概率论与数理统计习题集及答案最[新版].doc
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计习题答案大合集Word版
概率论与数理统计习题答案⼤合集Word版概率与统计试卷（1）1、(9分) 从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进⾏排列，问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多⼤.2、（9分）⽤三个机床加⼯同⼀种零件，零件由各机床加⼯的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加⼯的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率.3、（11分）某机械零件的指标值ξ在［90，110］内服从均匀分布，试求：（1）ξ的分布密度、分布函数；（2）ξ取值于区间（92.5，107.5）内的概率.4、（9分）某射⼿每次射击打中⽬标的概率都是0.8，现连续向⼀⽬标射击，直到第⼀次击中为⽌.求“射击次数”的期望.5、（17分）对于下列三组参数，写出⼆维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度.6、（15分）求下列各题中有关分布的临界值.1）)6(205.0χ，)9(201.0χ； 2）)12(01.0t ，)8(05.0t ； 3）)10,5(025.0F ，)5,10(95.0F . 7、（11分）某⽔域由于⼯业排⽔⽽受污染，现对捕获的10条鱼样检测，得蛋⽩质中含汞浓度（%）为0.213 0.228 0.167 0.766 0.054 0.037 0.266 0.135 0.0950.101，若⽣活在这个区域的鱼的蛋⽩质中含汞浓度ξ～N （µ，2σ），试求µ＝E ξ，2σ＝D ξ的⽆偏估计.8、（12分）某种导线的电阻服从正态分布N(µ，2σ)，要求电阻的标准差不得超过0.004欧姆. 今从新⽣产的⼀批导线中抽取10根，测其电阻，得s*＝0.006欧姆. 对于α＝0.05，能否认为这批导线电阻的标准差显著偏⼤？9、（7分）某校电器（3）班学⽣期末考试的数学成绩x （分）近似服从正态分布N （75，102），求数学成绩在85分以上的学⽣约占该班学⽣的百分之⼏？概率与统计试卷（2）1、(9分)已知某城市中有50%的⽤户订⽇报，65%的⽤户订晚报，85%⽤户⾄少这两种报中的⼀种，问同时订两种报的⽤户占百分之⼏.2、（9分）从4台甲型、5台⼄型电脑中，任取3台，求其中⾄少要有甲型与⼄型电脑各⼀台的概率。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
概率论与数理统计习题及答案
概率论与数理统计习题及答案习题一1.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3..4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1）在什么条件下P（AB（2）在什么条件下P（AB【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C 8.（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1） n 件是同时取出的； （2）n （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N --由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11..见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22.0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23.P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.取出一球，若发现这球为白球，试求箱【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29..统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立. 33.15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.[0，a ]【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，CP （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rr m m m n m n m nm n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计第一章习题及答案
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生， （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7）C B A ,,中不多于两个发生， （8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解 由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计习题及答案第一章
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =, 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n +=}.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABCABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A BC .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+.(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C).○2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P AB P A P B P AB P AB =-=--+=, 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB . 解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最小值, 最小值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+-=1.3()P A B -.(1) 如果A B B =, 即当A B ⊂时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最大值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S =时, ()P AB 有最小值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为ABC AB ⊂,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0. 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P AB C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ⨯, 没有一等品的概率为023225C C C ⨯, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是白球的取法有24C 种，一黑一白的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是2924C C ;(2)两球中一黑一白的概率是115429C C C ;(3)至少有一个黑球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于65;(2) 两数之积小于14;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于12的概率.解 设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0<X , Y <1}.,(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-⨯⨯=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x⨯+=+≈⎰;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ⨯+-++-⎰⎰⎰≈0.593. (4) 解 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|0<x , y <1}, 记A = {(x , y )|(x , y )∈S , |x -y |<12}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-⨯⨯⨯===, 其中 S A , S Ω分别表示A 与Ω的面积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 口袋中有b 个黑球、r 个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a 个. 设B i ={第i 次取到黑球}, 求1234()P B B B B .解 用乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b ar a r b r a r b a b r b b +++⋅++⋅+++⋅+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样.4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=, 恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=.又已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%,22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=⨯+⨯+⨯=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ⨯===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ⨯===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ⨯===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立.(C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D). (3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+-.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明P (B |A )=)(A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件.证 由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独立, 知事件A 与B 也独立, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从而()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独立.3. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+.由题设可知 A , B 和C 两两相互独立,,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅=从而29()3()3[()]16P AB C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==⨯=(2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=⨯+⨯= (3)()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总 习 题 一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396⨯=⨯.(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198⨯+⨯=⨯3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221⨯+⨯+⨯=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ⨯====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
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概率论与数理统计课后习题及答案第1章 三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6.(2)1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P =，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以.1)(1)(p A P B P -=-=4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P .5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k=24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k ⋅⋅=+25C其中：!2161815C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k -=+25C其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k =-25C法五：考虑对立事件：410C k=-45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k ⋅⋅⋅-=其中：!4141618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410==C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：1213102513==A A C p (2) 法二：20131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 1614)(3143==C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25221==C C M P9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则φ==2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间Ω = {(x ，y )：0 ≤ x ，y ≤ 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ∈ Ω ： x + y ≤ 6/5} 因此2517154211)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ． 图？11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<x ax y a x }因此211214121)(222+=+=Ω=πππa aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P.311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
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习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
概率论与数理统计练习题(含答案)
数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.8，则P (A +B )=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(−−X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ∼B (2,p )，Y ∼B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
(完整版)概率论与数理统计试题及答案.doc
2008－ 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。
1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于（A）1/6 ；（B）1/2 ；（C）1/3 ；（ D）1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，X 为样本 均值， S 2 为样本方差。
若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，则常数 c 为（ A ）t 0.01 (n 1) ；（ ） 0.01 (n) ；B t（ C ）t0.02(n 1) ；（ ）(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布，则 XX i 服从n i1（A ） N (0,1) ；（B ） N (2,4 n) ；（C ） N (2 n, 4n) ；（D ） N(2, 4) .n二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。
6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（ ）.8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1，则概率 P(| X | 1 2) =0,其它（ ） .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（） .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ，则常数 a =（ ）.三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）．(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （ ）． (A)⎰bax x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （ ）． (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（ ）．（A ）61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23-=X Y （ ）．(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （ ）． (A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）．(A) E X D X (),().==321(B) 9.0)(,3)(==X D X E(C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==032113. 设),(~p n B X ，2.1)(,2)(==X D X E ，则p n ,分别是（ ）．(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ，且6.3)(,6)(==X D X E ，则=n （ ）．(A) 30 (B) 20(C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ ）~)1,0(N .(A)10050-X (B) 1050-X (C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（ ）成立．(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是（ ）．(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=118. 设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件，A 与B 不同时发生用事件的运算表示为（ ）．(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（ ）成立． (A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立(C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件．(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（ ）．(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容23. 设A ，B 为两个任意事件，则P (A +B ) =（ ）．(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,，等式（ ）成立．(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+ (C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ，B 是两个任意事件，则下列等式中（ ）是不正确的．(A) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）． (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ，B 为两个任意事件，则下列等式成立的是（ ）.(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅= (C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（ ）.(A) 0.56 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.9430. 若A B ,满足（ ），则A 与B 是对立事件．(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立，则等式（ ）成立．(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN （2σ已知）的一个样本，按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时，判断是否接受0H 与（ ）有关. (A) 样本值，显著水平α (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量n ，显著水平α (D) 样本值，样本容量n ，显著水平α33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本，检验假设0H ：,0μμ=1H ：0μμ≠．若用t 检验法，选用统计量t ，则在显著性水平α下的拒绝域为（ ）． (A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，2σ是已知参数，μ是未知参数，记∑==ni i x n x 11，函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.(A) （x －0.975n σ，x +0.975nσ） (B) （x －1.96n σ，x +1.96n σ）(C) （x －1.28nσ，x +1.28nσ） (D) （x －0.90nσ，x +0.90nσ）38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则μ的无偏估计是（ ）．(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（ ）才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本，记∑==ni i x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（ ）.(A) x (B) ∑=-ni i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ ）是统计量．(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量． （A ） X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =（ ）.(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ，则X P (≤=)2（ ）．(A) 0 (B) 81(C)21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ，已知2(P ≤X ≤4.0)4=，则X P (≤=)0（ ）.(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.147. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）．(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（ ）．(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ ）成立．(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D += (C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，已知E (X )=2.4, D (X )=1.44，则（ ）． (A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6 (C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证：已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.6，P (B A +) = 0.1，则P (AB ) =0．2. 试证：已知事件A ,B 相互独立，则)()(1)(B P A P B A P -=+．3. 已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ，B 的概率分别为21)(=A P ，32)(=B P ，试证：A 与B 是相容的.5. 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．6. 设A ,B 为随机事件，试证：)()()(AB P A P B A P -=-．7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅，试证：P A B P B ()()+=-1．8. 设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．9. 设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+．10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃，试证：)()()(B P A P B A P -=-．三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件，已知5.0)(=A P ， 4.0)(=A B P ，求)(B A P .2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示一产品确为正品，求P (A ).3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ，每种系统独立使用时，其有效概率9.0)(=A P ，95.0)(=B P ，在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ，求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件，已知P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.7，求A 与B 只有一个发生的概率.5. 设事件A ，B 相互独立，已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +．7. 设随机变量)2,3(~2N X ，求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=，Φ7998.0)3(=φ)．8. 设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，P (A B )=0.2，求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少？10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +．11. 已知4.0)(=A P ，8.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求P B A ().12. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．13. 已知P (B ) = 0.6，)(B A P =0.2，求)(AB P ．14. 设随机变量X ~ N （3，4）．求 P （1< X < 7）(Φ3841.0)1(=，Φ2977.0)2(=)．15. 设)5.0,3(~2N X ，求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=，2977.0)2(=Φ.16. 设B A ,是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，45.0)(=A B P ，求)(B A P +．17.已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.18.已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.19. 268-16.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．21.某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.，该射手连续射击5次，求：⑴命中靶心的概率；⑵至少4次命中靶心的概率．24.设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.25.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.26.有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.28.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
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第六章样本及抽样分布一、选择题1.设X1 , X 2 ,L , X n是来自总体X的简单随机样本, 则X1, X2,L , X n必然满足 ( )A. 独立但分布不同 ;B. 分布相同但不相互独立 ; C 独立同分布 ; D. 不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（） .1~ F (n2 ,n1)A.若 F ~ F ( n1 , n2 ), 则FB．若 T ~ t( n),则 T 2 ~ F (1,n)C ．若X ~ N ( 0,1),则X2~ x2(1)n) 2( X iD ．在正态总体下i 1 2(n 1)2 ~ x4．设X i , S i2表示来自总体N ( i , i2 ) 的容量为 n i的样本均值和样本方差(i 1,2) ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（） .A. 22S12~ F (n1 1,n2 1) B.( X 1 X2) (1 2)2 2 2 2 ~ N (0,1) 1S2 1 2n1 n2C. X 1 1~ t(n1 ) D.(n 1)S2 2(n2 1) S1 / n1 2 2 2~ x21nX )25.设X1, X 2,L , X n是来自总体的样本, 则1 i ( X i 是( ).n 1A. 样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D. 统计量6 X1,X2,L , X n是来自正态总体N (0,1) 的样本, X , S2分别为样本均值与样本方差, 则( ).n X~ t( nA. X ~ N (0,1)B. nX ~ N (0,1)C. X i2 ~ x2 (n)D. 1)i 1 S9 9X i2 285, 则样本方差 S27. 给定一组样本观测值X1, X 2,L , X9且得X i 45,i 1 i 1的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C. 20D.65 3 28 设X服从t (n)分布 , P{|X| } a ，则 P{ X } 为( ).A. 1a B. 2a C. 1 a D. 1 1 a2 2 29 设x1, x2,L , x n是来自正态总体N (0, 22 ) 的简单随机样本，若Y a( X 1 2X 2 ) 2 b( X 3 X 4 X 5)2 c( X 6 X 7 X 8 X 9 )2服从 x 2分布，则a, b, c 的值分别为（） .A. 1,1,1B.8 12 161,1,1 C. 1,1,1 D. 1,1,120 12 16 3 3 3 2 3 410 设随机变量X和Y相互独立 , 且都服从正态分布N(0,32),设 X1,X2, , X9和9X iY1,Y2, ,Y9分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量U i 1 服从分布是92Y ii 1( ).A. t(9)B. t (8)C. N (0,81)D. N (0,9)二、填空题1．在数理统计中，称为样本.2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是.3．设随机变量 X1,X2, , X n相互独立且服从相同的分布， EX , DX 2 ，令X 1 nX i ，则 EX ； DX . ni 14. (X1,X2, , X10) 是来自总体X ~ N(0,0.32) 的一个样本，则102P X i 1.44 .i 15．已知样本 X 1 , X 2 , , X 16 取自正态分布总体 N ( 2,1) ，X 为样本均值， 已知 P{ X} 0.5，则.10． 6 设总体 X ~ N(,2) ， X 是样本均值， S n 2是样本方差， n 为样本容量，则常用的随2机变量 (n1)S n 服从分布 .2第七章 参数估计一、选择题1.设总体 X~N(, 2)， X 1,, X n 为抽取样本，则 1 n ( X iX ) 2 是（）.n i 1( A) 的无偏估计 ( B)2的无偏估计(C )的矩估计(D )2的矩估计2 设 X 在 [0 ， a] 上服从均匀分布， a 0 是未知参数，对于容量为 n 的样本 X 1 , , X n ， a的最大似然估计为（ ）（A ） max{X 1,X 2,, X n }1n（B ）X in i 1（C ） max{X 1,X 2, , X n } min{ X 1 , X 2 ,, X n }（D ） 11 n X i ；n i 13 设总体分布为 N ( , 2) ，,2为未知参数，则2的最大似然估计量为（ ） .（A ） 1n( X i X ) 2（ B ） 1n( X i X )2n i 1n 1 i 1（C ） 1n( X i) 2（ D ） 11 i n( X i)2n i 1n 14 设总体分布为 N ( , 2) ，已知，则2的最大似然估计量为（） .（A ） S2（ B ）n 1S 2n（C ） 1n( X i) 2（ D ） 11 i n( X i)2n i 1n 15 X 1, X 2, X 3 设为来自总体 X 的样本，下列关于 E( X ) 的无偏估计中， 最有效的为（）.（A ）1(X 1 X 2 )（B ） 1(X 1X 2 X 3 )23（C ） 1(X 1X 2 X 3 )（D ） 2X 12X 2 1 X 3)43336 设 X 1,X 2,, X n (n 2)是正态分布 N( ,2)的一个样本，若统计量n1K( X i 1 X i ) 2 为2的无偏估计，则K 的值应该为（）i 1（A ）1（ B ）11（ C ）1 2 （D ）12n2n2nn 17. 设 为总体 X 的未知参数， 1 , 2 是统计量，1,2为 的置信度为 1 a(0a 1) 的置信区间，则下式中不能恒成的是（） .A. P{ 12}1 aB.P{2}P{1}aC. P{2}1aD.P{2}P{1}a28设X~N( , 2)且2未知，若样本容量为 n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则的 95%的置信区间为（ ）A. ( Xu0.025)B. ( XS t 0 .05(n1))nnC. ( XSD.( X St 0 .025 ( n1))t 0.025 (n))nn9 设 X ~ N ( ,2), ,2均未知，当样本容量为n 时，2的 95%）的置信区间为（A.(( n 1)S 2, (n 1)S 2B. ( (n 1)S 2 ( n 1)S 221) 2)2 (n , 2(n )x 0.975 ( n x 0.025 (n 1)x 0.025 1) x 0.975 1)(( n 1)S 2( n 1)S 2( XSt 0. 025 (n1)) C. 2, 2) D.nt 0. 025 (n 1) t 0.975 ( n 1)二、填空题1. 点估计常用的两种方法是：和.2. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{ X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数） ，则似然函数是，X 是连续型随机变量，概率密度是f (x; ) ，则似然函数是.3. 设总体 X 的概率分布列为：X 012 3P p 2 2 p(1 -p ) p2 1- 2p 其中 p (0 p 1/ 2)是未知参数. 利用总体 X 的如下样本值：1 ，3，0，2，3，3，1，3则 p 的矩估计值为__ ___ ，极大似然估计值为.4. 设总体 X 的一个样本如下：，，，，则该样本的数学期望E(X ) 和方差 D(X ) 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体 X 的密度函数为： f ( x) ( 1)x 0 x 10 其他，设 X 1 , , X n是X的样本，则的矩估计量为，最大似然估计量为.6. 假设总体 X ~ N( , 2)，且 X 1 n X i ， X1,X2, , X n 为总体 X 的一个样本，n i 1则 X 是的无偏估计 .7 设总体 X~N( , 2) ， X1, X2, , X n为总体X的一个样本，则常数k=, 使nk X i X 为的无偏估计量 .i 18 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为S 40 .设电子管寿命分布未知，以置信度为0.95 ，则整批电子管平均寿命的置信区间为（给定 Z0. 05 1.645 , Z0.025 1.96 ）.9设总体X~N( , 2)， , 2 为未知参数，则的置信度为 1－的置信区间为.10某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为20.04 ，从某天生产的产品中随机抽取9 个，测得直径平均值为15 毫米，给定0.05则滚珠的平均直径的区间估计为. ( Z0.05 1.645 , Z 0.025 1.96)11.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6 个，测得直径为：已知原来直径服从N ( ,0.06) ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为，（0.05，Z0.05 1.645 ， Z0.025 1.96）.12.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12 个子样算得S 0.2 ，则的置信区间为（， 2 (11) 19.68 ，2 (11) 4.57 ）.0.1 12 2第八章假设检验一、选择题1.关于检验的拒绝域W,置信水平, 及所谓的“小概率事件” , 下列叙述错误的是().A.的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述B ．事件 {( X1 , X 2 , , X n ) W |H0为真} 即为一个小概率事件C．设 W是样本空间的某个子集，指的是事件{( X1 , X 2 ,L , X n ) | H 0为真 }D．确定恰当的W是任何检验的本质问题2. 设总体 X~N( , 2 ), 2未知 , 通过样本X1, X2, , X n检验假设 H 0 : 0,要采用检验估计量 ( ).X 0B. X 0C.XD.XA.n S / n/ S/ n / n 3. 样本 X1, X 2, , X n来自总体 N ( ,122) ,检验 H 0 : 100 ,采用统计量( ).A. XB.X 100C.X 100D.X12 / n 12 / n S / n 1 S / n4设总体X ~ N( , 2 ), 2 未知 ,通过样本X1,X2, , X n检验假设 H 0 : 0,此问题拒绝域形式为.A. { X100 C} B. {X100 C } C. {X100 C} D. { X C}S / 10 S / n S / 105．设X1, X2, , X n为来自总体N ( ,32 ) 的样本，对于H 0 : 100 检验的拒绝域可以形如（） .． { X C} { X 100 C} X 100C} { X 100 C}A B. C. {n D.S /6 、样本来自正态总体N( , 2 ) , 未知 ,要检验H0: 2 100 , 则采用统计量为( ).A. (n 1)S2B.(n 1) S2C.Xn D.nS 22 100 100 1007、设总体分布为N ( , 2),若已知,则要检验H0: 2 100 ,应采用统计量 ( ).n 2 n 2A. XB. (n 1)S2C. i 1 ( X i )D.i 1( Xi X ) S / n 2 100 100二、填空题1.为了校正试用的普通天平 , 把在该天平上称量为 100 克的 10 个试样在计量标准天平上进行称量 , 得如下结果 :, , , 101,2,,假设在天平上称量的结果服从正态分布, 为检验普通天平与标准天平有无显著差异, H0 为.2．设样本X1, X2, , X25来自总体 N( ,9), 未知.对于检验 H 0 : 0，H1: 0，取拒绝域形如X 0 k ，若取a 0.05，则 k 值为.第六章样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2. （ C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3. （ D ）对于答案 D, 由于 X i~ N (0,1), 1,2, , n ，且相互独立，根据 2 分布的定义有i Ln ) 2( X i2i 1(n)2~ x4.(C)注：X 11~ t (n 1 1) 才是正确的 .S 1 / n 15.(D)6C) 注： X ~ N(0,1)，X ~ t(n 1)才是正确的 nS nP X 12 1 2PX 12 1 12PX1225 12512(5)1299222X i XX 9 Xi 2859 257.(A)S 2 i 11i 19 17.5 988.(A) 9.(B)解：由题意可知X 1 2X 2 ~ N(0,20) ， X 3X 4 X 5 ~ N (0,12) ，X 6 X 7 X 8X 9 ~ N (0,16) ，且相互独立，因此222X 1 2X 2X 3 X 4 X 5X 6 X 7X 8 X 9 ~ 23，201216即 a1, b1, c120121610(A)999解：X i ~ N (0,9 2 )X i 9 ~ N 0,1 ， Y i 2 9 ~29i 1i 1i 19X i 9由 t 分布的定义有i 1～t 992Y i 81i 1二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2. 代表性和独立性 23.，n4. 0.16.2( n 1)第七章 参数估计一、选择题1. 答案： D.222?21 n2?1 n[ 解 ] 因为E(X )A 2X i，E (X) ，E(X )X i ，E( X ) A 1n i 1n i 1所以， ? 2?2?2( X )1n2.E( X) E( X i X )n i 12. 答案： A.[ 解 ] 因为似然函数 11 ，当 amax X i 时， L(a) 最大，L(a)(max X i ) n a nii所以， a 的最大似然估计为max{ X 1 , X 2 , , X n } .3答案A.n[ 解] 似然函数 L( ,2)i 11 exp 12 ( xi) 2 ，22由ln L 0, 2 ln L 0 ，得2A 2 .4. 答案 C.[ 解]在上面第 5题中用取代 X 即可.5答案 B.6. 答案 C. 7 答案 D. 8. 答案 D.9. 答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.p(x i ; ) ，f ( x i ; )；i i.31 , ； 4816/82，令 E(X)[ 解 ] （ 1） p 的矩估计值 X X i 3 4 pX ，i 1得 p的矩估计为p (3 X ) / 4 1/ 4 .?（ 2）似然函数为8x i ) P( X 0)[ P( X 1)] 2P( X 2)[ P( X 3)] 4L( p)P( Xi 14 p(1 p) 2 (1 2 p)4ln L( p) ln 46ln p 2 ln(1 p) 4 ln(1 2 p)令 [ ln L ( p)]6 1 2 1 8 0 ，12 p 2 14 p 3 0pp2 pp (7 13) /12 . 由 0 p1/ 2 ，故 p (713) /12 舍去所以 p的极大似然估计值为 p (713) /120.2828 .?4、 ，；?? 2iX i 222[ 解 ]由矩估计有：)，又因为 D(X) E( X ) [E(X)]，E(X ) X,E(Xn?X 1.7 1.75 1.71.65 1.75 1.71所以 E(X)5?1n2( X iX )0.00138 .且D(X)n i 1n2X 1, n ln X i5、?? i 1 ；1 X n ln Xii 1[ 解 ] （ 1）的矩估计为：11 2 11E(X ) x ( 1) x d x x2 0 2样本的一阶原点矩为：1 nx i Xn i 1所以有：1 X ? 2X 12 1 X（ 2）的最大似然估计为：n nL ( X 1 , , X n； ) ( 1) X i ( 1) n ( X i )i 1 i 1nln L n ln( 1) ln X ii 1d ln L n nln X i 0d 1 i 1n得：? n ln X ii 1.nln X ii 16、；[ 解] E(X) 1 nE( X i ) n .nn i 17、；2n(n1)[ 解] 注意到X1, X2, , X n的相互独立性，X i1X1 X2 (n 1) X i X n Xnn 1E( X i X ) 0, D ( X i 2X )n所以， X i X ~ N (0, n1 2)，nz21n 1 22E(| X i X |) | z | e n dzn 12nz21 n 12 2 n 12 z e 2 dzn0 n 1 22nn nkn 2n 1因为： E k | X i X | k E | X i X |i 1 i 1 2 n所以， k2n( n 1).8、. [ ， ] ；[ 解 ] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：X 1000, S 40, 0.05 ， Z 0.025 1.96 的 95%的置信区间是：[ X SZ0.025 , X S Z0.025 ] [ 992.16,1007.84] . n n9、(X St (n 1), XSt (n 1)) ；n 2 n 2[ 解 ] 这是 2 为未知的情形，所以X ~ t(n 1) .S / n10、 [ ， ] ；[ 解 ] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：[ x Z , xn Z ]n 2 2 由题意得： x 15 2 0.04 0.05 n 9 ，代入计算可得：[15 0.2 1.96,15 0.2 1.96] ，化间得：[14.869,15.131] .9 911、 [ ，]；[ 解 ]这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为： [ Xn Z , XnZ ]2 2由题得： X 1 (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 60.05 Z0.025 1.96 n 6代入即得： [14.95 0.06 1.96,14.95 0.06 1.96]6 6所以为： [14.754,15.146]12、.[，]；[ 解 ] 由2(n 1)S 2 2 得：1 22 22 (n 1) S2， 2(n 1)S22 2212所以的置信区间为： [ (n 1) S2，(n 1)S22 (11) 2] ，(11)212将 n 12 ， S 0.2 代入得[ 0.15 ， 0.31 ]. 第八章假设检验一、选择题、、、、、、、二、填空题1.1002.。
概率论与数理统计第一章习题参考解答
《概率论与数理统计》第一章参考解答（仅供参考，不妥之处及时指出）习题1.1（略）习题1.21.解 141414185()()()()()()()()000P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++−−−+=++−−−+=.2.解 ，()()()()0.40.50.70.2P AB P A P B P A B =+−=+−=∪()()()0.40.20.2P A B P A P AB −=−=−=，()()()0.50.20.3P B A P B P AB −=−=−=。
3.解 用、A B 、分别表示任选的一位该年龄段的市民喜欢读报、C A B 报、C 报，依题设 ()0.45,()0.34,()0.20,P A P B P C ===()0.10,()0.06,()0.04,()0.01P AB P AC P BC P ABC ====)。
(1) 任选的一位该年龄段的市民至少喜欢读一种报纸的概率()()()()()()()(0.450.340.200.100.060.040.010.80.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++−−−+=++−−−+= (2) 任选的一位该年龄段的市民三种报纸都不喜欢读的概率()()1()10.800.20.P ABC P A B C P A B C =++=−++=−=(3) 任选的一位该年龄段的市民只喜欢读报的概率 A ()()()()()[()()]0.450.100.060.010.30P ABC P AB P ABC P A P AB P AC P ABC =−=−−−=−−+=。
(4) 同理可以求得：任选的一位该年龄段的市民只喜欢读B 报的概率()()()()()[()()]0.340.100.040.010.21,P ABC P AB P ABC P B P AB P BC P ABC =−=−−−=−−+= 任选的一位该年龄段的市民只喜欢读报的概率 C ()()()()()[()()]0.200.060.040.010.11,P ABC P AC P ABC P C P AC P BC P ABC =−=−−−=−−+= 故任选的一位该年龄段的市民只喜欢读一种报报的概率()()()()0.300.210.110.62P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=。
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第1章 概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。
A B L R C D1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
§2.7 正态分布1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2<X ≤5) , P(- 4<X ≤10), P(|X|>2), P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X<c)。
第2章作业答案§2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X ≥1) – P(X ≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X ≥1) = 0.981684,(3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。
2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (22222---++e e e)= 22-e（2）由全概率公式：P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3)= 0.4×52-e + 0.6×3217-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y ≤2)=516.052458.027067.0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P§2.3 2： 至少必须进行11次独立射击. §2.6 1： 3/5 2： 422)2()1(----e e e§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3，第3章 多维随机变量§3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红球个数，用Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。
2. 设二维随机变量),(Y X试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1)6.0)1(==X P ； (2)5.0)2|1(===Y X P ； (3)设)(x F 是Y 的分布函数，5.0)5.1(=F 。
§3.2 二维连续型随机变量1. )(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨⎧<<<<+=他其010,10)(),(y x y x k y x f求（1）常数k ；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。
2．)(Y X 、的联合密度函数为：⎩⎨⎧<<<<=他其00,10),(xy x kxy y x f求（1）常数k ；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。
§3.3 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。
+∞<<∞-+∞<<∞-++=y x y x y x f ,)1)(1(1),(222π§3.4 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1) 3/1)1(==Y P ； (2) 5.0)2|1(==>Y X P ； （3）已知X 与Y 相互独立。
第3§3.1 1 2： (1) a=0.1 b=0.3(2) a=0.2 b=0.2(3) a=0.3 b=0.1§3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。
2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。
§3.3 1： +∞<<∞-+=++=⎰∞+∞-x x dy y x x f X )1(2)1)(1(1)(2222ππ；+∞<<∞-+=++=⎰∞+∞-y y dx y x y f Y )1(2)1)(1(1)(2222ππ；§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。
第4章 随机变量的数字特征§4.1 数学期望1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取到的红球的个数，则EX 是： （A ）1； （B ）1.2； （C ）1.5； （D ）2.2. 设X 有密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧=083)(2x x f 他其42≤≤x , 求)1(),12(),(2X E X E X E -,并求X大于数学期望)(X E 的概率。
3. 设二维随机变量),(Y X已知65.0)(=XY E ，则a 和b 的值是： 1 0.1 b 0.2（A ）a=0.1, b=0.3； （B ）a=0.3, b=0.1； （C ）a=0.2, b=0.2； （D ）a=0.15, b=0.25。
4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求)1(,,+XY E EY EX 。
⎩⎨⎧<<<<=他其020,10),(y x xy y x f第4章作业答案§4.1 1： B ； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D ； 4： 2/3，4/3，17/9；第5章 极限定理§5.2 中心极限定理1． 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。
2． 某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。
第5章作业答案§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；第6章 数理统计基础§6.1 数理统计中的几个概念1． 有n=10的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值X = ，样本均方差=S ，样本方差=2S 。
2．设总体方差为2b 有样本n X X X ,,,21 ，样本均值为X ，则=),(1X X Cov 。
§6.2 数理统计中常用的三个分布1. 查有关的附表，下列分位点的值：9.0Z = ，)5(21.0χ= ，)10(9.0t = 。
2．设n X X X ,,,21 是总体)(2m χ的样本，求)(),(X D X E 。
§6.3 一个正态总体的三个统计量的分布1．设总体),(~2σμN X ，样本n X X X ,,,21 ，样本均值X ，样本方差2S ，则~/nX σμ- ，~/nS X μ- ，∑=-ni iX X122)(1σ～ ，∑=-ni iX122)(1μσ～ ，第6章作业答案§6.1 1．0646.0,254.0,57.12===s s x ； 2. n b X X Cov /),(21=；§6.2 1．-1.29， 9.236， -1.3722； 2．n m X D m X E /2)(,)(==；§6.3 1.)(),1(),1(),1,0(22n n n t N χχ--；第7章 参数估计§7.1 矩估计法和顺序统计量法1.设总体X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-他其10)(1x xx f θθ，有样本n X X X ,,,21 ，求未知参数θ 的矩估计。
2.每分钟通过某桥量的汽车辆数)(~λπX ，为估计λ的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数： 2 3 4 5 6量数： 9 5 3 7 4 试求λ的一阶矩估计和二阶矩估计。
§7.2 极大似然估计1.设总体X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=他其10)1()(x xx f θθ，有样本n X X X ,,,21 ，求未知参数θ 的极大似然估计。
第7章作业答案§7.1 1：2)1(XX -； 2： 5， 4.97； §7.2 1：21)1ln (+∑=ni iXn；一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。