2013年高考数学试卷(20)套
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+m,且f(1)=-3,则m的值为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 若复数z满足|z-1|=1,则z对应的点在复平面上的位置是:A. 以(1,0)为圆心,半径为1的圆上B. 以(1,0)为圆心,半径为1的圆内C. 以(1,0)为圆心,半径为1的圆外D. 以(1,0)为圆心,半径为1的圆上或圆内答案:A3. 若直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2-4x-2y+1=0相交于A、B 两点,且|AB|=2√2,则k的值为:A. 1B. -1C. 0D. 2答案:C4. 若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+1(a,b∈R)的导数为f'(x)=3x^2+2ax+b,且f'(1)=0,f'(-1)=0,则a+b的值为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B5. 若从4名男生和3名女生中选出3人参加比赛,要求至少有1名女生,则不同的选法有:A. 20B. 24C. 36D. 42答案:C6. 若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上为增函数,则实数m 的取值范围是:A. m≤-4B. m≥4C. m≤4D. m≥-4答案:A7. 若向量a=(1,2),向量b=(2,3),则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为:A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5答案:B8. 若双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x,则双曲线的离心率为:A. √3B. √5C. √6D. √2答案:A9. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=3,S6=9,则S9的值为:A. 12B. 15C. 18D. 21答案:C10. 若函数f(x)=x^3-3x+1,且f'(x)=3x^2-3,则曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线方程为:A. y=3x-4B. y=-3x+2C. y=3x-2D. y=-3x+4答案:A11. 若从5名男生和3名女生中选出3人参加比赛,要求至少有1名女生,则不同的选法有:A. 42B. 45C. 50D. 60答案:D12. 若直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2-4x-2y+1=0相交于A、B两点,且|AB|=2√2,则k的值为:A. 1B. -1C. 0D. 2答案:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选选项前的字母填在题后的括号内。
)1. 下列哪个选项是正确的不等式?A. 2x - 3 > 5B. 3x + 1 < 8C. 4x - 6 ≤ 2D. 5x + 3 ≥ 10答案:D2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值,且f(2) = 5,f(3) = 11,则a的值是多少?A. 1B. 2C. 3D. 4答案:C3. 一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-3,求x的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B4. 圆的一般方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,其中心坐标为(a, b),半径为r。
如果一个圆的方程是x^2 + y^2 = 9,那么它的圆心坐标和半径分别是:A. (0, 0), 3B. (0, 0), √3C. (3, 0), √3D. (3, 0), 3答案:A5. 在直角坐标系中,点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离是多少?A. 1B. 2C. 3D. 4答案:C6. 已知函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|,求g(x)的最小值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案:C7. 一个圆与直线y = x相切,圆的方程是(x - 2)^2 + (y - 2)^2 =4,求圆的切线方程。
A. y = x - 2B. y = x + 2C. y = -x + 2D. y = -x - 2答案:A8. 已知等比数列的前三项分别是2,6,18,求该等比数列的公比。
A. 2B. 3C. 4D. 6答案:B9. 在复数z = 3 + 4i中,其模长|z|等于多少?A. 5B. √5C. √21D. √25答案:C10. 已知一个等差数列的前五项和为50,且第五项是14,求该等差数列的首项。
2013年高考数学试题及答案word版
2013年高考数学试题及答案word版一、选择题(每题5分,共50分)1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1在区间[0,1]上的最大值是:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C2. 已知向量a = (3, -1),b = (2, 4),向量a与向量b的夹角的余弦值为:A. 1/5B. 3/5C. -1/5D. -3/5答案:B3. 圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0的圆心坐标为:A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案:A4. 已知等比数列{an}的首项为1,公比为2,求前5项的和S5:A. 31B. 15C. 33D. 63答案:A5. 函数y = ln(x+√(x^2+1))的导数为:A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/(x+1)D. 1/(x-1)答案:A6. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2,求a和b的关系:A. a = 2bB. a = b/2C. b = 2aD. b = a/2答案:C7. 已知三角形ABC的内角A、B、C满足A+B=2C,且sinA+sinB=sinC,求角C的大小:A. π/3B. π/4C. π/6D. π/2答案:A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + m在区间[2, +∞)上单调递增,求m的取值范围:A. m ≥ -4B. m > -4C. m ≤ -4D. m < -4答案:A9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5 = 40,S10 - S5 = 40,求S15 - S10的值:A. 60B. 40C. 20D. 0答案:A10. 已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,其中a、b、c、d均为实数,且f(0) = 0,f'(0) = 0,f''(0) = 0,求f(1)的值:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:A二、填空题(每题5分,共30分)11. 已知直线l的方程为y = 2x + 3,求直线l与x轴的交点坐标。
2013江苏省高考数学真题含答案清晰版
2013高考数学试卷参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式:13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高。
棱柱的体积公式:V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 为高。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。
DE AB AC λλ=+(λ、11、已知()f x 是定义在R12n n a a a a ++>的最大正整数内作答,解答时应写出文字说明、证明或演.(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααββ==(1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值。
16、(本小题满分14分)如图,在三棱锥S-ABC 中,平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥,AS=AB 。
过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。
求证:(1)平面EFG//平面ABC ;(2)BC SA ⊥。
如图,在平面直角坐标系xoy 中,点A(0,3),直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在直线l 上。
(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA=2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
18、(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C 。
现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50米/分钟。
在甲出发2分钟后,乙从A 乘坐缆车到B ,在B 处停留1分钟后,再从B 匀速步行到C 。
假设缆车速度为130米/分钟,山路AC 的长为1260米,经测量,123cos ,cos 135A C ==。
2013高考数学试卷及答案
2013高考数学试卷及答案一、选择题1.若函数 $f(x)=\\frac{\\sqrt{1-x^2}}{\\sqrt{1+x^2}}$,则f(−1)+f(0)+f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 3答案: C. 22.已知函数 $y=\\log_2{x}$,则 $y^2-4y-5 \\leq 0$ 的解集为A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. [-1, 1]D. (1, 5)答案: B. [-1, 5]3.如图所示,在ΔABC 中,$AD \\perp BC$,则 $\\frac{BD}{CD} =$imageimageA. $\\frac{2}{3}$B. $\\frac{3}{7}$C. $\\frac{5}{3}$D. $\\frac{3}{2}$答案: A. $\\frac{2}{3}$二、填空题4.设a1=3,$a_2=\\frac{7}{4}$,a n+2=2a n+1+a n,则a10=答案: $\\frac{535}{64}$5.设 $f(x)=\\sin^3{x}-\\cos^3{x}$,则 $f(\\frac{\\pi}{6})=$答案: $\\frac{1}{4}$三、解答题1. 计算题6.已知数列 $\\{a_n\\}$,a1=2,$a_{n+1}=2a_n+3(n\\geq1)$,求a n 的通项公式。
解答:首先我们观察数列的前几项,可以发现:a1=2 $a_2 = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 7$ $a_3 = 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 2 = 20$定义数列 $\\{b_n\\}$,$b_n = a_n + \\frac{3}{2} \\cdot n$,我们来观察数列 $\\{b_n\\}$: $b_1 = 2 + \\frac{3}{2} \\cdot 1 = \\frac{7}{2}$ $b_2 = 7 + \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 12$ $b_3 = 20 + \\frac{3}{2} \\cdot 3 =\\frac{29}{2}$我们可以发现数列 $\\{b_n\\}$ 是一个等差数列,公差为$\\frac{3}{2}$。
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案一、选择题(每题5分,共40分)1. 若函数f(x)=x^2-2x+3,g(x)=x^2-4x+c,则f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点,则c的值为:A. 2B. 3C. 4D. 5答案:C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_1=1,a_3=4,则S_5的值为:A. 15B. 25C. 35D. 45答案:A3. 设集合A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∩B的元素个数为:A. 1B. 2C. 3D. 0答案:A4. 若直线y=2x+3与曲线y=x^3-x^2+1相切,则切点的横坐标为:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:A5. 已知复数z满足|z-1|=1,|z+1|=2,则|z|的最小值为:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B6. 已知函数f(x)=x^3-3x+1,若f'(x)=0,则x的值为:A. 1B. -1C. 2D. -2答案:A7. 已知向量a=(1,2),b=(2,1),若a·b=5,则a与b的夹角为:A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:C8. 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),若椭圆C与直线y=x+1相交于A、B两点,且|AB|=2√2,则a^2+b^2的值为:A. 4B. 6C. 8D. 10答案:B二、填空题(每题5分,共20分)9. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1,若f'(x)=0,则方程x^3-6x^2+9x+1=0的根为________。
答案:0,310. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_1=2,S_3=26,则公比q为________。
答案:311. 设函数f(x)=3x^2-6x+5,若f(x)=0,则x的值为________。
答案:1,5/312. 已知向量a=(3, -4),b=(2, 1),若a·b=-11,则向量a与b的夹角为________。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4B.C.4D.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5] 6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C.D.7.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.68.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.810.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()A.B.C.D.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0] 12.(5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=.14.(5分)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=.15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=.16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[﹣,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B【考点】1D:并集及其运算;73:一元二次不等式及其应用.【专题】59:不等式的解法及应用;5J:集合.【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x<或﹣<x<0},A∪B=R,故选:B.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题.2.(5分)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4B.C.4D.【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由题意可得z==,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i,由此可得z的虚部.【解答】解:∵复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z====+i,故z的虚部等于,故选:D.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.3.(5分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【考点】B3:分层抽样方法.【专题】21:阅读型.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选:C.【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题.4.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题.5.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;EF:程序框图.【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图.【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选:A.【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标准;③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式.6.(5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C.D.【考点】LG:球的体积和表面积.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=(R﹣2)2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===.故选:A.【点评】本题给出球与正方体相切的问题,求球的体积,着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识,属于中档题.7.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d,由前n项和公式及S m=0可求得a1,再由通项公式及a m=2可得m值.【解答】解:a m=S m﹣S m﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m=3,所以公差d=a m﹣a m=1,+1S m==0,m﹣1>0,m>1,因此m不能为0,得a1=﹣2,所以a m=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5,另解:等差数列{a n}的前n项和为S n,即有数列{}成等差数列,则,,成等差数列,可得2•=+,即有0=+,解得m=5.又一解:由等差数列的求和公式可得(m﹣1)(a1+a m﹣1)=﹣2,m(a1+a m)=0,(m+1)(a1+a m+1)=3,可得a1=﹣a m,﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0,解得m=5.故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系,考查学生的计算能力.8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】16:压轴题;27:图表型.【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π;故选:A.【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想象能力9.(5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a=7b求得m的值.【解答】解:∵m为正整数,由(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a=,同理,由(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,可得b==.再由13a=7b,可得13=7,即13×=7×,即13=7×,即13(m+1)=7(2m+1),解得m=6,故选:B.【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用,组合数的计算公式,属于中档题.10.(5分)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()A.B.C.D.【考点】K3:椭圆的标准方程.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选:D.【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.11.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】16:压轴题;59:不等式的解法及应用.【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]故选:D.【点评】本题考查其它不等式的解法,数形结合是解决问题的关键,属中档题.12.(5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】82:数列的函数特性;8H:数列递推式.【专题】16:压轴题;54:等差数列与等比数列;55:点列、递归数列与数学归纳法.=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n+1﹣c n+1=,得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴,由题意,+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,﹣c n+1=,∴=a1﹣b n,又由题意,b n+1﹣a1=,∴b n﹣a1=,∴b n+1∴,c n=2a1﹣b n=,∴[][]=[﹣]单调递增(可证当n=1时>0)故选:B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,是本年度全国高考试题中的“亮点”之一.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=2.【考点】9H:平面向量的基本定理;9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.【解答】解:∵,,∴=0,∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.故答案为2.【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键.14.(5分)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=(﹣2)n﹣1.【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=()﹣()=,整理可得,即=﹣2,故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,a n=(﹣2)n﹣1,经验证当n=1时,上式也适合,故答案为:(﹣2)n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题.15.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=﹣.【考点】GP:两角和与差的三角函数;H4:正弦函数的定义域和值域.【专题】16:压轴题;56:三角函数的求值.【分析】f(x)解析式提取,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x=θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=,与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值.【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣.故答案为:﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键.16.(5分)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为16.【考点】57:函数与方程的综合运用;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】11:计算题;16:压轴题;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.【分析】由题意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,即可得到f(x)的最大值.【解答】解:∵函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a•(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a•(﹣5)+b]=0,解之得,因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,求导数,得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣,x2=﹣2,x3=﹣2+,当x∈(﹣∞,﹣2﹣)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2﹣,﹣2)时,f′(x)<0;当x∈(﹣2,﹣2+)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2+,+∞)时,f′(x)<0∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数.又∵f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,∴f(x)的最大值为16.故答案为:16.【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称,求函数的最大值.着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】(I)在Rt△PBC,利用边角关系即可得到∠PBC=60°,得到∠PBA=30°.在△PBA中,利用余弦定理即可求得PA.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,可得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化简即可求出.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,=,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==.∴PA=.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键.18.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【考点】LW:直线与平面垂直;LY:平面与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB ⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得=(,1,﹣1),可求|cos <,>|,即为所求正弦值.【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,),设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==,又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.【点评】本题考查直线与平面所成的角,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属难题.19.(12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得;(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)==(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=,P(X=500)=,P(X=400)=1﹣﹣=,故X的分布列如下:X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解,属中档题.20.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【考点】J3:轨迹方程;J9:直线与圆的位置关系.【专题】5B:直线与圆.【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以R ≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【解答】解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(﹣1,0);圆N:(x﹣1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.设动圆的半径为R,∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.∴曲线C的方程为(x≠﹣2).(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l于M相切可得:,解得.当时,联立,得到7x2+8x﹣8=0.∴,.∴|AB|===由于对称性可知:当时,也有|AB|=.综上可知:|AB|=或.【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识,需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法.21.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.【考点】3R:函数恒成立问题;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】16:压轴题;53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f (x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1)设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,则F′(x)=2ke x(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(ke x﹣1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,①若1≤k<e2,则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),从而当x∈(﹣2,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2时,F′(x)>2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),而F(﹣2)=﹣2ke﹣2+2<0,所以当x>﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2].【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.【考点】NC:与圆有关的比例线段.【专题】5B:直线与圆.【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(II)由(I)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=.【解答】(I)证明:连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.∴CF⊥BF.∴Rt△BCF的外接圆的半径=.【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识,需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力.23.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.【专题】11:计算题;35:转化思想;4R:转化法;5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)曲线C1的参数方程消去参数t,得到普通方程,再由,能求出C1的极坐标方程.(2)曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程,与C1的普通方程联立,求出C1与C2交点的直角坐标,由此能求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解:(1)将,消去参数t,化为普通方程(x﹣4)2+(y﹣5)2=25,即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16=0,将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0,得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0.∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0.(2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0,。
2013年高考数学试题及答案
高考试题回顾1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为 ( )(A) [-1,1] (B) (-1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞- 2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为((A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的() (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 ( ) (A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无.信号的概率是( ) (A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D)4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( )(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8. 设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为( ) (A) -20 (B) 20 (C) -15 (D) 1519. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是( ) (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有( ) (A) [-x ] = -[x ] (B) [2x ] = 2[x ](C) [x +y ]≤[x ]+[y ](D) [x -y ]≤[x ]-[y ]11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为 .14. 观察下列等式: 211= 22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD =2DA =2, 则PE = .xC. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠的角平分线, 证明直线l过定点.PBQ23. (本小题满分13分)已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.。
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分)1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3,求f(1)的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B2. 已知集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},求A∩B。
A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,4}答案:B3. 若直线l的方程为y=2x+1,求直线l的斜率。
A. 1B. 2C. -2D. -1答案:B4. 计算三角函数sin(π/6)的值。
A. 1/2B. √3/2C. 1D. 0答案:A5. 在等差数列{an}中,若a3 + a7 = 10,且公差d=2,求a5的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8答案:C6. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,若a=3,b=2,求双曲线的焦点坐标。
A. (±√13, 0)B. (±√5, 0)C. (0, ±√13)D. (0, ±√5)答案:A7. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案:A8. 若复数z满足|z|=1,且z的实部为1/2,求z的虚部。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案:B9. 已知向量a=(3, -4),向量b=(2, 1),求向量a与向量b的数量积。
A. -2B. 2C. -10D. 10答案:C10. 计算二项式(1+x)^5的展开式中x^3的系数。
A. 10B. 20C. 30D. 40答案:B二、填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f'(x)。
答案:3x^2 - 6x12. 若矩阵A为2x2矩阵,且|A|=4,求矩阵A的逆矩阵的行列式。
答案:1/413. 已知等比数列{bn}中,b1=2,公比q=3,求b4的值。
2013年高考数学试题(附答案)
一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z=(1+ai)(2+i)是纯虚数,则实数a的值为A.2 B.- C.D.-22.如图所示是数列一章的知识结构图,下列说法正确的是 A.概念与分类是从属关系 B.等差数列与等比数列是从属关系 C.数列与等差数列是从属关系D.数列与等比数列是从属关系,但数列与分类不是从属关系3.下列说法中错误的是A.对于命题p:?x0R,sin x01,则綈p:?xR,sin x高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!B.命题若0C.若pq为真命题,则p,q均为真命题;D.命题若x2-x-2=0,则x=2的逆否命题是若x2,则x2-x-2.4.1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据:x3456y2.5344.5据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的回归直线方程是 A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.456.三角形的面积为S=(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为A.V=abcB.V=ShC.V=(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4为四个面的面积,r为内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)h,(h为四面体的高)7.函数f(x)=x5-x4-4x3+7的极值点的个数是A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知椭圆+=1,F1、F2分别为其左、右焦点,椭圆上一点M到F1的距离是2,N是MF1的中点,则|ON|(O为原点)的长为A.1 B.2 C.3 D.4选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.9.已知复数z=1+,则||=____________.10.读下面的程序框图,当输入的值为-5时,输出的结果是________.11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中的白色地面砖有______________块.12.曲线f(x)=xsin x在点处的切线方程是______________.13.已知双曲线-=1(a,b0)的顶点到渐近线的距离等于,则双曲线的离心率e是________.三、解答题:本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)在某测试中,卷面满分为100分,60分及以上为及格,为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响,特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表所示:分数段[29~40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173参考公式及数据:K2=P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879(1)根据上述表格完成列联表:及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系?对今后的复习有什么指导意义?15.(本小题满分12分)已知:a,b,c0.求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.16.(本小题满分12分)已知抛物线y2=4x 的焦点是F,准线是l,过焦点的直线与抛物线交于不同两点A,B,直线OA(O为原点)交准线l于点M,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1) 求证:y1y2是一个定值;(2) 求证:直线MB平行于x轴.一、填空题:本大题共1个小题,每小题5分,共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.1.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为________.二、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2.已知定义在R上的函数f(x)的导数是f(x),若f(x)是增函数且恒有f(x)0,则下列各式中必成立的是A.2f(-1)2f(-3)C.2f(1)f(2) D.3f(2)2f(3)三、解答题:本大题共3小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)已知函数f(x)=-x3+3x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x[0,a],a0时,设f(x)的最大值是h(a),求h(a)的表达式.4.(本小题满分13分)(1)证明:xln x(2)讨论函数f(x)=ex-ax-1的零点个数.5. (本小题满分14分)如图,已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b0)有一个内含圆x2+y2=,该圆的垂直于x 轴的切线交椭圆于点M,N,且(O为原点).(1)求b的值;(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证:,并求|AB|的取值范围.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(文科)参考答案必考Ⅰ部分(100分)6.C 【解析】△ABC的内心为O,连结OA、OB、OC,将△ABC分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a、b、c;类比:设四面体A-BCD的内切球球心为O,连接OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以O为顶点,以原面为底面的四面体,高都为r,所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.7.B 【解析】f(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6),所以f(x)有两个极值点x=-2及x=6.8.D 【解析】据椭圆的定义,由已知得|MF2|=8,而ON是△MF1F2的中位线,故|ON|=4.二、填空题9.10.2 【解析】①A=-50,②A=-5+2=-30,③A=-3+2=-10,④A=-1+2=10,⑤A=21=2.11.4n+2 【解析】第1个图案中有6块白色地面砖,第二个图案中有10块,第三个图案中有14块,归纳为:第n 个图案中有4n+2块.12.x-y=013. 【解析】由题意知=tan 30=?e==.∵K25.75.024,因此,有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系,即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系.(10分)对今后的复习的指导意义就是:在以后的复习中,考生应尽量适当午休,以保持最佳的学习状态.(11分)(2)据题意设A,M(-1,yM),(8分)由A、M、O三点共线有=?y1yM=-4,(10分)又y1y2=-4则y2=yM,故直线MB平行于x轴.(12分)必考Ⅱ部分(50分)一、填空题1.10 【解析】设P(xP,yP),∵|PM|=|PF|=yP+1=5,yP=4,则|xP|=4,S△MPF=|MP||xP|=10.二、选择题2.B 【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性,而f(x)0且f(x)0,则当x0时0,即函数在(-,0)上单调递减,故选 B.三、解答题 3.【解析】(1)f(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)列表如下:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)递减极小值递增极大值递减所以:f(x)的递减区间有:(-,-1),(1,+),递增区间是(-1,1);f极小值(x)=f(-1)=-2,f极大值(x)=f(1)=2.(7分)(2)由(1)知,当0此时fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)当a1时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,a)上递减,即当x[0,a]时fmax(x)=f(1)=2(12分)综上有h(a)=(13分)4.【解析】 (1)设函数(x)=xln x-x+1,则(x)=ln x(1分)则(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,(3分)(x)有极小值(1),也是函数(x)的最小值,则(1)=1ln 1-1+1=0故xln xx-1.(5分)(2)f(x)=ex-a(6分)①a0时,f(x)0,f(x)是单调递增函数,又f(0)=0,所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)②当a0时,函数f(x)在(-,ln a)上递减,在(ln a,+)上递增,函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)ⅰ.当a=1时,函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)ⅱ.当01时,由(1)知极小值f(ln a)=a-aln a-10,又f(0)=0当0故此时f(x)?+,则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;当a1时,2ln a0,计算f(2ln a)=a2-2aln a-1考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x1) ,则g(x)=2(x-1-ln x),再设h(x)=x-1-ln x(x1),h(x)=1-=0故h(x)在(1,+)递增,则h(x)h(1)=1-1-ln 1=0,所以g(x)0,即g(x)在(1,+)上递增,则g(x)g(1)=12-21ln 1-1=0即f(2ln a)=a2-2aln a-10,则f(x)还必恰有一个属于(ln a,2 ln a)的正根.故01时函数f(x)都是恰有两个零点.综上:当a(-,0]{1}时,函数f(x)恰有一个零点x=0,当a(0,1)(1,+)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)5.【解析】(1)当MNx 轴时,MN的方程是x=,设M,N由知|y1|=,即点在椭圆上,代入椭圆方程得b=2.(3分)(2)当lx轴时,由(1)知当l不与x轴垂直时,设l的方程是:y=kx+m,即kx-y+m=0则=?3m2=8(1+k2)(5分)?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)0,设A(x1,y1),B(x2,y2)则,(7分)x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2-+==0,即.即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有.(9分)(2)当lx轴时,易知|AB|=2=(10分)当l不与x轴垂直时,|AB|===(12分)设t=1+2k2[1,+),(0,1]则|AB|==所以当=即k=时|AB|取最大值2,当=1即k=0时|AB|取最小值,(或用导数求函数f(t)=,t[1,+)的最大值与最小值)综上|AB|.(14分)高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!。
2013高考数学试题及答案
2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题及答案【试题一】题目:已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 \),求\( f(x) \)的导数\( f'(x) \)。
解答:首先,我们需要对函数\( f(x) \)求导。
根据导数的基本运算法则,我们有:\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 1) \]分别对每一项求导,得到:\[ f'(x) = 6x^2 - 6x \]【试题二】题目:解方程\( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)。
解答:这是一个一元二次方程,我们可以使用求根公式来解它:\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中\( a = 2 \),\( b = -5 \),\( c = 3 \)。
代入求根公式,得到:\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} \]\[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \]所以,方程的解为:\[ x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]【试题三】题目:已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c,且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \),求证三角形ABC是一个直角三角形。
解答:根据勾股定理,如果三角形的三边长满足\( a^2 + b^2 = c^2 \),则该三角形是一个直角三角形。
已知条件正是勾股定理的表达式,因此我们可以得出结论:三角形ABC是一个直角三角形。
【试题四】题目:已知\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \),\( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \),求\( \sin\alpha \)和\( \cos\alpha \)的值。
2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版A3版
2013年全国卷新课标数学(理)一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ,},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由一名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题: :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ,3PB. 1P ,2PC. 2P ,4PD. 3P ,4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点,P 为直线23ax =上的一点,12PF F △是底角为︒30的等腰三角形,则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=a a ,则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ,输出A ,B ,则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A ,B ,两点,34||=AB ,则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(,则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2=SC ,则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上,点Q 在曲线)2ln(x y =上,则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b 夹角为︒45,且1=||a ,102=-||b a ,则=||b.14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布)50,1000(2N ,且各元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ,则}{n a 的前60项和为 .三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ;(Ⅱ) 若2=a ,ABC △的面积为3,求b ,c .18. (本小题满分12分) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,N n ∈)的函数解析式; (以 (ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19. (本小题满分12分)如图,直三棱柱111C B A ABC -中,121AA BC AC ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明:BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. (本小题满分12分)设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒,ABD △面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 的距离的比值.21. (本小题满分12分) 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分,作答时请写清题号. 22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的 外接圆于F ,G 两点.若AB CF //,证明: (Ⅰ) BC CD =;(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为)3,2(π. (Ⅰ)点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时,求不等式3)(≥x f 的解集; (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[,求a 的取值范围.参考答案1-12:DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解:(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<<,5666A πππ∴-<-<, 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S =△,1sin 2bc A ∴==4bc ∴=, 2,3a A π==, 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=, 228b c ∴+=.解得2b c ==.18、解:(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n N ∈); (Ⅱ) (ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.(ⅱ)若花店计划一天购进17X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,因为76.4>76,所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明:设112AC BC AA a ===, 直三棱柱111C B A ABC -, 1DC DC ∴==, 12CC a =,22211DC DC CC ∴+=,1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥,1DC DC D=,1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知,1DC =,1BC =,又已知BD DC ⊥1,BD ∴=.在Rt ABD △中,,,90BD AD a DAB ==∠=, AB ∴=.222AC BC AB ∴+=,AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ,则易证1C E ⊥平面1BDA ,连结DE ,则1C E ⊥BD , 已知BD DC ⊥1,BD ∴⊥平面1DC E ,BD ∴⊥DE ,1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中,1111sin 2C EC DE C D∠===,130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l 的距离d FB FD ==. 由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p =,xy p'=.由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为,36p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ,n3=.21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立,()()1x h x e a '=-+,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意; (2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x取最大值2e u=.故当1a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x xf ++≥221)(,则 b a )1(+的最大值为2e . 22、证明:(Ⅰ) ∵D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点, ∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CFBD ∴且 =CF BD ,又∵D 为AB 的中点,CFAD ∴且 =CF AD ,CD AF ∴=.//CF AB ,BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BCGF ,GB CF BD ∴==, BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠BCD GBD ∴△∽△.23、解:(Ⅰ)依题意,点A ,B ,C ,D 的极坐标分别为.所以点A ,B ,C ,D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-; (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ,则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解:(Ⅰ) 当3a =-时,不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时,不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[,即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立, 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立, 即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立, 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩,即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013全国高考数学试题及答案
2013全国高考数学试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x - 1, 则以下哪个方程组的解与其图像相应的点重合?A) {2x - 3y = 1; 2y = x - 4}B) {y - x = 1; y + 2 = 2x}C) {3x + y = 1; y = x - 2}D) {y - 2x = 1; 3y + x = 2}解析:将函数 f(x) = 2x - 1 与4个选项对比,发现只有选项 A 中的方程组可以化简成 y = f(x) 的形式,因此选项 A 正确。
2. 设 a, b 为实数,且函数 f(x) = ax^2 + bx - 1 的图像经过点 (2, 2),则 a, b 的值分别是多少?A) a = -1, b = -2B) a = 1, b = -1C) a = 1, b = 0D) a = -1, b = 0解析:由题意得 f(2) = 2,代入函数表达式得 4a + 2b - 1 = 2。
根据该方程可得 a = 1, b = 0,因此选项 C 正确。
二、填空题1. 已知函数 y = e^x 在点 A(0, 1) 处的切线方程为 y = 2x + b,则 b 的值为多少?解:由 y = e^x 的导数为 y' = e^x,可得切线的斜率为 1。
代入点 A的坐标 (0, 1) 可得 1 = 2(0) + b,解得 b = 1。
因此,b 的值为 1。
2. 以下等差数列中,第7项和第14项的平均值为 16,则这个等差数列的首项为多少?解:设等差数列的首项为 a,公差为 d。
根据题意,有 (a + 6d + a + 13d)/2 = 16,化简得 2a + 19d = 32。
由等差数列的通项公式可知,第7项为 a + 6d,第14项为 a + 13d。
代入上述方程,解得 2a + 19d = 32。
因此,该等差数列的首项为 7。
三、解答题1. 已知视线方程 L: (x - 1)/3 = (y - 2)/4 = (z - 3)/5,求视线 L 与平面π:2x + y - z + 4 = 0 的交点。
2013年高考数学试卷打包(有详细解答过程)2[1]
2013年全国高考数学试卷18份文科试卷+江苏卷(有详细解答过程)(2)1---------7:湖南卷 1-----------------14:江西卷15-------24:新课标1卷 24------------------33:新课标2卷 33------------45:辽宁卷 46-------------------56:山东卷 56-----------------63:陕西卷2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数 学(文史类)一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i ·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.“1<x <2”是“x <2”成立的______ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件。
为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D ____A .9B .10C .12D .134.已知f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,且f (-1)+g (1)=2,f (1)+g (-1)=4,则g (1)等于____A .4B .3C .2D .15.在锐角∆ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b. 若2sinB=3b ,则角A 等于______ A .3πB .4πC .6πD .12π6.函数f (x )=㏑x 的图像与函数g (x )=x 2-4x+4的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.37.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______ A .32 B.1 C.212+ D.2 8.已知a,b 是单位向量,a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____ A.21- B.2 C.21+ D.22+9.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为.21,则ADAB=____ A.12 B.14C.32D.74二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题共12小题.每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}2.(5分)=()A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.1﹣i3.(5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.B .C .D .4.(5分)已知双曲线C :(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=B.y=C.y=±x D.y=5.(5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是()A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q6.(5分)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()A.S n=2a n﹣1B.S n=3a n﹣2C.S n=4﹣3a n D.S n=3﹣2a n7.(5分)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]8.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.49.(5分)函数f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的图象大致为()A .B .C .D.10.(5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.511.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π12.(5分)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.13.(5分)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t +(1﹣t ).若•=0,则t=.14.(5分)设x ,y 满足约束条件,则z=2x ﹣y 的最大值为.15.(5分)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH :HB=1:2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为.16.(5分)设当x=θ时,函数f (x )=sinx ﹣2cosx 取得最大值,则cosθ=.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=﹣5.(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前n 项和.18.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h )实验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.(12分)如图,三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA=CB ,AB=AA 1,∠BAA 1=60°(Ⅰ)证明:AB ⊥A 1C ;(Ⅱ)若AB=CB=2,A 1C=,求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积.20.(12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )﹣x 2﹣4x ,曲线y=f (x )在点(0,f (0))处切线方程为y=4x +4.(Ⅰ)求a ,b 的值;(Ⅱ)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值.21.(12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分,考试时间为120分钟。
参考公式:如果事件A 与B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设i 是虚数单位,_z 是复数z 的共轭复数,若|()>0I x f x =+2=2z zi ,则z =(A )1+i (B )1i -(C )1+i - (D )1-i -(2) 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(A )16 (B )2524 (C )34 (D )1112(3)在下列命题中,不是公理..的是 (A )平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B )过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(C )如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D )如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线(4)"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 (A ) 充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件(5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(A )这种抽样方法是一种分层抽样 (B )这种抽样方法是一种系统抽样(C )这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D )该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 (6)已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为(A ){}|<-1>lg2x x x 或 (B ){}|-1<<lg2x x(C ) {}|>-lg2x x (D ){}|<-lg2x x(7)在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 (A )=0()cos=2R θρρ∈和 (B )=()cos=22R πθρρ∈和(C ) =()cos=12R πθρρ∈和 (D )=0()cos=1R θρρ∈和(8)函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 (A ){}3,4 (B ){}2,3,4 (C ) {}3,4,5 (D ){}2,3(9)在平面直角坐标系中,o 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是(A ) (B )(C ) (D )(10)若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是(A )3 (B )4 (C ) 5 (D )62013普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学(理科) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上.....作答,在试题卷上答题无效.........。
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
把答案填在答题卡的相应位置。
(11)若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =_________。
(12)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。
若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_________.(13)已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。
若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___________。
(14)如图,互不相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。
设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是____________。
(15)如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。
则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。
①当102CQ <<时,S 为四边形 ②当12CQ =时,S 为等腰梯形 ③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =④当314CQ <<时,S 为六边形⑤当1CQ =时,S 的面积为2三.解答题:本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解答写在答题卡上的指定区域内。
(16)(本小题满分12分) 已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π。
(Ⅰ)求ϖ的值;(Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。
(17)(本小题满分12分)设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间|()>0I x f x = (Ⅰ)求的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)给定常数(0,1)k ∈,当时,求l 长度的最小值。
(18)(本小题满分12分)设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上。
(19)(本小题满分13分)如图,圆锥顶点为p 。
底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°。
AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°,(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠。
(20)(本小题满分13分)设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明:(Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(Ⅱ)对任意n p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。
(21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)。
假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到。
记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使()P X m =取得最大值的整数m 。
参考答案一、1-5 ADACC 6-10 DBBDA 二、11. 1212. 2π3 13. [1,+∞) 14.n a ⑤三、16. 【解析】(1)2()4cos .sin().cos 4=+=+f x x x x x x πωωωωω=sin 2+cos2x x w w )=2sin(24+x πω,因为f(x)的最小正周期为π,且0w >,所以有π=π,故=1w 。
(2)由(1)知()2sin(24=+f x x πω,若02≤≤x π,则52444≤+≤x πππ, 当2442≤+≤x πππ,即08≤≤x π时,f(x)单调递增;当52244≤+≤x πππ,即82≤≤x ππ时,f(x)单调递减。
综上所述,f(x)在区间[0,]8π上单调递增,在区间[]82,ππ上单调递减。
17. 【解析】(1)因为方程22(1)=0ax a x -+(a>0)有两个实根1220,,1ax x a >=+ 12()0{|}f x x x x x ><<故的解集为,因此区间2(0,1al a =+),区间长度为21a a +。
(2) 设2(),1a d a a =+则2221-()1=+‘()a d a a ,令()01==‘,得d a a ,由于0<k<0, 当'1-1,()0,()≤<>时k a d a d a 单调递增;当'11,()0,()<≤+<时a k d a d a 单调递减。
因此当1-1+,≤≤时k a k d a 的最小值必定在1-=1a k a k =或处取得。
而2322321(1)21(1)11(1)21(1)kd k k k k k d k k k k ----+-==<++-+++,故(1)(1)d k d k -<+, 因此当1,()a k d a =-时在区间[1-k,1+k]上取得最小值212-2+kk k -。
18. 【解析】(1)因为焦距为1,所以21214a -=,解得25=8a ,从而椭圆E 的方程为2288153x y +=. 设0012(,0),(,0)x y c F c -P (,),F ,其中由题设知0x c ¹x ,则直线1P F 的斜率100+F P y K x c=,直线2P F 的斜率200-F P y K x c =,100+F P y K x c =,故直线2P F 的方程为00()y y x c x c=--, 当x=0时,00cy y c x =-,即带你Q 坐标为000cy c x -(,),因此直线1Q F 的斜率10F Q y K c x =-。
由于11F P FQ ^,所以110000...1,+F P F Q y yK K x c c x ==--化简得22200(21)y x a =-- ①将① 代入椭圆E 的方程,由于点00x y P (,)在第一象限,解得220=x a ,20=1-y a ,即点P 在定直线x+y=1上。