《用待定系数法确定一次函数表达式》教案 湘教版

4．4 用待定系数法确定一次函数表达式

1．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件；(难点)

2．用待定系数法求一次函数的解析式．(重点)

一、情境导入

已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．

一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？

二、合作探究 探究点一：用待定系数法求一次函数解析式

【类型一】 已知两点确定一次函数解析式

已知一次函数经过点A (3，5)和点

B (－4，－9)．

(1)求此一次函数的解析式；

(2)若点C (m ，2)是该函数图象上的一点，求C 点的坐标．

解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；

(2)将点C 的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m 的值．

解：(1)设其解析式为y ＝kx ＋b (k 、b 是

常数，且k ≠0)，则?????5＝3k ＋b ，

－9＝－4k ＋b ，∴

?

????k ＝2，

b ＝－1，∴其解析式为y ＝2x －1； (2)∵点C (m ，2)在函数y ＝2x －1的图

象上，∴2＝2m －1，∴m ＝3

2，∴点C 的坐

标为(3

2

，2)．

方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．

【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式

如图，一次函数的图象与x 轴、y

轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．

解析：求出B 点的坐标，根据待定系数法即可求得函数解析式．

解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)．∴点B 的坐标为(0，－2)．设一次函数的解析

式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则????

?2k ＋b ＝0，b ＝－2，解得

?

????k ＝1，

b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2. 方法总结：本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．

【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式

如图，点B 的坐标为(－2，0)，

AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果

△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式． 解析：三角形AOB 的面积等于OB 与AB 乘积的一半，根据OB AB 的长，确定出A 点坐标，设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定直线l 的解析式． 解：∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，即1

2×2×

AB ＝3，AB ＝3，即A 点坐标为(－2，－3)，

设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 坐标代入得：－3＝－2k ，即k ＝1.5，则直线l 的解析式为y ＝1.5x .

方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成的三角形的面积确定另一个点的坐标．

【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式

已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过

点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．

解析：先把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2，再根据y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b 得到b ＝－4，然后求出k 的值即可．

解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2，∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.

方法总结：本题考查了一次函数的图象与几何变换：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .

探究点二：用待定系数法求一次函数解析式的应用

【类型一】 由实际问题确定一次函数解析式

已知水银体温计的读数y (℃)与水

银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

水银柱的长度x (cm) 4.2 … 8.2 9.8

体温计的读数y (℃) 35.0 … 40.0 42.0 (1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数的自变量的取值范围)； (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．

解析：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；

(2)当x ＝6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y 的值．

解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝

kx ＋b ，由题意，得?

????35＝4.2k ＋b ，

40＝8.2k ＋b ，解得：

?????k ＝54，b ＝29.75，

∴y ＝5

4

x ＋29.75.∴y 关于x 的函

数关系式为y ＝5

4

x ＋29.75；

(2)当x ＝6.2时，y ＝5

4×6.2＋29.75＝

37.5.

答：此时体温计的读数为37.5℃. 方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

【类型二】 与确定函数解析式有关的综合性问题

如图，A 、B 是分别在x 轴上位于

原点左右侧的点，点P (2，m )在第一象限内，直线P A 交y 轴于点C (0，2)，直线PB 交y 轴于点D ，S △AOP ＝12.

(1)求点A 的坐标及m 的值； (2)求直线AP 的解析式；

(3)若S △BOP ＝S △DOP ，求直线BD 的解析

式．

解析：(1)由于S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，根据三角形面积公式得到12×OA ·2＋1

2×2

×2＝12，可计算出OA ＝10，则A 点坐标为(－10，0)，然后再利用S △AOP ＝1

2×10×m ＝

12求出m ；

(2)已知A 点和C 点坐标，可利用待定系数法确定直线AP 的解析式；

(3)利用三角形面积公式由S △BOP ＝S △

DOP ，PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，则可确定B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，24

5)，

然后利用待定系数法确定直线BD 的解析式．

解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴1

2×

OA ·2＋1

2×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A 点

坐标为(－10，0)，∵S △AOP ＝1

2×10×m ＝12，

∴m ＝125

；

(2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把

A (－10，0)，C (0，2)代入得???

??－10k ＋b ＝0，

b ＝2，

解得?????k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝1

5

x ＋

2；

(3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，∵P 点坐标为(2，12

5)，∴B

点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，24

5)，设直

线BD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把B (4，0)，D (0，24

5

)代入得?????4m ＋n ＝0，n ＝245，

解得

?

??

m ＝－65，

n ＝24

5，

∴直线BD 的解析式为y ＝－65x

＋

245

. 三、板书设计

用待定系数法求一次函数解析式 1．待定系数法的定义

2．用待定系数法求一次函数解析式的步骤

教学中，要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律．教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长.