四边形经典题型资料

合集下载

(完整版)四边形经典试题50题及答案

(完整版)四边形经典试题50题及答案

经典四边形习题50道(附答案)1.已知:在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE=3∠BAE ,求:∠EAC的度数。

2.已知:直角梯形ABCD中,BC=CD=a且∠BCD=60︒,E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点,求:EF的长。

3、已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC,E、F分别为AD、BC的中点,BD平分∠ABC交EF于G,EG=18,GF=10求:等腰梯形ABCD的周长。

4、已知:梯形ABCD中,AB∥CD,以AD,AC为邻边作平行四边形ACED,DC延长线交BE于F,求证:F是BE的中点。

5、已知:梯形ABCD中,AB∥CD,AC⊥CB,AC平分∠A,又∠B=60︒,梯形的周长是20cm, 求:AB的长。

6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH,垂足分别是E、F、G、H,求证:EF∥GH。

7、已知:梯形ABCD的对角线的交点为E若在平行边的一边BC的延长线上取一点F,_B_C_A_B_A_B_E_A_B_B使S ABC ∆=S EBF ∆,求证:DF ∥AC 。

8、在正方形ABCD 中,直线EF 平行于 对角线AC ,与边AB 、BC 的交点为E 、F , 在DA 的延长线上取一点G ,使AG=AD , 若EG 与DF 的交点为H ,求证:AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边, 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ,AF 是BC 边的高,延长FA 使AG=BC ,求证:BG=CD 。

10、正方形ABCD ,E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点,且AE=AF=AC ,EF 交BC 于G ,交AC 于K ,交CD 于H ,求证:EG=GC=CH=HF 。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上,取BE=AB , 若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F , 求证:CF=ED 。

12、平行四边形ABCD 中,∠A 、∠D 的平分线相交于E ,AE 、DE与DC 、AB 延长线交于G 、F ,求证:AD=DG=GF=FA 。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容:①平行四边形的性质及其相关计算;②平行四边形的判定.2.考查形式:①根据平行四边形的性质考查结论判断;②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积;③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型:性质在选择和填空题中考查居多,判定题近年来多在解答题中考查,有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题.【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一,性质与判定常常考查,是近年命题的重点. 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 、BD 交于点O ,E 是BC 的中点,以下说法错误的是( )A . OE =12DC B . OA =OC C . ∠BOE =∠OBA D . ∠OBE =∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图,在▱ABCD 中,BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ,且MC =2,▱ABCD 的周长是14,则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠ABM =∠CMB ,∵BM 平分∠ABC ,∴∠ABM =∠CBM ,∴∠CBM =∠CMB ,∴CB =MC =2,∴AD =BC =2,∵▱ABCD 的周长是14,∴AB =CD =5,∴DM =DC -MC =3.3. 如图所示,四边形ABCD 的对角线相交于点O ,若AB ∥CD ,请添加一个条件________(写一个即可),使四边形ABCD 是平行四边形. 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图,▱ABCD 中,AC =8,BD =6,AD =a ,则a 的取值范围是________.4. 1<a <7 【解析】如解图,对角线AC ,BD 相交于点O ,则OA =12AC =4,OD =12BD =3,在△OAD中,OA -OD <AD <OA +OD ,即1<a <7.5. 如图所示,在▱ABCD 中,∠C =40°,过点D 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交CB 的延长线于点F ,则∠BEF 的度数为__________. 5. 50°6. 如图,将▱ABCD 的AD 边延长至点E ,使DE =12AD ,连接CE ,F 是BC 边的中点,连接FD.(1)求证:四边形CEDF 是平行四边形; (2)若AB =3,AD =4,∠A =60°,求CE 的长.6. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD =BC , ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点, ∴FC =12BC =12AD ,∵DE =12AD ,∴FC =DE ,∴四边形CEDF 是平行四边形. (2)解:如解图,过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形,∴DF =CE.∵四边形ABCD 是平行四边形,∠A =60°,AB =3,AD =4, ∴BC =4,CD =3,∠BCD =60°, 在Rt △DHC 中,HC =DC·cos ∠HCD =32,DH =DC ·sin ∠HCD =332,∵F 是BC 的中点, ∴FC =2,∴FH =FC -HC =2-32=12,在Rt △DFH 中,由勾股定理得DF =DH 2+FH 2=(332)2+(12)2=7,∴CE =7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式:①利用矩形性质,结合勾股定理求线段长或面积;②矩形的判定,一般在解答题中考查,也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题;③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6:图形折叠的相关计算).【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查,是全国命题趋势之一. 7. 如图,在矩形ABCD 中(AD >AB),点E 是BC 上一点,且DE =DA ,AF ⊥DE ,垂足为点F.在下列结论中,不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF =12AD C . AB =AF D . BE =AD -DF7. B 【解析】逐项分析如下表:选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形,AF ⊥DE ,∴∠C =90°=∠AFD ,AD ∥BC ,∴∠ADF =∠CED ,∵AD =DE ,∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF =30°时,才有AF =12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知,AF =DC ,∵矩形ABCD 中,AB =DC ,∴AB =AF√D∵△AFD ≌△DCE ,∴DF =CE ,∴BE =BC -CE =AD -DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ,若AO =1,那么BD =________. 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图,矩形ABCD 的面积是15,边AB 的长比AD 的长大2,则AD 的长是________.9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD =x ,由题知,AB =x +2,又∵矩形ABCD 的面积为15,则x(x +2)=15,得到x 2+2x -15=0,解得,x 1=-5(舍) , x 2=3,∴AD =3. 10. 如图所示,△ABC 中,D 是BC 边上一点,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ,且AF =BD ,连接BF. (1)求证:D 是BC 的中点;(2)若AB =AC ,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论.10. (1)证明:∵点E 是AD 的中点, ∴AE =DE. ∵AF ∥BC ,∴∠AFE =∠DCE ,∠FAE =∠CDE , ∴△EAF ≌△EDC(AAS ), ∴AF =DC. ∵AF =BD , ∴BD =DC ,即D 是BC 的中点.(2)解:四边形AFBD 是矩形.证明如下: ∵AF ∥BD ,AF =BD ,∴四边形AFBD 是平行四边形.∵AB =AC ,又由(1)可知D 是BC 的中点, ∴AD ⊥BC ,∴四边形AFBD 是矩形.11. 如图,点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上,且不与点A ,C 重合,过点P 分别作边AB ,AD 的平行线,交两组对边于点E ,F 和点G ,H. (1)求证:△PHC≌△CFP;(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.11. (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴DC ∥AB ,AD ∥BC ,∠DCB =90°.∵EF ∥AB ,GH ∥AD ,∴EF ∥CD ,GH ∥BC , ∴四边形PFCH 是矩形, ∴∠PHC =∠PFC =90°,PH =CF ,HC =PF , ∴△PHC ≌△CFP(SAS ).(2)证明:由(1)知AB ∥EF ∥CD , AD ∥GH ∥BC ,∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠D =∠B =90°,∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形, ∴S 矩形PEDH =S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式:①根据菱形性质判断结论正误;②菱形的判定;③根据菱形的性质求角度、周长和面积;④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现.【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容,是中考常考知识,对菱形的性质与判定应做到牢固掌握.12. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件,使▱ABCD 成为菱形,下列给出的条件不正确...的是( ) A . AB =AD B . AC ⊥BD C . AC =BD D . ∠BAC =∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形,所以A 正确;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以B 正确;对角线相等的平行四边形是矩形,所以C 错误;由∠BAC =∠DAC 可得对角线是角平分线,所以D 正确.第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB =45,点P 是对角线OB 上的一个动点,D(0,1),当CP +DP 最短时,点P 的坐标为( )A . (0,0)B . (1,12) C . (65,35) D . (107,57)13. D 【解析】如解图,连接CA 、AD ,CA 与OB 相交于点E ,过点E 作EF ⊥OA ,交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ,AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质,菱形的对角线互相垂直且平分两组对角,可知△COE ∽△EOF ,∴CO EO =EO OF ,∵OC =OA =5,OE =OB 2=25,∴OF =OE 2CO =(25)25=4,根据勾股定理可得EF =OE 2-OF 2=(25)2-42=2,点E 的坐标为(4,2),易得直线OE 的函数解析式为y =12x ,直线AD 的函数解析式是y =-15x +1,联立得:⎩⎨⎧y =12x y =-15x +1,解得⎩⎨⎧x =107y =57,∴点P 的坐标为(107,57).14. 如图,在菱形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BD 的中点,若EF =2,则菱形ABCD 的周长为________. 14. 16 【解析】∵E ,F 分别是AD ,BD 的中点,∴AB =2EF =4,∴菱形ABCD 周长是4AB =16.第14题图 第15题图15. 如图,在菱形ABCD 中,AB =5,AC =8,则菱形的面积是________.15. 24 【解析】如解图,连接BD 交AC 于点O ,∵四边形ABCD 是菱形,AB =5,AC =8,且菱形的对角线互相垂直平分,∴OA =4,在Rt △AOB 中,由勾股定理得OB =3,∴BD =6,∴S 菱形ABCD =12AC ·BD=12×8×6=24. 16. 在菱形ABCD 中,∠A =30°,在同一平面内,以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ,则∠EBC 的度数为________.16. 105°或45° 【解析】如解图,∵四边形ABCD 是菱形,∠A =30°,∴∠ABC =150°,∠ABD =∠DBC =75°,且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况:(1)当点E 在△ABD 内时,∠E 1BC =∠E 1BD +∠DBC =30°+75°=105°;(2)当点E 在△DBC 内时,∠E 2BC =∠DBC -∠E 2BD =75°-30°=45°.综上所述,∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,点E 是AC 的中点,AC =2AB ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,作AF∥BC,连接DE 并延长交AF 于点F ,连接FC. 求证:四边形ADCF 是菱形.17. 证明:∵∠B =90°,AC =2AB , ∴sin ∠ACB =12,∴∠ACB =30°, ∴∠CAB =60°, ∵AD 平分∠CAB ,∴∠CAD =12∠CAB =30°,∠CAD =∠ACD ,∴AD =CD , ∵AF ∥CD ,∴∠DCE =∠FAE ,∠AFE =∠CDE , 又∵AE =CE ,∴△AFE ≌△CDE(AAS ), ∴AF =CD , 又AF ∥CD ,∴四边形ADCF 是平行四边形, 又AD =CD ,∴四边形ADCF 是菱形.命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合,难度较大,常在选择或填空的压轴题位置出现,考查知识点综合性强,涉及到正方形面积、边长和周长的计算.【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质,因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性,倍受命题人青睐,考生应加以关注.18. 如图,正方形ABCD 的面积为1,则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2+1D . 22+118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1,∴BC =CD =1,∵E 、F 是边的中点,∴CE =CF =12,∴EF=(12)2+(12)2=22,则正方形EFGH 的周长为4×22=2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC⊥BD,请添加一个条件:________,使得▱ABCD 为正方形. 19. ∠BAD =90°(答案不唯一)20. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,N ,P ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,点M ,F ,Q 都在对角线BD 上,且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形,则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________.20. 89【解析】设BD =3a ,∠CDB =∠CBD =45°,且四边形PQMN 为正方形,∴DQ =PQ =QM =NM=MB ,∴正方形MNPQ 的边长为a ,正方形AEFG 的对角线AF =12BD =32a ,∵正方形对角线互相垂直,∴S 正方形AEFG =12×32a ×32a =98a 2,∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG =a 298a 2=89.第20题图 第21题图21. 如图,正方形ABCD 的边长为22,对角线AC ,BD 相交于点O ,E 是OC 的中点,连接BE ,过点A 作AM⊥BE 于点M ,交BD 于点F ,则FM 的长为________. 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形,∴AO =BO ,∠AOF =∠BOE =90°,∵AM ⊥BE ,∠AFO =∠BFM ,∴∠FAO =∠EBO ,在△AFO 和△BEO 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF =∠BOE AO =BO ∠FAO =∠EBO ,∴△AFO ≌△BEO(ASA ),∴FO =EO ,∵正方形ABCD 的边长为22,E 是OC 的中点,∴FO =EO =1=BF ,BO =2,∴在Rt △BOE 中,BE =12+22=5,由∠FBM =∠EBO ,∠FMB =∠EOB ,可得△BFM ∽△BEO ,∴FM EO =BF BE ,即FM1=15,∴FM =55.22. 如图,已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形,点E 在线段DC 上,点A ,D ,G 在同一条直线上,且AD =3,DE =1,连接AC ,CG ,AE ,并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值; (2)求线段AH 的长.22.解:(1)由题意知EC =2,AE =10,如解图,过点E 作EM ⊥AC 于点M , ∴∠EMC =90°,易知∠ACD =45°, ∴△EMC 是等腰直角三角形, ∴EM =2,∴sin ∠EAC =EM AE =55.(2)在△GDC 与△EDA 中,⎩⎪⎨⎪⎧DG =DE ∠GDC =∠EDA DC =DA, ∴△GDC ≌△EDA(SAS ),∴∠GCD =∠EAD , 又∵∠HEC =∠DEA ,∴∠EHC =∠EDA =90°, ∴AH ⊥GC ,∵S △AGC =12×AG ×DC =12×GC ×AH ,∴12×4×3=12×10×AH , ∴AH =6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容:①多边形的内外角和公式;②正多边形的有关计算.2.考查形式:①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数;②已知正多边形的边数求内角度数;③求多边形的内外角和.【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展,也是中考命题不容忽视的知识点. 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论:(1)切去一个角,减少一条边,设减少一条边后的边数是n ,则180°(n -2)=1080°,得出n =8,所以原多边形的边数是9;(2)切去一个角,增加一条边,设增加一条边后的边数是n ,则180°(n -2)=1080°,得出n =8,所以原多边形的边数是7;(3)切去一个角,边数无改变,设边数没有改变时的边数是n ,则180°(n -2)=1080°,得出n =8,所以原多边形的边数是8,综上所述,原多边形的边数是9,7,8都符合题意,答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形的边数是________.25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ,则内角和为(n -2)·180°,外角和为360°,则根据题意有:(n -2)·180°=2×360°,解得n =6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是________.26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°,其外角和为360°,可得这个正多边形的边数是360°45°=8.方法指导设正多边形的边数为n ,正多边形的外角和为360°,内角和为(n -2)×180°,每个内角的度数为180°×(n -2)n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式:图形折叠计算以矩形折叠考查居多,常考查:①图形的折叠计算角度;②图形的折叠计算线段长或边长;③图形折叠的证明和计算结合;④图形折叠的操作探究.【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化,且又很好地引入了对称知识,使问题升华,有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度,是全国命题的主流趋势之一,值得每位考生关注.27. 如图,把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 的对应点为B′,AB ′与DC 相交于点E ,则下列结论一定正确的是( )A .∠DAB ′=∠CAB′ B .∠ACD =∠B′CDC .AD =AE D .AE =CE27. D28. 如图,把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN ,再过点B 折叠纸片,使点A 落在MN 上的点F 处,折痕为BE.若AB 的长为2,则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图,把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点A 落在CD 边上的点A′处,点B 落在点B′处.若∠2=40°,则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′=∠A =90°,∵∠2=40°,∴∠B ′A ′C =50°,∴∠EA ′D =40°,∠DEA ′=50°,∴∠AEA ′=130°,∴∠AEF =∠FEA ′=12∠AEA ′=65°,∵AD ∥BC ,∴∠1=180°-65°=115°.30. 如图,将▱ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点B′处.若∠1=∠2=44°,则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD =x ,∠B =y ,则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y +44°=180°180°-y -(44°-x )=44°,解得y =114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图,将△ABC 沿直线DE 折叠,使点C 与点A 重合,已知AB =7,BC =6,则△BCD 的周长为________. 31. 13 【解析】由折叠的性质可得:CD =AD ,∴△BCD 的周长=BC +CD +BD =BC +AD +BD =BC +BA =6+7=13.32. 如图,在▱ABCD 中,E 为边CD 上一点,将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处,A D′与CE 交于点F ,若∠B =52°,∠DAE =20°,则∠FED′的大小为________.32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中,∠D =∠B =52°,∴∠AEF =∠DAE +∠D =20°+52°=72°,∴∠AED=180°-∠AEF =108°,由折叠的性质得,∠AED ′=∠AED =108°,∴∠FED ′=∠AED′-∠AEF =108°-72°=36°.33.如图,将矩形纸片ABCD(AD >AB)折叠,使点C 刚好落在线段AD 上,且折痕分别与边BC ,AD 相交.设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.33. 解:(1)四边形CEGF是菱形,理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC,∵图形翻折后点G与点C重合,EF为折痕,∴∠GEF=∠FEC,∴∠GFE=∠GEF,∴GF=GE,∵图形翻折后EC与GE完全重合,FC与FG重合,∴GE=EC=GF=FC,∴四边形CEGF为菱形.(2)如解图①,当点F与点D重合时,四边形CEGF是正方形,此时CE最小,且CE=CD=3;如解图②,当点G与点A重合时,CE最大.设EC=x,则BE=9-x,由折叠性质知,AE=CE=x,在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即9+(9-x)2=x2,解得x=5,∴CE=5,所以,线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.(1)求证:四边形BCED′是菱形;(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.34. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D=60°,由折叠性质可知,∠D=∠AD′E=60°,∴∠AD′E=∠B=60°,∴ED′∥BC,又∵EC∥D′B,∴四边形BCED′是平行四边形,∴ED′=BC=AD=1,∴DE=ED′=1,又DC=AB=2,∴EC =1, ∴EC =ED′,∴四边形BCED′是菱形. (2)解:如解图所示,由折叠性质PD′=PD ,BD 之长即为所求, 作DG ⊥BA 的延长线于点G , ∵∠DAB =120°, ∴∠DAG =60°, ∵∠G =90°, ∴∠ADG =30°,在Rt △ADG 中,AD =1, ∴AG =12,DG =32,∵AB =2, ∴BG =52,在Rt △BDG 中,由勾股定理得:BD 2=BG 2+DG 2=7, ∴BD =7,即PD′+PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型:直线同侧两定点,在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小.作法:作其中一点关于直线的对称点,连接另一点和对称点的线段即是最短距离和;最短距离计算方法:构造以最短距离线段为斜边的直角三角形,利用勾股定理求解.中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述,正确的是( )A . 若A B⊥BC,则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD,则▱ABCD 是正方形C . 若AC =BD ,则▱ABCD 是矩形 D . 若AB =AD ,则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ,五边形的外角和等于b ,则a 与b 的关系是( )A . a >bB . a =bC . a <bD . b =a +180°3.如图,正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后,若顶点A ,B ,C ,D 的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b ,m),(c ,m).则点E 的坐标是( )A . (2,-3)B . (2,3)C . (3,2)D . (3,-2)第3题图 第4题图4.如图,▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,且AC +BD =16,CD =6,则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E ,F 分别是AD ,CD 边上的中点,连接EF.若EF =2,BD =2,则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图,平行四边形ABCD 的周长是26 cm ,对角线AC 与BD 交于点O ,AC ⊥AB ,E 是BC 中点,△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ,则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图,正方形ABCD 的边长为9,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH ,若BE∶EC =2∶1,则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图,在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AB 上一点,过点E 作EF∥AD,与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点,连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论:①EG =DF ;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若AE AB =23,则3S △EDH =13S △DHC ,其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图,在▱ABCD 中,BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ,若∠1=20°,则∠2的度数为________.10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC =8,BD =6,则菱形ABCD 的高DH =________.第9题图 第10题图 第11题图11.如图,延长矩形ABCD 的边BC 至点E ,使CE =BD ,连接AE.如果∠ADB=30°,则∠E=________度. 12.如图,正方形ABCO 的顶点C ,A 分别在x 轴,y 轴上,BC 是菱形BDCE 的对角线,若∠D=60°,BC =2,则点D 的坐标是________.第12题图 第13题图 第14题图 13.如图,正十二边形A 1A 2…A 12,连接A 3A 7,A 7A 10,则∠A 3A 7A 10=________°.14.如图,菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形的边长为________cm . 15.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =6,BC =10.点E 在CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD 上的点F 处;点G 在AF 上,将△ABG 沿BG 折叠,点A 恰落在线段BF 上的点H 处.有下列结论: ①∠EBG =45°;②△DEF∽△ABG;③S △ABG =32S △FGH ;④AG +DF =FG.其中正确的是______________.(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图,正方形ABCD 的面积为3 cm 2,E 为BC 边上一点,∠BAE =30°,F 为AE 的中点,过点F 作直线分别与AB ,DC 相交于点M ,N.若MN =AE ,则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图,在▱ABCD 中,连接BD ,在BD 的延长线上取一点E ,在DB 的延长线上取一点F ,使BF =DE ,连接AF 、CE. 求证:AF∥CE.18.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,∠ABC∶∠BAD=1∶2,BE∥AC,CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值;(2)求证:四边形OBEC是矩形.19.如图,▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.20.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;(2)四边形BCED是菱形.21.已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.(1)求证:AP=BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长.22.已知正方形ABCD中,BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,DF=BE,连接AE、AF,过点A作AH⊥ED于H点.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.23.如图,已知△ABC 中,AB =AC ,把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD 、CE 交于点F. (1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB =2,∠BAC =45°,当四边形ADFC 是菱形时,求BF 的长.24.如图,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边的点E 处,过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ,连接DG. (1)求证:四边形EFDG 是菱形;(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系,并说明理由; (3)若AG =6,EG =25,求BE 的长.答案与解析:1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ,F 分别是 AD ,CD 边上的中点,即EF 是△ACD 的中位线,∴AC =2EF =22,则菱形ABCD 的面积=12AC ·BD =12×22×2=2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中,AD =BC ,AB =CD ,BO =DO ,∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ,∴AB +BC =13 cm ,又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ,∴AD -AB =BC -AB =3 cm ,解得AB =5 cm ,BC =8 cm ,又AB ⊥AC ,E 是BC 的中点,∴AE =BE =CE =12BC =4 cm.7. B 【解析】设CH =x ,∵BE ∶EC =2∶1,BC =9,∴EC =3,由折叠可知,EH =DH =9-x ,在Rt △ECH 中,由勾股定理得:(9-x )2=32+x 2,解得:x =4.8. D 【解析】逐项分析如下表:序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目,几乎每个选项之间都是紧密联系的,单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解,本题目难点在于④中,需将S △FDH 与已知条件AE AB =23联系起来,并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ,继而求解.9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴CD ∥AB ,∴∠CAB =∠1=20°,∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ,∴∠ABE =90°,∴∠2=∠CAB +∠ABE =20°+90°=110°.10. 4.8 【解析】∵S =1AC·BD =2AB·DH ,∴AC ·BD =2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形,∴∠AOB =90°,AO =12AC =4,BO =12BD =3,∴在Rt △AOB 中,AB =42+32=5,∴DH =8×62×5=4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图,连接AC.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC ,AC =BD ,又∵AB =BA ,∴△DAB ≌△CBA(SSS ),∴∠ACB =∠ADB =30°,∵CE =BD ,∴AC =CE ,∴∠E =∠CAE =12∠ACB=15°.第12题解图12. (3+2,1) 【解析】如解图,过点D 作DG ⊥BC 于G ,DF ⊥x 轴于F ,∵在菱形BDCE 中,BD =CD ,∠BDC =60°,∴△BCD 是等边三角形,∴DF =CG =12BC =1,CF =DG =3,∴OF =3+2,∴D(3+2,1).13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形,作它的外接圆⊙O ,∴劣弧A 10A 3的度数=5×360°12=150°,∴∠A 3A 7A 10=12×150°=75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图,连接AC 、BD 交于O ,则有12AC·BD =120,∴AC ·BD =240,又∵菱形对角线互相垂直平分,∴2OA ·2OB =240,∴ OA ·OB =60,∵AE 2=50, OA 2+OE 2= AE 2,OA =OE ,∴OA =5,∴OB =12,∴AB =OA 2+OB 2=122+52=13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得,∠CBE =∠FBE ,∠ABG =∠FBG ,∴∠EBG =∠FBE +∠FBG =12×90°=45°,故①正确;由折叠的性质得,BF =BC =10,BA =BH =6,∴HF =BF -BH =4,AF =BF 2-BA 2=102-62=8,设GH =x ,则GF =8-x ,在Rt △GHF 中,x 2+42=(8-x)2,∴x =3,∴GF =5,∴AG =3,同理在Rt △FDE 中,由FD 2=EF 2-ED 2,得ED =83,EF =103,∴ED FD =43≠ABAG =2,∴△DEF 与△ABG 不相似,故②不正确;S △ABG =12×3×6=9,S △FGH =12×3×4=6,∴S △ABG S =96=32,故③正确;∵AG =3,DF =AD -AF =2,∴FG =5,∴AG +DF =FG =5,故④正确.综上,答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图,过N 作NG ⊥AB ,交AB 于点G ,∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =AD =NG = 3 cm ,在Rt △ABE 中,∠BAE =30°,AB = 3 cm ,∴BE =1 cm ,AE =2 cm ,∵F 为AE 的中点,∴AF =12AE =1 cm ,在Rt △ABE 和Rt △NGM 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =NG AE =NM ,∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL ),∴BE =GM ,∠BAE =∠MNG =30°,∠AEB =∠NMG =60°,∴∠AFM =90°,即MN ⊥AE ,在Rt △AMF 中,∠FAM =30°,AF =1 cm ,∴AM =AF cos 30°=132=233 cm ,由对称性得到AM′=BM =AB -AM =3-233=33 cm ,综上,AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,第17题解图∴AD ∥BC ,AD =BC , ∴∠1=∠2, 又∵BF =DE ,∴BF +BD =DE +BD , 即DF =BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS ). ∴∠AFD =∠CEB ,∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形,∠ABC ∶∠BAD =1∶2,可求出∠DBC 的度数,其正切值可求出.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD ∥BC ,∠DBC =12∠ABC ,∴∠ABC +∠BAD =180°, 又∵∠ABC ∶∠BAD =1∶2, ∴∠ABC =60°, ∴∠DBC =12∠ABC =30°,∴tan ∠DBC =tan 30°=33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ,CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形,再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形.证明:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,即∠BOC =90°, ∵BE ∥AC ,CE ∥BD , ∴BE ∥OC ,CE ∥OB ,∴四边形OBEC 是平行四边形,且∠BOC =90°,∴四边形OBEC 是矩形.19. (1)证明:∵AE ⊥BD ,CF ⊥BD , ∴AM ∥CN ,又∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴MC ∥AN ,∴四边形CMAN 是平行四边形.(2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠ADE =∠CBF ,AD =CB , 又∵∠AED =∠CFB =90°, ∴△AED ≌△CFB(AAS ), ∴DE =BF =4,∴在Rt △BFN 中,BN =32+42=5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB =∠CBE ,结合CE ∥DB ,可得到∠CEB =∠DBE ,从而只需证明∠CBE =∠DBE ,结合△ABC ≌△ABD 即可得证.证明:∵△ABC ≌△ABD , ∴∠ABC =∠ABD , ∵CE ∥BD ,∴∠CEB =∠DBE ,∴∠CEB =∠CBE.(2)证明:∵△ABC ≌△ABD ,∴BC =BD , 由(1)得∠CEB =∠CBE , ∴CE =CB , ∴CE =BD , ∵CE ∥BD ,∴四边形BCED 是平行四边形, ∵BC =BD ,∴四边形BCED 是菱形.21. (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB =AD, ∠BAQ +∠DAP =90°=∠DAB , ∵DP ⊥AQ ,∴∠DAP +∠ADP =90°, ∴∠BAQ =∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中, ⎨⎪⎧∠APD =∠AQB =90°∠ADP =∠BAQ ,∴△DAP ≌△ABQ(AAS ),∴AP =BQ.(2)解:①AQ 和AP ;②DP 和AP ;③AQ 和BQ ;④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得:AQ -AP =PQ ;②∵△ABQ ≌△DAP ,∴AQ =DP ,∴DP -AP = AQ -AP =PQ ;③∵△ABQ ≌△DAP ,∴BQ =AP ,∴AQ -BQ =AQ -AP =PQ ;④∵△ABQ ≌△DAP ,∴DP =AQ ,BQ =AP ,∴DP -BQ =AQ -AP =PQ.22. (1)证明:在△ADF 和△ABE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ∠ABE =∠ADF =90°EB =FD, ∴△ADF ≌△ABE(SAS ).(2)解:∵AB =3,BE =1,∴AE =10,EC =4,∴ED =CD 2+EC 2=5,设AH =x ,EH =y ,在Rt △AHE 和Rt △AHD 中,⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=10x 2+(5-y )2=9, 解得,x =1.8,y =2.6,∴tan ∠AED =AH EH =x y =1.82.6=913. 23. (1)证明:∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得,∴AD =AB ,AE =AC ,∠BAC =∠DAE ,∵AB =AC ,∴AD =AB =AE =AC ,∠EAC =∠DAB ,在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD = AE ∠EAC =∠DAB AB =AC, ∴△AEC ≌△ADB(SAS ).(2)解:当四边形ADFC 是菱形时,AC =DF ,AC ∥DF ,∴∠BAC =∠ABD ,又∵∠BAC =45°,∴∠ABD =45°,又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得,∴AD =AB ,∴∠DAB =90°,又∵AB =2,由勾股定理可得:BD =AD 2+AB 2=2AB =22,在菱形ADFC 中,DF =AD =AB =2,∴BF =BD -DF =22-2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质,易得DF =EF ,DG =EG ,∠AFD =∠AFE ,再由EG ∥DC ,可得∠EGF =∠AFD ,从而得出EG =EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证;证明:由折叠的性质可得,EF =FD ,∠AEF =∠ADF =90°,第24题解图∠EFA =∠DFA ,EG =GD.∵EG ∥DC ,∴∠DFA =∠EGF ,∴∠EFA =∠EGF ,∴EF =EG =FD =GD ,∴四边形EFDG 是菱形.(2)【思路分析】由(1)可知EG =EF ,连接DE ,则DE 与GF 相互垂直平分,证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ,列比例式,结合FH =12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系; 解:如解图,连接ED ,交AF 于点H ,∵四边形EFDG 是菱形,∴DE ⊥AF ,FH =GH =12GF ,EH =DH =12DE. ∵∠FEH =∠FAE =90°-∠EFA ,∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ,∴EF FH =AF EF,即EF 2=FH·AF , ∴EG 2=12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ,EG 代入(2)中的关系式,求得GF ,AF 的值,根据勾股定理求得AD ,DE ,再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ,可求出EC ,从而可求出BE 的值.解:∵AG =6,EG =25,EG 2=12GF·AF , ∴(25)2=12(6+GF)·GF ,∴GF =4, ∴AF =10.∵DF =EG =25,∴AD =BC =AF 2-DF 2=45,DE =2EH =2EG 2-(12GF )2=8. ∵∠CDE +∠DFA =90°,∠DAF +∠DFA =90°,∴∠CDE =∠DAF ,∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ,∴EC DF =DE AF ,即EC 25=810, ∴EC =855, ∴BE =BC -EC =AD -EC =45-855=1255.。

四边形专项训练题(培优)

四边形专项训练题(培优)

四边形专项训练题(培优)一.选择题(共10小题)1.四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°,则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A.1B.C.D.2.如图,在▱ABCD中,一定正确的是()A.AD=CD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC3.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌()A.等边三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形4.如图,在▱ABCD中,AB=8,点E是AB上一点,AE=3,连接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为()A.5B.4C.3D.25.如图1,在菱形ABCD中,∠C=120°,M是AB的中点,N是对角线BD上一动点,设DN长为x,线段MN与AN长度的和为y,图2是y关于x的函数图象,图象右端点F 的坐标为(2,3),则图象最低点E的坐标为()A.(,2)B.(,)C.(,)D.(,2)6.如图,在△ABC中,AB=AC,△DBC和△ABC关于直线BC对称,连接AD,与BC相交于点O,过点C作CE⊥CD,垂足为C,与AD相交于点E,若AD=8,BC=6,则的值为()A.B.C.D.7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”,如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AD的长约为8mm,则正六边形ABCDEF 的边长为()A.2mm B.2mm C.2mm D.4mm8.如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是()A.AE=AF B.∠EAF=∠CBF C.∠F=∠EAF D.∠C=∠E9.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是()A.B.C.D.10.如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是()A.若OB=OD,则▱ABCD是菱形B.若AC=BD,则▱ABCD是菱形C.若OA=OD,则▱ABCD是菱形D.若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形二.填空题(共10小题)11.四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D',当变形后图形面积是原图形面积的一半时,则∠A'=.12.正十二边形的一个内角的度数为.13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一点,连接P A,以P A,PC为邻边作平行四边形P AQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为.14.如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠F AN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是(填上所有符合要求的条件的序号).15.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角线AC与BD交于点O,E为OB 中点,F为AD中点,连接EF,则EF的长为.16.如图,CD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC,BC的平行线,交BC于点E,交AC于点F.若∠ACB=60°,CD=4,则四边形CEDF的周长是.17.七边形一共有条对角线.18.小张同学家要装修,准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面.现已选定正三角形瓷砖,则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是.(填一种即可)19.如图,在四边形ABCD中,连接AC,∠ACB=∠CAD.请你添加一个条件,使AB=CD.(填一种情况即可)20.如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形,这个条件可以是.(写出一个即可)三.解答题(共8小题)21.同学们在探索“多边形的内角和”时,利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n﹣2)•180°”计算的条件下,利用“一个三角形的内角和等于180°”,结合图形说明:五边形ABCDE的内角和为540°.22.如图,在▱ABCD中,点E、F分别是边AB、CD的中点.求证:AF=CE.23.小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,AC ⊥BD ,OB =OD .求证:四边形ABCD 是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明:∵AC ⊥BD ,OB =OD ,∴AC 垂直平分BD .∴AB =AD ,CB =CD ,∴四边形ABCD 是菱形.小洁: 这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.24.如图,已知五边形ABCDE 是正五边形,连接AC 、AD .证明:∠ACD =∠ADC .25.如图,四边形ABCD 为菱形,E 为对角线AC 上的一个动点(不与点A ,C 重合),连接DE 并延长交射线AB 于点F ,连接BE .(1)求证:△DCE ≌△BCE ;(2)求证:∠AFD =∠EBC .26.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB中点,连结CE.(1)求证:四边形AECD为菱形;(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面积.27.如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且BE=DF,∠ABD=∠BDC.求证:四边形ABCD是平行四边形.28.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点,O是DF的中点,EO的延长线交线段BD于点G,连结DE,EF,FG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.(2)当AD=5,tan∠EDC=时,求FG的长.。

四边形题型归纳

四边形题型归纳

A B CD B ()E A BC DE F 2()1()F ED ABC AB CD EF四边形题型归纳题型一:翻折问题(特殊四边形的折叠问题)1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图,矩形纸片ABCD ,AB=2, ∠ADB=30°,沿对角线BD 折叠(使△ABD 和△EBD 落在同一平面内),则A 、E 两点间的距离为____________.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图,已知矩形ABCD 的边AB=2,AB≠BC ,矩形ABCD 的面积为S ,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形,则这个新矩形对角线长为__________.3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图,梯形纸片ABCD , ∠B=60°,AD ∥BC ,AB=AD=2,BC=6,将纸片折叠,使点B 与点D 重合,折痕为AE ,则CE=___________.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图,折叠矩形的一边CD ,使点C 落在AB 上的点F 处,已知AB=10cm , BC=8cm ,则EC 的长为________.KE FGBDACPQABCDN MEE 'A 'ABC DD 'C 'A BCD E F 5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图,在梯形ABCD 中,DC ∥AB ,将梯形对折,使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处,折痕为EF ,若CD=3cm ,EF=4cm ,则AD ′+BC ′=________cm.6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图,已知EF 为正方形ABCD 的对称轴,将∠A 沿DK 折叠,使它的顶点A 落在EF 上的G 点处,则∠DKG=_____.7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图,有一块面积为1的正方形ABCD ,M 、N 分别为AD 、BC 边的中点,将C 点折至MN 上,落在点P 的位置,折痕为BQ ,连结PQ.(1)求MP 的长度; ⑵求证:以PQ 为边长的正方形的面积等于13.8.两次不同方式的折叠【例8】如图,将一矩形形纸片按如图方式折叠,BC 、BD 为折痕,折叠后AB 与EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为( )A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定【变式1】在矩形ABCD中AB=4,BC=3,按下列要求折叠,试求出所要求结果(1)如图,把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F,求S△BFD;(2)如图,折叠矩形ABCD,使AD与对角线BD重合,求折痕DE的长;(3)如图,折叠矩形ABCD,使点D与点B重合,求折痕EF的长;(4)如图,E是AD上一点,把矩形ABCD沿着BE折叠,若点A恰好落在CD上的点F处,求AE的长。

四边形综合经典难题

四边形综合经典难题

四边形压轴经典题型1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90o,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC,且与CD相交于G,GE∥CA交AB于E点,求证:四边形CFEG是菱形.2. 已知:如图,EG、FH过正方形ABCD的对角线交点O,EG⊥FH,求证:四边形EFGH是正方形.3. 如图,三角形ABC中,AB=AC,角A=108 o,BD平分角ABC交AC于D,求证:BC=AB+CD.4.在▱ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,求∠A的度数.5.已知在平行四边形ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,求DF的长.6. 如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF.(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;(2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论;(3)延长DF交BC于点M,试判断BM与MC的数量关系.(直接写出结论)7. 如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由.8. 已知,如图,正方形ABCD的面积为25,菱形PQCB的面积为20,求阴影部分的面积.9. 已知,如图,▱ABCD中,BE,CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线,BE,CF相交于点O。

(1)求证:BE⊥CF;(2)试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由;(3)当△BOC为等腰直角三角形时,四边形ABCD是何特殊四边形?(直接写出答案)10. 在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.11. 如图,四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,AD=2,求四边形ABCD 的面积.12. 已知,在四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN 的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F两点.(1)当AE=CF时(如图1),求证:AE+CF=EF;(2)当AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,AE+CF=EF是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需要证明。

八年级下四边形知识点经典题型要点总结

八年级下四边形知识点经典题型要点总结

八年级下四边形知识点经典题型要点总结在八年级下册的数学学习中,四边形是一个重要的几何图形,其中包括了矩形、正方形、菱形、平行四边形、梯形等等。

通过对于这些四边形的学习和掌握,不仅可以提高我们的空间想象力,还有助于解决实际问题。

在本文中,我们将总结四边形的知识点和经典题型要点,帮助大家更好地掌握这一部分内容。

1. 矩形矩形是一个具有四个直角的四边形,其特点是对角线相等,对边平行且相等。

矩形的相关要点包括:- 周长计算公式:周长 = 2 × (长 + 宽)- 面积计算公式:面积 = 长 ×宽- 对角线长度相等:对角线长度等于 $\sqrt{长^2 + 宽^2}$2. 正方形正方形是一种特殊的矩形,其特点是四个边和四个角都相等。

正方形的相关要点包括:- 周长计算公式:周长 = 4 ×边长- 面积计算公式:面积 = 边长 ×边长- 对角线长度:对角线长度等于边长 × $\sqrt{2}$3. 菱形菱形是一种具有对边平行且相等的四边形,其特点是所有角都是直角。

菱形的相关要点包括:- 周长计算公式:周长 = 4 ×边长- 面积计算公式:面积 = 对角线之积的一半- 对角线的长度关系:对角线互相垂直且相等4. 平行四边形平行四边形是一种具有对边平行且相等的四边形,其特点是对角线互相平分。

平行四边形的相关要点包括:- 周长计算公式:周长 = 2 × (边长1 + 边长2)- 面积计算公式:面积 = 底边 ×高- 对角线的长度和关系:对角线长度等于 $\sqrt{边长1^2 + 边长2^2 + 2×底边×高^2}$5. 梯形梯形是一种具有两条平行边的四边形,其特点是底边和顶边平行且相等。

梯形的相关要点包括:- 周长计算公式:周长 = 底边1 + 底边2 + 左斜边 + 右斜边- 面积计算公式:面积 = (底边1 + 底边2) ×高 / 2通过对于这些四边形的学习和掌握,我们可以更好地解决与其相关的问题。

四边形题型

四边形题型

Courseware template
2、分别以△ABC的三边为边向同一侧作等边 △ABD、△BCE、△ACF,连接DE、EF.
求证:四边形AFED是平行四边形.
E
F
D
A
B
C
On the evening of July 24, 2021
Courseware template
3、已知如图,在四边形ABCD中,E、F 分别为AB、CD的中点. 求证: EF1(ACBD)
Courseware template
(7)连接DF,设O是DF的中点,连OB,OC 求证:△OBC是等腰直角三角形,(即当 △ABC的BC边不动,A点在平面内移动时DF 的中点是一个定点)
E
D
G
A
O
F
B
C
On the evening of July 24, 2021
总结:梯形问梯题形中三经常用到的辅Co助urseware template 线
面积相等.
E
D
G
A
F
(3)设AM是△ABC的中线
B
C
求证:EG=2AM
E
D
G
A
F
B
M
C
On the evening of July 24, 2021
Courseware template
(4) 若延长中线MA交EG于H, 求证:AH⊥EG
(5)写出(4)的逆命题,并证明其正确性.
E
H
D
G
A
F
B
M
C
(2)过边上任意一点作直线
(3)过四边形内任意一点作直线 (待解)
A D
B
C

最新全等四边形题型归纳(经典完整)

最新全等四边形题型归纳(经典完整)

最新全等四边形题型归纳(经典完整)本文将归纳最新的全等四边形题型,帮助读者掌握并熟练运用这些经典题型。

直角四边形1. 根据全等四边形的性质,如果两个四边形的所有对应边相等,则这两个四边形全等。

因此,当一个四边形是直角四边形时,它的对应边长相等的另一个四边形也是直角四边形。

例如,如果四边形ABCD是一个直角四边形,且AB = CD,BC = AD,那么四边形BCDA也是一个直角四边形。

2. 在一个直角三角形中,斜边平分直角,将三角形划分为两个全等的直角四边形。

例如,对于直角三角形ABC,如果AC是斜边,BC是直角,那么直角四边形ABCD和ABCE是全等的。

平行四边形1. 如果一个四边形的对角线相交,并且交点将对角线平分,那么这个四边形是平行四边形。

例如,如果四边形ADBC的对角线AC和BD交于点O,并且AO = CO,BO = DO,那么四边形ADBC是一个平行四边形。

2. 对于平行四边形的对角线,其长度满足对应关系。

如果在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则有AO = CO,BO = DO。

矩形1. 矩形是一种特殊的平行四边形,它的所有角都是直角。

因此,如果一个四边形是矩形,那么它是一个平行四边形。

例如,如果四边形ABCD是一个矩形,那么四边形ABCD也是一个平行四边形。

2. 在一个矩形中,对角线相等。

如果在矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,则有AO = CO = BO = DO。

菱形1. 菱形是一种特殊的平行四边形,它的所有边长相等。

因此,如果一个四边形是菱形,那么它是一个平行四边形。

例如,如果四边形PQRS是一个菱形,那么四边形PQRS也是一个平行四边形。

2. 在一个菱形中,对角线互相垂直且平分。

如果在菱形PQRS 中,对角线PR和QS相交于点O,则有∠POR = ∠SOQ = 90°,并且PO = OR = SO = OQ。

总结本文归纳了最新的全等四边形题型,包括直角四边形、平行四边形、矩形和菱形。

平行四边形判定经典题型

平行四边形判定经典题型

平行四边形判定经典题型摘要:一、平行四边形的定义和性质二、平行四边形的判定方法1.两组对边分别平行2.两组对边分别相等3.一组对边平行且相等4.两组对角分别相等5.对角线互相平分三、经典题型解析1.题目一2.题目二3.题目三4.题目四5.题目五正文:平行四边形是初中数学中一个重要的基本图形,它具有许多独特的性质,其中最重要的性质之一就是可以通过一些特定的条件来判定一个四边形是否为平行四边形。

这些判定方法包括两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等以及对角线互相平分。

首先,如果一个四边形的两组对边分别平行,那么这个四边形就是平行四边形。

这是最直接的判定方法。

其次,如果两组对边分别相等,那么这个四边形也是平行四边形。

这种情况下,四边形的一组对边可能相等,也可能不等。

再者,如果一组对边平行且相等,那么这个四边形也是平行四边形。

这种情况下,另一组对边可能平行,也可能相等。

此外,如果两组对角分别相等,那么这个四边形也是平行四边形。

最后,如果对角线互相平分,那么这个四边形也是平行四边形。

在实际做题过程中,我们需要根据题目给出的条件,灵活运用这些判定方法。

下面,我们通过五个经典题型来具体解析这些判定方法的应用。

题目一:如果一个四边形的两组对边分别平行,那么这个四边形是什么?解析:根据上述判定方法,这个四边形是平行四边形。

题目二:如果一个四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是什么?解析:根据上述判定方法,这个四边形是平行四边形。

题目三:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是什么?解析:根据上述判定方法,这个四边形是平行四边形。

题目四:如果一个四边形的两组对角分别相等,那么这个四边形是什么?解析:根据上述判定方法,这个四边形是平行四边形。

题目五:如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是什么?解析:根据上述判定方法,这个四边形是平行四边形。

四边形常见模型(六大题型)(解析版)-初中数学

四边形常见模型(六大题型)(解析版)-初中数学

四边形常见模型目录题型01中点四边形模型 1题型02十字架模型 4题型03对角互补模型 8题型04半角模型 11题型05含60°的菱形模型 16题型06三垂线模型 20题型01中点四边形模型1.(23-24九年级上·山东枣庄·期中)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【详解】解:如图,设点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,∵四边形EFGH是菱形,∴EF=FG=GH=EH,∵BD=2EF,AC=2FG,∴BD=AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形.故选:C.2.(23-24九年级上·山西朔州·期中)如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD和AD的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.若AC=10,BD =12,则四边形EFGH的面积等于()A.30B.35C.40D.60【答案】A【详解】解:∵点E ,F 分别为边AB ,BC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF ∥AC ,EF =12AC ,∵AC =10,∴EF =12AC =5,同理,可得:HG ∥AC ,HG =12AC =5,∴EF ∥HG ,EF =HG ,∵点E ,H 分别为边AB ,AD 的中点,∴EH 是△ABD 的中位线,∴EH ∥BD ,EH =12BD =6,同理,可得:FG ∥BD ,FG =12BD =6,∴EH ∥FG ,EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形,∵AC ⊥BD ,∴EF ⊥EH ,∴∠FEH =90°,∴平行四边形EFGH 是矩形,∴矩形EFGH 的面积为:6×5=30,即四边形EFGH 的面积为30.故选:A .3.(23-24九年级上·山东东营·期中)如图,把矩形ABCD 沿直线AC 折叠,点B 落在点E 处,连接DE ,则顺次连接四边形ADEC 各边中点,得到的四边形的形状一定是.【答案】菱形【详解】解:∵把矩形ABCD 沿直线AC 折叠,点B 落在E 处,∴CD =AE =AB ,∵顺次连接四边形ADEC 各边中点,∴H 、F 分别是DE 、AD 的中点,∴HF =12AE .同理FM =12CD ,NH =12CD ,MN =12AE ,又∵DC =AE ,∴HN =HF =FM =MN ,∴四边形HFMN 是菱形.∴得到的四边形的形状一定是:菱形.故答案为:菱形.4.(23-24九年级上·河南信阳·期中)已知:如图,四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ,顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ,得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形).(1)求证:四边形EFGH 的形状是平行四边形;(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时,四边形EFGH 是矩形;(3)当四边形ABCD 的对角线满足条件时,四边形EFGH 是菱形.【答案】(1)证明见解析(2)互相垂直(3)AC =BD【详解】(1)证明:如图,连接AC 、BD ,∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点,∴EF 、GH 分别为△ABC 、△ADC 的中位线,∴EF =12AC ,EF ∥AC ,GH =12AC ,GH ∥AC ,∴EF =GH ,EF ∥GH ,∴四边形EFGH 的形状是平行四边形;(2)解:当AC ⊥BD 时,四边形EFGH 是矩形,∵EF ∥AC ,FG ∥BD ,AC ⊥BD ,∴EF ⊥FG ,∴平行四边形EFGH 是矩形,故答案为:互相垂直;(3)解:当AC =BD 时,四边形EFGH 是菱形,∵EF =12AC ,FG =12BD ,AC =BD ,∴EF =FG ,∴平行四边形EFGH 是菱形,故答案为:相等.5.(23-24九年级上·福建泉州·期中)已知:如图,四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ,顺次连接EF 、FG 、GH ,HE ,得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形).(1)求证:四边形EFGH 是平行四边形;(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时,四边形EFGH 是矩形?并说明理由.【答案】(1)见详解(2)AC ⊥BD ,见详解【详解】(1)解:连接AC ,如图,∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ,∴HG ∥AC ,HG =12AC ,EF ∥AC ,EF =12AC ,∴HG ∥EF ,HG =EF ,∴四边形EFGH 是平行四边形;(2)解:AC ⊥BD ,理由如下:连接AC ,BD ,∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ,∴HG ∥AC ,EH ∥BD .∵AC ⊥BD ,∴HG ⊥EH ,∴∠EHG =90°,∴平行四边形EFGH 是矩形.故答案为:AC ⊥BD .题型02十字架模型6.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图,将一边长为15的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ,使DE =8,折痕为PQ ,则PQ 的长为()A.15B.16C.17D.18【答案】C 【详解】解:过点P作PM ⊥BC 于点M ,由折叠得到PQ ⊥AE ,∴∠DAE +∠APQ =90°,又∠DAE +∠AED =90°,∴∠AED =∠APQ ,∵AD ∥BC ,∴∠APQ =∠PQM ,则∠PQM =∠APQ =∠AED ,∠D =∠PMQ ,PM =AD∴△PQM ≌△ADE∴PQ =AE =82+152=17.故选:C .【点睛】本题考查正方形的折叠问题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,平行线的性质等知识,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.7.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图,将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠,使得点A 落在边CD 的中点E 处,折痕为FG ,点F 、G 分别在边AD 、BC 上,则折痕FG 的长度为.【答案】25【详解】解:如图,过点G 作GH ⊥AD 于H ,则四边形ABGH 中,HG =AB ,由翻折变换的性质得GF ⊥AE ,∵∠AFG +∠DAE =90°,∠AED +∠DAE =90°,∴∠AFG =∠AED ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AD =AB ,∴HG =AD ,在△ADE 和△GHF 中,∠GHF =∠D∠AFG =∠AED GH =AD,∴△ADE ≌△GHF (AAS ),∴GF =AE ,∵点E 是CD 的中点,∴DE =12CD =2,在Rt △ADE 中,由勾股定理得,AE =AD 2+DE 2=42+22=25,∴GF 的长为25.故答案为:25.【点睛】本题考查翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.8.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)如图,正方形纸片ABCD 的边长为24,E 是边CD 上一点,连接AE 、折叠该纸片,使点A 落在AE 上的G 点,并使折痕经过点B ,得到折痕BF ,点F 在AD 上,若DE =10,则GE 的长为【答案】9813【详解】解:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =AD =24,∠BAD =∠D =90°,由折叠及轴对称的性质可知,△ABF ≌△GBF ,BF 垂直平分AG ,∴BF ⊥AE ,AH =GH ,∴∠BAH +∠ABH =90°,又∵∠FAH +∠BAH =90°,∴∠ABH =∠FAH ,∴△ABF ≌△DAE (ASA ),∴AF =DE =10,在Rt △ABF 中,BF =AB 2+AF 2=242+102=26,S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ,∴24×10=26AH ,∴AH =12013,∴AG =2AH =24013,∵AE =BF =26,∴GE =AE -AG =26-24013=9813,故答案为:9813.【点睛】本题考查了正方形的性质,轴对称的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,面积法求线段的长度等,解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质.9.(23-24九年级上·陕西商洛·期中)如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,CE ,DF 相交于点G ,连接AG ,求证:(1)CE ⊥DF .(2)∠AGE =∠CDF .【答案】(1)见解析;(2)见解析.【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC =CD =AD ,∠B =∠BCD =90°,∵E ,F 分别是AB ,BC 的中点,∴BE =12AB ,CF =12BC ,∴BE =CF ,在△CBE 与△DCF 中,BC =CD∠B =∠FCD BE =CF,∴△CBE ≌△DCF SAS ,∴∠ECB =∠FDC ,∵∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°,∴∠ECD +∠CDF =90°,∴∠CGD =90°,∴CE ⊥DF .(2)延长CE ,交DA 的延长线于H ,∵在正方形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠AHE =∠BCE ,∵点E 是AB 的中点,∴AE =BE ,∵∠AHE =∠BCE ,∠AEH =∠CEB ,AE =BE ,∴△AEH ≌△BEC AAS ,∴AH =BC ,∵在正方形ABCD 中,AD =BC ,∴AH =AD ,∵CE ⊥DF∴∠HGD =90°,∴AG 是Rt △HGD 斜边的中线,AG =12DH =AD ,∠ADG =∠AGD ,∠AGE +∠AGD =∠HGD =90°,∠CDF +∠ADG =∠CDA =90°,∠AGE=∠CDF.【点睛】此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形的性质等,综合性很强,解题的关键是能够综合运用上述知识.题型03对角互补模型10.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,点E为对角线BD上任意一点,连接AE、CE.若AB=5,BC=3,则AE2-CE2等于()A.7B.9C.16D.25【答案】C【详解】解:如图所示:连接AC,与BD交于点O,∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,∴AC⊥BD,在Rt△AOE中,AE2=AO2+OE2,在Rt△COE中,CE2=CO2+OE2,∴AE2-CE2=AO2-CO2,在Rt△AOB中,AO2=AB2-OB2,在Rt△COB中,CO2=BC2-OB2,∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16,∴AE2-CE2=16,故选:C.【点睛】题目主要考查勾股定理的应用,理解题意,熟练运用勾股定理是解题关键.11.(23-24·山东淄博·期中)如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的中线,且AD⊥BE,垂足为点F,设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是()A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2【答案】A【详解】设EF =x ,DF =y ,根据三角形重心的性质得AF =2y ,BF =2EF =2x ,利用勾股定理得到4x 2+4y 2=c 2,4x 2+y 2=14b 2,x 2+4y 2=14a 2,然后利用加减消元法消去x 、y 得到a 、b 、c 的关系.【解答】解:设EF =x ,DF =y ,∵AD ,BE 分别是BC ,AC 边上的中线,∴点F 为△ABC 的重心,AF =12AC =12b ,BD =12a ,∴AF =2DF =2y ,BF =2EF =2x ,∵AD ⊥BE ,∴∠AFB =∠AFE =∠BFD =90°,在Rt △AFB 中,4x 2+4y 2=c 2,①在Rt △AEF 中,4x 2+y 2=14b 2,②在Rt △BFD 中,x 2+4y 2=14a 2,③②+③得5x 2+5y 2=14(a 2+b 2),∴4x 2+4y 2=15(a 2+b 2),④①-④得c 2-15(a 2+b 2)=0,即a 2+b 2=5c 2.故选:A .【点评】本题考查了三角形的重心:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了勾股定理.12.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ,对角线AC ,BD 交于点O .(1)若AB =5,OA =3,OC =4,则BC =;(2)若AD =2,BC =5,则AB 2+CD 2=;(3)若AB =m ,BC =n ,CD =c ,AD =d ,则m ,n ,c ,d 之间的数量关系是.【答案】427m 2+c 2=n 2+d 2【详解】(1)∵AC ⊥BD ,∴∠BOC =∠COD =∠DOA =∠AOB =90°,∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4,∴CB =OB 2+OC 2=42+42=42.故答案为42.(2)由(1)得:∴OB 2+OC 2=BC 2,OA 2+OD 2=AD 2,OB 2+OA 2=AB 2,OC 2+OD 2=CD 2,∴AB 2+CD 2=OB 2+OA 2+OC 2+OD 2=BC 2+AD 2,∵AD =2,BC =5,∴AB 2+CD 2=2 2+5 2=7.故答案为7.(3)由(2)得:AB 2+CD 2=BC 2+AD 2,∴m 2+c 2=n 2+d 2.故答案为m 2+c 2=n 2+d 2.【点睛】本题考查勾股定理的应用问题,熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键.13.(23-24九年级上·安徽芜湖·期中)如图甲,我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形,在这四种图形中是垂美四边形的是(填序号).(2)【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”,即,如图甲,在四边形ABCD 中,若AC ⊥BD ,则AB 2+CD 2=AD 2+BC 2.请判断小美同学的猜想是否正确,并说明理由.(3)【问题解决】如图乙,在△ABC 中,BC =3,AC =4,D ,E 分别是AC ,BC 的中点,连接AE ,BD ,有AE ⊥BD ,求AB .【答案】(1)②④;(2)猜想正确,理由见解析;(3)AB =5【详解】解:(1)∵菱形、正方形的对角线相互垂直,∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义,故答案为:②④;(2)猜想正确,理由如下:∵四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,∴∠AOB =∠COD =∠BOC =∠AOD =90°,∴AB 2=OA 2+OB 2,CD 2=OC 2+OD 2,BC 2=OB 2+OC 2,AD 2=OA 2+OD 2,∴AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2,BC 2+AD 2=OB 2+OC 2+OA 2+OD 2,∴AB 2+CD 2=AD 2+BC 2;(3)∵BC =3,AC =4,D 、E 分别是AC 、BC 的中点,∴AD =12AC =2,BE =12BC =32,DE =12AB ,∵AE ⊥BD ,∴AB 2+ED 2=AD 2+BE 2,∴5 4AB2=4+94,∴AB=5.14.(23-24九年级上·福建福州·期中)如图,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)在我们学过:①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形,能称为垂美四边形的是;(只填序号)(2)如图,垂美四边形ABCD的对角线交于点O,AB=2,BC=3,AD=4,求CD的长度.【答案】(1)③④(2)21【详解】(1)解:∵菱形和正方形的对角线相互垂直,矩形和平行四边形的对角线不一定垂直,∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形,故答案为:③④;(2)∵AC⊥BD,∴AB2=AO2+BO2,BC2=BO2+CO2,DC2=DO2+CO2,AD2=AO2+DO2,∴AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2,BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2,∴AB2+DC2=BC2+AD2;∵AB=2,BC=3,AD=4∴CD2=32+42-22=9+16-4=21∴CD=21.题型04半角模型15.(23-24九年级上·四川眉山·期中)(半角模型)如图,正方形ABCD中,E是AB上的点,F是BC上的点,且∠EDF=45°.求证:AE+CF=EF.【答案】见解析【详解】证明:如图,在BC的延长线上截取CG=AE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCG=90°,∴△ADE≌△CDG SAS,∴DE=DG,∠ADE=∠CDG.∵∠EDF=45°,则∠ADE+∠CDF=∠ADC-∠EDF=45°∴∠FDG=∠CDF+∠CDG=45°.∴∠EDF=∠FDG.在△DEF 和△DGF 中DE =DG∠EDF =∠FDG DF =DF,∴△DEF ≌△DGF SAS ∴EF =GF .即EF =GC +CF∴AE +CF =EF .16.(23-24九年级上·广西南宁·期中)【探索发现】如图①,四边形ABCD 是正方形,M ,N 分别在边CD 、BC 上,且∠MAN =45°,我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.如图①,将△ADM 绕点A 顺时针旋转90°,点D 与点B 重合,得到△ABE ,连接AM 、AN 、MN.(1)试判断DM ,BN ,MN 之间的数量关系,并写出证明过程.(2)如图②,点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上,∠MAN =45°,连接MN ,请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系,并写出证明过程.【答案】(1)MN =DM +BN .证明见解析(2)MN =BN -DM .证明见解析【详解】(1)解:MN =DM +BN .证明如下:由旋转,可知:AE =AM ,BE =DM ,∠EAM =90°.∠ABE =∠D =90°∴点E 、B 、C 共线∵∠MAN =45°∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN在△EAN 和△MAN 中AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN (SAS )∴EN =MN∵EN =BE +BN∴MN =DM +BN (2)解:MN =BN -DM .证明如下:在BC 上取BE =MD .连接AE ,∵AB =AD ,∠B =∠ADM ,∠EAM =90°∴△ABE ≌△ADM (SAS )∴AE =AM ,∠BAE =∠MAD∵∠MAN =45°∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN在△EAN和△MAN中,AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MAN(SAS)∴EN=MN∵EN=BN-BE∴MN=BN-DM【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键.17.(23-24九年级上·广东汕尾·期中)如图,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.(1)求证:△EAG≅△EAF;(2)若DF=3,求BE的长.【答案】(1)见解析(2)BE=2【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°;由旋转的性质可知:∠GAB=∠DAF,AG=AF,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠DAF+∠BAE=45°,∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°,∴∠GAE=∠EAF=45°,在△EAG和△EAF中,AF=AG∠GAE=∠EAF AE=AE,∴△EAG≅△EAF SAS.(2)解:∵DF=3,CD=6,∴CF=3,由(1)可知:GE=EF,BG=DF,∴CG=9,∴CE+EF=9,在Rt△EFC中,由勾股定理得:CE2+CF2=EF2,即CE2+32=9-CE2,解得:CE=4,∴BE=BC-CE=6-4=2.18.(23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)【问题情境】神奇的半角模型在几何图形中,共顶点处的两个角,其中较小的角是较大的角的一半时,我们称之为半角模型.截长补短法是解决这类问题常用的方法.如图1,在正方形ABCD中,以A为顶点的∠EAF=45°,AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点,为了探究EF、BE、DF之间的数量关系,小明的思路如下:如图2,延长CB到点H,使BH=DF,连接AH,先证明△ADF≌△ABH,再证明△AHE≌△AFE.从而得到EF、BE、DF之间的数量关系.(1)提出问题:EF、BE、DF之间的数量关系为.(2)知识应用:如图3,AB=AD,∠B=∠D=90°,以A为顶点的∠BAD=120°,∠EAF=60°,AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点,你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.(3)知识拓展:如图4,在四边形ABCD中,AB=AD=a,BC=b,CD=c.∠ABC与∠D互补,AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点,且∠EAF=1∠BAD,请直接写出△EFC的周长=.(用2含a、b、c的式子表示.)【答案】(1)EF=DF+BE(2)(1)中的结论还成立,证明见解析(3)b+c【详解】(1)解:延长CB到点H,使BH=DF,连接AH,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABH=∠BAD=90°,∴△ADF≌△ABH,∴∠DAF=∠BAH,AH=AF,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°,∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=45°,∴∠EAH=∠EAF,∵AE=AE,∴△AHE≌△AFE,∴EF=EH,∵EH=BE+BH,∴EF=DF+BE;故答案为:EF=DF+BE(2)解:(1)中的结论还成立,证明如下:延长CB到点M,使BM=DF,连接AM,∵∠B=∠D=90°,∴∠ABM=∠D=90°,∵AB=AD,∴△ADF≌△ABM,∴∠DAF=∠BAM,AM=AF,∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,∴∠BAE+∠DAF=60°,∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=60°,∴∠EAM=∠EAF,∵AE=AE,∴△AME≌△AFE,∴EF=EM,∵EM=BE+BM,∴EF=DF+BE;(3)解:如图,延长CB到点P,使BP=DF,连接AP,∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABP=180°,∴∠D=∠ABP,∵AB=AD,∴△ADF≌△ABP,∴∠DAF=∠BAP,AP=AF,∵∠EAF=1∠BAD,2∠BAD,∴∠BAE+∠DAF=12∴∠EAP=∠EAF,∵AE=AE,∴△APE≌△AFE,∴EF=EP,∵EP=BE+BP,∴EF=DF+BE,∵BC=b,CD=c,∴△EFC的周长=EF+CE+CF=DF+BE+CE+CF=BC+CD=b+c.故答案为:b+c题型05含60°的菱形模型19.(2024·上海·期中)菱形ABCD的边长为23,∠B=60°,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,那么△AEF周长为【答案】9【详解】解:过点A作AM⊥EF,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AB=BC=CD=23,∵∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形,∴∠BAC =60°,∵AE ⊥BC ,∴BE =CE =12BC =232=3,∠BAE =∠DAF =30°,再Rt △AEB 中,AE =AB 2-BE 2=3,同理可证,∠DAF =∠CAF =30°,AF =3,∴∠EAF =120°-30°-30°=60°,AE =AF =3,∴△AEF 是等边三角形,边长为3∴△AEF 的周长是9.20.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试)如图,菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ,连接AE ,F 为AE 的中点,连接CF ,CF 交BE 于点G ,则GF 的长为.【答案】192【详解】解:如图,取H 为BE 的中点,∵菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,∴AB =BC =CD =4,AB ∥CD ,∠BAD =∠BCE =60°,∵F 为AE 的中点,H 为BE 的中点,∴EH =12BE ,FH 是△ABE 的中位线,∴FH =12AB =2,AB ∥FH ,∴AB ∥FH ∥CD ,∵BE ⊥AB ,∴FH ⊥BE ,CD ⊥BE ,∴∠FHE =∠BEC =90°,∴∠CBE =90°-60°=30°,∴CE =12BC =2,∴BE =BC 2-CE2=42-22=23,∴EH =12BE =3,∴FH =CE ,在△FHG 和△CEG 中,∠FHG =∠CEG∠FGH =∠CGE FH =CE,∴△FHG ≌△CEG (AAS ),∴EG =GH =12EH =32,在Rt △FHG 中,由勾股定理得:GF =FH 2+GH 2=22+32 2=192,故答案为:192.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解题的关键.21.(23-24九年级上·上海·期中)如图,菱形ABCD 中,AB =3,∠DAB =60°,AE =1,点P 为对角线AC上的一个动点,则PE +PB 的最小值为.【答案】7【详解】解:如图,连接BD ,PD ,过D 作DR ⊥AB 于R ,由菱形的对称性可得:PD =PB ,∴PB +PE =PD +PE ≥DE ,当D ,P ,E 三点共线时,PD +PE 最短,∵菱形ABCD 中,AB =3,∠DAB =60°,∴AB =AD =3,△ABD 为等边三角形,∴AR =BR =32,DR =AD 2-AR 2=323,∵AE =1,∴ER =32-1=12,∴DE =12 2+323 2=7,∴PB +PE 的最小值为:7;故答案为:7【点睛】本题考查的是菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用,化为最简二次根式,三角形的三边关系的应用,作出合适的辅助线是解本题的关键.22.(23-24九年级上·广西钦州·期中)如图,已知菱形ABCD 的边长为8,点M 是对角线AC 上的一动点,且∠ADC =120°,则MA +MB +MD 的最小值是.【答案】83【详解】解:如图,过点M 作ME ⊥AB 于点E ,连接BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AB∥CD,AD=AB=DC=BC,∠DAB,∠MAE=12∴∠DAB+∠ADC=180°,∴∠DAB=180°-120°=60°,∴∠MAE=1∠DAB=30°,2△DAB是等边三角形,∵ME⊥AB,∴AM=2ME,∵MD=MB,∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2ME+DM,∴当D、M、E三点共线时,ME+DM取得最小值,此时ME+DM=DE,∴MA+MB+MD的最小值为2DE,AB=4,∴AE=12∴DE=AD2-AE2=82-42=43,∴2ME+DM=2DE=83,∴MA+MB+MD的最小值为83;故答案:83.23.(23-24九年级上·四川绵阳·开学考试)如图,△ABC中,∠BCA=90°,D是斜边AB的中点,若CE∥AB,DE∥BC,且DE交AC于点O,连接AE.(1)求证:四边形ADCE是菱形;(2)若∠B=60°,BC=6,则四边形ADCE的面积=.【答案】(1)证明见解析(2)183【详解】(1)证明:∵CE∥AB,DE∥BC,∴四边形DBCE是平行四边形.∴CE∥BD,且EC=BD.∵D是斜边AB的中点,∴AD=BD,∴EC=AD,∴四边形ADCE是平行四边形,∵∠BCA=90°,D是斜边AB的中点,∴CD=12AB=AD,∴平行四边形ADCE是菱形.(2)解:∵∠BCA=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,∵BC=6,∴AB=2BC=12,∴AC=AB2-BC2=122-62=63,由(1)知,四边形ADCE是菱形,四边形DBCE是平行四边形,∴AC⊥DE,DE=BC=6,∴菱形ADCE的面积=12AC×DE=12×63×6=183,故答案为:183【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理,熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.24.(23-24九年级上·浙江杭州·开学考试)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.【答案】(1)见解析(2)菱形的面积为83【详解】(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC且2DE=BC,又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形,又∵BE=FE,∴四边形BCFE是菱形;(2)解:∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,∴菱形的边长为4,作EG⊥BC于G,∴∠BEG=30∘,∠BGE=90∘,∴BG=12BE=2,∴EG=23,即高为23,∴菱形的面积为4×23=8 3.题型06三垂线模型25.(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图,在正方形ABCD中,点G为CD边上一点,以CG为边向右作正方形CEFG,连接AF,BD交于点P,连接BG,过点F作FH⎳BG交BC于点H,连接AH,交BD于点K,下列结论中错误的是()A.HE=CDB.△AHF是等腰直角三角形C.点P为AF中点D.PK=BK+DP【答案】D【详解】解:A.∵四边形CEFG是正方形,∴GF∥CE,GF=CE,∵BG∥HF,∴四边形BHFG为平行四边形,∴GF=BH,∴BH=CE,∴BC=HE,∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD.∴HE=CD,故A正确;B.∵ABCD是正方形,CEFG是正方形,∴AB=BC,CE=EF,∠ABH=∠HEF=90°,∵BC=HE,BH=CE,∴AB=HE,BH=EF,∴△ABH≌△HEF(SAS),∴AH=HF,∠BAH=∠EHF,∵∠BAH+∠AHB=90°,∴∠EHF+∠AHB=90°,∴∠AHF=90°,∴△AHF为等腰直角三角形,故B正确;C.过H作HM⊥BC,HM与BD交于点M,连接MF,则MH∥EF,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∠HBD=1∠ABC,2∴∠HBM=45°,∴BH=MH,∵△ABH≌△HEF,∴BH=EF,∴MH=EF,∴四边形EFMH为矩形,∴MF∥BE∥AD,MF=HE,∴∠DAP=∠MFP,∠ADP=∠FMP,∵AD=BC=HE,∴AD=MF,∴△P AD≌△PFM(ASA),∴AP=FP,故C正确;D.将△ADP绕点A顺时针旋转90,得△ABQ,连接QK,则AQ=AP,∠QAP=90°,∵△AHF是等腰直角三角形,∴∠HAF=45°,∴∠QAK=∠P AK=45°,∵AK=AK,∴△AQK≌△APK(SAS),∴QK=PK,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠ADB=45°,由旋转性质知,∠ABQ=∠ADP=45°,BQ=DP,∴∠QBK=90°,∴BK2+BQ2=QK2,∴BK2+DP2=KP2,故D错误;故选:D.【点睛】本题是正方形的一个综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,旋转的性质,后两选项关键在构造全等三角形.26.(23-24九年级上·广西贵港·期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,EF垂直于CA的延长线于F,连接CE,则CE的长为()A.13B.15C.17D.20【答案】C【详解】∵四边形ABDE是正方形,∴∠BAE=90°,AE=AB,∵EF ⊥CA ,∴∠F =90°,∴∠EAF +∠AEF =90°,∵∠EAF +∠BAC =180°-∠BAE =90°,∴∠AEF =∠BAC ,在ΔAEF 和ΔBAC 中,∠F =∠ACB =90°∠AEF =∠BAC AE =AB,∴ΔAEF ≌ΔBAC AAS ,∴EF =AC =8,AF =BC =7,在Rt ΔECF 中,EF =8,FC =FA +AC =8+7=15,根据勾股定理得:CE =82+152=17,故选:C .【点睛】此题考查了勾股定理,正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.27.(23-24九年级上·辽宁盘锦·期中)如图,正方形ABCD 的边长为3,点E 在AB 上,点F 在BC 的延长线上,且AE =CF ,则四边形EBFD 的面积为:.【答案】9【详解】∵四边形ABCD 是正方形,∴AD =DC ,∠A =∠DCF =90°,∵AE =CF,∴△DAE ≅△DCF SAS ,∴四边形EBFD 的面积=正方形ABCD 的面积=32=9.故答案是9.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,准确计算是解题的关键.28.(23-24九年级上·陕西西安·期中)已知:点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边中点,顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 得到四边形EFGH .有下列说法:①四边形EFGH 是平行四边形;②当四边形ABCD 为平行四边形时,四边形EFGH 是菱形;③当四边形ABCD 为矩形时,四边形EFGH 是菱形;④当AC ⊥BD 时,四边形EFGH 是矩形;⑤若四边形EFGH 是正方形,则四边形ABCD 一定是正方形.其中正确的是()A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤【答案】A 【详解】解:如图所示,连接BD 、AC ,∵E 、H 分别为AD ,CD 中点,∴EH =12AC ,同理,FG =12AC ,EF =12BD ,HG =12BD ,∴EH =FG ,EF =HG ,∴四边形EFGH 是平行四边形,故①正确;当四边形ABCD 是矩形时,则AC =BD ,∴EH =EF ,∴平行四边形EFGH 是菱形,而当四边形ABCD 是平行四边形时,不能得出EH =EF ,故②错误,③正确;当AC ⊥BD 时,∵E 、F 、H 分别为AD 、AB 、CD 中点,∴EF ∥BD ,EH ∥AC ,∴EF ⊥EH ,∴四边形EFGH 是矩形,故④正确;∵EF =GH =12BD ,EH =FG =12AC ,四边形EFGH 是正方形,∴EF =GH =EH =FG ,EF ⊥EH ,∴BD =AC ,BD ⊥AC ,不能说明四边形ABCD 是正方形,故⑤错误;故选A .29.(23-24九年级上·山东泰安·期中)如图,菱形ABCD 中,∠B =60°,AB =2cm ,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,连接AE 、EF 、AF ,则△AEF 的周长为()A.23cmB.33cmC.43cmD.3cm【答案】B【详解】解:连接AC ,∵菱形ABCD ,∴AB =AD =BC =CD =2cm ,∠B =∠D ,∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点,∴BE =12BC =1,DF =12CD =1,∴BE =DF =1,在△ABE 和△ADF 中,AB =AD∠B =∠D BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS ),∴AE =AF ,∠BAE =∠DAF ,∵∠B =∠D =60°,∴△ABC 与△ACD 是等边三角形,∴AE ⊥BC ,∴∠BAE =∠DAF =90°-60°=30°,AE =AB 2-BE 2=3,∵∠BAD =180°-∠B =120°,∴∠EAF =∠BAD -∠BAE -∠DAF =120°-30°-30°=60°,∴△AEF 是等边三角形,∴△AEF 的周长是33cm .故选B .30.(23-24九年级上·江苏无锡·期中)如图,在正方形ABCD 中,AB =4,点E 是边AD 的中点,将△DCE沿着CE 翻折,得到△D CE ,延长BD 交CE 的延长线于点H ,则EH =.【答案】255【详解】解:∵四边形ABCD 是正方形,AB =4,∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°,AB =BC =CD =AD =4,∵点E 是边AD 的中点,∴DE =AE =12AD =2,在Rt △CDE 中,CE =DE 2+CD 2=22+42=25,∵将△DCE 沿着CE 翻折,得到△D CE ,∴∠DCE =∠D CE =12∠DCD ,∠D =∠CD E =90°,CD =CD =4,DE =D E =2,∴CD =BC ,如图,过点D ′作D F ⊥CH 于点F ,过点C 作CG ⊥BH 于点G ,则∠D CG =∠BCG =12∠BCD ,∴∠HCG =∠D CE +∠D CG =12∠DCD +12∠BCD =12(∠DCD +∠BCD )=12∠BCD =45°,∴∠H =45°,∴△D FH 为等腰直角三角形,HF =D F ,∵S ΔDCE =12D E ×CD =12CE ×D F ,∴D F =D E ×CD CE =2×425=455,∴HF =D F =455,在Rt △D EF 中,EF =D E 2-D F 2=22-455 2=255,∴EH =HF -EF =255,故答案为:255.【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质,正确作出辅助线,根据题意推理论证得到∠H =45°是解题关键.31.(23-24九年级上·山西太原·期中)如图,在正方形ABCD 中,AB =3,点E 是BC 边上一点,且CE =2BE ,连接AE ,点F 是AB 边上一点,过点F 作FG ⊥AE 交CD 于点G ,连接EF ,EG ,AG ,则四边形AFEG 的面积为.【答案】5【详解】解:如图,过F 点作FH ⊥CD 于H ,∴∠FHG =90°,∵四边形ABCD 是正方形,∴BC =AB =3,∠B =∠C =90°,∴四边形BCHF 是矩形,∴FH =BC =AB =3,∠BFH =90°,∴∠GFH +∠AFG =90°,∵AE ⊥FG ,∴∠AFG +∠EBA =90°,∴∠EAB =∠GFH ,在△ABE 和△FHG 中,∠B =∠FHGAB =FH ∠BAE =∠HFG,∴△ABE ≌△FHG (ASA )∴AE =FG ,∵CE =2BE ,∴BE =13BC =1,∴AE =AB 2+BE 2=32+12=10,∴FG =10,∴S 四边形AFEG =12AE ⋅FG =12×10×10=5;故答案:5.【点睛】本题考查了正方形的性质,矩形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,勾股定理,对角形互相垂直的四边形面积等,掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键.32.(23-24九年级上·山西吕梁·期中)如图,正方形ABCD 的周长为16cm ,顺次连接正方形各边中点E 、F 、G 、H ,得到四边形EFGH 的面积等于cm 2.【答案】8【详解】解:连接AC ,BD ,∵点E 、F 、G 、H 是正方形各边的中点,∴EF 是△ABD 的中位线,FG 是△ABC 的中位线,GH 是△BCD 的中位线,EH 是△ADC 的中位线,∴EF =GH =12BD ,FG =EH =12AC ,EF ∥BD ,FG ∥AC ,又∵AC =BD ,∴EF =FG =GH =EH ,∴四边形EFGH 是菱形,又∵AC ⊥BD ,EF ∥BD ,FG ∥AC ,∴EF ⊥FG ,∴四边形EFGH 是正方形∵正方形ABCD 的周长为16cm ,,∴AB =BC =CD =AD =4,在Rt △ABD 中,由勾股定理,得BD =42,,∴EF =12BD =22∴四边形EFGH 的面积=22 2=8cm 2.故答案为:8.33.(23-24九年级上·山东东营·开学考试)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的边长为2,点B 在y 轴上,∠AOC =60°,则点B 的坐标为.【详解】解:如图,连接AC交BO于点D,∴OC=OA=2,OD=DB,AC⊥BD,∵∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA=2,AC=1,∴AD=12∴OD=OA2-AD2=3,∴OB=2OD=23,∵点B在y轴上,∴点B的坐标为0,23.故答案为:0,23.34.(23-24九年级上·湖北咸宁·期中)在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=45°.EA交BD于M,AF交BD于N.(1)作△APB≌△AND(如图①),求证:△APM≌△ANM;(2)求证:MN2=BM2+DN2;(3)矩形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,∠MAN=∠CMN=45°,(如图②),请你直接写出线段MN,BM,DN之间的数量关系.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)MN2=2BM2+2DN2.理由见解析【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∵∠EAF=45°.∴∠BAM+∠NAD=45°,∵△APB≌△AND,∴P A=NA,∠P AB=∠NAD,∴∠P AB+∠BAM=45°,∴∠P AM=∠NAM=45°,在△APM和△ANM中,P A=NA∠P AM=∠NAMAM=AM,∴△APM≌△ANM(SAS);(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABD=∠ADB=45°,∵△APB≌△AND,∴PB=ND,∠ABP=∠ADB=45°,∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°,∴PM2=BM2+PB2,∵△APM≌△ANM,∴PM=MN,∴MN2=BM2+DN2;(3)解:MN2=2BM2+2DN2.理由如下:将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△AB M .如图:过点M 作M F⊥CD于F,连接M N,同(1)可证△AMN≌△AM N,∴M N=MN.∵∠C=90°,∠CMN=45°,∴CM=CN.设BM=a,DN=b,CM=c,则AD=a+c,CD=b+c,∴M F=AD-AB =AD-AB=a+c-(b+c)=a-b,NF=DN+DF=DN+B M =DN+BM=b+a.在Rt△M FN中,M N2=M F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a2+2b2,∴MN2=2BM2+2DN2.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理,解题的关键是:(1)利用SAS即可证明△APM≌△ANM;(2)证明∠BPM=90°,利用勾股定理求解;(3)通过构造直角三角形,利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2.35.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,CE=DF,AB=BE,AE与BF相交于点O,连接EF.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=DF=3,∠ABE=60°,求AE的长.【答案】(1)见解析(2)4【详解】(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,AD=BC,∵CE=DF,∴AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=BE,∴四边形ABEF是菱形;(2)解:∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,AD=BC,∵平行四边形ABCD的周长为22,∴AB+BC=11,∴AB+BE+EC=11,∵AB=BE,CE=3,∴AB=BE=4,∵∠ABE=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AE=BE=4.【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质,平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键.。

平行四边形判定经典题型

平行四边形判定经典题型

平行四边形判定经典题型一、平行四边形的概念及性质平行四边形是指在平面内,有两组对边分别平行的四边形。

它具有以下性质:1.对边平行且相等;2.对角线互相平分;3.邻角互补,对角相等;4.任意两边之和大于第三边。

二、平行四边形判定的经典题型1.两组对边分别平行的四边形:根据平行四边形的定义,若四边形ABCD 中,AB平行于CD,AD平行于BC,则四边形ABCD为平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形:若四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形。

3.对角线互相平分的四边形:若四边形ABCD中,对角线AC与BD互相平分,则四边形ABCD为平行四边形。

4.一组对边平行且相等的四边形:若四边形ABCD中,AB平行于CD且AB=CD,则四边形ABCD为平行四边形。

三、解题技巧与方法1.利用平行线性质:若四边形ABCD中,AB平行于CD,则∠B+∠C=180°,同理,∠A+∠D=180°。

由此可得,四边形ABCD的内角和为360°。

2.利用相似三角形:若四边形ABCD中,△ABC∽△ADC,则AB/AD=BC/CD。

根据相似比,可得到对应边的长度关系,进而判断四边形是否为平行四边形。

3.利用向量运算:若四边形ABCD中,向量AB=向量CD,向量AD=向量BC,则四边形ABCD为平行四边形。

四、实战演练与解析1.例题1:判断四边形ABCD是否为平行四边形。

已知:AB平行于CD,AD=BC,求证:四边形ABCD为平行四边形。

解析:根据平行四边形的判定方法2,四边形ABCD为平行四边形。

2.例题2:判断四边形EFGH是否为平行四边形。

已知:EF=GH,∠E=∠H,求证:四边形EFGH为平行四边形。

解析:根据平行四边形的判定方法1,四边形EFGH为平行四边形。

3.例题3:求解平行四边形ACBD的面积。

已知:平行四边形ACBD中,AB=4,BC=6,AC=8,求面积。

平行四边形判定经典题型

平行四边形判定经典题型

平行四边形判定经典题型平行四边形是初中数学中的一个经典题型,通常出现在几何学习中的平行线与四边形的章节中。

判定一个四边形为平行四边形,需要根据题目给出的条件进行分析和推理。

下面是几个常见的判定平行四边形的题型及其解题思路。

1. 已知四边形的对角线互相平分题目描述:已知ABCD是一个四边形,AC和BD两条对角线相交于点O,且满足AO=OC和BO=OD。

判断ABCD是否为平行四边形。

解题思路:由于AO=OC和BO=OD,可以得出AO和OC是两相等的向量,BO和OD是两相等的向量。

可以利用向量运算加法和减法判断AO和BO以及OC和OD是否平行,如果平行,则可以判定四边形ABCD为平行四边形。

2. 已知四边形的两对边互相平行题目描述:已知ABCD是一个四边形,且满足AB∥CD以及AD∥BC。

判断ABCD是否为平行四边形。

解题思路:根据题目所给条件,AB∥CD和AD∥BC,可以利用平行线的性质,推导出角A=角C和角B=角D。

如果角A=角C和角B=角D成立,则可以判定四边形ABCD为平行四边形。

3. 已知四边形的两组对边比例相等题目描述:已知四边形ABCD,满足AB/CD = AD/BC。

判断ABCD是否为平行四边形。

解题思路:根据题目所给条件,AB/CD = AD/BC,可以利用四边形的相似比例性质,如果AB/CD = AD/BC成立,则可以判定四边形ABCD为平行四边形。

4. 已知四边形的对边互相平等题目描述:已知ABCD是一个四边形,满足AB = CD以及AD = BC。

判断ABCD是否为平行四边形。

解题思路:根据题目所给条件,AB = CD和AD = BC,可以利用四边形的性质,如果AB = CD和AD = BC成立,则可以判定四边形ABCD为平行四边形。

5. 已知四边形的一个内角和一个对角线题目描述:已知ABCD是一个四边形,且角A和角C满足A+C=180°,对角线BD相交于点O。

判断ABCD是否为平行四边形。

(完整版)四边形题型归纳

(完整版)四边形题型归纳

四边形题型归纳题型一:翻折问题(特殊四边形的折叠问题)1沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图,矩形纸片ABCD,AB=2, / ADB=30,沿对角线BD折叠(使△ ABD和2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图,已知矩形ABCD的边AB=2 , AB^ BC ,矩形ABCD的面积为S,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形,则这个新矩形对角线长为3•使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图,梯形纸片ABCD , / B=60 , AD // BC, AB=AD=2 , BC=6,将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕为AE,贝U CE= ___________ .4•使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图,折叠矩形的一边CD,使点C落在AB上的点F处,已知AB=10cm , BC=8cm ,贝U EC 的长为______ •D] ] CE、百fA F B△ EBD落在同一平面内),则A、E两点间的距离为_______________D F C D CA B2B E C5•使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图,在梯形ABCD中,DC // AB,将梯形对折,使点D、C分别落在AB上的D、C处,折痕为EF,若CD=3cm , EF=4cm,则AD +BC = ________ cm.6•使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)EF上的G点处,则/ DKG= _____7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)点折至MN上,落在点P的位置,折痕为BQ,连结PQ.(1)求MP的长度;⑵求证:以PQ为边长的正方形的面积等于I .8.两次不同方式的折叠【例8】如图,将一矩形形纸片按如图方式折叠,BC、BD为折痕,折叠后AB与EB在同一条直线上,则/ CBD的度数为()A.大于90 °B.等于90 °C.小于90 °D.不能确定【例6】如图,已知EF为正方形ABCD的对称轴,将/ A沿DK折叠,使它的顶点A落在【例7】如图,有一块面积为1的正方形ABCD , M、N分别为AD、BC边的中点,将CDIAC E<\JA BD【变式1】在矩形ABCD中AB=4, BC=3按下列要求折叠,试求出所要求结果(1)如图,把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△ EBD BE交CD于点F,求出BFD;(2)如图,折叠矩形ABCD使AD与对角线BD重合,求折痕DE的长;(3)如图,折叠矩形ABCD使点D与点B重合,求折痕EF的长;(4)如图,E是AD上一点,把矩形ABCD沿着BE折叠,若点A恰好落在CD上的点F处, 求AE的长。

四边形经典题型整理

四边形经典题型整理

精心整理四边形经典题型1、下列条件中,能确定一个四边形是平行四边形的是(?? )A、一组对边相等B、一组对角相等C、两条对角线相等D、两条对角线互相平分2、Rt △EF题图A3∠AFCA4长为(?? )图步骤折叠纸片,则线段A 、B 、C 、D 、5、(2017·嘉兴)如图,在平面直角坐标系中,已知点,.若平移点到点,使以点,,,为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是(??)A个单位,C6A 27A8BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为(?? )8题图9题图A、6B、12C、20D、249、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(? )A、AD=BC,AB∥CDB、∠A=∠B,∠C=∠DC、AB=BC,AD=DCD、AB∥CD,CD=AB10、已知四边形ABCD,下列说法正确的是(? )A、当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形B、当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形CD1114题图15AD12AB 上,N 分别是DG、CE的中点,则MN的长为?? (? ?????)A、3B、C、D、413、(2017·台州)如图,矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF,将△AEH,△CFG分别沿边EH,FG折叠,当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时,则为(??? )A、B、2 C、D、414、(2017·衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC 沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于(?????? )A、?B、C、D、15、如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD1816为19题图17、(2017?宁波)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上.则cos∠EFG的值为________.18、(2017·台州)如图,有一个不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组对边上,另外两个顶点B,D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a的取值范围是________19、(2017·金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋,AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处,小狗在不能进入2CDE 20是线段上一点交.(1)重合时,求证:四边形是平行四边形;(2)不与重合时,(.(3)交于点,若,时,求的长.21如图,将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H,使得AE=CG,BF=DH,连结EF、FG、GH、HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2),求AE22接AF,BF=n.(1)(2)(3). 23D.?(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标.(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P 作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM24(1)①若②若(2)是等腰直角四边形.求AE的长.25、(2017·衢州)在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连结OB,D为OB的中点。

四边形的考试题型及答案

四边形的考试题型及答案

四边形的考试题型及答案一、选择题1. 下列哪个图形不是四边形?A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 平行四边形答案:C2. 一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是:A. 任意四边形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形答案:B二、填空题1. 一个四边形的内角和等于______度。

答案:3602. 如果一个四边形的对边平行且相等,那么这个四边形是______。

答案:平行四边形三、简答题1. 请描述矩形和正方形的共同特征。

答案:矩形和正方形都是四边形,它们的对边平行且相等,四个角都是直角。

2. 什么是梯形?答案:梯形是一个四边形,它有一对对边平行,而另一对对边不平行。

四、计算题1. 已知一个平行四边形的底边长为8厘米,高为5厘米,求其面积。

答案:面积 = 底边长× 高 = 8厘米× 5厘米 = 40平方厘米。

2. 如果一个矩形的长是10厘米,宽是6厘米,求其周长和面积。

答案:周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (10厘米 + 6厘米) = 32厘米;面积 = 长× 宽 = 10厘米× 6厘米 = 60平方厘米。

五、证明题1. 证明:对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

答案:设四边形ABCD,对角线AC和BD互相垂直平分,即AC⊥BD且AO=CO,BO=DO。

由于对角线互相平分,所以四边形ABCD的对边相等,即AB=CD,BC=AD。

又因为对角线互相垂直,所以∠AOB=∠COD=90°。

根据垂直平分线的性质,OA=OC,OB=OD,所以AB⊥BC,AD⊥BC。

因此,四边形ABCD的四条边都相等,所以它是一个菱形。

六、作图题1. 已知一个三角形ABC,其中AB=5厘米,BC=7厘米,AC=6厘米,请画出一个以AB为底边的等腰梯形,使得其腰长等于AC。

答案:首先画出底边AB=5厘米,然后以A为圆心,AC为半径画圆,交AB的延长线于点D。

四边形经典题型整理

四边形经典题型整理

四边形经典题型1、下列条件中,能确定一个四边形是平行四边形的是()A、一组对边相等B、一组对角相等C、两条对角线相等D、两条对角线互相平分2、(2017•温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2 EF,则正方形ABCD的面积为()2题图 3题图A、12SB、10SC、9SD、8S3、在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中,曾利用了如图,该图中,四边形ABCD是矩形,E是BA 延长线上一点,F是CE上一点,∠ACF=∠AFC,∠FAE=∠FEA。

若∠ACB=21°,则∠ECD的度数是()A、7°B、21°C、23°D、24°4、(2017·嘉兴)一张矩形纸片,已知,,小明按所给图步骤折叠纸片,则线段长为()A、 B、 C、 D、5、(2017·嘉兴)如图,在平面直角坐标系中,已知点,.若平移点到点,使以点,,,为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是()5题图 6题图A、向左平移1个单位,再向下平移1个单位B、向左平移个单位,再向上平移1个单位C、向右平移个单位,再向上平移1个单位D、向右平移1个单位,再向上平移1个单位6、(2017·丽水)如图,在□ABCD中,连结AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是()A、 B、2 C、2 D、47、下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A、AB∥CD,AD∥BCB、AD=BC,AB=CDC、AB∥CD,AD=BCD、∠A=∠C,∠B=∠D8、如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为()8题图 9题图A、6B、12C、20D、249、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是()A、AD=BC,AB∥CDB、∠A=∠B,∠C=∠DC、AB=BC,AD=DCD、AB∥CD,CD=AB10、已知四边形ABCD,下列说法正确的是()A、当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形B、当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形C、当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形D、当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形11、四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是()12题图 13题图 14题图 15题图A、AB∥DC,AD∥BCB、AB=DC,AD=BCC、AO=CO,BO=DOD、AB∥DC,AD=BC12、(2017•宁波)如图,四边形ABCD是边长为6的正方形,点E在边AB上,BE=4,过点E作EF∥BC,分别交BD、CD于G、F两点.若M、N分别是DG、CE的中点,则MN的长为()A、3B、C、D、413、(2017·台州)如图,矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF,将△AEH,△CFG分别沿边EH,FG折叠,当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时,则为()A、 B、2 C、 D、414、(2017·衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A、 B、 C、 D、15、如图为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪得行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为________m.16题图 17题图 18题图16、(2017·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ//AB,则正方形EFGH的边长为________.19题图17、(2017•宁波)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上.则cos∠EFG的值为________.18、(2017·台州)如图,有一个不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组对边上,另外两个顶点B,D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a的取值范围是________ 19、(2017·金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋,AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处,小狗在不能进入小屋内的条件下活动,其可以活动的区域面积为S(m2).①如图1,若BC=4m,则S=________m.②如图2,现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域,使之变成落地为五边形ABCED的小屋,其它条件不变.则在BC的变化过程中,当S取得最小值时,边BC的长为________m.20、如图,是的中线,是线段上一点(不与点重合).交于点,,连结.(1)如图1,当点与重合时,求证:四边形是平行四边形;(2)如图2,当点不与重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)如图3,延长交于点,若,且.当,时,求的长.21、(2017•宁波)在一次课题学习中,老师让同学们合作编题.某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解.如图,将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H,使得AE=CG,BF=DH,连结EF、FG、GH、HE.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且∠FEB=45°,tan∠AEH=2,求AE的长.22、(2017·丽水)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设=n.(1)求证:AE=GE;(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.23、如图1,已知□ABCD,AB//x轴,AB=6,点A的坐标为(1,-4),点D的坐标为(-3,4),点B在第四象限,点P是□ABCD边上的一个动点.(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标.(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x 轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).24、定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°,①若AB=CD=1,AB//CD,求对角线BD的长.②若AC⊥BD,求证:AD=CD.(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.25、(2017·衢州)在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连结OB,D为OB 的中点。

初中平行四边形经典题型

初中平行四边形经典题型

初中平行四边形经典题型1. 平行四边形的定义是什么?平行四边形是具有两组对边平行且相等的四边形。

2. 平行四边形的性质有哪些?- 对边相等:平行四边形的两组对边分别相等。

- 对角线互相平分:平行四边形的两条对角线互相平分。

- 内角和为180度:平行四边形的内角和为180度。

3. 如何判断一个四边形是平行四边形?一个四边形是平行四边形的条件是它的两组对边分别平行且相等。

4. 如果一个四边形的两条对角线互相平分,是否可以断定它是平行四边形?不可以。

两条对角线互相平分是平行四边形的性质,但这个条件并不能保证四边形的对边也是平行且相等的。

5. 如果一个四边形的内角和为180度,是否可以断定它是平行四边形?不可以。

四边形的内角和为180度是平行四边形的性质,但这个条件并不能保证四边形的对边也是平行且相等的。

6. 平行四边形的周长公式是什么?平行四边形的周长可以通过两条相邻边的和乘以2来计算,即周长 = 2 × (边1 + 边2)。

7. 平行四边形的面积公式是什么?平行四边形的面积可以通过底边与高的乘积来计算,即面积 = 底边×高。

8. 平行四边形的特殊情况有哪些?特殊情况包括矩形、正方形和菱形。

矩形的特点是所有内角为90度;正方形是矩形的特殊情况,所有边长相等且所有内角为90度;菱形的特点是所有边长相等且对角线互相垂直。

9. 平行四边形的应用有哪些?平行四边形的应用广泛,常见于建筑、几何学、物理学等领域。

例如,在建筑中,平行四边形的概念可以用于设计屋顶结构;在物理学中,可以用平行四边形的性质计算力的合成等。

以上是一些关于初中平行四边形的经典题型,希望对你有帮助!。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

OA的中点.
求证:△EFG为等边三角形.
A
D
G
OF
E
B
C
平分图形的面积
一、三角形
二、平行四边形
B
三、梯形
A
A
D
B
B
C
A
C D
C
18、平分任意四边形
(1)无条件限制的一条直线
(2)过边上任意一点作直线
(3)过四边形内任意一点作直线 (待解)
A D
B
C
AD
E
B
F
C
13、已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC, AC⊥BD,且BD=8,求该梯形的面积.
A
D
B
CE
14、已知,如图,梯形ABCD中,
AD∥BC,E是AB的中点,DE⊥CE,
求证:AD+BC=DC
A
D
E
G
F
B
C
15.如图,梯形ABCD中AD∥BC, ∠B+∠C=90°,M、N分别为AD、BC的中 点, 求证:. MN1(BCAD)
求证: EF1(ACBD)
2
A D
E F
B
C
4、求证三角形三条中线能组成一个三 角形的三边.
A
F E
B
D
C
5、如图,在矩形ABCD中,AF平分∠BAD, 交BD于点E,交BC于点F,若∠CAF=15度, 求∠COF的度数.
A
D
Oห้องสมุดไป่ตู้
E
B
F
C
6、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AH 是高,BD平分∠ABC交AH于E,DF⊥BC 于F.
A
D
P
B
C
10、已知△ABC,分别以AB,AC为边向外 作正方形ABDE,和正方形ACFG.
连接EC,BG (1)判断EC与BG的关系并证明.
E
D
G
A
F
B
C
(2)求证:△AGE的面积与△ABC的
面积相等.
E
D
G
A
F
(3)设AM是△ABC的中线
B
C
求证:EG=2AM
E
D
G
A
F
B
M
C
(4) 若延长中线MA交EG于H, 求证:AH⊥EG
E
D
G
A
O
F
B
C
总结:梯形问梯题形中三经常用到的辅助 线
平移对角线
平移腰
作双高
连接对角线
作外“8”字
延长腰
作内“8”字
11、如图已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60° ∠C=45°,梯形的高为15,AD=10,求BC
A
D
BE
F
C
12、已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90° , ∠C=45°,AD=1,BC=4,E是AB的中点,EF ∥DC交BC于F,求EF的长.
(5)写出(4)的逆命题,并证明其正确性.
E
H
D
G
A
F
B
M
C
(6)如图设O1,O2分别是正方形ABDE 和正方形ACFG对角线的交点,H、M分 别是GE、BC的中点,判断并证明四边 形HO1MO2的形状.
E
D
O1
H G
A
O2 F
B
M
C
(7)连接DF,设O是DF的中点,连OB,OC 求证:△OBC是等腰直角三角形,(即当 △ABC的BC边不动,A点在平面内移动时DF 的中点是一个定点)
四边形的经典题型
1、已知如图,E、F、G、H分别是四边形 ABCD各边中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形
A H D
E G
B
F
C
2、分别以△ABC的三边为边向同一侧作等边 △ABD、△BCE、△ACF,连接DE、EF.
求证:四边形AFED是平行四边形.
E
F
D
A
B
C
3、已知如图,在四边形ABCD中,E、F 分别为AB、CD的中点.
2
A MD
C
B
N
16、已知如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, E是CD的中点,EF⊥AB于F, AB=6cm,EF=5 cm 。求梯形ABCD的面积。
A F
B
D E C
17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, AB=DC,对角线AC与BD交于点O, ∠AOD=60°,E、F、G分别是OB、CD、
求证:四边形AFED是菱形.
A D
E
B
H
F
C
7、已知正方形ABCD的边长为1,点P、Q 分别在BC、CD上,且△APQ为等边三 角形,则PQ的长为
A
D
Q
BP
C
8、如图,ABCD为正方形,E、F分别为 CD、AD的中点,BE与CF交于点P,求 证:AP=AB
A
F
D
E P
B
C
9、已知P是正方形ABCD内一点 (1)当△PBC为等边三角形时,求∠PAD (2)当∠PAD为多少度时,△PBC为等边 三角形,并证明你的结论.
相关文档
最新文档