全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则

=2

2d d x y

________________. 二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.

三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰

=10

d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，

求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5

d d π⎰

≥--L

y y

x ye y xe .

五、（10分）已知x

x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x

x x e e xe y --+=23是某二阶常系数

线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22

++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n

, 且n

e

u n =)1(, 求函数项级数∑∞

=1

)(n n

x u

之和.

八、（10分）求-

→1x 时, 与∑∞

=0

2

n n x

等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)

(1),n

n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

。

（3）设0s >，求0(1,2,)sx n

I e x dx n ∞

-==⎰。

（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

（5）求直线10:0

x y l z -=⎧⎨

=⎩与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离。 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且

()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞

→-∞

''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()

x t t t y t ψ⎧=+>-⎨

=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2

1

3

2t u y e du e

-=+

⎰

在1t =出相切，求函数()t ψ。

四、（15分）设1

0,,n

n n k k a S a =>=

∑证明：

（1）当1α>时，级数

1n

n n

a S α+∞

=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n

n n

a S α+∞

=∑发散。

五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中222

1)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

222

1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线

积分

42

2()c

xydx x dy

x y ϕ++⎰

的值为常数。

（1）设L 为正向闭曲线2

2

(2)1,x y -+=证明

42

2()0;c

xydx x dy

x y ϕ+=+⎰

（2）求函数()x ϕ；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42

2()c

xydx x dy

x y

ϕ++⎰

。