第四章弯曲内力

2、剪力和弯矩正负号的规定
剪力正负号
正
Q Q
负
对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负
弯矩正负号
M M M
正 负
使梁下凹为正，向上凸为负
M
3、截面法求剪力和弯矩
y
RAx
A a P1 P2
m
m
B
x
RB
RAy RAx a
x
P1
Q
M 对截面中心建立力矩平衡方程
RAy
M 0
RAy P 1 Q 0
11 2 qa 8
qa qa qa2 qa
2qa
qa2
2 2 qa 3
M P 1 x a RAy x 0
Y 0
Q RAy P 1
M RAy x P 1 x a
说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 建立在截面的中心。
Q RAy qx
1 2 M R Ay x qx 2
y
A
q B
x
l
x
可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩 为一条曲线——抛物线 由对称性，可以求得
R Ay
ql 2
弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有
l x 2
1 2 M ql 8
4、剪力图和弯矩图
将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截 面的分布规律用图形表示
第四章 梁的弯曲内力



梁弯曲的概念 梁的载荷与支座反力 梁的内力 梁的应力 梁的强度条件
工程实际中的弯曲问题
P
P P P
P P P
P
4-1 梁弯曲的概念
P q M
RA
RB
产生弯曲变形的杆称为梁。 梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形
平面弯曲
我们只研究矩形截面梁的弯曲。
矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
(a x l )
(3) 画剪力图和弯矩图 AC段:
Pb Q R l
1 A
1 A
(0 < x < a)
Pb M R x x (0 x a) l
CB段：
集中力使剪力图突变
Pa Q2 l
(a x l )
集中力使弯矩图折曲
Pb M2 ( l x ) (a x l ) l
固 定 端
Rx
3 (M， Rx，Ry) Ry
3、梁的类型
根据梁的
悬臂梁
一端固定铰支座 一端活动铰支座 外伸梁
一端固定
一端自由 一端固定铰支座 活动铰支座位于梁中 某个位置
4、求支座反力的平衡方程
求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件
（2）列写弯矩方程
AC段 : M0 P M 1 RA x x x l 2
CB段 : l M 2 RA x P( x ) 2 M P Pl 0 x x Px l 2 2 M0 P x (l x ) l 2
集中力使弯矩图折曲
（3）画弯矩图
集中力偶使弯矩图突变
X 0, Y 0, M 0
举例说明 y A
R Ax
左边固定铰支座，有两个约束反力 P B
l/2
x
RBy
右边活动铰支座，1个约束反力
X 0
RAx 0
RAy RBy P 0
RBy l P l / 2 0
RAy
l
RBy P / 2
Y 0 M 0
4-3 梁的内力
剪力和弯矩 剪力和弯矩的正负号规定 截面法求内力
剪力图和弯矩图
1、剪力和弯矩
与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类： 剪力和弯矩 y 考察弯曲梁的某个横截面 在截面形心建立直角坐标 系
z
Q
M
x
剪力与截面平行，用Q表示 弯矩作用面在纵向对称面内 方向沿Z 轴方向 用M 表示
A
RAy P / 2
再以悬臂梁为例
假设该悬臂梁承受均布载荷 Rx 固定端有3个约束反力 建立平衡方程求约束反力 MA
y
q A Ry B
l
x
X 0
Rx 0
Y 0
M
A
Ry q l 0
l M A ql 0 2
Ry ql
1 2 M A ql 2
0
RA
0 .2 m 0.13m 0 .4 m
RB
RA 1.33 kN
Q
1.33
Y 0
RB 2.67 kN
M
0.36 0.27 2.67
课堂练习2
A
B
10 Nm
C
RA RB 50 N
RA
0 .2 m
RB
0.1m
Q
50 N
10 Nm
M
课堂练习3
A
q C
M
B
0
RA
2a
0.75 a
RB
a
1
1 q 2a a q a a R A 2a 0 2
3 R A qa 4 9 RB qa 4
Q
3/4
0.28
5/4
M
0.5
课堂练习4
m qa2
A
q C
B
M
A
0
2
RA
a
5/6 qa
11 a 6
RB
2a
1
RB 3a qa q 3a 2.5a 0
例如上面的受均布载荷的简支梁
y
q B
Q RAy qx
1 2 M R Ay x qx 2
A
x
l
x
Q
R Ay
ql 2
M
x x
1 2 M ql 8
（1）列剪力方程和弯矩方程
Y 0, Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
a
13 RB qa 6 5 R A qa 6
Q
5/6 qa2
M
1/6
13/72
7/6
3/6
课堂练习5 检查下列剪力弯矩图是否正确
m qa2
q A
a a
3qa 2
B
qa 2
m qa2
C
qa
2a
3qa 2
qa 2
a
qa 2
qa2 2
qa2
q A
P=qa
B A
q
a
a
a
a
4a
a
qa
2qa
CB段 : Q2 R A M0 l M0 x M0 l
集中力偶不使剪力图变化
M 2 RA x M 0
(a x l )
（3）画剪力图和弯矩图
M
max

Mb l
0
集中力偶使弯矩图突变
（1）求支座反力
由M B 0和M A 0可得 M0 P M0 P RA , RB l 2 l 2
0
得M Px
（2）画剪力图和弯矩图
例4-4 图4-14a 所示为一简支梁，在C点受集中力P 的作用， 作此梁的剪力图和弯矩图。 (1) 求支座反力
Y 0, M A 0
Pb Pa R ,R l l
A B
(2) 列剪力方程和弯矩方程 AC段:
Pb Q R l
1 A
举例：
求图示简支梁 x 截面的弯矩 在x 处截开，取左半部分分析 画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方程
y
A
q B
x
l
x
q
qx
Y 0
M 0
RAy qx Q 0
M RAy Q
Q RAy qx
x M qx RAy x 0 2
1 2 M R Ay x qx 2
(0 < x < a)
Pb M R x x l
1 A
(0 x a)
CB段：
Pb Pa Q R P P l l
2 A
(a x l )
Pb M R x P ( x a) x P ( x a) l Pb (l x) l
2 A
q 1 kN / m
A
C
P 1 2 kN
M D 10 kNm
B D
P2 2 kN
E
RA
4m 4m 4m
RB
3m
RA 7 kN RB 5 kN
课堂练习
画内力图
课堂练习1
q =10 kN/m
A
M
C
B
0
B
q 0.4 0.2 RA 0.6 0 10 0.4 0.2 RA 0.6 0
（1）求支座反力
M A 0 , M 0 RB l 0 M B 0 , R A l M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
M0 RB l M0 RA l
M0 AC段 : Q1 R A l M0 M 1 RA x x l
(0 x a )
（1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是 一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线） （2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x 的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三 点连抛物线）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾 斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力Q 为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变 值等于集中力或集中力偶矩的值）