固体力学大变形基础

x ,3 3
0 有脚标相同
elmn J
eijk xi ,l
x j ,m
xk ,n
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明
J eijk xi ,1 x j ,2 xk ,
证明 elmn J eijk xi ,l x j ,m xk ,n
e123 J eijk xi ,1 x j ,2 xk ,3 定 义 J e231J eijk xi ,2 x j ,3 xk ,1 列 互 换 二 次 J e312 J eijk xi ,3 x j ,1 xk ,2 列 互 换 二 次 J e321J eijk xi ,3 x j ,2 xk ,1 列 互 换 一 次 J e213 J eijk xi ,2 x j ,1 xk ,3 列 互 换 一 次 J e132 J eijk xi ,1 x j ,3 xk ,2 列 互 换 一 次 J
现时位形两邻点的距离为
dxi xi ( X j dX j , t ) xi ( X j , t ) xi , j dX j
因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它 将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中的 线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。变 形梯度在大变形分析中很重要。
物 是体 一X运一i 动对和应变 的形 ，是 那单 么值在和参连考续位的形，的也任即意在点任Jac一ob时i行刻列，式x和iJ
dx
' i
,
dx
" i
dX 1
dV0
dX
' 1
dX
" 1
dX 2
dX
' 2
dX
" 2
dX 3
dX
' 3
e ijk
dX
i
dX
' j
dX
" k
dX
" 3
dx1 dx2 dx3
dV dx1'
dx2'
dx3'
eijk
dxi
dx
' j
dxk"
dx1" dx2" dx3"
dx1 dx2 dx3
dV dx1'
位形定义 ui ( X j , t) xi ( X j , t) X i
ui ( x j , t) xi X i ( x j , t)
初始坐标的函数 现时坐标的函数
上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可 得变形梯度张量分别为
xi X j
ui X j
ij
X i x j
ij
J dV 0 体积变换公式
因此对不dV可0 压缩物体
J 1
NidA0
eijk dXidX
j
dX
' k
仿体积的上述说明，图示面元可表为
N i dA0
eijk
dX
j
dX
' k
nidA eijk dx jdxk'
又因
xi X l
nidA
e ijk
xi X l
dx
j
dx
' k
1.4、面积变换公式
xi xi (X j ,t) 对物体t时刻位置和 变形的刻划称为构形 或位形，如图示。
描述运动的参照基准称为参考位形，以初始 位形作参考位形的描述称为物质描述或拉格 朗日描述，Xi称为物质坐标。
1.2、变形梯度
物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数
xi X j
xi ,X j
xi , j
称为变形梯度，是非对称的二阶张量。
换公式
1.5 Green和Almansi应变张量
设初始和现时位形中P、Q两
点的距离分别为dX i dxi
研究变形前后线段尺度的变化
可以获得变形的度量－应变
dxidxi E ij
dX idX i
1 2
xk X i
xk xk
x k X j
X i
X
ij
j
ij
e ij
dX idX
j
不为零。也即变形梯度可逆
J xi 0 X j
x1 ,1 x1 ,2 x1 ,3
xi X j
xi , X j
xi , j
Ricci符号
Ricci
J x2 ,1 x3 ,1
x2 ,2 x3 ,2
x , e x , x , x , 2 3
ijk i 1
j2
k
3
1 1231 eijk 1 3 2 1 3
dx
' 2
dx
' 3
e ijk
dxi
dx
' j
dx
" k
变形梯度
dx1"
dx
" 2
dx
" 3
eijk
xi X l
dX l
x j X m
dX
' m
xk X n
dX
" n
因此，现时位形的体积可表为
xi X j
xi ,X j
xi , j
dxi xi , j dX j
dV
eijk
xi X l
x j X m
固体力学大来自百度文库形基本知识
1. 物体运动的物质描述 2. 格林和阿尔曼西应变 3. 物体运动等的空间描述和变形率 4. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理
6. 大变形本构关系
1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述
t=0的坐标为Xi， t 时刻位置为xi，质点 运动可表为
ij
X k xi
X k x j
1 2
ij
X k xi
X k x j
dxidx j
格林应变张量
阿尔曼西张量
格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是
lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是
Euler坐标的函数。
1.5 Green和Almansi应变张量
质点的位移向量也同样可用初始位形和现时
ui x j
位移对坐标（ ui ）u的i 偏导数，称为位移梯度
xk X n
dX
l dX
m' dX
"
n
elmn
JdX
l
dX
' m
dX
" n
Je ijk
dX
i
dX
' j
dX
" k
JdV0
体积变换公式
elmn J
eijk xi ,l
x j ,m
xk ,n
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
1.4、面积变换公式
如果记初始和现时
位形的密度分别为
0 和
则由质量守恒，可得
面积变 换公式
eijk
xi X l
x j X m
xk X n
dX
m
dX
' n
xi ,l
ni dA
e
lmn
JdX
m
dX
' n
JN l dA0
根据变形梯度张量可逆
N i dA0
eijk
dX
j
dX
' k
xi X l
X l xi
xi ,l
X l ,i ii
1
由此面元变换公式也可表为
面积变
ni dA JX l ,i N l dA0
elmm J eijk xi ,l x j ,m xk ,m 两 列 相 同 0
由此可见，elmn J eijk xi ,l x j ,m xk ,n 成 立
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1.3、体积变换公式
设图示初始位形微元体体积
为dV0，三线元为
dX i
,
dX
' i
,
dX
" i
运动变形后，现时位形三线元为
dx
i
,