FFT算法思想

一．FFT 算法思想：

1．DFT 的定义：

对于有限长离散数字信号{x[n]}，0 ≤ n ≤ N-1，其离散谱{x[k]}可以由离散付氏变换（DFT ）求得。DFT 的定义为：

21

[][]N j

nk N

n X k x n e

π--==∑，k=0,1,…N-1

通常令2j

N

N e

W π-=，称为旋转因子。

2．直接计算DFT 的问题及FFT 的基本思想：

由DFT 的定义可以看出，在x[n]为复数序列的情况下，完全直接运算N 点DFT 需要（N-1）2次复数乘法和N （N-1）次加法。因此，对于一些相当大的N 值（如1024）来说，直接计算它的DFT 所作的计算量是很大的。

FFT 的基本思想在于，将原有的N 点序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT 可以很简单的组合起来得到原序列的DFT 。例如，若N 为偶数，将原有的N 点序列分成两个（N/2）点序列，那么计算N 点DFT 将只需要约[(N/2)2 ·2]=N 2/2次复数乘法。即比直接计算少作一半乘法。因子（N/2）2表示直接计算（N/2）点DFT 所需要的乘法次数，而乘数2代表必须完成两个DFT 。上述处理方法可以反复使用，即（N/2）点的DFT 计算也可以化成两个（N/4）点的DFT （假定N/2为偶数），从而又少作一半的乘法。这样一级一级的划分下去一直到最后就划分成两点的FFT 运算的情况。

3．基2按时间抽取（DIT ）的FFT 算法思想：

设序列长度为2L N =，L 为整数（如果序列长度不满足此条件，通过在后面补零让其满足）。

将长度为2L N =的序列[](0,1,...,1)x n n N =-，先按n 的奇偶分成两组：

12[2][][21][]

x r x r x r x r =+=，r=0,1,…,N/2-1

DFT 化为：

1/21

/21

2(21)0

/21

/21

22120

0/21

/21

1/2

2/2

[]{[]}[][2][21][][][][]N N N nk

rk r k

N

N

N

n r r N N rk k rk N

N

N r r N N rk k rk N N

N r r X k DFT x n x n W

x r W

x r W x r W W

x r W x r W

W

x r W ---+===--==--=====

+

+=+=

+∑∑

∑

∑

∑

∑

∑

上式中利用了旋转因子的可约性，即：2/2rk

rk

N

N W W =。又令

/21

/21

11/2

22/20

[][],[][]N N rk

rk

N N r r X k x r W

X k x r W --===

=

∑

∑

，则上式可以写成：

12[][][]k

N X k X k W X k =+(k=0,1,…,N/2-1)

可以看出，12[],[]X k X k 分别为从[]X k 中取出的N/2点偶数点和奇数点序列的N/2点DFT 值，所以，一个N 点序列的DFT 可以用两个N/2点序列的DFT 组合而成。但是，从上式可以看出，这样的组合仅表示出了[]X k 前N/2点的DFT 值，还需要继续利用12[],[]X k X k 表示[]X k 的后半段本算法推导才完整。利用旋转因子的周期性，有：(/2)

/2/2

rk

r k N N N W W +=，则后半段的DFT 值表达式：

/21/21()211/21/2100

[][][][]2N N N r k rk N N r r N X k x r W x r W X k --+==+===∑∑，同样，22[][]2N

X k X k +=

（k=0,1,…,N/2-1），所以后半段（k=N/2,…,N-1）的DFT 值可以用前半段k 值表达式获得，中间还利用到()2

2N

N

k k k N

N

W W W W +==-，得到后半段的[]X k 值表达式

为：12[][][]k N X k X k W X k =-（k=0,1,…,N/2-1）。