近世代数 第19讲

第19 讲
§4 无零因子环的特征
（Characteristic of the ring without zero-division）
本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法{}+,R做成一个加群。

所以群中元素自然存在阶的概念。

本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。

而将无零因子环的问题只是作为一种特例。

这里要求：
1、对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是()R
ch与{}+,R中元素的阶的本质区别。

2、无零因子R环中的特征的几个性质的证明应该掌握。

3、对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。

一、环的特征的定义
定义：设R为任意环，如果存在自然数n，使得任意R
a∈都有0=
na，那么称这样的最小的自然数n为环R的特征，记为()R
Ch。

如果不存在这样的自然数，则称的为无穷大，记().∞
Ch
R
=
例1．整数环Z中上述定义的自然数n不存在. ∴()R
Ch=∞.
不仅如此,还可知()
().
()()
Ch
x
F
Ch
M
,∞
=F
=
∞
n
例 2. 在模4的乘余类环4Z 中,[][][][][]{}3,2,1,04=∈∀Z i ,当取 ,16,12,8,4=n 时,都有[][]0=i n 而最小的显然是4 ()44=∴Z Ch 明示1: 模剩余类环而言,().m Z Ch m =
注意1：1°如果环R 的加群中有一个元素的阶为无穷，由()
R Ch 的定义知 必有()∞=R Ch .
2° 如果R 的加群{}+,R 中每个元素都是有限阶而最
大的阶若为()n R Ch n =⇒.譬如中∆Z ;最大者是
[][][]4317,10===, []22=, ()44=⇒∆Z Ch .
结论1. 若()n R Ch =,那么,加群{}+,R 中每个元素a ,都有n a =1. 明示2. 在此,我们要强调二点:
① 确定存在这样的环R ,使得其加群{}+,R 中既有无
穷阶的元素又有有限阶的元素.
设()()c G b G ==21,是两个循环加群,又设,∞=b 而n c =. 所以 {}.00,1=⇔=∈∀=h hb Z h hb G 且 {}n kc Z k kc G ⇔=∈∀=0,2且 k .
现令 (){}Z k h kc hb G G R ∈∀=⨯=,,21并规定R 中加法“+”: ()()()c k c k b h b h c k b h c k b h 21212211,,,++=+
乘法“·”： ()()()0,0,,2211=c k b h c k b h 。

可以验证 {}⋅+,,R 是一个环，但在加群{}+,R 中，
(),0,∞=b 而 ()n c =,0.
② 确定存在这样的环R ：其加群{}+,R 中每个元的阶
都不得有限，但不存在最大的阶.
设R {}1,=∈∈=n x N n C x x 使存在 ,在R 中规定加法 “+”:xy y x =+,和规定乘法“·”:1=xy .
易证{}⋅+,,R 是个环,而加群{}+,R 中的零元为1.且群中每个元都 有限,但阶数可任意大.(不存在最的阶).
结论2. 若R R 1,,,⋅+是一个非零环,那么()R l R Ch .
证明: 设∞=R l :由附注1的1°知()∞=R Ch .
设 R a nk n l R R ∈∀=∴∞=　而 ,0, 则
()(),00====a a nl l n na R R λ 由a 的任意性
知 ()n R Ch =, (若 (),0=⇒=R ml n m R Ch 与n l R =矛盾). 例3. 若R 环的特征为素数p ,且R 可变换,则有
(),b p p b a b a +=+ R b a ∈∀,.
证明: 因R 是交换环,
∴ ()p p p p p p p p p p
b ab
c b a c b a c a b a +++++=+----1122211 显然,当11-≤≤p k 时,我们有(k !,p )=1,又因
k !()()k p k p p p c k
p ⇒+--=11 !k p c ,进而∴,k p c p .0=a c k p
于是 ().p p p b a b a +=+
例 4. 若R 中每个元a 都有a a =2
(称a 为幂等元)且{}.0≠R .
那么R 必为特征是2的交换环.
证明: R a ∈∀, R a ∈2, ∴ ().022*******
=⇒+====a a a a a a a 由于 {}().10 R Ch R ⇒≠ 由a 的任意性().2=⇒R Ch
∴ a
a a R a -==⇒∈∀即.02 .,R
b a ∈∀ (),222ba ab ba ab b a b a b a =-⇒+++=+=+ 但
ba ab a a =⇒-= 即R 是可交换的.
二、无零因子环的特征
设R 是一个无零因子环,那么关于R 的特征问题就有一种“新的感觉”.
定理1. 设R 是无零因子环,那么加群{}+,R 中每个非零元的阶都
是一致的.
本定理已在§2中论证过.
上述定理告诉我们:非零的无零因子环R 中元素的阶只有
二类:一类是零元0( 0的阶永远为1).而其余元素为另一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数n . 定理 2. 若非零无零因子环R 的特征 ()∞= n R Ch ,那么n 必
是一个素数.
本定理在§2中也已证过.
由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述 性质,综合而言:
推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一 个素数p .
下面介绍几个练习,以此作为结束本讲的内容.
如果说本讲开始对环的特征的介绍,使人感到“高深莫
测”的话,那下面的命题也许会让你踏实些. 练习1: 设R a ∈≠0.如果a 不是零因子 ()a R Ch =⇒.
证明: 若 ∞=a ,由本讲附注()∞=⇒R Ch .
若 n a =( R 未必是无零因子环 ∴ n 未必是素数) 0=na ,那么 ()().00..===∈∀b b na nb a R b 而a 不是左零因子0=⇒nb .由于n a =.由特征的定义()n R Ch ⇒.
上练习提醒我们:非零环的特征就是任一个非零因子的阶.( ∴ 本讲结论是显而易见的)
练习2. 若域F 的阶为偶数,即 n F 2=,那么 ().2=R Ch
证明: (反证法) 若()2≠=p F Ch .那么 b a F b a ≠∈≠≠∀且0,0 则 ()(){}0=b a . 显然F 中这样的p 阶循环子群只有有限个.不好?没有1+m 个.那么这1+m 个子群所含的中元素共有()1-+p m p 个.即 ()1-+p m p =偶数2=n .但()1-+p m p 不可能是偶数,矛盾.
.。