2020年上海市交大附中高考数学二模试卷 (解析版)

2020年高考数学二模试卷

一、填空题（共12小题）.

1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c

00

)= ．

2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = ．

3．已知sin θ2+cos θ2=2√

33

，则sin θ的值等于 ．

4．若双曲线

x 24

−

y 2m

=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 ．

5．在首项为21，公比为12

的等比数列中，最接近于1的项是第 项．

6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π

3

，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π

6

，则AB 与

平面β所成的角是 （用反三角函数表示）．

7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 ．

8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ ．

9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 ．

10．设0.a ⋅b ⋅

是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，

且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1

n

=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为

11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数

a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的

正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ 12．若实数x ，y 满足2cos 2

（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2

−2xy x−y+1

，则xy 的最小值为 ．

二.选择题

13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f

（x 2）”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．非充分非必要

14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1

=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)

2

−1，则z 对应的点在（ ）

A ．圆上

B ．抛物线上

C ．双曲线上

D ．椭圆上

15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →

|＝|OB →

|=OA →

•OB →

=2，则点集{P |OP →

=λOA →

+μOB →

，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2

B ．2√3

C ．4√2

D ．4√3

16．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．

8732

B ．

114

C ．

17764

D ．

17564

三.解答题

17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．

（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；

（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．

18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；

（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π

3

个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的1

4

（纵

坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．

19．若函数y＝f（x）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使f（x1）f（x2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．

（1）分别判断函数①f（x）＝2x，②g（x）＝log2x是否为“依附函数”，并说明理由；

（2）若函数y＝h（x）的值域为[m，n]，求证：“y＝h（x）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m，n]”．

20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．

（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；

（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；

（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．

21．设数列{a n}（n∈N*）是公差不为零的等差数列，满足a3+a6＝a9，a5+a72＝6a9；数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，且满足4S n+2b n＝3．

（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；

（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在b n和b n+1之间插入n个数x n1，