2020-2021学年数学北师大版必修4课件：第二章 平面向量 本章知识体系
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第二章
平面向量
本章知识体系
专题一 向量的有关概念
【例 1】 给出下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A、 B、C、D 是平面内不共线的四点，且A→B＝D→C，则四边形 ABCD 为平行四边形；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④若|a|＝|b|，且 a ∥b，则 a＝b；⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c.其中所有正确命题的 序号是___②__③___．
【解答】 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e12＋4e1·e2－3e1·e2＋2e22 ＝－6＋e1·e2＋2 ＝－4＋|e1||e2|cos60° ＝－72，
|a|＝|2e1＋e2|＝ 2e1＋e22 ＝ 4e12＋e22＋4e1·e2＝ 5＋4cos60°＝ 7， |b|＝3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. ∴cos<a，b>＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量 a 与 b 的夹角为 120°.
专题三 平面向量的数量积
平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直 关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度 是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平 行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．
【例 3】 向量 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量，求向 量 a＝2e1＋e2 与 b＝－3e1＋2e2 的夹角．
(3)向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是 转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想的具体体现．
【解答】 正确理解向量的概念是关键．
①不正确，两个向Βιβλιοθήκη Baidu的长度相等，但它们的方向不一定相 同．
②正确，∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|，且A→B∥D→C，又 A、B、 C、D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形．
③正确，∵a＝b，∴a、b 的长度相等且方向相同．又 b＝c， ∴b、c 的长度相等且方向相同，∴a、c 的长度相等且方向相同， 故 a＝c.,④不正确，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能 得到 a＝b.,⑤不正确，当 b＝0 时，不成立．∴应填②③.
如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量 积中最大的是( A )
→→ A.P1P2·P1P3
→→ C.P1P2·P1P5
→→ B.P1P2·P1P4
→→ D.P1P2·P1P6
解析：分别求出各组向量的长和夹角，逐一比较可得结果．,
设正六边形的边长为 a，由正六边形的性质可知：∠P3P1P2＝30°， P1P3＝ 3a，则P→1P2·P→1P3＝ 3a2cos30°＝32a2；∠P4P1P2＝60°，P1P4 ＝2a，则P→1P2·P→1P4＝2a2cos60°＝a2；P1P2⊥P1P5，则P→1P2·P1→P5 ＝ 0；∠P2P1P6＝120°，则P→1P2·P→1P6<0.很显然，P→1P2·P→1P3的值最大．故 选 A.
【例 2】 如图所示，平面内有三个向量O→A、O→B、O→C， 其中O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B |＝1，|O→C|＝2 3.若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为 ___6___．
【解答】 以 OC 为对角线，OA、OB 方向为边作平行四边 形 ODCE，由已知∠COD＝30°，∠COE＝∠OCD＝90°.
B．5a－4b＝3
C.4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：由图(如图)知，要使O→A与O→B在O→C方向上的射影相同， 只须使A→B⊥O→C，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得 4a－5b－3＝0.
专题二 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律解决三点共线、 两线段平行等问题，而理解相关概念，用基底表示向量是基础．
规律方法 (1)本题中求 a＝2e1＋e2 的模时容易错误认为|a| ＝ 22＋12.
这里 e1、e2 并不是互相垂直的单位向量，所以(2,1)并不是 a 的坐标．
(2)求数量积 e1·e2 时容易漏掉 cosθ，应为 e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ 为 e1 与 e2 的夹角)．
(3)正确运用数量积公式解题，若应用三角形法则或平行四 边形法则时，所找的两个向量必须有共同起点．
规律方法 向量是既有大小，又有方向的量，深入理解向量 的概念应注意零向量、单位向量、相等向量、平行向量、共线向 量的定义．
设 A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原 点，若O→A与O→B在O→C方向上的射影相同，则 a 与 b 满足的关系式 为( A )
A.4a－5b＝3
设 D 为△ABC 中 BC 边上的中点，且 O 为 AD 边的中点， 则( A )
A.B→O＝－34A→B＋14A→C
B.B→O＝－14A→B＋14A→C
C.B→O＝34A→B－14A→C
D.B→O＝－12A→B－14A→C
解析：根据题意画出图形如图所示．
B→O＝A→O－A→B＝12A→D－A→B ＝12×12(A→B＋A→C)－A→B ＝－34A→B＋14A→C.
专题四 平面向量的坐标运算
(1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)；a·b＝x1x2＋y1y2； a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)向量的坐标运算解决的问题是已给出坐标或通过发现 垂直关系而建立正交基底后的问题．
在 Rt△OCD 中， ∵|O→C|＝2 3， 则|O→D|＝co|O→s3C0|°＝4,在 Rt△OCE 中， |O→E|＝|O→C|·tan30°＝2， ∴O→D＝4O→A，O→E＝2O→B.
又O→C＝O→D＋O→E＝4O→A＋2O→B， 故 λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
规律方法 利用平面几何知识进行转化是解题关键．
平面向量
本章知识体系
专题一 向量的有关概念
【例 1】 给出下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A、 B、C、D 是平面内不共线的四点，且A→B＝D→C，则四边形 ABCD 为平行四边形；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④若|a|＝|b|，且 a ∥b，则 a＝b；⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c.其中所有正确命题的 序号是___②__③___．
【解答】 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e12＋4e1·e2－3e1·e2＋2e22 ＝－6＋e1·e2＋2 ＝－4＋|e1||e2|cos60° ＝－72，
|a|＝|2e1＋e2|＝ 2e1＋e22 ＝ 4e12＋e22＋4e1·e2＝ 5＋4cos60°＝ 7， |b|＝3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. ∴cos<a，b>＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量 a 与 b 的夹角为 120°.
专题三 平面向量的数量积
平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直 关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度 是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平 行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．
【例 3】 向量 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量，求向 量 a＝2e1＋e2 与 b＝－3e1＋2e2 的夹角．
(3)向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是 转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想的具体体现．
【解答】 正确理解向量的概念是关键．
①不正确，两个向Βιβλιοθήκη Baidu的长度相等，但它们的方向不一定相 同．
②正确，∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|，且A→B∥D→C，又 A、B、 C、D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形．
③正确，∵a＝b，∴a、b 的长度相等且方向相同．又 b＝c， ∴b、c 的长度相等且方向相同，∴a、c 的长度相等且方向相同， 故 a＝c.,④不正确，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能 得到 a＝b.,⑤不正确，当 b＝0 时，不成立．∴应填②③.
如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量 积中最大的是( A )
→→ A.P1P2·P1P3
→→ C.P1P2·P1P5
→→ B.P1P2·P1P4
→→ D.P1P2·P1P6
解析：分别求出各组向量的长和夹角，逐一比较可得结果．,
设正六边形的边长为 a，由正六边形的性质可知：∠P3P1P2＝30°， P1P3＝ 3a，则P→1P2·P→1P3＝ 3a2cos30°＝32a2；∠P4P1P2＝60°，P1P4 ＝2a，则P→1P2·P→1P4＝2a2cos60°＝a2；P1P2⊥P1P5，则P→1P2·P1→P5 ＝ 0；∠P2P1P6＝120°，则P→1P2·P→1P6<0.很显然，P→1P2·P→1P3的值最大．故 选 A.
【例 2】 如图所示，平面内有三个向量O→A、O→B、O→C， 其中O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B |＝1，|O→C|＝2 3.若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为 ___6___．
【解答】 以 OC 为对角线，OA、OB 方向为边作平行四边 形 ODCE，由已知∠COD＝30°，∠COE＝∠OCD＝90°.
B．5a－4b＝3
C.4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：由图(如图)知，要使O→A与O→B在O→C方向上的射影相同， 只须使A→B⊥O→C，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得 4a－5b－3＝0.
专题二 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律解决三点共线、 两线段平行等问题，而理解相关概念，用基底表示向量是基础．
规律方法 (1)本题中求 a＝2e1＋e2 的模时容易错误认为|a| ＝ 22＋12.
这里 e1、e2 并不是互相垂直的单位向量，所以(2,1)并不是 a 的坐标．
(2)求数量积 e1·e2 时容易漏掉 cosθ，应为 e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ 为 e1 与 e2 的夹角)．
(3)正确运用数量积公式解题，若应用三角形法则或平行四 边形法则时，所找的两个向量必须有共同起点．
规律方法 向量是既有大小，又有方向的量，深入理解向量 的概念应注意零向量、单位向量、相等向量、平行向量、共线向 量的定义．
设 A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原 点，若O→A与O→B在O→C方向上的射影相同，则 a 与 b 满足的关系式 为( A )
A.4a－5b＝3
设 D 为△ABC 中 BC 边上的中点，且 O 为 AD 边的中点， 则( A )
A.B→O＝－34A→B＋14A→C
B.B→O＝－14A→B＋14A→C
C.B→O＝34A→B－14A→C
D.B→O＝－12A→B－14A→C
解析：根据题意画出图形如图所示．
B→O＝A→O－A→B＝12A→D－A→B ＝12×12(A→B＋A→C)－A→B ＝－34A→B＋14A→C.
专题四 平面向量的坐标运算
(1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)；a·b＝x1x2＋y1y2； a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)向量的坐标运算解决的问题是已给出坐标或通过发现 垂直关系而建立正交基底后的问题．
在 Rt△OCD 中， ∵|O→C|＝2 3， 则|O→D|＝co|O→s3C0|°＝4,在 Rt△OCE 中， |O→E|＝|O→C|·tan30°＝2， ∴O→D＝4O→A，O→E＝2O→B.
又O→C＝O→D＋O→E＝4O→A＋2O→B， 故 λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
规律方法 利用平面几何知识进行转化是解题关键．