四边形经典例题(配套习题)

四边形经典例题 （配套习题）

【例题精选】：

例1：如图1，已知：□ABCD 中，AE BD CF BD ⊥⊥，，垂足为E 、F ，G 、

H 分别为AD 、BC 的中点，连结GE 、EH 、HF 、FG 。 求证：EF 和GH 互相平分。 证明一：

AE BD G AD ⊥，为中点

∴==GE GD AD 1

2

（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴∠=∠GED GDE （等边对等角）

同理可证：HF HB BC HFB HBF ==∠=∠1

2

，

□ABCD

∴∠=∠∴=∠=∠∴AD BC GDE HBF

GE HF GED HFB GE HF

////，，且 ∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴EF 和GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 证明二： 连结BG 、DH ，如图2

□ABCD ，G 、H 分别为AD 、BC 中点

∴DG BH //

∴四边形BHDG 是平行四边形 ∴BD 和GH 互相平分，设BD 、GH 交于O 即OG=OH ，OB=OD 又 AB=CD

∠ABE=∠CDF

∠AEB=∠CFD=90︒

∴≅∴=∴-=-==∆∆ABE CDF AAS BE DF

OB BE OD DF

OE OF OG OH （）即，又

∴EF 和GH 互相平分。

小结：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式

出现的。往往更多的是求证线段相等、角相等、直线平行、线段互相平分等等。要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等。先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明。当然，特殊的平行四边形也不例外。 例2：如图3，已知：菱形ABCD ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，

∠=∠=︒∠=︒B EAF BAE 6018，

求：∠CEF 的度数

分析：由菱形ABCD ，∠=︒B ABC 60，可得∆是等边三角形，所以∠=∠=︒BAC ACD 60，

∠=︒EAF 60，得出∠BAE=∠CAF ，从而可证∆∆ABE ACF ≅，进而推出∆AEF

是等边三角形，求出∠CEF 的度数。 解：连结AC ∵菱形ABCD ∴BA=BC ，∠ACB=∠ACD ∵∠=︒B 60 ∴∆ABC 是等边三角形

∴∠=∠=︒=∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=∠∴≅BAC ACB AB AC ACF B EAF BAC BAE CAF

ABE ACF AAS 606060，（） ∆∆

∴=∴∴∠=︒

AE AF

AEF AEF ∆是等边三角形60 ∠+∠=∠+∠∠=︒∴∠=︒

AEF CEF B BAE BAE CEF 1818

例3：如图4，已知：正方形ABCD ，E 、F 为AB 、

BC 上两点，且EF=AE+FC 求证：∠=︒EDF 45 证明：延长BC 至G ，使CG=AE ，连结DG

正方形，（）又，公用

（）ABCD

AD CD A DCG DAE DCG SAS ADE CDG DE DG ADC EDG EF AE FC

EF CG FC FG DF EDF GDF SSS EDF GDF ∴=∠=∠=︒∴≅∴∠=∠=∠=︒∴∠=︒=+∴=+=∴≅∴∠=∠=︒

90909045∆∆∆∆,

小结：本题通过作辅助线使∆∆DAE DCG ≅，实际上是作一个新图形全等于

原来的图形。辅助线的作法也可以这样叙述：“把∆DAE 绕D 点按逆时针方向旋转90︒到∆DCG 的位置”可见用旋转的几何语言来叙述两个图形全等比较简洁。把一个图形绕某一点（或某一直线）旋转多少度，是根据解题需要而变化的。本题的目的是使线段AE 移至CG ，使AE 、FC 在同一条直线上，并且∠=︒EDG 90，从而考虑DF 平分∠EDG ，从而使问题得到解决。故此种方法应在理解的基础上合理运用。 例4：如图5，已知：正方形ABCD ，BE ∥AC ，且AE=AC 交BC 于F 求证CF=CE

分析：CF 、CE 在同一三角形中，故考虑用“等

角对等边”易知∠=AEC 1802

︒-∠EAC

，

∠CFE=∠EAC ＋∠ACF=∠EAC +︒45，从上述两个式子无法直接判断∠AEC 是否与∠CFE 相等，若能分别求出∠AEC 和∠CFE 就可以判断了，故本题关键是如何求出∠EAC 的度数。这就要充分运用已知条件（包括题目中的隐含条件，如正方形具有的性质，对角线？）。因此AE=AC 这个条件很重要。因为AC 是正方形ABCD 的对角线。 证明：如图6，作EG AC ⊥于G ，连结BD 交AC 于O 。

∴⊥=BO AC BO AC ，1

2

（正方形对角线相等，且互相垂直平分） ∴BO ∥EG （垂直于同一直线的两直线平行） 又∵BE ∥AC

∴BO=EG （夹在两条平行线间的平行线段相等）

∴=

=∴=EG AC AC AE EG AE Rt AEG 1

2

1

2

又，在中

∆

∴∠=︒EAC 30（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒） ∆ACE 是等腰三角形

∴∠=︒-∠=︒AEC EAC

1802

75

∵AC 是正方形ABCD 的对角线。

∴∠=︒ACB AFC 45，在中，∆ ∠=∠+∠=︒CFE EAC ACB 75（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

即（等角对等边）∠=∠∴=AEC CFE CF CE

例5：已知：如图7，∆ABC AB AC 中，=，

延长AB 到D ，使BD=AB ，又CE 是AB 边上的中线。

求证：CE CD =1

2

证明一： 如图8，过点B 作BF ∥AC 交CD 于F ∵AB=BD ，AB=AC

∴CF CD =1

2

（过三角形一边中点与另一边

平行的直线必平分第三边）

∴BF AC AB ==121

2

（三角形中位线等于第

三边的一半） ∵AE=EB ∴BF=BE

∵∠1=∠ACB ，∠2=∠ACB ∴∠1=∠2 又BC 公用

∴∆∆BEC BFC SAS ≅() ∴CE=CF

即：CE CD =

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