项是 ( ) A.东南亚位于亚洲南部 B.东南亚重要的海峡是台湾海峡 C.东南亚范围主要包括印度半岛和马来群岛两部分 D.东南亚地区与我国山水相连,中南半岛就是因位于中国以南而得名
解析 东南亚位于亚洲的东南部;东南亚重要的海峡是马六甲海峡;东南 亚范围主要包括中南半岛和马来群岛两部分;东南亚地区与我国山水相连, 中南半岛就是因位于中国以南而得名。
答案 (1)亚 非 大洋 印度 太平 (2)苏伊士运河 (3)马来 苏门答腊(顺序不可以颠倒) 非洲 东南亚 (4)略。(M标注在马来半岛和苏门答腊岛之间。)
归纳提升 东南亚地处亚洲与大洋洲、太平洋与印度洋之间的“十字路 口”,是世界上海洋运输和航空运输的重要枢纽,地理位置十分重要。
1.中南半岛和马来半岛相同吗? 指点迷津 不相同。中南半岛因位于中国以南而得名;而马来半岛是中南 半岛的一部分。 2.印度尼西亚是世界最大的椰子出口国还是生产国? 指点迷津 印度尼西亚是世界最大的椰子生产国,菲律宾是世界最大的椰 子出口国。
13.(2018河北邢台临西五中期中)东南亚有丰富的旅游资源,下列旅游景点 属于越南的是 ( ) A.仰光大金塔 B.婆罗浮屠 C.吴哥窟 D.下龙湾 答案 D 大金塔位于缅甸;吴哥窟位于柬埔寨;下龙湾位于越南;婆罗浮 屠位于印度尼西亚。
1.下图中所示的海峡是 ( )
A.直布罗陀海峡 B.曼德海峡
解析 东南亚位于亚洲的东南部,有丰富的热带自然景观、众多美丽的沙 滩和岛屿,以及许多名胜古迹和独特的风土人情,成为该地区丰富的旅游资 源,吸引着世界各地的旅游者。据图可知:A为花园城市新加坡、B为泰国 曼谷的水上市场、C为柬埔寨的吴哥窟、D为缅甸仰光的大金塔。 答案 A 点拨 东南亚的旅游资源丰富,熟记即可。
材料力学第7章第二部分
弯曲
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。
载荷的简化： 集中荷载，集中力偶，分布荷载
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲ห้องสมุดไป่ตู้
一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为简支梁
简支梁的计算简图
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲
一端为固定约束，另一端自 由，即没有约束，为悬臂梁
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程
剪力图
M z M z(x)
弯矩方程
弯矩图
步骤：沿坐标为x的横截面将梁截开，取出其中一段，分 别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，即剪力方程FQ(x)和弯矩方程 M(x)。 练习: 确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程矩图。
Mc 0 M z 2 2.5 2 1.5 2 1 2kN m
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式
Fs y Fs y ( x ) M z M z ( x)
M＝0
FSy x ＝qx FRA＝qx－
qlx qx 2 M x ＝ － 2 2
ql 2
0 x l
0 x l
第7章 3） 确定剪力方程和弯矩方程
弯曲
解：
ql Fs y ( x ) qx 2 (0 x l )
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第七章图
一、选择题
1．用DFS遍历一个无环有向图，并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是( )。
A．逆拓扑有序 B．拓扑有序 C．无序的【中科院软件所1998】
2．下面哪一方法可以判断出一个有向图是否有环（回路）：【东北大学 2000 4、2（4分）】A．深度优先遍历 B. 拓扑排序 C. 求最短路径 D. 求关键路径
3. 求解最短路径的Floyd算法的时间复杂度为( )。
【合肥工业大学 1999 一、2 （2分）】
A．O（n） B. O（n+c） C. O（n*n） D. O（n*n*n）
4．已知有向图G=(V,E)，其中V={V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7}，
E={<V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V2,V5>,<V3,V5>,<V3,V6>,<V4,V6>,<V5,V7>,<V6,V7>},G的拓扑序列是（）。
A．V1,V3,V4,V6,V2,V5,V7 B．V1,V3,V2,V6,V4,V5,V7
C．V1,V3,V4,V5,V2,V6,V7 D．V1,V2,V5,V3,V4,V6,V7
【北京航空航天大学 2000 一、7 （2分）】
5．若一个有向图的邻接距阵中,主对角线以下的元素均为零,则该图的拓扑有序序列（）。
A．存在 B．不存在【中科院计算所1998 二、6 (2分）】【中国科技大学 1998二、6（2分）】
6．一个有向无环图的拓扑排序序列（）是唯一的。
【北京邮电大学 2001 一、3 （2分）】A．一定 B．不一定
7. 关键路径是事件结点网络中（）。
【西安电子科技大学 2001应用一、4 （2分）】
A．从源点到汇点的最长路径 B．从源点到汇点的最短路径
C．最长回路 D．最短回路
8．下列关于AOE网的叙述中，不正确的是（）。
A．关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间
B．任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
C．所有的关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
D．某些关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成
【北方交通大学 1999 一、7 （3分）】【北京工业大学 1999 一、1 (2分)】
二、判断题
1．任何有向图的结点都可以排成拓扑排序，而且拓扑序列不唯一。
（）【上海交通大学1998 一、13】
2. 关键路径是AOE网中从源点到终点的最长路径。
（）【青岛大学 2000 四、10（1分）】
三、填空题
1．克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为______,它对______图较为适合。
【中科院计算所 1999 二、3 （2分）】
2．求最短路径的Dijkstra 算法的时间复杂度为______。
【哈尔滨工业大学 2001 一、5 （2分）】
3．在 AOV 网 中，存在环意味着______，这是______的；对程序的数据流图来说，它表明存在______。
【厦门大学 1999 一、2】
四、 应用题
1．请回答下列关于图(Graph)的一些问题：（每题4分）
（1）．有n 个顶点的有向强连通图最多有多少条边?最少有多少条边?
（2）．表示有1000个顶点、l000条边的有向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素？是否稀
疏矩阵？
（3）．对于一个有向图，不用拓扑排序，如何判断图中是否存在环？【清华大学2000一(12分）】
2．下图所示是一带权有向图的邻接表法存储表示。
其中出边表中的每个结点均含有三个字段，依次为边的另一个顶点在顶点表中的序号、边上的权值和指向下一个边结点的指针。
试求：
（1）．该带权有向图的图形；
（2）．从顶点V1为起点的广度优先周游的顶点序列及对应的生成树（即支撑树）；
（3）．以顶点V1为起点的深度优先周游生成树；
（4）．由顶点V1到顶点V3的最短路径。
【中山大学 1994 四 （12分）】
五、算法设计题
1．我们可用“破圈法”求解带权连通无向图的一棵最小代价生成树。
所谓“破圈法”就是“任取一圈，去掉圈上权最大的边”，反复执行这一步骤，直到没有圈为止。
请给出用“破圈法”求解给定的带权连通无向图的一棵最小代价生成树的详细算法，并用程序实现你所给出的算法。
注：圈就是回路。
【复旦大学 1997 六 （13分）】
123
456(顶点边)（出边表）
2．欲用四种颜色对地图上的国家涂色，有相邻边界的国家不能用同一种颜色（点相交不算相邻）。
（1）．试用一种数据结构表示地图上各国相邻的关系，（６分）。
（2）．描述涂色过程的算法。
（不要求证明）（１２分）。
【浙江大学 2002 八（18分）】
六、上机作业
图遍历的演示
1.问题描述
很多涉及图上操作的问题都是以图的遍历算法作为基础。
试写一个程序，演示在连通无向图上访问全部结点的操作。
2.基本要求
以邻接表为存储结构，实现连通无向图的深度优先和广度优先遍历。
以用户指定的结点为起点，分别输出每种遍历下的结点访问序列。
3.测试数据
教科书图7.33.。