五年级奥数讲义必备专题第11讲.染色与操作问题.学生版

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染色与操作

【第14讲染色与操作】【练习1】（超常班）【分析】将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个12⨯的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而12⨯的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。

（超常3班）【分析】如图所示，将这14个小方格黑、白相间染色，有6个黑格，8个白格。

相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

（超常2班、超常1班）【分析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。

用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。

要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。

但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。

【练习2】（超常班）【分析】如图所示，相邻座位总是一黑一白；25个座位分为12白13黑；因为只有12个白座位，所以原来坐在黑座位上的13人不可能都换到白座位上。

所以不能换成。

（超常3班、超常2班）【分析】划一个57⨯的方格表，其中每一个方格表示一个座位。

将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。

因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。

但实际图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

（超常1班）【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。

所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。

而小方格为5525⨯=个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。

于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。

【练习3】（超常班、超常3班、超常2班、超常1班）【分析】开始时染黑4个方格，这4个方格的总周长不会超过4416⨯=，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。

小学奥数杂题染色问题【三篇】

小学奥数杂题染色问题【三篇】
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的
房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是
否能够找到．
【第二篇】
展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入
口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
答案：
不能.对展室实行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入
口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个
展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
【第三篇】
染色问题基本解法：
三面涂色和顶点相关 8个顶点。

两面染色和棱长相关。

即新棱长（棱长-2）×12
一面染色和表面积相关。

同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6
0面染色和体积相关。

用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

奥数：小学奥数系列：第11讲.全等三角形中的倍长类中线.学生版 (2)

第十一讲全等三角形中的倍长类中线三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。

为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲版块一、倍长中线【例1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA【例3】已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例4】已知AM 为ABC ∆的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例5】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F EDCBA【巩固】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【例6】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例7】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【例10】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA【例11】如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB AB''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．D C B AC'B'A'【例12】如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBA【巩固】已知在ABC ∆中，AD 是中线，P 是AD 上的任意一点，CF AB ∥且交BP 的延长线于点F ，BF 交AC 于F ，求证2PB PE PF = ．EFPCBDA版块二、中位线的应用【例13】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FA DE CB【例14】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．EDCB A【巩固】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CEE DB CA【例15】已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：∠GMN >∠GNM ．NM GFEDCBA【例16】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例17】如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【例18】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证D M D L =．LPMD CBA【例19】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：(1) DEM FDN ∆∆≌； (2) PAE PBF ∠=∠．AEF【例20】已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN(1991年泉州市初二数学双基赛题)【例21】已知，如图四边形ABCD中，AD BC=，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：AME BNE∠=∠．AC DMFENB【巩固】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC∆中，BC AC>，动点D绕ABC∆的顶点A逆时针旋转，且AD BC=，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．F图3图2图1F N MDCE B ANMDCE BAHF (N )DM C E BA⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【例22】如图，AE ⊥AB ，BC ⊥CD ，且AE =AB ，BC =CD ，F 为DE 的中点，FM ⊥AC ．证明：FM =12AC ． H AEMFEDCBA【巩固】(2004全国数学联赛试题)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ．设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ．求证：点M 为EF 的中点．EGlMGHFEDCBA【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【习题3】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．家庭作业【备选1】如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．求证：∠E =∠F【备选2】如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．ABCDE F月测备选赠：小学五年级数学竞赛题1.把自然数1.2.3.4.....的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011.......已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位?2. 在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255，乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365，那么正确的乘积是多少？3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法？4、把自然数1、2、3、4......的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213.....已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有几个？6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202，这群孩子至少有几人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。

专题染色问题与染色方法

竞赛讲座14-染色问题与染色方法1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.例1 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k 色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.例2 (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.例3 （1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n 一定是8的倍数.2．线段染色和点染色下面介绍两类重要的染色问题.(1) 线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.例4 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题例5 （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例6 (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例7 （首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾. 故这种排法不可能.“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.例8 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF 都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.练习二十九1．6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.2．（第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.3．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.4．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？5．设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有 r名能用同一种语言通话.6．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.7．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.练习二十九１．将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论．２．设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重合．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其余的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一个方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重合的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．３．把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。

小学奥数杂题染色问题【三篇】

小学奥数杂题染色问题【三篇】
导读：本文小学奥数杂题染色问题【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【第一篇】 1.如图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门．有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是否能够找到．【第二篇】展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 答案：不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 【第三篇】染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关8个顶点。

两面染色和棱长有关。

即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。

同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6 0面染色和体积有关。

用新棱长计算体积公式（棱
长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

五年级奥数：染色问题

五年级奥数：染色问题染色问题的解题思路染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。

图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。

什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。

例如图一中A区域A与B、C、D、E、 F连接最广所以A为特殊区域。

找到这个区域问题就容易解决了。

这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。

本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。

完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。

这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。

区域B跟A、C相连那么 B可以染2种。

D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A 选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。

E连接A、D也有两种可能。

F也是连接着A、E有两种可能。

这道题就解出来了。

有4×3×2×2×2=96种可能。

这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。

图二图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。

而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。

所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。

再来看一个稍微复杂点的问题如图三图三图中A有5种染色方式C------ 4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。

五年级染色问题题目及答案

染色问题(1)年级班姓名得分1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?1 2 34 5 67 8 93.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?(a) (b)4.一个8⨯8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.8⨯8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2⨯2的正方形和9个4⨯1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29⨯31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白 ……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白 ……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个2⨯1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3⨯3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A 、B 、C 、D 、E 、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A 点引出的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB 、AC 、AD 三条同为红色.再考虑三角形BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD 为蓝色三角形.ABD C下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色.(1)若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1).②若其中有两条是蓝色的,设DA 、DB 为蓝色(图2).此时在EA 、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.A B C D E (图1) A B C D E (图2)10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.13. 如图对8⨯8的棋盘染色,则每一个4⨯1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2⨯2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2⨯2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.表(1)本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.教你如何用WORD 文档 (2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。

小学奥数-长方体正方体染色问题、三视图-知识点+例题+练习-(分类全面)精选全文完整版

可编辑修改精选长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图全文完整版教学内容教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。

公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？看如右下图，那么他最少用了_____块木块。

竞赛讲座-染色问题与染色方法

染色问题与染色方法1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.例1 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k 色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.例2 (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.例3 （1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n 一定是8的倍数.2．线段染色和点染色下面介绍两类重要的染色问题.(1) 线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.例4 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题例5 （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例6 (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例7 （首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.例8 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF 都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.练习二十九1．6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.2．（第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.3．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.4．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？5．设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有 r名能用同一种语言通话.6．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.7．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.练习二十九１．将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论．２．设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重合．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其余的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一个方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重合的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．３．把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。

五年级奥数排列组合之染色

答案：八
东坡踏翠（打一中国数学家）
答案：苏步青
介绍一位数学家的成就或故事.
恭喜!恭喜! 请按这个按钮! 傻瓜哈!罚哈你!再对按自!己说:“你太粗心了！
没做出来啊？罚！你是哪队的就学哪队的叫声。哈哈！
泰山中无人无水。 (猜一数字)
答案：三
旭日东升。 (猜一数字)
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ九
语言不通口难开。 (猜一数字)
一个数字3，走在路上翻了一个跟头，结果不小心以翻了一个。(打一成语)
答案：三翻两次
俄国大文豪托尔斯泰在谈到对人的评价时说：“一个人就好像一个分数，它的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数值就越小。”
把这句话背下来。
两只鸟儿并排飞，一只瘦来一只肥，一年中来一次，一月当中来三回。(打一数字)
一个点或同一条线段只能经过一
次.这只甲虫最多有多少种不同
的走法? A
B
C
D
E
例3：从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通,小杰从学校步行到少年宫(只许向东或向南行进)，最多有多少种走法？
学校
少年宫
如图,从P到Q共有多少种不同的最短路线？
P
Q
如图，长方体有12条棱，8个顶点，一只小蚂蚁从A点出发沿棱爬行,要经过每个顶点一次,且只经过一次.问共有多少种不同的走法?
例1:用红、黄、蓝三色给边长分别为3、4、5、 6、7的五边形的各边染色，要求相邻两边不许同色，共有多少种不同染法？
例3:地图上有A、B、C、
D、E五个国家用五种颜
色去染，要求相邻国家染
不同的颜色。问：有多少
种不同染法？

【精品】五年级奥数培优教程讲义第11讲-盈亏问题(学生版)

第11讲盈亏问题学习目标了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题知识梳理一、基本方法盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。

可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈－盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏－亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”。

二、方法技巧注意1.条件转换 2.关系互换典例分析考点一：直接计算型盈亏问题例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？例2、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？例3、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？例4、猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多少只？考点二：条件关系转换型盈亏问题例1、一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？例2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？例3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？考点三：复杂的盈亏问题例1、国庆节快到了，学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？例2、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?例3、堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？例4、四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了多少元钱？实战演练?课堂狙击1、有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30 元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。

小学奥数构造论证与染色操作问题

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题．各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．模块一最佳安排和选择方案【例 1】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷教学目标知识点拨例题精讲第十三讲：构造与论证到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第l 卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第l 卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第l 卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【例 3】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：、(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(O ，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【例 4】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。

小学奥数模块教程染色问题(一)

染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。

因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。

这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。

根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。

对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。

例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。

那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。

所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。

而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。

于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。

例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。

每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。

参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。

入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。

例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。

请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。

因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。

但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。

故无法实现不重复地走遍每个房间。

小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。

染色问题完整ppt课件

问题四：若将内圆作为第五部分，有四种颜色可供使用，又有多少种不同的方法?
2003年•高考
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5
例：某城市在中心广场建造一个如图所示的花圃，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？
解：根据分步计数原理，不同的栽种方法有:
4 3 2 1 A 2 1 1 1 1 2 1 ( 种 ) 2 2
答：不同的栽种方法p有pt精选1版20种。
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强化训练 1、至少需要几种颜色才能使右图中所有有公共端点的线段涂上不同的颜色？ 4种
2、将一个四棱锥S–ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果有5种颜色可供使用，那么 A 不同的染色方法有多少种？
420种 ppt精选版
不同的栽种方法有120ppt精选版将一个四棱锥sabcd的每个顶点染上一种颜色并使同一条棱的两个端点异色如果有5种颜色可供使用那么不同的染色方法有多少种
染色问题
执教：叶春天
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二十世纪现代数学十大成果之一——四色问题:
给任意一张平面地图着色时，最多用四种颜色就可使任何具有公共边界线的区域着不同颜色。
S
D
C
B
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小结：
解决染色问题的基本方法有二：分步法和分类法。但分步法中有些步骤却要分类计算，而分类法中的有些类型则要分步计算。因此，要注意将二者结合使用。
作业:
课堂新坐标P282 一、二
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下课谢谢指导
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问题一：给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图染色，要求每省（区）用一种颜色，相邻省（区）着不同色，有四种颜色可供使用，则不同的染色方法有多少种?

小学奥数——染色问题（答案）

⼩学奥数——染⾊问题（答案）第9讲染⾊问题【知识要点】染⾊⽅法是⼀种对题⽬所研究的对象⽤直观形象的染⾊来进⾏分类的⽅法。

象国际象棋的棋盘那样，我们可以把研究的对象染上不同的颜⾊，使问题变得浅显明了、⼀⽬了然，有利于我们观察、分析对象之间的关系，再利⽤奇偶性、抽屉原理等多种知识对染⾊图形进⾏分析，从⽽达到对原问题的解决。

【典型例题】例1、教室中有7排位⼦，每排7张，每张位⼦上坐⼀个同学，如果⼀周后，每个同学都必须和他相邻的（前、后、左、右）某⼀个同学换位⼦，问：这种交换可能成功吗？为什么？解：如右图所⽰⿊⽩相间涂⾊，⽩⾊共有25个，⿊⾊24个，要实现题意要求，⼀个⽩⾊位置必须和⼀个⿊⾊位置互换，⿊⽩座位应该⼀样多才⾏，所以办不到。

例2、如图是⼀所房⼦的⽰意图,图中数字表⽰房间号码,每间房⼦都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的⾛遍所有房间⼜回到1号房间? 解：如图所⽰每⼀个奇数号房间旁边⼀定是偶数号房间，反之亦然，那么奇数号房间⼀定⾛到偶数号，偶数号⼀定⾛到奇数号，从⼀号开始⾛奇数步⼀定是到偶数号房间，⾛偶数步⼀定是到奇数号房间，要不重复的⾛遍所有房间回到1号房间，共要⾛9步，应该⾛到偶数号房间，⽽1是奇数，所以办不到。

例3、⼀个8?8国际象棋(下图)去掉对⾓上两格后,是否可以⽤31个2?1的“⾻牌” (形如 )把象棋盘上的62个⼩格完全盖住?解：任意⼀个2?1的“⾻牌”⼀定是⼀⽩⼀⿊的，所以若要⽤31个这样的⾻牌覆盖这个棋盘，⽩⿊格数应该⼀样多，⽽此棋盘中有32个⿊格，30个⽩格，所以办不到。

例4、线段AB 的两个端点，⼀个标以红⾊，⼀个标以蓝⾊。

在此线段中任意插⼊2008个分点，每个分点任意涂上红⾊或蓝⾊，这样分得2009条不重叠的⼩线段，如果把两端涂⾊不同的线段叫做奥运线段，奥运线段的条数是奇数还是偶数？解：原本的线段AB 就是⼀条奥运线段，然后不管中间插⼊的点是什么颜⾊的，都会破坏原来的奥运线段从⽽变成⼀条两端同⾊⼀条奥运线段，再然后如果在⼀条奥运线段中间插⼊任意颜⾊的点，奥运线段会被破坏，但是⼜会⽣成⼀条较短的，那么奥运线段的数量总数不变；如果在⼀条两端同⾊的线段中间插⼊不同⾊ 1 2 3 4 5 6 7 8 9的点，⼀下就增加2条奥运线段，不改变奥运线段数量的奇偶性。

五年级奥数乘法原理之染色法学生版

7-2-3乘法原理之染色问题教学目标五年级奥数乘法原理之染色法学生版2.使学生分清楚什么时候用乘法原理,分清有几个必要的步骤,以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题,本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课,首先得从家出发到长宁上8点的课,然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行）,然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁）,同学们,你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图,老师必须先的到长宁,然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的,老师是一定要先到长宁上完课,才能去黄埔的．在没学乘法原理之前,我们可以通过一条一条的数,把线路找出来,显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具,并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具,那一共有多少条线路呢？这样数,恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事,这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔,必须要先到长宁,那么一共可以分成两个必不可少的步骤,一是从家到长宁,二是从长宁到黄埔）,第1步有A种不同的方法,第二步有B种不同的方法,……,第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子,老师要完成从家到黄埔的这么一件事,需要2个步骤,第1步是从家到长宁,一共5种选择；第2步从长宁到黄埔,一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了,即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字,然后有5种颜色可以给每个字然后,问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图,比如中国每个省的染色情况,给你几种颜色,问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学,排成一个队伍,有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列,比如说给你几个数字,然后排个几为数的偶数,有多少种排法．【例 1】地图上有A ,B ,C ,D 四个国家(如下图),现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法？DC B A【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】A 有3种颜色可选；当B ,C 取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理,不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ,C 取不同的颜色时,B 有2种颜色可选,C 仅剩1种颜色可选,此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理,不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上,根据加法原理,共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步,首先对A 进行染色一共有4种方法,然后对B 、C 进行染色,如果B 、C 取相同的颜色,有三种方式,D 剩下3种方式,如果B 、C 取不同颜色,有326⨯=种方法,D 剩下2种方法,对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决,有的需要分类解决,前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一,使得每个圆里面恰有四种颜色,则一共有__________种不同的染色方法．例题精讲7654321【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同,所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示,当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后,由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同,所以只能与1号区域的颜色相同,同理5号区域只能与4号区域的颜色相同,7号区域只能与2号区域的颜色相同,所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后,其他区域的颜色也就相应的只有一种染法,所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】如图,地图上有A ,B ,C ,D 四个国家,现用五种颜色给地图染色,要使相邻国家的颜色不相同,有多少种不同染色方法?DCB A【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】为了按要求给地图上的这四个国家染色,我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色,有5种颜色可选．第二步：给B 染色,由于B 不能与A 同色,所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色,由于C 不能与A 、B 同色,所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色,由于D 不能与B 、C 同色,但可以与A 同色,所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理,用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】如图,一张地图上有五个国家A ,B ,C ,D ,E ,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同—种颜色,那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步,给A 国上色,可以任选颜色,有四种选择；第二步,给B 国上色,B 国不能使用A 国的颜色,有三种选择；第三步,给C 国上色,C 国与B ,A 两国相邻,所以不能使用A ,B 国的颜色,只有两种选择；第四步,给D国上色,D国与B,C两国相邻,因此也只有两种选择；第五步,给E国上色,E国与C,D两国相邻,有两种选择．共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例4】如图：将一张纸作如下操作,一、用横线将纸划为相等的两块,二、用竖线将下边的区块划为相等的两块,三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块,四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……,如此进行8步操作,问：如果用四种颜色对这一图形进行染色,要求相邻区块颜色不同,应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】对这张纸的操作一共进行了8次,每次操作都增加了一个区块,所以8次操作后一共有9个区块,我们对这张纸,进行染色就需要9个步骤,从最大的区块从大到小开始染色,每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……,所以一共有：⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．4322222221536【答案】1536【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域,要求相邻的区域涂不同的颜色,那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步,涂A部分,那么就有三种颜色的选择；第二步,涂B部分,由于要求相邻的区域涂不同的颜色,A和B相邻,当A确定了一种颜色后,B只有两种颜色可选择了；第三步,涂C部分,C和A、B都相邻,A和B确定了两种不相同的颜色,那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例5】如图,有一张地图上有五个国家,现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色,使相邻的国家所染的颜色不同,不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题,因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的,如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题,所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法,但染第三步时需要分类讨论,如果D与A颜色相同,那么B有2种染法,E也有2种方法,如果D与A染不同的颜色,那么D有2种染法那么B只有一种染法,E有2种染法,所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法,(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理,加法原理在下一讲中将会讲授),染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县,这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色,共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析,把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．GF DC B AE为了便于观察,在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么,为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域,我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A,有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B,由于B不能与A同色,所以区域B的染色方式有4种；第3步：染区域C,由于C不能与B、A同色,所以区域C的染色方式有3种；第4步：染区域D,由于D不能与C、A同色,所以区域D的染色方式有3种；第5步：染区域E,由于E不能与D、A同色,所以区域E的染色方式有3种；第6步：染区域F,由于F不能与E、A同色,所以区域F的染色方式有3种；第7步：染区域G,由于G不能与C、D同色,所以区域G的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理,共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例6】用3种颜色把一个33⨯的方格表染色,要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同,一共有种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知,染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行,有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格,有2种染法；当第一行和第一列都染好后,再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色,可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以,根据乘法原理,共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】如右图,有A 、B 、C 、D 、E 五个区域,现用五种颜色给区域染色,染色要求：每相邻两个区域不同色,每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】先采用分步：第一步给A 染色,有5种方法；第二步给B 染色,有4种方式；第三步给C 染色,有3种方式；第四步给D 染色,有3种方式；第五步,给E 染色,由于E 不能与A 、B 、D 同色,但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时,E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时,E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类,D 与B 同色．E 有3种颜色可染,共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类,D 与B 异色．D 有2种颜色可染,E 有2种颜色可染,共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理,共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决,但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】如右图,有A ,B ,C ,D 四个区域,现用四种颜色给区域染色,要求相邻区域的颜色不同,每个区域染一色．有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】A 有4种颜色可选,然后分类：第一类：B ,D 取相同的颜色．有3种颜色可染,此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理,不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ,D 取不同的颜色时,B 有3种颜色可染,C 有2种颜色可染,此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理,不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理,共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色,要求相邻的区域的字染不同的颜色,但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色,有4种选择；然后对“学”染色,“学”有3种颜色可选；当“奥”,“数”取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时“思”也有2种颜色可选,不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”,“数”取不同的颜色时,“奥”有2种颜色可选,“数”剩仅1种颜色可选,此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同),不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以,根据加法原理,共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A,B,C,D,E,F六个区域染色,要求相邻的区域染不同的颜色,但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】先按A,B,D,C,E的次序染色,可供选择的颜色依次有5,4,3,2,3种,注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种),其中有3种E和D同色,有6种E和D异色．最后染F,当E与D同色时有3种颜色可选,当E与D异色时有2种颜色可选,所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色,要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色,共有多少种不同涂法？D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图,当A,B,C,D的颜色确定后,大正方形四个角上的○的颜色就确定了,所以只需求A,B,C,D有多少种不同涂法．按先A,再B,D,后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B,D取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时C也有2种颜色可选,不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B,D取不同的颜色时,B有2种颜色可选,D仅剩1种颜色可选,此时C也只有1种颜色可选(与A相同),不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以,根据加法原理,共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图,每个面都是完全相同的正三角形）的4个面,使不同的面涂有不同的颜色,共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法,才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,复赛,第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式,而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面,再从剩余3个面中选1个作正面）,所以每种染色方式被重复计算了12次,则不同的染色方法有24÷12=2种。

数学人教版五年级下册探索图形(染色问题)课件

一共有（ a 8×b 6×h 5= ）个小正方体 240 ）个小正方体 1、三面涂色的块数有( 8 )个。 2、两面涂色的块数有( ([（ [（ 8-2 a-2 ）） +（ +（ 6-2 b-2 ）） +（ +（ 5-2 h-2 ）） ] ] ×× 4=452)) 个。个。 3、一面涂色的块数有([（ a-2 8-2）×（b-2 6-2）+ （ a-2 8-2）×（h-2 5-2）+ （ + 6-2 （b-2 ）×（）×（ 5-2 h-2 ）] ）× ] 2=108 ×2 4、没有涂色的块数有( （ a-2 8-2）×（b-2 6-2）×（h-2 5-2）= 72 )) 个。个。 )个。
把1000个小正方体拼成的大正方体表面涂上颜色1三面涂色的块数有101010把一个长10厘米宽7厘米高5厘米的长方体木块的表面涂上漆然后切成棱长是1厘米的小正方体
五年级数学思维专题---- 染色问题
绵阳东辰国际学校赵波
①
②
③
第一模块：正方体的染色问题
下面3个图分别是由8个、27个、64个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体，将它的表面全部涂成红色。请你先认真观察各类正方体的分布位置，通过涂一涂、想一想、数一数或算一算，并按要求填空。
1、三面涂色的块数有多少个？ 2、两面涂色的块数有多少个？ (5—2）×12=36 （个） 3、一面涂色的块数有多少个？
8个
(5-2）×（5-2）× 6=54（个）
4、没有涂色的块数有多少个？ (5-2）×（5-2）×（5-2） =27（个）
第二模块：长方体的染色问题
把一个长8厘米，宽6厘米、高5厘米的长方体木块的表面涂上漆，然后切成棱长是1厘米的小正方体。

小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全

五年级奥数第1讲数字迷〔一〕第16讲巧算24第2讲数字谜<二>第17讲位置原如此第3讲定义新运算<一>第18讲最大最小第4讲定义新运算<二>第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性<一>第20讲多边形的面积第6讲数的整除性<二>第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性〔一〕第22 用割补法求面积第8讲奇偶性〔二〕第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性〔三〕第24讲行程问题〔一〕第10讲质数与合数第25讲行程问题〔二〕第11讲分解质因数第26讲行程问题〔三〕第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕第27讲逻辑问题〔一〕第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕第28讲逻辑问题〔二〕第14讲余数问题第29讲抽屉原理<一>第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理<二>第1讲数字谜〔一〕例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式成立〔每个运算符号只准使用一次〕：〔5○13○7〕○〔17○9〕=12.例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568. 例3 在443后面添上一个三位数,使得到的六位数能被573整除.例4 六位数33□□44是89的倍数,求这个六位数.例5 在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表一样的数字,请你用适当的数字代替字母,使加法竖式成立.FORTYTEN+ TENSIXTY例6 在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.请你填上适当的数字,使竖式成立.练习11.在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数.2.在如下竖式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表一样的数字.请你用适当的数字代替字母,使竖式成立：〔1〕 A B <2> A B A B+ B C A - A C AA B C B A A C3.在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9.4.在下面的算式中填上假如干个〔〕,使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8.5.将1～9分别填入下式的□中,使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634.6.六位数391□□□是789的倍数,求这个六位数.7.六位数7□□888是83的倍数,求这个六位数.第2讲数字谜〔二〕这一讲主要讲数字谜的代数解法与小数的除法竖式问题.例1 在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,一样的字母代表相例2 在□内填入适当的数字,使左下方的乘法竖式成立.□□□× 8 1□□□□□□□□□□□例3 左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当的数字,使除法竖式成立.□8 □□□□>□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□例4 在□内填入适当数字,使小数除法竖式成立.例4图例5图例5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式〔1〕,这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式〔2〕,求这个五位数.练习21.下面各算式中,一样的字母代表一样的数字,不同的字母代表不同的数字,求出abcd与abcxyz<1>1abcd×3=abcd5 <2>7×abcxyz=6×xyzabc2.用代数方法求解如下竖式：3.在□内填入适当的数字,使如下小数除法竖式成立：□ 8 □ 7 □.□□□□□□□>□□□□□□□.□> □□□.□□> □.□□□□□□□□□□□□□ 8 □□□□□□□□□□□□□□□□ 0 0□□第3讲定义新运算〔一〕例1 对于任意数a,b,定义运算"*〞：a*b=a×b-a-b.求12*4的值.例2 a△b表示a的3倍减去b的1,例如根据以上的规定,求10△6的值23,x>=2,求x的值.例6 对于任意自然数,定义：n！=1×2×…×n.例如 4！=1×2×3×4.那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？例7 如果m,n表示两个数,那么规定：m¤n=4n-〔m+n〕÷2. 求3¤〔4¤6〕¤12的值.练习31.对于任意的两个数a和b,规定a*b=3×a-b÷3.求8*9的值.2.a b表示a除以3的余数再乘以b,求134的值.3.a b表示〔a-b〕÷〔a+b〕,试计算：〔53〕〔106〕.4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和,求8◎2的值.5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍,即m◇n=3m-2n.〔2〕x◇〔4◇1〕=7,求x的值.7.对于任意的两个数P, Q,规定 P☆Q=〔P×Q〕÷4.例如：2☆8=〔2×8〕÷4.x☆〔8☆5〕=10,求x的值.8.定义： a△b=ab-3b,a b=4a-b/a.计算：〔4△3〕△〔2b〕.9.： 23=2×3×4,45=4×5×6×7×8,……求〔44〕÷〔33〕的值.第4讲定义新运算〔二〕例1 a※b=〔a+b〕-〔a-b〕,求9※2的值.例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb,其中a,b为任意两个数,k为常数.比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k.〔1〕5⊙2=73.问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？〔2〕当k取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有a⊙b=b⊙a,即新运算"⊙〞符合交换律？例3 对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为a☆b,即a☆b=[a,b]-〔a,b〕.比如,10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10☆14=70-2=68.〔1〕求12☆21的值；〔2〕6☆x=27,求x的值.例4 a表示顺时针旋转90°,b表示顺时针旋转180°,c表示逆时针旋转90°,d表示不转.定义运算"◎〞表示"接着做〞.求：a◎b；b◎c；c◎a.例5 对任意的数a,b,定义：f〔a〕=2a+1, g〔b〕=b×b.〔1〕求f〔5〕-g〔3〕的值；〔2〕求f〔g〔2〕〕+g〔f〔2〕〕的值；〔3〕f〔x+1〕=21,求x的值.练习42.定义两种运算"※〞和"△〞如下：a※b表示a,b两数中较小的数的3倍, a△b表示a,b两数中较大的数的2.5倍. 比如：4※5=4×3=12,4△5=5×2.5=12.5.计算：[<0.6※0.5>+<0.3△0.8>]÷[<1.2※0.7>-<0.64△0.2>].4.设m,n是任意的自然数,A是常数,定义运算m⊙n=〔A×m-n〕÷4,并且2⊙3=0.75.试确定常数A,并计算：〔5⊙7〕×〔2⊙2〕÷〔3⊙2〕.5.用a,b,c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240°,b表示顺时针旋转120°,c表示不旋转. 运算"∨〞表示"接着做〞.试以a,b,c为运算对象做运算表.6.对任意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a b.比如73=1,529=4,420=0.〔1〕计算：19982000,〔519〕19,5〔195〕；〔2〕11x=4,x 小于20,求x 的值.7.对于任意的自然数a,b,定义：f 〔a 〕=a ×a-1,g 〔b 〕=b ÷2+1.〔1〕求f 〔g 〔6〕〕-g 〔f 〔3〕〕的值；〔2〕f 〔g 〔x 〕〕=8,求x 的值.第5讲数的整除性〔一〕1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ,b=c a ÷如此称a 能被b 整除或者b 能整除a ,记做b a |,否如此称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ,记做b | a .2、性质〔1〕如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除.〔2〕如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除. 〔3〕如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除.〔4〕如果一个质数能整除两个自然数的乘积,那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个. 〔5〕几个数相乘,如果其中一个因数能被某数整除,那么乘积也能被这个数整除.整除的数的特征1、被2整除特征：个位上是0,2,4,6,82、被5整除特征：个位上是5,03、能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除6、被7整除的数的特征：假如一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,如此原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.7、能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数<包括0>,那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如：判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法〞.8、能被13整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,如此原数能被13整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.如：判断1284322能不能被13整除. 128432+2×4=128440 12844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100 所以,1284322能被13整除.9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差〔大数－小数〕能被7、11、13整除,如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.例如：判断556584能不能被7整除末三位584 末三位之前的数556,584-556=28 28能被7整除,所以556584能被7整除10、能被17整除的数的特征: 把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的5倍, 如果差是17的倍数,如此原数能被17整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程.11、能被19整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的2倍, 如果和是19的倍数,如此原数能被19整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程例1 在□里填上适当的数字,使得七位数□7358□□能分别被9,25和8整除.例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？例3 有四个数：76550,76551,76552,76554.能不能从中找出两个数,使它们的乘积能被12整除？例4 在所有五位数中,各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？例5 能不能将从1到10的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？练习51.4205和2813都是29的倍数,1392和7018是不是29的倍数？2.如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少？3.173□是个四位数.数学教师说："我在这个□中先后填入3个数字,所得到的 3个四位数,依次可以被9,11,6整除.〞问：数学教师先后填入的3个数字之和是多少4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字.要求ab能被2整除,abc能被3整除,abcd能被4整除,abcde是5的倍数,abcdef是6的倍数.这样的六位数有几个？各是多少？5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分,总分A95B,这个班有多少名学生？6.能不能将从1到9的各数排成一行,使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？第6讲数的整除性〔二〕特殊的数——1001.因为1001=7×11×13,所以但凡1001的整数倍的数都能被7,11和13整除. 例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？例3 10□8971能被13整除,求□中的数.例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数.例5 如果41位数55……5□99……9能被7整除,那么中间方格内的数字是几？︸︸20个 20个判断一个数能否被27或37整除的方法：对于任何一个自然数,从个位开始,每三位为一节将其分成假如干节,然后将每一节上的数连加,如果所得的和能被27〔或37〕整除,那么这个数一定能被27〔或37〕整除；否如此,这个数就不能被27〔或37〕整除.例6 判断如下各数能否被27或37整除：〔1〕2673135；〔2〕8990615496.判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：为了表示方便,将个位是9的数记为 k9〔= 10k+9〕,其中k为自然数.对于任意一个自然数,去掉这个数的个位数后,再加上个位数的〔k+1〕倍.连续进展这一变换.如果最终所得的结果等于k9,那么这个数能被k9整除；否如此,这个数就不能被k9整除.例7 〔1〕判断18937能否被29整除；〔2〕判断296416与37289能否被59整除.练习61.如下各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205, 167128, 250894, 396500, 675696, 796842, 805532, 75778885.2.六位数175□62是13的倍数.□中的数字是几？ 3、七位数132A679是7的倍数,求A？4、六位数ababab能否被7和13整除？5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？6、33……3□88……8能被13整除,求中间□中的数？20个 20个7.九位数8765□4321能被21整除,求中间□中的数.8.在如下各数中,哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026, 1884924, 2175683, 2560437,11159126,131313555,266117778.9.在如下各数中,哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119, 55537, 62899, 71258, 186637,872231,5381717.第7讲奇偶性〔一〕整数按照能不能被2整除,可以分为两类：〔1〕能被2整除的自然数叫偶数,例如0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…〔2〕不能被2整除的自然数叫奇数,例如1,3,5,7,9,11,13,15,17,…整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的.相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶.因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数；因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数.每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性.奇偶数有如下一些重要性质：〔1〕两个奇偶性一样的数的和〔或差〕一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和〔或差〕一定是奇数.反过来,两个数的和〔或差〕是偶数,这两个数奇偶性一样；两个数的和〔或差〕是奇数,这两个数肯定是一奇一偶.〔2〕奇数个奇数的和〔或差〕是奇数；偶数个奇数的和〔或差〕是偶数.任意多个偶数的和〔或差〕是偶数.〔3〕两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数.〔4〕假如干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数.反过来,如果假如干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数；如果假如干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数.〔5〕在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数.奇数肯定不能被偶数整除.〔6〕偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1.因为〔2n〕2=4n2=4×n2,所以〔2n〕2能被4整除；因为〔2n+1〕2=4n2+4n+1=4×〔n2+n〕+1,所以〔2n+1〕2除以4余1.〔7〕相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数.〔8〕如果一个整数有奇数个约数〔包括1和这个数本身〕,那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数.整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题.有些问题外表看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想方法编上,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决.例1下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+…+1997+1998.例2 能否在下式的□中填上"+〞或"-〞,使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=36.例3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数.那么,这两个五位数的和能不能等于99999？例4 在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手.请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由.例5 五〔2〕班局部学生参加镇里举办的数学竞赛,每X试卷有50道试题.评分标准是：答对一道给3分,不答的题,每道给1分,答错一道扣1分.试问：这局部学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？练习71.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22？2.任意交换一个三位数的数字,得一个新的三位数,一位同学将原三位数与新的三位数相加,和是999.这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏.任意指定七个整数〔允许有一样数〕,甲将这七个整数以任意的顺序填在如下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差〔大数减小数〕,再将这七个差相乘.游戏规如此是：假如积是偶数,如此甲胜；假如积是奇数,如此乙胜.请说明谁将获胜.4.某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲写几封信.问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A市举办五年级小学生"春晖杯〞数学竞赛,竞赛题30道,记分方法是：底分15分,每答对一道加5分,不答的题,每道加1分,答错一道扣1分.如果有333名学生参赛,那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把如下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色.是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由.7.红星影院有1999个座位,上、下午各放映一场电影.有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影,那么一定有这样的座位,上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生,为什么？第8讲奇偶性〔二〕例1用0～9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少？例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子.能否经过假如干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下？例3 有m〔m≥2〕只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的〔m-1〕只杯子.经过假如干次翻转,能使杯口全部朝上吗？例4 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页.如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？例5 有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子.阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,假如摸出的两枚棋子同色,如此从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；假如摸出的两枚棋子异色,如此把其中白棋子放回大盒内.问：从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？例6 一串数排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数？练习81.在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方.这样说对吗？2.一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页.这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始.如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下.如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上？4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5.学校组织运动会,小明领回自己的运动员后,小玲问他："今天发放的运动员加起来是奇数还是偶数？〞小明说："除开我的,把今天发的其它加起来,再减去我的,恰好是100.〞今天发放的运动员加起来,到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99.问：原来写的三个整数能否是1,3,5？7.将888件礼品分给假如干个小朋友.问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？第9讲奇偶性〔三〕例1 在7×7的正方形的方格表中,以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子,要求每个方格中放置不多于1枚棋子,且每行正好放3枚棋子,如此在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子,这是为什么？例2 对于左下表,每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过假如干次后〔各次减去或加上的数可以不同〕,变为右下表？为什么？例3 如下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗？例4 如下图是由14个大小一样的方格组成的图形.能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？例5 在右图的每个○中填入一个自然数〔可以一样〕,使得任意两个相邻的○中的数字之差〔大数减小数〕恰好等于它们之间所标的数字.能否办到？为什么？例6 下页上图是半X中国象棋盘,棋盘上已放有一只马.众所周知,马是走"日〞字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半X棋盘上的每一个点,然后回到出发点？练习91.教室里有5排椅子,每排5X,每X椅子上坐一个学生.一周后,每个学生都必须和他相邻〔前、后、左、右〕的某一同学交换座位.问：能不能换成？为什么？2.房间里有5盏灯,全部关着.每次拉两盏灯的开关,这样做假如干次后,有没有可能使5盏灯全部是亮的？3.左如下图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个一样的长方形？4.一个正方形果园里种有48棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成七行七列〔见右上图〕.守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏〔不许斜走〕,最后又回到小屋.可以做到吗？5.红光小学五年级一次乒乓球赛,共有男女学生17人报名参加.为节省时间不打循环赛,而采取以下方式：每人只打5场比赛,每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛.然后根据每人得分决定出前5名.这种比赛方式是否可行？6.如如下图所示,将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a〔在1～12之间〕,那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3,就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11,就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时,可以走到7的位置？第10讲质数与合数自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：第一类：只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是1.第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数.因为任何自然数都能被1和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于1,且只能被1和它本身整除.这类自然数叫质数〔或素数〕.例如,2,3,5,7,…第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数.这类自然数的特征是大于1,除了能被1和它本身整除外,还能被其它一些自然数整除.这类自然数叫合数.例如,4,6,8,9,15,…上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1,1既不是质数也不是合数.例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？例2 判断269,437两个数是合数还是质数.例3 判断数1111112111111是质数还是合数？例4 判定298+1和298+3是质数还是合数？例5 A是质数,〔A+10〕和〔A+14〕也是质数,求质数A.练习101.现有1,3,5,7四个数字.〔1〕用它们可以组成哪些两位数的质数〔数字可以重复使用〕？〔2〕用它们可以组成哪些各位数字不一样的三位质数？2.a,b,c都是质数,a＞b＞c,且a×b+c=88,求a,b,c.3.A是一个质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数.试求出所有满足要求的质数A.5.试说明：两个以上的连续自然数之和必是合数.6.判断266+388是不是质数.7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边,得到一个三位数,这个三位数是a的87倍,求a和b.第11讲分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成假如干个质因数乘积的形式,如果不考虑因数的顺序,那么这个表示形式是唯一的.把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数.例如,60=22×3×5, 1998=2×33×37.例1 一个正方体的体积是13824厘米3,它的外表积是多少？例2 学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的假如干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法？例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？例4 求72有多少个不同的约数.例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数.练习111.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209分米2,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少立方分米？2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693,4年前他们的年龄都是质数.爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3.某车间有216个零件,如果平均分成假如干份,分的份数在5至20之间,那么有多少种分法？4.小英参加小学数学竞赛,她说："我得的成绩和我的岁数以与我得的名次乘起来是3916,总分为是100分.〞能否知道小英的年龄、考试成绩与名次？5.举例回答下面各问题：〔1〕两个质数的和仍是质数吗？〔2〕两个质数的积能是质数吗？〔3〕两个合数的和仍是合数吗？〔4〕两个合数的差〔大数减小数〕仍是合数吗？〔5〕一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6.求不大于100的约数最多的自然数.7.同学们去射箭,规定每射一箭得到的环数或者是"0〞〔脱靶〕或者是不超过10的自然数.甲、乙两同学各射5箭,每人得到的总环数之积刚好都是1764,但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙各自的总环数.第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数.如果一个自然数同时是假如干个自然数的约数,那么称这个自然数是这假如干个自然数的公约数.在所有公约数中最大的一个公约数,称为这假如干个自然数的最大公约数.自然数a1,a2,…,an的最大公约数通常用符号〔a1,a2,…,an〕表示,例如,〔8,12〕=4,〔6,9,15〕=3.如果一个自然数同时是假如干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这假如干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这假如干个自然数的最小公倍数.自然数a1,a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,an]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法.例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克.现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？例2 用自然数a去除498,450,414,得到一样的余数,a最大是多少？例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线〔见下页上图〕,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点〔横线与竖线的交叉点〕？例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒.三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会？例6 爷爷对小明说："我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过假如干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍.〞你知道爷爷和小明现在的年龄吗？练习121.有三根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米.现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段,一共能截成多少段？2.两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数.3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数？4.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长.亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印.问：这个花圃的周长是多少米？5.有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个.这堆桔子至少有多少个？6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车.第一条线路每隔5分钟发车一次,第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次.9点时三条线路同时发车,下一次同时发车是什么时间？7.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数.第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积.即,〔a,b〕×[a,b]=a×b.例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72.其中一个自然数是18,求另一个自然数.例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210.这两个自然数的和是77,求这两个自然数. 例3 a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c.要将它们全局部别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量一样.问：每瓶最多装多少千克？。

五年级第11讲长、正方体的染色作业学生版

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北京大学附属小学
色的小正方体各有多少块？
2、将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
3、把正方体的六个面分别划分成9个相等的正方形，然后用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同。

问：用红色去染的小正方形的个数最多是几个？
4、有一些边长为1厘米的正方体形状的白色小木块，用它们恰好在桌面上码成一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体，再把这个长方体除底面外的其余五面涂上红色，则这些小木块中。

恰有三面涂上红色的、恰有两面涂上红色的、恰有一面涂上红色的、没有涂上红色的各有多少块？
5、下图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞。

如果将这个大正方体的内外表面都涂上红色，那么，没有涂上红色、只有一个面涂上红色、两个面涂上红色和三个面涂上红色的小正方体各有几个？。

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