截交线的画法

第八章 平面与立体相交（截交线）、 直线与立体相交
§8—1 截交线
截交线的概念和画法
• 截平面 用以截切立体的平面
• 截交线 截平面与立体表面的交线
• 截断面
因截平面的截切，在 立体上形成的平面。
截交线是截平面与立体表面共有点的集合
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
截交的形式 截平面与平面立体相交 截平面与回转体相交
e
b
空作间交及线投的影正分面析投影
★找截特平殊面点P：是A正、平B、面C，点 截★交补线充为一双般曲点线：。D交、线E点 的★侧光面滑投连影接积各聚点成一直 线★，分正析面轮投廓影线反的映投实影形。
b
A D C E
B
例1: 求作平行于圆锥轴线的平面与圆锥面的交线
的正面投影。
a
a
d
d
c c
e
e
b
b
A D C
截交线的侧面投
影是什么形状？
c
★ ★找 找特 一殊 般D点点C
F
★光滑连接各点
★分析A 轮E廓B素线的投影
例1：求左视图
★找特殊点 ★找一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
例2：求截口圆柱的投影
PH
QH
例2：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求 该球壳屋顶的V投影和W投影。
㈣ 组合体表面的截交线
首先进行形体分析，弄清组合体由哪些基本 回转体组成，找出相邻回转体之间的分界线。
然后分别求出各个截平面与这些基本回转体的 截交线，并依次将其连接。
A B
C
例1：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
● ● ●
求出截交线后再取局部。
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2 1
2 1
回转体的截交线
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线（直线或曲线）围成封闭的平面图形。
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。
⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先
3” 5” 4”
5”
3 4”
1”
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视左图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
r
例2：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求 该球壳屋顶的V投影和W投影。
1 (4)2 3
1
●
4●
● 2
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
★ 空间分析 截平交★面线与投的四形影棱状分锥？析 的★四截条求交棱截线线在交相俯线交、？左 ★ 分视析图棱上线的的形状投？影
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线我法们采！用的是
哪种解题方法？
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3“ 3“(4”)
1‘ 2‘
1“（1”）
1“(2”)
12
3
4
3
4
12
㈢ 球体的截切
平面与圆球相 交，截交线的形状 都是圆，但根据截 平面与投影面的相 对位置不同，其截 交线的投影可能为 圆、椭圆或积聚成 一条直线。
例：求圆球被正垂面相交的截交线的投影
2‘
3‘
5”
1‘ 4‘
4
5
(1)
2
5
4
(2”)
I、II是两个 截平面的交线
1(2)
2 1
注 意：
2
有两个截平面截切四棱锥。
1
当平面立体只有局部被截切
时，先假想为整体被截切，
求出截交线后再取局部。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
Ⅳ
2
Ⅶ Ⅵ
1 Ⅷ
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
截截特分投求检线交交性析影线截查的线？棱的交的截投线形投线交影的状影？
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
I、II点是两个 截平面的交线
1(2)
2 1
注 意：
2
有两个截平面截切四棱锥。
1
当平面立体只有局部被截切
时，先假想为整体被截切，
E B
例2: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
中点
截截交交线线的的空投 间影形特状性？？
如何找椭圆另 一根轴的端点？
★找特殊点
轮廓线上的点 极限点(轴端点)
★补充一般点
★光滑连接各点
★分析轮廓线的
投影
例2: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
例3：已知带切口的圆锥的主视图，求作其另二个视图。
3‘ 4‘ 1‘ 2‘
3“（4“） 3“(4”)
空间及投影分析
1“（1“）
1、被几个面截切？ 1“(2”)
2、各自截交线的形状？ 投影怎样？
作图：
1 3
24
3
4
12
1 3
注 意： 当有多个截平面截切圆（台），
且只有局部被截切，先假想
为整体被截切，求出截交线后
再取局部。多个截面互相影响。 3 1
3‘ 4‘
㈡ 圆锥体的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，
截交线有五种形状。
PV
θ
θ PV
α PV
过锥顶
θ= 90°
两相交直线
圆
θ＞α 椭圆
θ PV α
PV α
θ=α θ= 0°或＜α
抛物线
双曲线
例1: 求作平行于圆锥轴线的平面P与圆锥面的交线
的正面投影。
a
d c
e
a P
d
如何作一般点？ c 用辅助纬圆法。
● ● ●
●
例1：求作顶尖的俯视图
例2：完成图示组合体的主、俯两视图
b(a) c
a b
c a b
c
A B
C
例2：完成图示组合体的主、俯两视图
b(a) c
a b
c a b
c
A B
C
8—2 直线与立体相交
贯穿点的概念：直线与立体的交点（成对出现）。 它是直线与立体表面共有点的集合 B
求法：
1、直线与平面立体相交可用面上
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
1(2)
2
●
●
1
2
1
例4：求左视图
●
● ●
●
例4：求左视图
●
● ●
●
仔细比较下列两立体的各个视图，有何不同？
画一画：这两个立 体的视图是什么样？
例5：求截口圆柱的投影
1(2) 2
2
1
1
例5：求截口圆柱的投影
1(2) 2
2
1
1
例6：求俯视图
例6：求俯视图
例7：求左视图
虚实分界点
例7：求左视图
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法
⒉ 求截交线的步骤：
★ 空间及投影分析
☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
确定截交 线的形状
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面 的交线，并连接成多边形。
确定截交线 的投影特性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
☆ 先找特殊点，补充一般点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
㈠ 平面与圆柱面的截交线
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
PV PV
平行
垂
平行两直线
直圆
PV
倾斜 椭圆
例1：求左视图
b (d) e(f) a
fd a
eb
c
c
d
b
截交线的
f 空间a形状e？
截交线的已知投影？
(h’) 3‘
1‘
k’
2‘
Pv—辅助平面
d’ e’
f’
d
1
h
k2 s 3 f
e
二、直线与曲面立体相交 例3：求直线AB与圆柱的贯穿点
k’ a’
(l’) b’