几何多结论选择题

几何多结论选择题方法突破

【1】、(2013•齐)在锐角三角形ABC中,AH就是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,

向外作正方形ABDE与ACFG,连接CE、BG与EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG=CE; ②BG⊥CE; ③AM就是△AEG的中线; ④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数

就是( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

考点:全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

专题:压轴题.

分析:根据正方形的性质可得AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠

CAG=90°,然后求出∠CAE=∠BAG,再利用“边角边”证明

△ABG与△AEC全等,根据全等三角形对应边相等可得

BG=CE,判定①正确;设BG、CE相交于点N,根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB,然后求出∠CNG=90°,根据垂直的定义可得BG⊥CE,判定②正确;过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP,再利用“角角边”证明△ABH与△EAP全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确,全等三角形对应边相等可得EP=AH,同理可证GQ=AH,从而得到EP=GQ,再利用“角角边”证明△EPM与△GQM全等,根据全等三角形对应边相等可得EM=GM,从而得到AM就是△

AEG的中线.

解答:解:在正方形ABDE与ACFG中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC,即∠CAE=∠BAG,∵在△ABG与△AEC中,AB＝AE,∠CAE＝

∠BAG, AC＝AG,∴△ABG≌△AEC(SAS),∴BG=CE,故①正确;

设BG、CE相交于点N,∵△ABG≌△AEC,∴∠ACE=∠AGB,∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠

AGF=90°+90°=180°,∴∠CNG=360°-(∠NCF+∠NGF+∠F)=360°-(180°+90°)=90°,∴BG⊥CE,故②正确;过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,∵AH⊥BC,∴∠ABH+∠BAH=90°,∵∠BAE=90°,∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°,∴∠ABH=∠EAP,∵在△ABH与△EAP中,∠ABH＝∠EAP,∠AHB＝∠P＝90°,AB＝AE,∴△ABH≌△EAP(AAS),∴∠EAM=∠ABC,故④正确,EP=AH,同理可得GQ=AH,∴EP=GQ,∵在△EPM与△GQM中,∠P＝∠MQG＝90°,∠EMP＝∠GMQ,EP＝GQ,∴△EPM≌△GQM(AAS),∴EM=GM,∴AM就是△AEG的中线,故③正确.综上所述,①②③④结论都正确.故选:A.

点评:本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,在解答时作

辅助线EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形就是难点,运用全等三角形的性质就是关键.

【2】、(2012•黑河)Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论: ①(BE+CF)= 2 /2BC;②S△A E F≤

1

4

S△A B C;③S四边形A E D F=AD•EF;④AD≥EF;⑤AD与EF可能互相平分,其中正确结论的个数就是( )A.1个B.2个C.3个D.4个

考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;旋转的性质.

专题:几何综合题.

分析:先由ASA证明△AED≌△CFD,得出AE=CF,再由勾股定理即可得出BE+CF=AB= 2 /2BC,从而判断①;设AB=AC=a,AE=CF=x,先由三角形的面积公式得出S△A E F=-

1

2

(x-

1

2

a)2+

1

8

a2,

1

4

S△A B C=

1

4

×

1

2

a2=

1

8

a2,再根据二次函数的性质即可判断②;由勾股定理得到EF的表达式,利用二次函数性质求得EF最小值为= 2 /2a,而AD= 2 /2a,所以EF≥AD,从而④错误;先得出S四边形A E D F=S△A D C=

1

2

AD,再由EF≥AD得到AD•EF≥AD2,∴AD•EF＞S四边

形A E D F,所以③错误;如果四边形AEDF为平行四边形,则AD与EF互相平分,此时DF∥AB,DE ∥AC,又D为BC中点,所以当E、F分别为AB、AC的中点

时,AD与EF互相平分,从而判断⑤.

解答:解:∵Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点,∴∠C=∠

BAD=45°,AD=BD=CD,∵∠MDN=90°,∴∠ADE+∠ADF=∠

ADF+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF.

在△AED与△CFD中,∵∠EAD＝∠C,AD＝CD,∠ADE＝∠CDF,∴

△AED≌△CFD(ASA),∴AE=CF,在Rt△ABD中,BE+CF=BE+AE=AB=√AD2+BD2= 2 BD= 2

/2BC.故①正确;设AB=AC=a,AE=CF=x,则AF=a-x.∵S△A E F=

1

2

AE•AF=

1

2

x(a-x)=-

1

2

(x-

1

2 a)2+

1

8

a2,∴当x=

1

2

a时,S△A E F有最大值

1

8

a2,又∵

1

4

S△A B C=

1

4

×

1

2

a2=

1

8

a2,

∴S△A E F≤

1

4

S△A B C.故②正确;EF2=AE2+AF2=x2+(a-x)2=2(x-

1

2

a)2+

1

2

a2,∴当x=

1

2

a时,EF2取得最小值

1

2

a2,∴EF≥ 2 /2a(等号当且仅当x=

1

2

a时成立),而AD= 2 /2a,∴EF≥AD.故④错误;

由①的证明知△AED≌△CFD,∴S四边形A E D F=S△A E D+S△A D F=S△C F D+S△A D F=S△A D C=

1

2

AD2,∵EF≥AD,∴AD•EF≥AD2,∴AD•EF＞S四边形A E D F故③错误;当E、F分别为AB、AC的中点时,四边形AEDF为正方形,此时AD与EF互相平分.故⑤正确.综上所述,正确的有:①②⑤,共3个.故选C.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,图

形的面积,函数的性质等知识,综合性较强,有一定难度.

【3】.如图,△ABC与△ADE都就是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE就