配方法的六种常见应用(专题)

第2讲：配方法的六种常见应用--专题一

【基础知识】

用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为

1，把方程化为的形式；把常数项移到方程右边即

方程两边同时加上，整理得到 ；当时，，当时，原方程 。

类型一：配方法在证明一元二次方程中的应用

求证：无论m 取何值，关于x 的方程072)54(22=-++-x x m m 都是一元二次方程。

练1. 已知关于x 的一元二次方程02)2(2=-++-m x m x ．

（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若方程的两实数根之积等于1192-+m m ，求6+m 的值．

类型二：配方法在解方程中的应用

阅读下面材料：把方程0342=+-x x 写成034442=+-+-x x 。

则01)2(2=--x 。

因式分解，得0)12)(12(=--+-x x ，

即0)3)(1(=--x x

发现：-（1+3）= -4 , 1 × 3 = 3

结论：方程0)(2=++-pq x q p x 可变形为0)()(=-•-q x p x

20x mx n ++=2

m 2

4m n =-204

m n -≥(2m x +=204m n -<

应用上面的方法，解下列方程：

（1）0652=-+x x （2）01072=+-x x

（3）0652=--x x （4）0432=-+x x

练2. 用配方法解下列方程：

（1）982=+x x （2）015122=-+x x

（3）2532=-x x （4）044

12=--x x

类型三：配方法在求二次三项式的待定系数中的应用

已知关于x 的二次三项式1)2(2+--x k x 是完全平方式，求k 的值。

练3. 已知关于x 的二次三项式x2+（k+1）x+k2-2k+1是完全平方式，求k 的值．

类型四：配方法在求二次三项式的最大（小）值中的应用

我们可以利用配方法求一些多项式的最值。

如：2)1(2)12(32222++=+++=++x x x x x ，当x=-1时322++x x 有最小值2； 再如：1)1(1)12(22222---=-+--=-+-x x x x x ，当x = 1时，222-+-x x 有最大值-1。

（1）代数式m x x ++62有最小值1，则m = __________

（2）代数式m x x ++-42有最大值2，则m = _________

（3）代数式74)2(2-+++m x m x 有最小值0，求m 的值。

练4. 用配方法求解下列问题

（1）求2x 2-7x +2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x +1的最大值。

类型五：配方法在判断三角形形状中的应用

若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足02558622=+-+-+-c b b a a ，请根据已知条件判断其形状。

练5. 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 有两个相等的实数根，请根据已知条件判断△ABC 形状。

类型六：配方法在比较两个二次三项式大小中的应用

设1422--=x x A ，662--=x x B ，试比较A 与B 的大小。

练6. 证明：多项式的值总大于的值．

【随堂检测】

1. 用配方法解下列一元二次方程：

（1）0662=--y y （2）x x 4232=-

（3）9642=-x x （4）0542=--x x

（5）01322=-+x x （6）07232=-+x x

42241x x --4224x x --

【家庭作业】

1. 用配方法证明：

（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0．

2. 用配方法解下列一元二次方程：

（1）01842=+--x x

（2）0222=-+n mx x

（3）()00222>=--m m mx x

（4）x 2+ 2x + 3=0

21a a -+2982x x -+-