圆的切线的判定和三角形的内切圆

（二） 添辅助线的方法 连接圆心与交点得半径
1、已知直线与圆有交点，
（再证明垂直）
过圆心作直线的垂线段 2、没有明确的公共点， （再证明垂线段长等于半径）
证明：过O作OE⊥AC于E。
O
E C
∵ AO平分∠BAC，OE⊥AC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
又∵ OD是⊙O的半径
∴ OE也是半径
∴ AC是⊙O的切线。
小结
例1与例2的证法有何不同?
O
D
B
A
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅 助线半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为： 有交点,连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心 作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简 记为：无交点,作垂直,证半径。
D
l
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的 直线是圆的切线
几何语言描述：
OD是⊙O的半 径OD⊥l于
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半 径”，结论为“直线是圆的切 线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
( ×)
3、作切线： 已知⊙O和⊙O上的一点A，如何过点A画⊙O的切线？
·A
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【三、例题“讲”解】
例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连
结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB.
O
例3、如图，AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，⊙O的弦BC平行于OD.
求证：DC是⊙O的切线
D
分析：直线CD与⊙O有公共点，要证明
C
CD是⊙O的切线就要连半径证垂直。
A
B
O
五、课堂小结：
（一） 判定一条直线是圆的切线有三种方法
1 根据定义直线与圆有唯一的公共点
2 根据圆心到直线的距离等于半径
3 根据判定定理
∠α ，当l绕点A旋转时， （1）、随着∠α的变化点O到l的距离d是如何变化？直线l与⊙O 的位置关系是如何变化？ （2）、当∠α等于多少度时，点O到l 的距离等于半径r？此时直 线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
l
直线l是圆的切线满足两个条件
1.经过半径的外端
O·
2.与半径垂直
切线的判定定理：
2、巩固练习
判断下列命题是否正确,错误的请举出反例说明。
(1)经过半径外端的直线是圆的切线。 ( × )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线。 (3)过直径的外端并且垂直于这条直径
( ×)
的直线是圆的切线。
(√ )
(4)和圆只有一公共点的直线是圆的切线.( √ )
(5)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。
的 判定
线 切
【旧知回顾】
1、直线和圆有哪些位置关系？
r
r
●O
●O
d
l
d
l
r
●O
d
相交
相切
2、圆的切线性质定理：
相离
l
圆的切线垂直于过切点的半径
3、圆切线性质定理的逆命题：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【二、新知讲解】
1、探索切线的判定： 如图，AB是⊙O的直径，直线l 经过点A，l与AB的夹角为
证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，
∴AB⊥OC 又∵0C是半径
A
C
B
∴AB是⊙O的切线．
例2、已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD
为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
D
B
分析：欲证AC是⊙O的切线．由于不知道AC与⊙O是否有公 共点，则证明当点O到直线AC的距离等于半径时AC就是⊙O A 的切线.