莱布尼茨与微积分

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中西文化交 流之倡导者
莱布尼茨对中国的科学、 文化和哲学思想十分关注，他 是最早研究中国文化和中国哲 学的德国人。他向耶稣会来华 传教士格里马尔迪了解到了许 多有关中国的情况，包括养蚕 纺织、造纸印染、冶金矿产、 天文地理、数学文字等等，并 将这些资料编辑成册出版。他 认为中西相互之间应建立一种 交流认识的新型关系。
三、其他成就 （一）、数学方面
• 高等数学上的众多成就 • 1、莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研 究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系 列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定 了基础。 • 2、莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复 数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。 在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正 确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从 理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念， 提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立 了符号逻辑学的基本概念。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在 自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立 工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最 大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一 起，一个是切线问题（微分学的中心问题）， 一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直 观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷 小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支 返回 名称的来源。
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二、智者的奋斗史
(一)、少年天才 从幼年时代起，莱布尼茨就明显展露出 一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁时就像 其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的 艰深的论文了。 他提出无穷小的微积分算法，并且他发 表自己的成果比伊萨克·牛顿爵士将它的手 稿付梓早三年，而后者宣称自己第一个做出 了这项发现。
由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余， 在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引 起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家 和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时 期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛 顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整 整落后了一百年。
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三、其他成就
（二）、物理方面
• 证明了“永动机是不可能”的观点。 • 1684年，莱布尼茨在《固体受力的新分析证明》 一文中指出，纤维可以延伸，其张力与伸长成 正比，因此他提出将胡克定律应用于单根纤维。 这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特— —莱布尼茨理论。 • 在光学方面，他利用微积分中的求极值方法， 推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解 释光学基本定律。
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三、其他成就 （二）、物理方面 • 1671年，莱布尼茨发表了《物理学新假说》 一文，提出了具体运动原理和抽象运动原 理，认为运动着的物体，不论多么渺小， 它将带着处于完全静止状态的物体的部分 一起运动。 • 他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了 认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型； 证明了动量不能作为运动的度量单位，并 引入动能概念，第一次认为动能守恒是一 个普通的物理原理。
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三、其他成就 （一）、数学方面
• 3、莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一， 堪称符号大师。 他曾说：“要发明, 就要挑选恰当 的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符 号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而 最大限度地减少人的思维劳动”，正象印度——阿 拉伯的数学促进了算术和代数发展一样，莱布尼兹 所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的 促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展， 莱布尼 兹的巧妙符号功不可没.。除积分、微分符号外， 他创设的符号还有商“a/b”, 比“a:b”，相似 “∽”, 全等“≌”、并“∪”、“交“ ”以及函 数和行列式等符号。
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三、思想观点 （一）、认识论
莱布尼茨的认识论，是同他的单子论一 脉相承的。他从单子的等级出发，贬低感性， 抬高理性，把感性认识看做纯粹动物的认识。 正因如此，他反对经验论，尤其是洛克的经 验论。他的《人类理智新论》一书，就是专 门为了反对洛克的《人类理智论》而写的。 他认为经验论只抓住了个别事物，不能把握 普遍的、必然性的东西。若仅凭经验，这是 动物行为。
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三、其他成就
（三）、哲学方面
• 著作《单子论》——原文为法文， 本无 标题。1720年克 勒曾发表 了本篇的德译文 ，1721年迪唐 又据德译转译 为拉丁文，1840 年J.E. 爱尔特曼在莱布尼 兹手稿 中发现 原文，收入所编《 莱布 尼兹哲学全集》中，并加上了标 题。本文是莱布尼兹把自己在许 多哲学著作中所阐述的主要观点 高度浓缩的作品。篇幅虽短而内 容丰富。
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《单子论》
三、其他成就
（三）、计算机方面 • 1673年莱布尼茨特地到巴黎 去制造了一个能进行加、减、 乘、除及开方运算的计算机。 这是继帕斯卡加法机后，计 算工具的又一进步。帕斯卡 逝世后，莱布尼茨发现了一 篇由帕斯卡亲自撰写的“加 法器”论文，勾起了他强烈 莱布尼茨发明的 的发明欲望，决心把这种机 “乘法器” 器的功能扩大为乘除运算。
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பைடு நூலகம்、二进制
关于莱布尼茨的二进 制与中国的八卦图的关系， 有许多的考证，但是对于 莱布尼茨是受到八卦图的 影响而发明二进制还是单 独发明二进制，迄今似乎 也没有定论。 胡阳、李长铎的著作《莱布尼茨－二进制 与伏羲八卦图考》给出了比较可信的材料，表 明莱布尼茨的二进制至少在某种程度上受到了 八卦图的启发。 返回
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二、智者的奋斗史
(二)、出生书香门第，却有不幸的童年
公元1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比 锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教 授，母亲出身于教授家庭，虔信路德新教。 莱布尼茨的父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目 染使莱布尼茨从小就十分好学，并有很高的天赋，幼 年时就对诗歌和历史有着浓厚的兴趣。不幸的是，父 亲在他6岁时去世，但却给他留下了丰富藏书。 1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰 难》，获哲学硕士学位。是年2月12日，他母亲不幸去 世。18岁的莱布尼茨从此只身一人生活，他—生在思想、 性格等方面受母亲影响颇深。
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一、微积分 二、二进制 三、其他成就
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一、微积分
莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明 确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆 的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确 立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积 分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出 共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符 号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和 莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。 然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀 起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的 研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于 牛顿。
二、建立过程 （四）、集大成者、创始人
莱 布 尼 茨
牛 顿
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无 穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正 是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研 究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重 返回 于几何学来考虑的。
三、优先权之争
关于微积分创立的优先权，在数学史上曾 掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积 分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成 果的发表则早于牛顿。
跨专业选修课《数学简史》
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一、生平简介 二、智者的奋斗史 三、思想观点
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一、生平简介
戈特弗里德〃威廉〃莱布 尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年）， 德国哲学家、数学家。涉及的 领域及法学、力学、光学、语 言学等40多个范畴，被誉为十 七世纪的亚里士多德。和牛顿 先后独立发明了微积分。 “世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口， 他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰 富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
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三、思想观点
（二）、《单子论》
全文共 90节，大体可分为两部分：1～48节 主要论述一切实体的本性，包括实体应是构成复 合物的最后单位，本身没有部分，是单纯的东西， 即精神性的单子；实体本身应具有内在的能动原 则等等。49～90节主要论述实体间的关系，包括 前定和谐及这个世界是“一切可能的世界中最好 的世界”的学说等等。莱布尼兹的单子论是一个 客观唯心主义的体系，有向宗教神学妥协的倾向， 但也包含一些合理的辩证法因素，如万物自己运 动的思想等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
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二、建立过程
（一）、微积分的萌芽——极限思想
1、公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物 弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲 体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。 2、作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比 较清楚的论述。比如中国的庄周所著的《庄子》一书 的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世 不竭”。
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二、智者的奋斗史
(四)、悲惨的晚年
就在莱布尼茨倍受各个宫廷青睐之时，他却已 开始走向悲惨的晚年了。在公元1716年11月14日， 由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤 寂地离开了人世，终年70岁。 莱布尼茨一生没有结婚，没有在大学当教授。 他平时从不进教堂，因此他有一个绰号 Lovenix， 即什么也不信的人。他去世时教士以此为借口，不 予理睬，曾雇用过他的宫廷也不过问，无人前来吊 唁。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他 的秘书艾克哈特。
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三、思想观点 （三）、哲学观
作为一个唯理论者，莱布尼茨企图调和 经验论和唯理论，企图找出一条介于笛卡尔 与洛克理论之间的中间道路。莱布尼茨继承 了笛卡尔的唯理论，主张“天赋观念”论。
莱布尼茨抬高推理的真理，表现出唯理 论倾向，但他毕竟承认了事实的真理，并认 为它就是由感性知觉提供的，反映了他向经 验论的让步。
3、三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细， 所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体 而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限 概念。 返回
二、建立过程 （二）、促使产生的问题因素
归结起来，大约有四种主要类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问 题。天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线 运动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工具。 第二类问题是求曲线的切线的问题。不仅是几何学的问题，而 且也是许多其他科学问题的要求，如物体作曲线运动，光的折 射和反射。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。天文学和力学都 有关，例如求行星运动的近日点远日点，抛射体的最大射程和 高度等。 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、 物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
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三、建立过程 （三）、早期的研究者 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、 物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研 究工作。 如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格； 英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利 的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。 为微积分的创立做出了贡献。
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二、建立过程 （四）、集大成者、创始人
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二、智者的奋斗史
(三)、人情世故
莱布尼茨是一个世故的人，取悦于宫廷并得到 知名人士的庇护。他与斯宾诺莎有私交，后者的哲 学给他以深刻的印象，虽然他断然与斯宾诺莎的观 念分道扬镳了。 莱布尼茨与哲学家、神学家和文人们进行着广 泛的通信交往。在他的宏大计划中曾尝试达成新教 和天主教之间的一个和解以及基督教国家之间的联 合，这种联合在他那个时代意味着欧洲联盟。他还 做过后来成为普鲁士科学院的柏林科学协会的第一 会长。
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一、微积分的概念 二、建立过程 三、优先权之争 四、微积分的科学意义
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一、微积分的概念
微积分是高等数学中研究函数的微分、积 分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学 的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、 积分学及其应用。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。