近世代数 第19讲

第19 讲

§4 无零因子环的特征

（Characteristic of the ring without zero-division）

本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法{}+,R做成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问题只是作为一种特例。这里要求：

1、对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是()R

ch与{}+,R中元素的阶的本质区别。

2、无零因子R环中的特征的几个性质的证明应该掌握。

3、对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。

一、环的特征的定义

定义：设R为任意环，如果存在自然数n，使得任意R

a∈都有0=

na，那么称这样的最小的自然数n为环R的特征，记为()R

Ch。如果不存在这样的自然数，则称的为无穷大，记().∞

Ch

R

=

例1．整数环Z中上述定义的自然数n不存在. ∴()R

Ch=∞.

不仅如此,还可知()

().

()()

Ch

x

F

Ch

M

,∞

=F

=

∞

n

例 2. 在模4的乘余类环4Z 中,[][][][][]{}3,2,1,04=∈∀Z i ,当取 ,16,12,8,4=n 时,都有[][]0=i n 而最小的显然是4 ()44=∴Z Ch 明示1: 模剩余类环而言,().m Z Ch m =

注意1：1°如果环R 的加群中有一个元素的阶为无穷，由()

R Ch 的定义知 必有()∞=R Ch .

2° 如果R 的加群{}+,R 中每个元素都是有限阶而最

大的阶若为()n R Ch n =⇒.譬如中∆Z ;最大者是

[][][]4317,10===, []22=, ()44=⇒∆Z Ch .

结论1. 若()n R Ch =,那么,加群{}+,R 中每个元素a ,都有n a =1. 明示2. 在此,我们要强调二点:

① 确定存在这样的环R ,使得其加群{}+,R 中既有无

穷阶的元素又有有限阶的元素.

设()()c G b G ==21,是两个循环加群,又设,∞=b 而n c =. 所以 {}.00,1=⇔=∈∀=h hb Z h hb G 且 {}n kc Z k kc G ⇔=∈∀=0,2且 k .

现令 (){}Z k h kc hb G G R ∈∀=⨯=,,21并规定R 中加法“+”: ()()()c k c k b h b h c k b h c k b h 21212211,,,++=+

乘法“·”： ()()()0,0,,2211=c k b h c k b h 。

可以验证 {}⋅+,,R 是一个环，但在加群{}+,R 中，

(),0,∞=b 而 ()n c =,0.

② 确定存在这样的环R ：其加群{}+,R 中每个元的阶

都不得有限，但不存在最大的阶.

设R {}1,=∈∈=n x N n C x x 使存在 ,在R 中规定加法 “+”:xy y x =+,和规定乘法“·”:1=xy .

易证{}⋅+,,R 是个环,而加群{}+,R 中的零元为1.且群中每个元都 有限,但阶数可任意大.(不存在最的阶).

结论2. 若R R 1,,,⋅+是一个非零环,那么()R l R Ch .

证明: 设∞=R l :由附注1的1°知()∞=R Ch .

设 R a nk n l R R ∈∀=∴∞=　而 ,0, 则

()(),00====a a nl l n na R R λ 由a 的任意性

知 ()n R Ch =, (若 (),0=⇒=R ml n m R Ch 与n l R =矛盾). 例3. 若R 环的特征为素数p ,且R 可变换,则有

(),b p p b a b a +=+ R b a ∈∀,.

证明: 因R 是交换环,

∴ ()p p p p p p p p p p

b ab

c b a c b a c a b a +++++=+----1122211 显然,当11-≤≤p k 时,我们有(k !,p )=1,又因

k !()()k p k p p p c k

p ⇒+--=11 !k p c ,进而∴,k p c p .0=a c k p

于是 ().p p p b a b a +=+

例 4. 若R 中每个元a 都有a a =2

(称a 为幂等元)且{}.0≠R .

那么R 必为特征是2的交换环.

证明: R a ∈∀, R a ∈2, ∴ ().022*******

=⇒+====a a a a a a a 由于 {}().10 R Ch R ⇒≠ 由a 的任意性().2=⇒R Ch

∴ a

a a R a -==⇒∈∀即.02 .,R

b a ∈∀ (),222ba ab ba ab b a b a b a =-⇒+++=+=+ 但

ba ab a a =⇒-= 即R 是可交换的.

二、无零因子环的特征

设R 是一个无零因子环,那么关于R 的特征问题就有一种“新的感觉”.

定理1. 设R 是无零因子环,那么加群{}+,R 中每个非零元的阶都

是一致的.

本定理已在§2中论证过.

上述定理告诉我们:非零的无零因子环R 中元素的阶只有

二类:一类是零元0( 0的阶永远为1).而其余元素为另一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数n . 定理 2. 若非零无零因子环R 的特征 ()∞= n R Ch ,那么n 必

是一个素数.

本定理在§2中也已证过.

由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述 性质,综合而言:

推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一 个素数p .

下面介绍几个练习,以此作为结束本讲的内容.

如果说本讲开始对环的特征的介绍,使人感到“高深莫