特殊四边形经典例题(有详解)

特殊四边形经典例题
1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A ． 两条对角线相等的四边形是矩形
B ． 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C ． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D ． 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．（2012•泰州）下列四个命题：
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3均在x 轴正半轴上．若已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3的坐标是（ ）
A ． （，）
B ． （，）
C ． （，）
D ． （，）
4．下列命题中正确的是（ ）
A ． 对角线相互垂直的平行四边形是矩形
B ． 对角线相等的平行四边形是菱形
C ． 对角线相等的梯形是等腰梯形
D ． 对角线相等的四边形是平行四边形
5．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N ．给出下列结论：
①△ABM ≌△CDN ；②AM=AC ；③DN=2NF ；④S 四边形BFNM =S 平行四边形ABCD ． 其中正确的结论有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则
m1，m2的大小关系为（）
A．m1＞m2B．m1＜m2
C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定
7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：
①EF是△ABC的中位线；
②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；
③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；
④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，
其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②④D．①③④
8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，
过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形
A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是
_________．
10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长
度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
11．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．
探究：（1）两边分别是2和3的矩形是_________阶矩形；
（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．
（3）操作、计算：
①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；
②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．
12．（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC 交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x
（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；
（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．
答案详解
1．（2012•金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A ． 两条对角线相等的四边形是矩形
B ． 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C ． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D ． 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
解答： 故选C ．
2．（2012•泰州）下列四个命题：
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
解答： 解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该
四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；
所以正确的命题个数为2个，
故选B ．
3．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3均在x 轴正半轴上．若已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，且B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3的坐标是（ ）
A ． （，）
B ． （，）
C ． （，）
D ． （，） 考点： 正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
专题：规律型．
分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．
解答：解：如图，∵B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，∵正方形A1B1C1D1的边长为1，
∴OC1=×1=，C1E1=×1=，E1E2=×1=，E2C2=×=，
C2E3=E2B2=，E3E4=×=，E4C3=×=，∴B3C3=2E4C3=2×=，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，则
A3M=+×=，A3N=×=，C3M=×=，
∴C3N=（××2）﹣=，ON=+++++++，
=+，∵点A3在第一象限，∴点A3的坐标是（+，）．故选C．
点评：本题考查了正方形的四条边都相等性质，解含30°角的直角三角形，依次求出x轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A3作辅助线构造出含60°角的直角三角形．
4．下列命题中正确的是（）
A．对角线相互垂直的平行四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的梯形是等腰梯形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
考点：命题与定理．
分析：根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
C、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，故本选项正确；
D、对角线相等的四边形形状不确定，故本选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF 于点M，N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形
BFNM=S平行四边形ABCD．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN，
BM=DN=2NF；由
S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，易证得S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∴∠BAM=∠DCN，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠AMB=∠EMN=∠FNM=∠CND，在△ABM≌△CDN，，
∴△ABM≌△CDN（AAS），故①正确；∴AM=CN，BM=DN，
∠AMB=∠DNC=∠FNA，
∴NF∥BM，∵F为BC的中点，∴NF为三角形BCM的中位线，∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，
∴AM=AC，DN=2NF，故②③正确；∵S▱BFDE=S▱ABCD，S四边形BFNM=S▱BFDE，∴S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．故④正确；综上所述，正确的结论是：①②③④，
共有4个．故选D．
点评：本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意，三角形中位线定理的应用．
6．如图，已知正方形ABCD中，点E、N是对角线BD上两动点，过这两个动点作矩形EFCH，MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则
m1，m2的大小关系为（）
A．m1＞m2B．m1＜m2
C．m1=m2D．m1，m2的大小不确定
考点：正方形的性质；等腰直角三角形；矩形的性质．
分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，然后求
出MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，再设正方形的边长为a，然后用a表示出
m1，m2，进行判断即可．
解答：解：∵点E、N是正方形ABCD对角线BD上两动点，
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=45°，
∵四边形EFCH和四边形MNQP是矩形，∴△BMN，△PQD，△BEF，△DEH是等腰直角三角形，
∴MN=BN，PQ=QD，BF=EF，EH=DH，设正方形的边长为a，则BD=a，所以
m1=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a，
m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=a+PM，∵PM的长度无法确定，∴2a与a+PM的大小无法确定，∴m1，m2的大小不确定．故选D．
点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，用正方形ABCD的边长表示出m1，m2是解题的关键．
7．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：
①EF是△ABC的中位线；
②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；
③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；
④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，
其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②④D．①③④
考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定．
分析：根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EF∥BC，进而可得△AEF∽△ABC，从而得到===，进而得到EF
是△ABC的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF的周长是△ABC的一半，进而得到△DEF的周长等于△ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得
AE=AB，AF=AC，若四边形AEDF是菱形则AE=AF，即可得到AB=AC．
解答：解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF是AD 的垂直平分线，
∴AO=DO=AD，AD⊥EF，∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，∴===，∴EF是△ABC的中位线，故①正确；∵EF
是△ABC的中位线，
∴△AEF的周长是△ABC的一半，根据折叠可得△AEF≌△DEF，∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，故②正确；∵EF是△ABC的中位线，∴AE=AB，AF=AC，
若四边形AEDF是菱形，
则AE=AF，∴AB=AC，故③正确；根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；故选：A．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=．
考点：反比例函数综合题．
专题：规律型．
分析：由OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n 的值，故可得出结论．
解答：解：∵OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴y1=1，y2=，y3=…y n=，∴S1=×1×（y1﹣y2）
=×1×（1﹣）=（1﹣）；
S2=×1×（y2﹣y3）=×（﹣）；S3=×1×（y3﹣y4）=×（﹣）；…S n=（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．
故答案为：．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（2013•历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形
A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：规律型．
分析：过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．
解答：解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，
∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长为：．故答案为：．
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
10．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=18，S△AEG=18．
考点：正方形的性质．
分析：求出BC，CG，根据三角形面积公式和矩形的面积公式求出即可．
解答：解：∵BG=10，BC：CG=2：3，∴BC=4，CG=6，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，
∴BC=AB=4，FG=EF=CG=6，延长FE和BA交于N，∵四边形ABCD和四边形EFGC 是正方形，
∴∠NED=∠EDA=∠DAN=90°，∴四边形BNFG是矩形，∴EN=BC=4，NF=BG=10，BN=CF=6，
∴S△ECG=×CG×FG=×6×6=18，S△AEG=S矩形NBGF﹣S△ABG﹣S△EFG﹣S△ANE
=10×6﹣×4×10﹣×6×6﹣×（6﹣4）×4=18，故答案为：18，18．
点评：本题考查了正方形性质，矩形性质，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C
以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长
度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
考点：四边形综合题．
分析：（1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形；
（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ 不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．
解答：
解：（1）∵直线PD⊥AC，∴BC∥PD，∴四边形BQPD的面积为：（BQ+DP）×PC=（8﹣2t+t）×（6﹣t）△ABC面积为：×AC×BC=×6×8=24，∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时：×24=（8﹣t）×（6﹣t），解得：t1=9+3，t2=9﹣3，∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，
∴t≤4，∴t1=9+3不合题意舍去，∴当t为9﹣3时，四边形BQPD的面积为△ABC 面积的；
（2）存在，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴=，即=，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP
时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．存在t=时，使四边
形PDBQ为平行四边形；
（3）不存在，理由：当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ
不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边
形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，
t=时，即t=8﹣v，解得：v=
当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．此题综合性很强难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
12．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余
下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第
n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若
AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．
探究：（1）两边分别是2和3的矩形是2阶矩形；
（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点
E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方
形．
（3）操作、计算：
①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意
图，并在示意图下方直接写出a的值；
②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶
矩形．
考点：四边形综合题．
分析：（1）通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一
个边长为1正方形，故得出结论2阶矩形；
（2）由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，
∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；
（3）①由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；
②先由条件可以表示出a=21m，然后通过操作画出图形就可以求出结论．
解答：解：（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，
∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则
余下的就是一个边长为1正方形．∴共操作2次．∴这个矩形是2阶矩形．故答案为：
2；
（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，
∠BFE=∠A．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABF=90°，∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，∴四边形
ABFE为矩形．
∵AE=FE，∴矩形ABFE为正方形；
（3）①由题意，得如图1，
∴a的值=8，
∴a的值=5，同理可得出：a=或，∴a的值为8或5或或；②由题意，得
∵a=5b+m，b=4m，∴a=21m，如图
∴是8阶矩形．
点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．
13．（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作
EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交
折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN
的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请
求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理．
专题：压轴题．
分析：（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．
（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN 的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．
②本题分两种情况进行讨论：
1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．
2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论
MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了
NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．
综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．
解答：
解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点，∴BE=AB=2在
Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．∴BG=BE=1，EG=即点E 到BC的距离为（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改
变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为矩形，∴EP=GM，PM=EG=同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，∴∠PMH=∠PMC﹣
∠NMC=30°．∴PH=PM=
∴MH=PM•cos30°=则NH=MN﹣MH=4﹣在Rt△PNH中，
PN=∴△PMN的周长
=PM+PN+MN=
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角
形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，PM=，∠PMR=30°，
MR=PMcos30°=×=，∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC﹣BG﹣MC=6﹣1﹣3=2．当MP=MN时，
∵EG=，∴MP=MN=，∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP=（如图4），此时，x=EP=GM=6﹣1﹣，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角
形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6﹣1﹣1=4．
综上所述，当x=2或4或（5﹣）时，△PMN为等腰三角形．
点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．
14．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x
（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；
（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．
考点：四边形综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出
∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；
（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF 和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．
解答：解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，AB⊥CB，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，∴CM=BC﹣BM=14﹣8=6cm，∴DM=CM，∴△CDM是等腰直角三角形，CD=CM=6cm，∠DCB=45°；
（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF=EH，∠FEH=90°，∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，∴∠AEF=∠BHE，在△AEF和△BHE中，，
∴△AEF≌△BHE（AAS），∴BE=AF=x，∵AB=AE+BE=6cm，∴2+x=6，解得x=4cm；
（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠PGH，在△AEF和△PGH中，，∴△AEF≌△PGH
（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，∵∠C=45°，∴CP=PG=2，BH=14﹣x﹣2=12﹣x，在Rt△AEF 中，EF2=AE2+AF2=22+x2，在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，∵EF=EH，
∴22+x2=（6﹣2）2+（12﹣x）2，解得x=6.5．
点评：本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．。