《空间直角坐标系》教学设计(优质课)
空间直角坐标系(优质课)教案
1.13空间直角坐标系（优质课）教案_教学目标：通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法； 通过空间中两点的距离解决问题．教学过程： 一、空间直角坐标系1. 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了 空间直角坐标系.如右图所示.点O 叫做坐标原点，x 、y 和z 三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每 两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向， 食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向. 2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz 、xOz 、xOy ，叫做坐标平面．xOy 平面(通过x 轴和y 轴的平面)是坐标形如(x ，y,0)的点构成的点集，其中x ，y 为任意的实数； xOz 平面(通过x 轴和z 轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x ，z 为任意的实数； yOz 平面(通过y 轴和z 轴的平面)是坐标形如(0，y ，z )的点构成的点集，其中y ，z 为任意的实数； x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x 为任意实数； y 轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y 为任意实数； z 轴是坐标形如(0,0，z )的点构成的点集，其中z 为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法 1.关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOy P x y z −关于坐标平面对称 ()()1,, ,,P x y z yOz P x y z −关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOz P x y z −关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称()()1,, ,,P x y z x P x y z −−关于轴对称()()1,, ,,y P x y z P x y z −−关于轴对称 ()()1,, ,,P x y z z P x y z −−关于轴对称 三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z 间的距离为12PP =特殊地，任一点(),,P x y z 到原点O 的距离为PO =类型一 空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．解析：由空间直角坐标系定义求解答案：①对于图一，因为D 是坐标原点，A 、C 、D ′分别在x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、D ′(0,0,2)．因为B 点在xDy 平面上，它在x 轴、y 轴上的射影分别为A 、C ，所以B (2,2,0)． 同理，A ′(2,0,2)、C ′(0,2,2)．因为B ′在xDy 平面上的射影是B ，在z 轴上的射影是D ′，所以B ′(2,2,2)．②对于图二，A 、B 、C 、D 都在xD ′y 平面的下方，所以其z 坐标都是负的，A ′、B ′、C ′、D ′都在xD ′y 平面上，所以其z 坐标都是零．因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D ′(0,0,0)、A ′(2,0,0)、C ′(0,2,0)、D (0,0，－2)．同①得B ′(2,2,0)、A (2,0，－2)、C (0,2，－2)、B (2,2，－2)．练习1：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标．答案：建立如图所示的空间直角坐标系．E 点在xOy 面上的射影为B (1,1,0)，且z 坐标为12，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，G ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，且z 坐标为1，∴F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1. 练习2：点(2,0,3)位于( ) A ．y 轴上 B ．x 轴上 C ．xOz 平面内 D ．yOz 平面内 答案：C例2：已知V －ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD 的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x 轴、y 轴建系．如以A 为顶点AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建系，等等．答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O 为原点，互相垂直的对角线AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴，OV 为z 轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD 边长AB ＝2，∴AO ＝OC ＝OB ＝OD ＝2，又VO ＝3，∴A (0，－2，0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (－2，0,0)，V (0,0,3)．练习1：如图所示，棱长为a 的正方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．答案：∵OB ′与BD ′相交于Q 点，∴Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，z . 同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的并点， ∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，12a . 练习2：(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 答案：D例3：在平面直角坐标系中，点P (x ，y )的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P ′(－x ，－y )， (2)关于x 轴的对称点是P ″(x ，－y )， (3)关于y 轴的对称点是P (－x ，y )，那么，在空间直角坐标系内，点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P 1________；(2)关于横轴(x 轴)的对称点是P 2________； (3)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3________； (4)关于竖轴(z 轴)的对称点是P 4________； (5)关于xOy 坐标平面的对称点是P 5________； (6)关于yOz 坐标平面的对称点是P 6________； (7)关于zOx 坐标平面的对称点是P 7________.解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论 答案：(1)(－x ，－y ，－z )．(2)(x ，－y ，－z )． (3)(－x ，y ，－z )．(4)(－x ，－y ，z )． (5)(x ，y ，－z )．(6)(－x ，y ，z )． (7)(x ，－y ，z )．练习1：求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．答案：如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称，且C (1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ， 则A 与B 关于x 轴对称，且B (1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1)； A (1,2，－1)关于x 轴对称的点B (1，－2,1)．练习2：点()1,2,3P −关于坐标平面xOz 对称点的坐标是（ ）A.()1,2,3B.()1,2,3−−C.()1,2,3−−D.()1,2,3−− 答案：B类型二 空间两点间距离公式例4：证明以A (4,3,1)、B (7,1,2)、C (5,2,3)为顶点的△ABC 是等腰三角形． 解析：运用两点间距离公式 答案：由两点间距离公式：|AB |＝(7－4)2＋(1－3)2＋(2－1)2＝14， |BC |＝(5－7)2＋(2－1)2＋(3－2)2＝6，|AC |＝(5－4)2＋(2－3)2＋(3－1)2＝6， ∵|BC |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A (－1，－2,3)、B (3,0,1)； (2)M (0，－1,0)、N (－3,0,4)．答案：(1)d (A ，B )＝(3＋1)2＋(0＋2)2＋(1－3)2＝2 6.(2)d (M ，N )＝(0＋3)2＋(－1－0)2＋(0－4)2＝26. 练习2：2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．|a |B ．|b |C ．|c |D ．以上都不对答案：C例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD ＝5m ，河宽BC ＝3m ，另一侧有点A ，AB ＝4m ，求点A 与塔顶D 的距离AD .解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题答案：以塔底C 为坐标原点建立如下图所示的坐标系．则D (0,0,5)，A (3，－4,0)，∴d (A ，D )＝32＋(－4)2＋52＝52，即点A 与塔顶D 的距离为52m.练习1：已知空间三点A (1,2,4)、B (2,4,8)、C (3,6,12)，求证A 、B 、C 三点在同一条直线上．答案：d (A ，B )＝(2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝21，d (B ，C )＝(3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝21， d (A ，C )＝(3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝221， ∴AB ＋BC ＝AC ，故A 、B 、C 三点共线．练习2：以()()()10,1,6,4,1,9,2,4,3A B C −三点为顶点的三角形是（ C ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形 答案：C例6：求到两点A (2,3,0)、B (5,1,0)距离相等的点P 的坐标满足的条件． 解析：运用两点间距离公式. 答案：设P (x ，y ，z )，则P A ＝(x －2)2＋(y －3)2＋z 2， PB ＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2. ∵P A ＝PB ，∴(x －2)2＋(y －3)2＋z 2＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2.化简得6x －4y －13＝0.∴点P 的坐标满足的条件为6x －4y －13＝0. 练习1：若点P (x ，y ，z )到A (1,0,1)、B (2,1,0)两点的距离相等，则x ，y ，z 满足的关系式是____________； 答案：2x ＋2y －2z －3＝0练习2：若点A (2,1,4)与点P (x ，y ，z )的距离为5，则x 、y 、z 满足的关系式是____________； 答案：(x －2)2＋(y －1)2＋(z －4)2＝25练习3：已知空间两点A (－3，－1,1)、B (－2,2,3)在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距离相等，则C 点的坐标是____________．答案：⎝⎛⎭⎫0，0，321．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是( )A ．(－3，－4,5)B ．(－3，－4，－5)C ．(－3,4,5)D ．(3,4,5) 答案： B3．设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 坐标平面的对称点，则|AB |等于( )A ．10B.10C.38 D ．38 答案：A4．已知三点A (－1,0,1)、B (2,4,3)、C (5,8,5)，则( )A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形 答案：D5．(2014·福建师大附中高一期末测试)点(1,1，－2)关于yOz 平面的对称点的坐标是________．答案：(－1,1，－2) 6．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)空间直角坐标系中的点A (2,3,5)与B (3,1,4)之间的距离是________．答案：67. 在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是________．答案：(2,0,3)_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．点P (－1,2,0)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上 答案：C2．点P (－1,2,3)关于xOy 坐标平面对称点的坐标是( )A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3) 答案：C3．已知A (1,0,2)、B (1，－3,1)，点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为( )A ．(－3,0,0)B ．(0，－3,0)C ．(0,0，－3)D ．(0,0,3) 答案：C4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A (－6，－6，－6)、B (8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )A ．143B ．314C ．542D ．425 答案：A5.已知一长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA 1＝2，AB ＝6，AD ＝4.求长方体各顶点的坐标．答案：由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，∴A 1(3,2,1)、B 1(－3,2,1)、C 1(－3，－2,1)、D 1(3，－2,1)，A (3,2，－1)、B (－3,2，－1)、 C (－3，－2，－1)、D (3，－2，－1).能力提升6．点A (－3,1,5)、B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2答案 B7. 以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 答案：C8. 点M (2，－3,5)到x 轴的距离d 等于( )A.38B.34C.13D.29 答案：B9. 如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．答案：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz .依题设，B (2,2,0)、C (0,2,0)、E (0,2,1)、A 1(2,0,4)．10. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．答案：建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A 1C 1|＝22， ∵|MC 1|＝2|A 1M |，∴|A 1M |＝232，∴M (23，23，4)．又C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1中点∴N (1,2,2)，∴|MN |＝(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2＝533.。
《空间直角坐标系》示范课教学设计【高中数学】
环节一空间直角坐标系【引入新课】思考：在平面向量中，我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？【探究新知】为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？答案：追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？答案：空间直角坐标系定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, }k. 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分．追问3：空间直角坐标系如何画呢？答案：先回想平面直角坐标系Oxy 的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i ，j 方向相同的数轴x 轴和y 轴，它们互相垂直、原点重合．与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz 时，让x 轴与y 轴所成的角为135︒（或45︒），即135xOy ︒∠=（或45︒），画z 轴与y 轴垂直，即90yOz ︒∠=．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题2： 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点A 与哪个向量的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点A 的位置由向量OA 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点A 的坐标与从原点出发的OA 坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手．追问2：在空间直角坐标系中如何定义OA 的坐标呢？ 答案：平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，i ，j 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x ，y 使得取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的两个单位向量，i ，j ，k 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使得OA x y =+i j k +z ，我们把有序实数组x y =+a i j ．我们把有序数对(),x y 叫做a 的坐标，记作(),x y =a ．(),,x y z 叫做OA 的坐标，记作(),,OA x y z =．所以，在单位正交基底{i ，j ，}k 下与向量OA 对应的有序实数组(x ，y ，)z ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记做A (x ，y ，)z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量a 又该如何定义它的坐标呢？ 答案：因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系Oxyz 中可以作OA =a . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使x y z =++a i j k ,有序实数组(x ，y ，)z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为(x =a ，y ，)z这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3： 在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A ，或任意一个向量OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标(),,x y z 吗？答案：过点A 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点B ，C 和D . 可以证明OA 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量分别为OB ，OC ，OD ，由向量加法的意义可知，OE OB OC +=,OA OE EA OE OD ++==,即OA OB OC OD ++=. 设点B C D ，和在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么OA x y z =++i j k ，即点A 或者向量OA 的坐标就是(x ，y ，)z .k yzxoi A (x ,y ,z )a思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点A 或任意一个向量a 的坐标呢？【知识应用】例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出D '，C ，A '，B '四点的坐标； （2）写出向量A B '',BB ',A C '',AC '的坐标.追问1：题目条件中的13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为什么是单位正交基底？答案：由图可知，OA 在x 轴上，且3OA =，所以1=13OA .同理，OC 在y 轴上，OD '在z 轴上，由4OC =，2OD '=知，1=14OC ，1=12OD '，所以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭是单位正交基底，等同于我们前面用到的{i ，j ，}k .追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？答案：有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影，进而得到坐标.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：（1）过空间点分别作x 轴、y 轴和z 轴的垂面；点A 的坐标给定的向量a 的坐标OA 的坐标应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定OA 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标； （3）得到空间点的坐标. 解：（1）()()()()0,0,2,0,4,0,3,0,2,3,4,2D C A B '''.（2）()0400,4,0,A B OC ''=++=i j k=()0020,0,2,B B OD ''-=+-=-=i j k()3403,4,0,A C A D D C OA+OC =''''''=+=-=-++-i j k()3423,4,2AC AC CC OA OC CC OA OC OD =''''=+=-++=-++=-++-i j k .问题4：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？ 答案：（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z 与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.问题5：如何求空间点或向量的坐标呢？答案：（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底{i ，j ，}k 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.第二课时 空间向量运算的坐标表示环节一：引入新课本章前半部分的主要内容： 我国著名数学家吴文俊先生曾指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说，就是研究数和形的科学.”中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”.在前面的学习中，我们已经掌握了空间直角坐标系的概念，进一步通过正交分解的方法将空间向量用唯一的有序实组表示出来，引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算.今天我们就循着数学家的足迹，大胆类比、猜想，把向量坐标运算从平面拓展到空间，完成一次从二维到三维，从形到数的跨越.环节二：探究新知为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1： 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1： 平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？ 答案：加法，减法，数乘，数量积.追问2： 你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？ 答案：设空间向量 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 猜()112233,,,a b a b a b +=+++a b()112233,,,a b a b a b -=a b ---()123,,,a a a =a 112233.a b a b a b ⋅=++a b追问3：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案： 结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明： 第一步：由空间向量基本定理，设{},,i j k 为空间的一个单位正交基底，由向量a 的坐标为123(,,)a a a ，则可将向量a 唯一分解为123a a a =++a i j k ， 同理可将向量b 表示为123b b b =++b i j k . 第二步： ()()123123a a a b b b ⋅=++⋅++a b i j k i j k111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅i i i j i k j i j j j k k i k j k k利用向量数量积的分配律以及======⋅⋅⋅1,⋅⋅⋅0,i i j j k k i j j k k i 得112233.a b a b a b ⋅=++a b其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 123123(,,),(,,),A a a a B b b b 则向量()112233,,AB b a b a b a =---.问题2： 在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1： 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 答案：设 1212(,),(,),a a b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ属于全体实数，用坐标表示为1212(,)(,),a a b b = 得到方程组1122,,a b a b =⎧⎨=⎩ 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a 1b 2−a 2b 1=0.类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ 属于全体实数.可以用坐标表示为123123(,,)(,,)a a a b b b =，得到方程组()112233,,.a b a b a b =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩R ，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.追问2： 这个充要条件能否表示为312123a a ab b b ==？ 答案： 显然，空间向量平行的充要条件不等价于312123a a ab b b ==，因为≠0b 的含义是b 的坐标分量123,,b b b 至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零.例如，当b 与坐标平面Oxy 平行时，30b =此时33a b 无意义.因此只有在b 与三个坐标平面均不平行，即123,,b b b 均不为零时才能有312123a a ab b b ==⇔∥a b .特殊地，当=0b 时，(0,0,0)=b .此时b 与任意向量都平行.追问3： 除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？答案： 设 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b222123a a a =⋅=++a a a . 112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b.设1111()P x ,y ,z , 2222()Px ,y ,z ，则()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=追问4：得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？答案：首先，建立空间直角坐标系Oxyz ，设1P , 2P 是空间中任意两点，则向量()1221212121.PP OP OP x x ,y y ,z z ---=-= 于是121212PP PP PP ⋅=，带入坐标，()()()22212212121PP x x +y y +z z ---=.所以()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=.这就是空间两点间的距离公式.因此，空间向量123(,,)a a a =a 的模可以理解为点123(,,)a a a 到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化.环节三：知识应用例1 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ,F 分别是1BB , 11D B 的中点.（1）求证1EF DA ⊥；（2）求AE 与1CD 所成角的余弦值.追问1： 两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：要证明1EF DA ⊥，只需证明1EF DA ⊥，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即10.EF DA =通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系.追问2： 向量EF 的坐标怎么求？答案： 因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).EF =-=--分析：因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题.追问3： 两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？答案：这二者是有区别的，它们的取值范围不同.具体来说， 两条直线夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而向量夹角的范围是[]0,π.当AE 与1CD 所成的角为锐角或直角时，直线AE 与1CD 所成的角和向量的夹角相等. 当AE 与1CD 所成的角为钝角时，直线AE 与1CD 所成的角为向量夹角的补角.解：（1）因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)EF =-=--. 得到向量EF 的坐标后，同理，又因为点()()12,0,2,0,0,0A D ,所以()12,0,2DA =. 所以()()11,1,12,0,22020.EF DA =--=-++= 所以1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥. （2）因为()()()()12,0,0,0,2,0,2,2,1,0,0,2A C E D ，所以()()()2,2,12,0,00,2,1AE =-=,()()()10,0,20,2,00,2,2CD =-=-, 15,=22AE DF =.所以()10022122AE CD =⨯+⨯-+⨯=-.所以111cos ,AE CD AE CD AE CD ===所以, AE 与1CD 所成角为向量AE ，向量1CD 夹角的补角.所以, AE 与1CD 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题.问题3：回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （1）空间向量运算的坐标表示空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减； 空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数λ乘原来向量的相应坐标； 空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题2.关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．课时检测1. (3,2,5),(1,5,1),--a =b =求： （1）+a b ； （2）6a ； （3）ab .2. (2,1,3),(4,2,),x --a =b =且⊥a b .求x 的值.3. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1BC 的中点, 1E ,1F 分别在棱11A B ,11C D 上,111114B E A B =，111114D F C D =. （1）求AM 的长.（2）求1BE 与1DF 所成角的余弦值.答案：1. （1） ()2,7,4+-a b =；（2）()618,12,30-a =；（3）2a b =；2. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－8－2＋3x ＝0，解得x ＝103；3. （1）AM =（2） 1517．。
空间直角坐标系》教案(人教A版必修
空间直角坐标系》教案(人教A版必修)第一章：空间直角坐标系的建立1.1 坐标系的定义与分类让学生理解坐标系的概念，掌握坐标系的分类及特点通过实例让学生了解坐标系在几何图形中的应用1.2 空间直角坐标系的定义与结构让学生理解空间直角坐标系的定义，掌握其结构特点通过实例让学生了解空间直角坐标系在空间几何中的应用第二章：点的坐标2.1 坐标的概念与表示方法让学生理解坐标的概念，掌握坐标的表示方法通过实例让学生了解坐标在空间几何中的应用2.2 点的坐标与坐标轴的关系让学生了解点的坐标与坐标轴的关系，掌握坐标轴上点的坐标特点通过实例让学生了解坐标轴上点的坐标在空间几何中的应用第三章：直线的方程3.1 直线方程的概念与表示方法让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法通过实例让学生了解直线方程在空间几何中的应用3.2 直线方程的求解方法让学生掌握直线方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解直线方程通过实例让学生了解直线方程的求解方法在空间几何中的应用第四章：平面的方程4.1 平面方程的概念与表示方法让学生理解平面方程的概念，掌握平面方程的表示方法通过实例让学生了解平面方程在空间几何中的应用4.2 平面方程的求解方法让学生掌握平面方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解平面方程通过实例让学生了解平面方程的求解方法在空间几何中的应用第五章：空间几何图形与坐标系5.1 空间几何图形在坐标系中的表示让学生了解空间几何图形在坐标系中的表示方法，掌握坐标系中几何图形的性质通过实例让学生了解空间几何图形在坐标系中的应用5.2 空间几何图形的位置关系与坐标系的变换让学生了解空间几何图形的位置关系，掌握坐标系变换的方法通过实例让学生了解坐标系变换在空间几何中的应用第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离让学生理解空间两点间的距离公式，掌握如何计算空间两点间的距离通过实例让学生了解空间两点间距离在几何中的应用6.2 空间角度的计算让学生理解空间角度的计算方法，掌握如何计算空间角度通过实例让学生了解空间角度在几何中的应用第七章：向量及其应用7.1 向量的概念与表示方法让学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法通过实例让学生了解向量在空间几何中的应用7.2 向量的运算让学生掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘通过实例让学生了解向量运算在空间几何中的应用第八章：空间解析几何8.1 解析几何的基本概念让学生理解解析几何的基本概念，如参数方程、极坐标方程等通过实例让学生了解解析几何在空间几何中的应用8.2 解析几何与坐标系的转换让学生掌握如何将解析几何问题转换为坐标系问题，以及如何利用坐标系解决解析几何问题通过实例让学生了解解析几何与坐标系的转换在空间几何中的应用第九章：空间几何体的性质与判定9.1 空间几何体的性质让学生了解空间几何体的基本性质，如表面积、体积、对称性等通过实例让学生了解空间几何体的性质在几何中的应用9.2 空间几何体的判定让学生掌握如何判定空间几何体的类型，如球、圆柱、锥体等通过实例让学生了解空间几何体的判定在几何中的应用第十章：空间几何的综合应用10.1 空间几何问题的一般解决方法让学生掌握解决空间几何问题的基本方法，如分割、投影、对称等通过实例让学生了解空间几何问题的一般解决方法10.2 空间几何在实际问题中的应用让学生了解空间几何在实际问题中的应用，如建筑设计、物理学中的力学问题等通过实例让学生了解空间几何在实际问题中的应用重点和难点解析重点环节一：坐标系的概念与分类补充和说明：本环节需要重点关注坐标系的定义、各种坐标系的结构特点以及坐标系在几何图形中的应用。
空间直角坐标系示范课市公开课金奖市赛课一等奖课件
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例4．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)中
点坐标是（ B）
（A） (7 ,1, 2)
2
（B） (1 , 2,3) 2
（C）(－12，3，5) （D）(1 , 4 , 2)
33
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2.4.1 空间直角坐标系
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一．空间直角坐标系
为了拟定空间点位置，我们在空间中取 一点O作为原点，过O点作三条两两垂直 数轴，通惯用x、y、z 表示. 轴方向通常这 样选择：从z轴正方向看，x轴半轴沿逆时 针方向转90°能与y轴半轴重叠. 这时，我 们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz， O叫做坐标原点.
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4．卦限 在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空 间分成八部分，每一部分称为一个卦限；
在坐标平面xOy上方四个象限相应卦限 称为第I、第II、第III、第IV卦限；
在下面卦限称为第V、第VI、第VII、第 VIII卦限；
在每个卦限内，点坐标各分量符号是不 变，比如在第I卦限，三个坐标分量x、y、 z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z 均为正数；
xOz平面（通过x 轴和z轴平面）是坐标 形如（x，0，z）点构成点集，其中x、z 为任意实数；
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3．坐标轴上点特性： x轴是坐标形如（x，0，0）点构成点
集，其中x为任意实数； y轴是坐标形如（0，y，0）点构成点集，
其中y为任意实数； z轴是坐标形如（0，0，z）点构成点集，
其中z为任意实数。
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例1．正方体棱长为2，求各顶点坐标. 解：由图可知，正方体各个顶点坐标下 列: A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)， A1(0，0，2)，B1(2，0，2)， C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，
空间直角坐标系》教案(人教A版必修
空间直角坐标系》教案(人教A版必修)一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义。
2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置。
3. 掌握空间直角坐标系中线段和距离的计算方法。
4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题。
二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。
2. 在空间直角坐标系中确定点的位置。
3. 空间直角坐标系中线段和距离的计算方法。
三、教学难点1. 空间直角坐标系的建立和理解。
2. 在空间直角坐标系中进行距离计算。
四、教学准备1. 教学课件或黑板。
2. 空间直角坐标系的模型或图示。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过实际例子，如确定一个物体的位置，引出空间直角坐标系的概念。
2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍坐标轴和坐标点。
3. 演示：通过模型或图示，展示空间直角坐标系的建立和应用。
4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系的知识。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调空间直角坐标系在实际问题中的应用。
6. 布置作业：布置一些有关空间直角坐标系的练习题，让学生课后巩固。
六、教学内容：点与坐标的关系1. 教学目标：学生能够理解点的坐标与其在空间直角坐标系中的位置的关系。
学生能够通过坐标来识别和描述空间中的点。
2. 教学重点：点的坐标与空间位置的对应关系。
3. 教学难点：理解和计算点在不同象限中的坐标特征。
4. 教学准备：坐标系图示和模型。
相关练习题和答案。
5. 教学过程：引入：通过实际例子，如确定房间中家具的位置，引导学生思考坐标的作用。
讲解：讲解点的坐标是如何反映其在坐标系中的位置，区分各象限内点的坐标特征。
演示：通过图示和模型，展示不同象限内点的坐标表示。
练习：让学生通过练习题，运用坐标描述空间中的点。
总结：总结点与坐标的关系，强调坐标在描述空间位置中的应用。
布置作业：布置一些有关点与坐标关系的练习题，让学生课后巩固。
七、教学内容：直线与坐标系1. 教学目标：学生能够理解直线在空间直角坐标系中的表示方法。
《空间直角坐标系》教案-公开课-优质课(人教A版必修二精品)
《4.3.1空间直角坐标系》教案一、学习目标1、在空间直角坐标系中确定点的坐标；2、给出点的坐标能在空间直角坐标系中找出点的位置.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生对课堂整体的把握二、教学过程同学们都看过2009年国庆大阅兵吧？在阅兵的时候，天上的战机风驰电掣，速度如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，撞机的可能性为零.这是为什么呢？这是因为战机的航线都是统一规定的，而划定航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线在地面的高度.为此，我们要学习空间直角坐标系.阅读教材134页内容，回答问题（空间直角坐标系）<1>通过自学教材，回答一下我们怎么建立空间直角坐标系？<2>空间直角坐标系是怎样确定点的位置的？<3>请同学们学习右手直角坐标系的内容，并理解之.结论：<1>如图所示，''''C B A D OABC 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线'OD OC OA 、、的长为单位长，建立三条数轴：z y x 、、轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，z y x 、、轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为zox yoz xoy 、、平面；<2>如图所示，设点M 为空间一定点，过点M 分别作垂直于z y x 、、轴的平面，交点依次为R Q P 、、，设点R Q P 、、在z y x 、、轴上的坐标分别为z y x 、、，那么点M 就对应唯一确定的有序实数组（z y x ,,）.反过来，给定有序实数组（z y x ,,），我们可以在z y x 、、轴上分别取坐标为实数z y x 、、的点R Q P 、、，分别过这三点各做一个平面，分别垂直于z y x 、、轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（z y x ,,）确定的点M.这样，空间一点M 的坐标可以用有序实数组（z y x ,,）表示，有序实数组（z y x ,,）叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M （z y x ,,）.其中z y x ,,分别叫做点M 的横坐标、纵坐标、竖坐标.<3>在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.【教学效果】：关键是让学生能找出空间中点的坐标.三、练习与巩固 练习一：自学教材例1、2，检查一下自己能否顺利的写出空间中直角坐标系中点的坐标.同学们，这是我们这节课必须掌握的内容，一定要认真的完成，达到非常熟练的程度. 练习二：完成教材136页练习1、2、3，检验是否完成了今天的学习目标.【教学效果】：通过巩固与练习，让学生能更好的把握课堂内容和重点.四、小结这节课主要学习了空间直角坐标系，要求学生能建立恰当的直角坐标系，能准确的找到点的坐标，并能够根据坐标确定点的位置.。
高中数学《空间直角坐标系》教案11新人教A版必修2（优秀范文五篇）
高中数学《空间直角坐标系》教案11新人教A版必修2（优秀范文五篇）第一篇：高中数学《空间直角坐标系》教案11 新人教A版必修24.3.1 空间直角坐标系教案教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。
教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.复习准备：1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图，OBCD-D,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA，OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
2.右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
3.有序实数组1）空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标思考：原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。
例题1：在长方体OBCD-D,A,B,C,中，OA=3,oC=4,OD,=2.写出D，C,A，B,四点坐标.（建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。
）4.练习：V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
《空间直角坐标系》（人教）第一章：空间直角坐标系的引入1.1 学习目标(1) 了解空间直角坐标系的定义和意义。
(2) 学会在空间直角坐标系中确定一个点的坐标。
1.2 教学内容(1) 空间直角坐标系的定义：三维空间中的一个参照系统，由三个互相垂直的坐标轴组成。
(2) 坐标轴的表示：通常用x, y, z表示三个坐标轴。
(3) 坐标点表示：一个点在空间直角坐标系中的位置由一对有序实数(x, y, z)表示。
1.3 教学活动(1) 利用实际例子（如地图上的位置表示）引出空间直角坐标系的定义。
(2) 通过图形和模型展示坐标轴的互相垂直关系。
(3) 让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中表示一个点。
1.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括在给定的坐标系中表示不同点的坐标。
(2) 设计一个小项目，要求学生自己创造一个坐标系，并标出一些特定的点。
第二章：坐标系的转换2.1 学习目标(1) 学会在不同坐标系之间进行转换。
(2) 理解坐标系转换的原理和意义。
2.2 教学内容(1) 坐标系之间的转换：通过变换矩阵实现不同坐标系之间的转换。
(2) 变换矩阵的定义和性质：变换矩阵是一个方阵，用于描述坐标系的转换关系。
2.3 教学活动(1) 通过图形和实例解释坐标系转换的原理。
(2) 引导学生学习变换矩阵的定义和性质。
(3) 进行实际操作，让学生学会使用变换矩阵进行坐标系之间的转换。
2.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括使用变换矩阵进行坐标系转换。
(2) 设计一个小项目，要求学生自己创建一个坐标系转换问题，并给出解答。
第三章：坐标系的应用3.1 学习目标(1) 学会使用坐标系解决实际问题。
(2) 了解坐标系在各个领域中的应用。
3.2 教学内容(1) 坐标系在几何中的应用：通过坐标系解决几何问题，如计算距离、角度等。
(2) 坐标系在物理学中的应用：描述物体的运动轨迹和速度等。
3.3 教学活动(1) 通过实际例子展示坐标系在几何中的应用。
空间直角坐标系教案
空间直角坐标系教案教案标题：空间直角坐标系教案教案目标：1. 理解空间直角坐标系的概念和基本要素；2. 掌握在空间直角坐标系中表示点、直线和平面的方法；3. 能够进行空间直角坐标系中的简单几何问题求解。
教学重点：1. 空间直角坐标系的概念和基本要素；2. 空间直角坐标系中点、直线和平面的表示方法；3. 空间直角坐标系中的简单几何问题求解。
教学难点：1. 空间直角坐标系中点、直线和平面的表示方法；2. 空间直角坐标系中的简单几何问题求解。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、空间直角坐标系的示意图、教学板书；2. 学生准备：课本、练习册。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过引入一个与学生生活相关的问题，如“你们在学校的哪个位置可以看到最远的地方？”来引起学生对于空间概念的思考，并激发学生的学习兴趣。
Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过投影仪展示空间直角坐标系的示意图，向学生解释空间直角坐标系的概念和基本要素，包括三个坐标轴（x轴、y轴和z轴）、原点和坐标轴的正负方向。
教师可以结合实际生活中的例子，如建筑物的坐标定位等，让学生更好地理解概念。
Step 3：点的表示方法（10分钟）教师通过示意图和板书，向学生介绍点在空间直角坐标系中的表示方法。
教师可以选取几个具体的点进行示范，让学生通过观察和思考找出点的表示规律，并进行练习。
Step 4：直线和平面的表示方法（15分钟）教师通过示意图和板书，向学生介绍直线和平面在空间直角坐标系中的表示方法。
教师可以选择几个具体的直线和平面进行示范，让学生通过观察和思考找出直线和平面的表示规律，并进行练习。
Step 5：问题求解（15分钟）教师出示一些简单的几何问题，要求学生利用空间直角坐标系的知识进行求解。
教师可以引导学生分析问题，确定解题思路，并指导学生进行计算和推理。
Step 6：小结（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，并强调学生在课后需要进行练习巩固所学知识。
空间直角坐标系示范课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
问题引入 平面坐标系中点
y
y O
P (x,y) xx
平面中点能够用有 序实数对(x，y)来
表示点
第4页
讲授新课
z
1、空间直角坐标系建立
•在空间取定一点O (原点)
1
•从O出发引三条两两垂直直线
•
O1
y
(坐标轴)
1
•选定某个长度作为单位长度 x
作图：普通 使 xOy 135,
yOz 90
z轴上点横坐标和纵坐标都为0
第19页
空间两点中点坐标公式
设点A（x1，y1，z1），点 B（x2， y2，z2），则线段AB中点M坐标如 何？
M (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
第20页
4.3.2 空间两点间距离公式
第21页
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
第30页
z Pz
P
反之：（x,y,z)相应唯一点P
Py
O
yy
x
Px
x
空间点P 11 有序数组 ( x, y, z)
第10页
DP=2 CP=4 P(2，4，0)
z
O
D
C
P
x
y
第11页
DP′=2
CP′=4
z
P′P=5 P(2，4，5)
P
O
Dy
C P′
x
第12页
P′D=2 P′C=4 P′P= - 5 P(2，4，-5)
| P1P2 | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1,y1,z1) OM
空间直角坐标系教案
空间直角坐标系教案教案：空间直角坐标系一、教学目标：1.掌握空间直角坐标系的基本概念和表示方法；2.理解空间直角坐标系在数学和物理中的应用；3.能够熟练使用空间直角坐标系解决相关问题。
二、教学重点：1.空间直角坐标系的概念和表示方法；2.空间直角坐标系的应用。
三、教学难点：1.理解三维空间直角坐标系的三个坐标轴及其方向；2.掌握使用空间直角坐标系表示空间点的方法。
四、教学过程：1.导入：通过实际例子引入空间直角坐标系的概念和应用。
（教师示范：例如，让学生想象一个立方体盒子，盒子内有一只蚂蚁，蚂蚁的位置如何描述？）2.空间直角坐标系的概念及表示方法：（教师介绍）（教师在黑板上画出空间直角坐标系）请注意，这里x、y、z轴是相互垂直的，并且z轴通常是向上的，但在一些特殊的实际问题中，z轴可能指向下方。
（教师示范）例如，假设有一个点P，它在x轴上的坐标是3，y轴上的坐标是-2，z轴上的坐标是5、我们可以用P(3,-2,5)来表示点P在空间直角坐标系中的位置。
3.空间直角坐标系的应用：（教师例举实际例子）4.课堂练习：（教师出题）请同学们根据以下信息，用空间直角坐标系表示出对应的点。
1)点A位于x轴上，其坐标为4；2)点B的y轴坐标为-3，z轴坐标为2；3)点C位于z轴上，其坐标为-6（学生练习）请同学们完成上述题目，并在纸上标出相关坐标。
（教师核对）请同学们将答案说出来，并进行核对。
五、课堂总结：通过本节课的学习，我们了解了空间直角坐标系的基本概念和表示方法，掌握了用坐标轴表示空间点的方法，并了解了空间直角坐标系在数学和物理中的应用。
六、作业布置：1.继续练习在空间直角坐标系中表示点的方法，并举一些实际例子；2.阅读相关教材，进一步了解空间直角坐标系在数学和物理中的应用。
七、教学反思：通过本节课的教学，学生对空间直角坐标系有了初步的了解，并能够熟练使用空间直角坐标系表示点的方法。
但是，部分学生在练习过程中存在困惑，需要进一步梳理和讲解。
空间直角坐标系》教案(人教A版必修
“空间直角坐标系”教案（人教A版必修）一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义，掌握空间直角坐标系的构成和基本概念。
2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。
3. 掌握空间直角坐标系中的距离和向量的概念，学会计算点之间的距离和向量的坐标表示。
4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。
2. 点在空间直角坐标系中的坐标表示。
3. 空间直角坐标系中点之间的距离计算。
4. 向量的坐标表示和运算。
三、教学难点1. 空间直角坐标系中点的位置确定。
2. 空间直角坐标系中距离的计算。
3. 向量的坐标表示和运算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究和思考来理解和掌握空间直角坐标系的知识。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画和图像来形象地展示空间直角坐标系的概念和运算。
3. 结合实际例子，让学生通过解决实际问题来运用空间直角坐标系的知识。
五、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和意义。
2. 空间直角坐标系的构成和基本概念。
3. 在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。
4. 空间直角坐标系中的距离和向量的概念。
5. 计算点之间的距离和向量的坐标表示。
教学过程：1. 引入：通过实际例子，引导学生思考如何在空间中确定点的位置。
2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍空间直角坐标系的构成和基本概念。
3. 演示：利用多媒体动画，展示空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示。
4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握空间直角坐标系的基本概念和运算方法，并能够在实际问题中运用空间直角坐标系的知识。
教师应该根据学生的实际情况，适当调整教学方法和节奏，确保学生能够顺利地掌握空间直角坐标系的知识。
〖2021年整理〗《空间直角坐标系》优秀教案
空间直角坐标系名师：周娟一、教学目标一核心素养通过这节课学习,理解空间直角坐标系的概念、体会平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系,会用三元有序实数组表示空间中的点,在直观想象、数学抽象中感受点的几何意义二学习目标1了解平面直角坐标系与空间直角坐标系之间的关系2理解空间直角坐标系的概念3掌握用三元有序实数组表示空间中的点的方法三学习重点1右手直角坐标系的特点2三元有序实数组的含义3空间中的点的表示方法四学习难点1左手系与右手系的差别2三元有序实数组各元素的几何意义3建立适当的空间直角坐标系确定空间中的点的坐标二、教学设计一课前设计1预习任务1读一读：阅读教材第134页至第136页,填空：从空间某一定点引三条两两垂直,且有相同单位长度的数轴：轴、轴、轴,这样就建立了一个空间直角坐标系点O叫做坐标原点,轴、轴、轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为O平面、O平面、O平面在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系2写一写：有序实数组的各元素名称是什么？空间一点M的坐标可以用三元有序实数组,,来表示,有序实数组,,叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M,,其中叫做点M的横坐标,叫做点M的纵坐标,叫做点M的竖坐标2预习自测1,2,3-作轴的垂线,交轴于点N,则垂足N的坐标为A1,0,0B0,2,0C0,0,3D0,0,－3答案：Da,b,c到坐标平面O的距离为B aC bD c答案：C1,2,3-关于平面O的对称点的坐标为A1,2,3B3-,2,1C3-,1,2D1-,2-,3答案：A二课堂设计1问题探究探究一重温数轴与平面,认识空间●活动①数形结合,重温数轴在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线决定数轴的因素有原点、来表示【设计意图】回忆数轴与实数之间的关系,体会数形结合的思想●活动②数形结合,重温平面在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴O和O,O称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直；②原点重合；③通常取向右、向上为正方向；④单位长度一般取相同的平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数,【设计意图】回忆平面与实数对之间的关系,体会数形结合的思想●活动③类比推广,认识空间在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性探究二探究建系与点的表示方法●活动①认清方向、合理建系观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立图１图２观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴O,O,O称为轴、轴和轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－,其中O 叫坐标原点,轴、轴和轴叫坐标轴如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面O平面,O平面,O平面由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长轴,当右手的四个手指从轴正向以90°的角度转向轴的正向时,大拇指的指向就是轴的正向我们称这种坐标系为右手直角坐标系如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系注意：在平面上画空间直角坐标系O—时,一般使∠O=135°,∠O=90°即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在轴和轴上的都取原来的长度,轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差【设计意图】通过建系加深对空间几何性质的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫●活动②认清投影、分析点的位置特性观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？轴、轴和轴,它们与轴、轴和轴的交点分别为的坐标,并依次称,,,,的点M通常记为M,,反过来,一个有序数组,,,我们在轴上取坐标为的点的坐标,并依次称,和为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标如图2所示坐标为,,的点M通常记为M,,我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组,,之间的一一对应关系注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征如果点M在O平面上,则=0；同样,O面上的点,=0；O面上的点,=0；如果点M在轴上,则==0；如果点M在轴上,则==0；如果点M在轴上,则==0；如果M是原点,则===0空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t即,,,t,它表示在时刻t所处的空间位置是,,【设计意图】通过有序数组加深对点的认识,为后面空间中的点的表示做好铺垫探究三结合实例、探究空间中的点的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例１如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出D′在轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在O面上的点,=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求解：D′在轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是0,0,2同理C的坐标为0,4,0A′在O平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是3,0,2点B′在O平面上的射影是点B,因此它的横坐标与纵坐标同点B的横坐标与纵坐标相同,在O 平面上,点B的横坐标=3,纵坐标=4；点B′在轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标=2,所以点B′的坐标是3,4,2点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于轴、轴和轴,确定,和,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识●活动②互动交流、初步实践例2讲解课本例2活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为O平面,其他不变,来看这15个点的坐标解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在O平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为0,0,0、1,0,0、1,1,0、0,1,0、12,12,0;中层的钠原子全部在与O平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为12,0,12、1,12,12、12,1,12、0,12,12;上层的钠原子全部在与O平行的平面上,与轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为0,0,1、1,0,1、1,1,1、0,1,1、12,12,1思考：如果把原点取在中间的点上述两点的中点氯原子上,以中层面作为O平面,结果会怎样呢？解：把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在O平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为12,0,0、1,12,0、12,1,0、0,12,0;上层的钠原子全部在与O平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为0,0,12、0,1,12、1,0,12、1,1,12、12,12,12;下层的钠原子全部在与O平行的平面上,与轴交点的竖坐标是12-,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为0,0,12-、1,0,12-、1,1,12-、0,1,12-、12,12,12-点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同因此解题时要慎重建立空间直角坐标系【设计意图】通过讨论认识列举法与描述法的异同与表示集合中优劣,培养规范表达的基本功 2课堂总结知识梳理1空间直角坐标系的建立2空间直角坐标系中点的坐标的确定3空间直角坐标系中点的位置的确定4中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为122x x +,122y y +,122z z + 5空间直角坐标系中点的对称点的坐标重难点归纳1题目若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内,并且充分利用几何图形的对称性2求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的投影或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号,确定第三个坐标三课后作业基础型自主突破,B 的坐标分别为,－,,－,－,－,则A ,B 两点的位置关系是轴对称轴对称轴对称D 关于原点对称答案：B解析：【知识点】点的对称性【数学思想】对称变换【解题过程】由A 、B 两点的坐标可知关于轴对称点拨：根据点的对称性进行判断a ,b ,c 到坐标平面O 的距离是A|a |B|b |C|c |D以上都不对答案：C解析：【知识点】点的坐标表示【数学思想】几何投影【解题过程】设点的坐标是________答案：5,2,－7解析：【知识点】点的对称性【数学思想】对称变换【解题过程】设M坐标为,,,则有1＝错误!,2＝错误!,－3＝错误!,解得＝5,＝2,＝－7,所以M5,2,－7 点拨：根据中点公式进行计算8如下图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,B∥AB,的坐标【知识点】点的对称性与中点公式【数学思想】对称变换【解题过程】因为点A－4,2,3关于坐标原点的对称点A1的坐标为4,－2,－3,点A14,－2,－3关于O 平面的对称点A2的坐标为4,2,－3,点A24,2,－3关于轴的对称点A3的坐标为－4,－2,－3,所以AA3中点M的坐标为－4,0,0点拨：根据中点公式进行计算答案：－4,0,010如下图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长均为2,侧棱AA1⊥底面ABC,建立适当的坐标系写出各顶点的坐标【知识点】点的对称性【数学思想】对称变换【解题过程】取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BO⊥AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系因为三棱柱各棱长均为2,所以OA＝OC＝1,OB＝错误!,可得A0,－1,0,B错误!,0,0,C0,1,0,A10,－1,2,B1错误!,0,2,C10,1,2点拨：根据中点公式进行计算答案：A0,－1,0,B错误!,0,0,C0,1,0,A10,－1,2,B1错误!,0,2,C10,1,2自助餐－4,－2,3关于坐标平面O及轴的对称点的坐标分别是a,b,c,e,f,d,则c与e的和为B－7C－1答案：D解析：【知识点】点的对称性与中点公式【数学思想】对称变换【解题过程】点的三个坐标同号,则点M的坐标为________答案：1,1,1或－1,－1,－1解析：【知识点】点的坐标表示【数学思想】对称变换【解题过程】分别过点1,0,0,0,1,0,0,0,1作与O平面,O平面,O平面平行的平面,三个平面的交点即为M 点,其坐标为1,1,1；或过点－1,0,0,0,－1,0,0,0,－1作与O 平面,O 平面,O 平面平行的平面,三个平面的交点即为M 点,其坐标为－1,－1,－1点拨：根据几何意义进行判断′在轴正半轴上,|OP ′|=2,PP ′在O 平面上,且垂直于轴,|PP ′|=1,求点P 的坐标为_________答案：2,0,1或2,0,-1解析：【知识点】几何投影【数学思想】坐标表示【解题过程】点P 在O 平面的两侧都有可能,它的坐标为2,0,1或2,0,-1点拨：根据几何意义进行计算5如下图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E ,F 点的坐标答案：1,1,21,21,21,1 解析：【知识点】几何投影【数学思想】坐标表示【解题过程】方法一:从图中可以看出E 点在O 平面上的射影为B ,而B 点的坐标为1,1,0,E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为1,1,21;F 点在O 平面上的射影为G ,而G 点的坐标为21,21,0,F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为21,21,1 方法二:从图中条件可以得到B 11,1,1,D 10,0,1,B 1,1,0E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为201,211,211+++=1,1,21,F 点的坐标为211,201,201+++=21,21,1 点拨：根据几何意义进行计算6如下图所示,AF ,DE 分别是⊙O ,⊙O 1的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,AD ＝8,BC 是⊙O 的直径,AB ＝AC ＝6,OE ∥AD ,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A ,B ,C ,D ,E ,F 的坐标答案：1,1,21,21,21,1 解析：【知识点】几何投影【数学思想】坐标表示【解题过程】因为AD 与两圆所在的平面均垂直,OE ∥AD ,所以OE ⊥平面ABC ,又AF 平面ABC ,BC 平面ABC ,所以OE ⊥AF ,OE ⊥BC ,又BC 是圆O 的直径,所以OB ＝OC ,又AB ＝AC ＝6,所以OA ⊥BC ,BC ＝6错误!,所以OA ＝OB ＝OC ＝OF ＝3错误!如图所示,以O 为原点,以OB ,OF ,OE 所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,所以A 0,－3错误!,0,B 3错误!,0,0,C －3错误!,0,0,D 0,－3错误!,8,E 0,0,8,F 0,3错误!,0点拨：根据几何意义进行计算。
空间直角坐标系》教案(人教A版必修
空间直角坐标系》教案(人教A版必修)一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义。
2. 学会在空间直角坐标系中确定点的坐标。
3. 掌握空间直角坐标系中线段、距离和角的计算方法。
二、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和建立。
2. 点的坐标及其表示方法。
3. 线段的坐标表示和计算。
4. 距离的计算。
5. 角的计算。
三、教学重点与难点1. 空间直角坐标系的建立和点的坐标表示。
2. 空间直角坐标系中线段、距离和角的计算。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间直角坐标系的相关概念和性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间直角坐标系及其相关几何图形。
3. 运用实例分析，让学生在实际问题中体验空间直角坐标系的应用价值。
五、教学过程1. 导入新课：通过简单的实例，引导学生思考如何在空间中确定一个点的位置。
2. 讲解空间直角坐标系的定义和建立，让学生理解坐标系的意义。
3. 教授点的坐标表示方法，让学生学会如何在坐标系中表示一个点。
4. 利用多媒体课件，展示线段在空间直角坐标系中的表示和计算方法。
5. 讲解距离和角的计算方法，让学生掌握空间直角坐标系中距离和角的计算。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
8. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固空间直角坐标系的相关知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对空间直角坐标系的掌握情况。
2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其对知识的运用能力。
3. 课后作业：批改作业，检查学生对课堂内容的掌握情况。
七、教学反思1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，确保学生能够较好地掌握空间直角坐标系的知识。
2. 关注学生在课堂上的参与度，提高课堂教学效果。
3. 结合课后作业的完成情况，了解学生对重点知识的掌握，为后续教学提供参考。
八、教学拓展1. 空间直角坐标系在现实生活中的应用：如建筑设计、航空航天等领域。
《空间直角坐标系》教学设计
《空间直角坐标系》教学设计教学设计：空间直角坐标系一、教学目标：1.了解空间直角坐标系的概念，掌握坐标系的构建方法；2.学会在空间直角坐标系中表示一个点；3.能够识别和绘制一个物体在空间中的位置；4.能够用坐标系进行简单的空间运算。
二、教学重难点：1.如何建立空间直角坐标系；2.在坐标系中表示点和物体的位置；3.用坐标进行简单的空间运算。
三、教学准备：1.教学工具：投影仪、白板；2.教学材料：教科书、绘图工具等。
四、教学过程：1.引入新知识（10分钟）教师通过投影仪或板书展示空间直角坐标系的概念和作用，引导学生思考在平面上表示一个点需要多少个坐标，而在空间中表示一个点又需要多少个坐标。
然后，介绍空间直角坐标系的三个坐标轴以及坐标轴的正方向。
2.建立空间直角坐标系（10分钟）教师在白板上以适当的比例，绘制出三个相互垂直的坐标轴，并在坐标轴上标出正方向。
然后，将坐标轴连接起来，形成一个空间直角坐标系。
3.表示点和物体的位置（20分钟）教师通过实际的案例，例如：“请用空间直角坐标系表示出教室中黑板的位置”，引导学生认识到点在坐标系中的表示方法。
然后，教师逐步讲解如何确定点的坐标，并要求学生根据案例自己进行实践。
4.绘制图形（20分钟）教师通过绘制一个简单的立方体图形，引导学生理解如何在空间直角坐标系中表示一个物体的位置。
然后，要求学生根据案例绘制图形。
5.空间运算（20分钟）教师通过实际问题，例如：“请计算点A(2,3,4)与点B(5,6,7)之间的距离”，引导学生认识到在空间直角坐标系中进行简单的空间运算的方法。
然后，教师逐步讲解如何进行坐标的加减法，并要求学生根据案例进行实践。
6.练习与作业（20分钟）教师布置相关的练习题，要求学生巩固所学的知识，并留作业：完成教科书上的相关练习。
五、课后反思：通过这堂课的教学，学生能够建立起空间直角坐标系的概念，掌握如何在坐标系中表示一个点和一个物体的位置，以及进行简单的空间运算。
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和基本概念。
2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置。
3. 掌握空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法。
4. 能够应用空间直角坐标系解决实际问题。
二、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和基本概念。
2. 如何在空间直角坐标系中确定点的位置。
3. 空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法。
4. 实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间直角坐标系的定义和基本概念，确定点的位置方法，线段、距离和角度的计算方法。
2. 教学难点：空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究和讨论来理解空间直角坐标系的概念和方法。
2. 使用多媒体课件和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解空间直角坐标系。
3. 结合实例和练习题，培养学生的实际应用能力。
五、教学过程1. 导入：通过简单的实例引入空间直角坐标系的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和基本概念，引导学生理解并掌握相关知识。
3. 实践：让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中确定点的位置。
4. 讲解：讲解空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法，引导学生理解和掌握相关知识。
5. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，培养实际应用能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。
7. 作业：布置作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对空间直角坐标系概念的理解程度。
2. 练习题：布置练习题，评估学生对基本知识和计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：使用课件展示空间直角坐标系的图像和动画，帮助学生直观理解。
2. 实物模型：使用模型展示空间直角坐标系，让学生更直观感受。
3. 练习题库：准备不同难度的练习题，适应不同学生的学习需求。
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
【参考教案】《空间直角坐标系》（人教）一、教学目标：1. 让学生理解空间直角坐标系的定义和基本概念，掌握坐标轴和坐标点的表示方法。
2. 培养学生运用空间直角坐标系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 空间直角坐标系的定义和基本概念。
2. 坐标轴和坐标点的表示方法。
3. 空间直角坐标系在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间直角坐标系的定义，坐标轴和坐标点的表示方法。
2. 教学难点：空间直角坐标系在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，通过实物模型和图形展示空间直角坐标系的概念和应用。
2. 运用讲解法，引导学生理解坐标轴和坐标点的表示方法。
3. 利用案例教学法，分析实际问题，培养学生运用空间直角坐标系解决问题的能力。
4. 组织小组讨论，激发学生思考，提高学生的合作能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过展示现实生活中的实例，引发学生对空间直角坐标系的兴趣。
2. 讲解空间直角坐标系的定义和基本概念，引导学生掌握坐标轴和坐标点的表示方法。
3. 演示空间直角坐标系的应用，分析实际问题，培养学生运用空间直角坐标系解决问题的能力。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和应用体会。
6. 布置作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问。
针对学生的不同需求，可以适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。
要注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，激发学生对数学知识的兴趣。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和小组讨论，评估学生对空间直角坐标系的基本概念和表示方法的掌握程度。
2. 设计一些实际问题，让学生运用空间直角坐标系进行解答，以此评价学生的应用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度和合作能力进行评价。
七、教学资源：1. 准备空间直角坐标系的实物模型或图形展示。
空间直角坐标系 优秀教案
【设计与执教者】：单位：番禺石基三中，姓名：温必安，e-mail地址：anzzy2004@
【学情分析】：初中已学习过平面任意两点的距离公式，包括距离公式的推导过程，在此基础上类比学习空间两点距离公式，学生基础较为扎实，要求公式推导过程要自己写出来。
通过生活中的问题情景去引导学生对学习本节课的内容产生兴趣。
3．那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：讨论、交流，猜测，踊跃回答．
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
4．空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成。
师：引导学生复习旧知识，从而导入新课．
生：齐声回答．|AB|= ，
复习，为新课的开展做好铺垫。
2、问题情景：用尺子课测量出砖头的长、宽、高，那么怎么测量出它的对角线长度呢？
师：引导学生讨论，能否通过间接方法去测量呢？如果给三块砖有没有什么办法可以测量到？
生：讨论、交流，操作．
师：如果给三块砖，按照如图摆放直接测量AC即可。
生：在教师的指导下作答
得出
从特殊的情况入手，化解难度，引导学生分析解决问题从特殊到一般的方法来解决。
5．如果 是定长r,那么 表示什么图形？
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程 表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由，讨论交流．
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程 表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
证明：∵
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空间直角坐标系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景
（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示
2．过程与方法
建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3．情态与价值观
通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.
（二）教学重点和难点
空间直角坐标系中点的坐标表示.
（三）教学设计
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入（1）我们知道数轴上的任意一点M
都可用对应一个实数x表示，建立了
平面直角坐标系后，平面上任意一点
M都可用对应一对有序实数(x，y)表
示。
那么假设我们对立一个空间直角
坐标系时，空间中的任意一点是否可
用对应的有序实数组(x，y，z)表示
出来呢？
师：启发学生联想思考，
生：感觉可以
师：我们不能仅凭感觉，我
们要对它的认识从感性化提
升到理性化.
让学生体会到
点与数（有序
数组）的对应
关系.
概念形成（2）空间直角坐标系该如何建立
呢？
师：引导学生看图[1]，单位
正方体OABC–
D′A′B′C′，让学生认识
该空间直角系O –xyz中，
什么是坐标原点，坐标轴以
体会空间直角
坐标系的建立
过程.
[1] 及坐标平面.
师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.
（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
[2] 师：引导学生观察图[2]，
生：点M对应着唯一确定的
有序实数组(x，y，z)，x、y、
z分别是P、Q、R在x、y、z
轴上的坐标.
师：如果给定了有序实数组
(x，y，z)，它是否对应着空
间直角坐标系中的一点呢/
生：（思考）是的
师：由上我们知道了空间中
任意点M的坐标都可以用有
序实数组(x，y，z)来表示，
该数组叫做点M在此空间直
角坐标系中的坐标，记M(x，
y，z)，x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，z叫做
点M的竖坐标.
师：大家观察一下图[1]，你
能说出点O，A，B，C的坐标
吗？
生：回答
学生从（1）中
感性向理性过
渡.
应用
举例
（4）例1 如图，在长方体OABC–
D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 师：让学生思考例一一会，
学生作答，师讲评。
师：对于例二的讲解，主要
是引导学生先要学会建立合
学生在教师的
指导下完成，
加深对点的坐
标的理解，例2
4，|OD′| = 2.写出D′、C、A′、B′四点的坐标.
解：D′在z轴上，且O D′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，2).
点C在y轴上，且O D′ = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).
同理，点A′的坐标是(3，0，2).
点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B
的横坐标x与纵坐标y相同.在xOy 平面上，点B横坐标x = 3，纵坐标y= 4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′
的竖坐标z = 2.
所点B′的坐标是(3，4，2)
例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为1
2
的小正方体堆积成的正方体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子适的空间直角坐标系，然后
才涉及到点的坐标的求法。
生：思考例一、例二的一些
特点。
总结如何求出空间中
的点坐标的方法。
更能体现出建
立一个合适的
空间直角系的
重要性
所在位置的坐标.
解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，11
(,,0)
22
；
中层的原子所在的平面平行于xOy
平面，与z轴交点的竖坐标为1
2
，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是1111
(,0,),(1,,)
2222
，
1111
(,1,),(0,,)
2222
；
上层的原子所在的平面平行于xOy
平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，11
(,,1)
22
（5）练习2 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′于
B′D′相交
于点P.分别
写出点C、B′、P的坐标. 师：大家拿笔完成练习2然
后上黑板来讲解
生：完成
解：C、B′、P各点的坐标
分别是(0，4，0)，(3，4，
3)，3(,2,3)
2
学生在原有小
结的经验的基
础上，动手操
作，并且锻炼
学生的口才
归纳总结（6）今天通过这堂课的学习，你能
有什么收获？
生：谈收获
师：总结
让学生的自信
心得到增强
课外布置作业见习案4.3的第一课时学生独立完成巩固所学知识
练习
备选例题
例1 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.
【解析】C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)，
B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，所以B′（3，4，3）.
P为正方形的对角线交点，坐标为
11 (1,,)
22
.
例2 如图，正方体ABCD–A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B
1
关于原点D的对称点坐标.
【解析】由B(1，1，0)，B1(1，1，1)
则中点E为
1 (1,1,)
2
，
由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
则中点
11 (,,1)
22
F.
设B1关于点D的对称点M(x0，y0，z0)，即D为B1M的中点，因为D(0，0，0)，
所以
1
21
1
01
2
1
1
2
x
x
y
y
z
z
+
⎧
=
⎪
=-
⎧
⎪
-
⎪⎪
==-
⎨⎨
⎪⎪=-
⎩
+
⎪
=
⎪
⎩
得，
所以M (–1，–1，–1 ).。