案例——中点四边形

案例——中点四边形

伊州区第四中学 赵丽娟

教学环节一创设情境，导入新课 出主意：小张大学毕业后在哈密开了一家装潢店，现需要从一张任意四边形纸片上取一个平行四边形用作装饰材料，你们帮他想一想，怎样做才能既简单又可靠？

设计意图：这个问题情境的设置联系生活实际，开门见山，直奔主题，既简单明了，又轻松自然，能激发学生对本课的

学习兴趣 学生交流：通过讨论可以得出：依次取四边形的四边中点E,F,G,H,顺次连接各点得到四边形EFGH 设计意图：学生在前面已经有了用三角形的中位线思考问题的经历，通过此环节培养学生运用所学知识解决实际问题的能力

讨论：四边形E F G H 是平行四边形，你认为可靠吗？

请同学们证明自己的判断这个证明的关键是什么？

设计意图：教师通过对平行四边形“可靠性”的置疑，引导学生从直观中得出结论，很自然地将学生的思考引导到“证明的必要性”上来 结论：作四边形A B C D 的对角线A C （或B D ）将四边形转化为两个三角形，然后运用三角形的中位线定理证明E F G H 是平行四边形。

设计意图：教师对学生所得到的证明过程进行评价，并提出新的问题， 对教学进行反思，揭示了证明中点四边形的一般规律，并为后面的一 系列探究与证明作好铺垫，这对提高学生的思维十分必要。

设计意图：教师对学生所得到的证明过程进行评价，并提出新的问题，对教学进行反思，揭示了证明中点四边形的一般规律，并为后面的一系列探究与证明作好铺垫，这对提高学生的思维十分必要

学生交流：我们能否给这个四边形EFGH一个合适的命名？

顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形

设计意图：这一命名虽然简单，但具有一定的创意，命名的过程也是学生对数学概念进一步理解和把握的过程。

教学环节二：改变图形，提出猜想

试一试：如果我们改变四边形ABCD的形状，它的中点四边形是什么形状，你能不能提出新的问题或猜想？你能不能证明自己的猜想？

设计意图：四边形A B C D的演变以及中点四边形的形状都不给出，全部由学生猜想探究，既培养了学生的分类思想的应用，又顺应了学生自主学习、探究学习的需要，给学生的想象与创造提供了更大的空间。学生交流一

如果学生不能顺利说出四边形A B C D的四种变化，就借助几何画板，拖动四边形A B C D的顶点，使之分别变成平行四边形、矩形，菱形和正方形，通过观察，猜想E F G H的形状。提出猜想：

1、平行四边形的中点四边形是平行四边形；

2、矩形的中点四边形是菱形；

3、菱形的中点四边形矩形；

4、正方形的中点四边形是正方形

学生交流二

1、学生相互评价证明的思路和方法。

2、总结证明的思路和关键：

思路：平行四边形+（特殊条件）=特殊四边形。

关键：作对角线，将四边形ABCD 转化成两个三角形，然后运用三角形的中位线定理证明。

设计意图：通过此环节，引导学生在主动猜想和思考的基础上，自觉上升到理性思考，进行严谨的证明，同时培养学生交流合作的能力 教学环节三：转换成逆命题，进一步探索规律

探究：把上面四个命题的条件和结论颠倒过来还成立吗？ m ∠HEF = 90.00︒EH = 2.55 厘米

FE = 2.55 厘米

m ∠GFE = 90.00︒HG = 2.55 厘米EH = 2.55 厘米m ∠APD = 90.00︒

AC = 5.11 厘米DB = 5.11 厘米m ∠APD = 90.00︒DB = 5.11 厘米AC = 5.11 厘米

HE = 2.01 厘米

HG = 2.61 厘米

EF = 2.61 厘米

设计意图：可以针对学生在讨论中遇到的思维障碍，运用几何画板拖动四边形A B C D ，通过对角线的变化让学生进行观察与分析，让学生在变化中寻找不变的规律。同时体会运用现代科技手段解决问题的方法和思路。

学生交流：

结论：原来四个命题的条件与结论倒过来所得到的命题并不正确，中点四边形EFGH的形状的决定因素不是ABCD的边，而是它的对角线，正确的判断是：

1、如果中点四边形EFGH是平行四边形，那么原四边形ABCD是任意四边形；

2、如果中点四边形EFGH是菱形，那么原四边形ABCD的对角线相等；

3、如果中点四边形EFGH是矩形，那么原四边形ABCD的对角线互相垂直；

4、如果中点四边形EFGH是正方形，那么原四边形ABCD的对角线互相垂直且相等；

设计意图：经过实验、观察和推理学生终于看到了中点四边形的一般规律与本质——对角线是决定性的因素，同时教师从命题的角度进行分析，一个命题正确，它的逆命题不一定正确，培养学生的逻辑思维能力。

教学环节四：总结反思，完善认知

通过本节的学习，你最大的收获或感想是什么？

1、对角线是一种常用的辅助线——将四边形转化为两个三角形；

2、归纳与猜想是创新与发明的重要步骤，然而，猜想只是归纳的结果而非可靠的判断，它的正确性有赖于用推理的方法加以证明；

3、数学思想方法：转化思想。

设计意图：这一环节在于启发引导学生自己对本课进行回顾与反思，体会学习的成果，感受成功的喜悦，产生进一步学习的激情，把主动学习、师生互动贯穿于课堂始终。

教学环节五：感悟问题，发挥联想，

想一想：下面这个图形是一个叫“美菱”的品牌的商标，当A B C D 是矩形或菱形时，此时中点四边形之中点四边形的形状变化有什么规律？面积变化呢？重复做下去，直到第2004次中点四边形，结果如何？

进一步联想： 三角形的中点三角形的形状演变有没有规律性，它的周长和面积怎样随原三角形的变化而变化？把你的发现写成数学小论文。

设计意图：下课并不是问题的终结，更不是一种思维的结束，而是留给学生足够的思考时间和空间，让他们不断的质疑，不断地发现，通过本课的学习，已为学生课后进一步探索指明方向，本课的作业的设计能较好地激发学生的探索潜能。

教学反思：

1、根据本课的教学内容的特点，本课的设计体现了三个原则：围绕课题的学习，自主探索式学习，多元开放式的学习；

2、学生师友互助学习可以大大激发学生学习兴趣，提高教学效率，