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例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振 幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是 正弦波功率的10％)。
用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。
(a) 经典BT PSD法
(b) 最大熵谱估计法 (c) Pisavcnko 谐波分解法
1引言
• 研究现状
功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1
N
x(n)e
nN
jn
2
实际上只有将上式求平均，成为
功率谱的 真实值
才有意义
Pxx ()
lim
N
E
1 2N 1
N n N
x(n)e
jn
2
1引言
• 谱分析
用有限的N个样本数据来估计平稳随机过
程的功率谱密度。
ˆxx (m)
1 N
N 1
x(n)x(n
n0
m)
1 N
n
xN (n)xN (n
1引
• 估计质量的评价
均方误差
言
θ：某个随机变量的真值
ˆ ：它的估计值
MS(ˆ) E e2 E (ˆ )2
不难证明：
E e2 B2 2ˆ
1引言
• 估计质量的评价
一致估计：
当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。
N N
Bias ˆ 0
Var
ˆ
0
正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件
无偏估计
ˆ 的偏差(Bias)为零 。所谓偏差(用B表示)定义为 B Bias[ˆ] E(ˆ)
估计1和估计2 都属于无偏估计； 估计2较之估
计1方差小；
1引
• 估计质量的评价
最小方差估计
方差
言
θ：某个随机变量的真值
ˆ ：它的估计值
ˆ2
Var[ˆ]
E
ˆ
E[ˆ]
2
为最小的估计。
Var[ˆ] E[ˆ2 ] E 2[ˆ]
1引言
• 研究现状
经典谱估计：
直接法(周期图法 )
将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换，直
接按式
Pˆxx ()
1 N
N 1
x(n)e jn
n0
2
1 N
X N () 2
进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)
将已知数据序列的傅立叶 变换的模的平方除以序列 长度作为功率谱的估计
计算效率高 频率分辨率低
1引言
• 研究现状
经典谱估计：
固有缺陷：原因：“加窗效应” 频率分辨率低 原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
频谱能量向旁瓣泄漏 原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限 窄的现象。 周期图的缺陷：非一致估计 当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零， 而是趋近于常数。
“加窗效应”
(k
m
n)
xx
(k
m
n)
Var
ˆxx (m)
(N
1 m )2
r( N m 1)
(N
r( N m 1)
m
r
) x2x (r)
xx (r
m)xx (r
m)
(N
N m )2
N m 1 1
r( N m 1)
m N
r
x2x
(r
)
xx
(r
m)
功率谱的
Pˆ xx() ˆxx (m)e jm
估计值
或
Pˆxx ()
1 N
m
N 1
2
x(n)e jn
n0
1 N
X N () 2
其中
xN (n) RN (n)x(n)
周期图
xN (n m) RN (n m)x(n m)
1引言
• 估计质量的评价
θ：某个随机变量的真值
ˆ ：它的估计值
谱估计
主要内容
• 引言 • 经典谱估计 • 现代谱估计
1 引言
概述 估计质量的评价 功率谱估计的应用 研究现状
1引言
• 随机信号的功率谱密度(函数)，是 其自相关函数的傅氏变换。
前提：均值为零
Pxx ( )
xx (m)e jm X(n)的自
m
相关函数
xx(m)E x(n)x(n m)
Pxx
()
Pxx
()
m
lim
N
1 2N 1
N n N
x(n)x
(n
m)e
jm
lim
N
1 2N 1
N
x(n)e
n N
jn
x
m
(n
m)e
j (nm)
令l nm
则上式可写成
Pxx ()
lim
N
1 2N 1
N
x(n)e
nN
jn
wk.baidu.com
x(l )e
l
jl
lim
N
1 2N 1
反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的
1引言
• 功率谱估计的应用
在信号处理的许多场所，要求预先知道信号 的功率谱密度(或自相关函数)。 常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数 估计。 从宽带噪声中检测窄带信号。
• 功率谱估计的应用
谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的 二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。
矩形序列 其傅立叶变换为
幅度谱
“加窗效应”
各种窗函数的频谱
1引言
• 研究现状
现代谱估计：
以随机过程的参数 模型为基础
➢ 1967 Burg 最大熵 ➢ 1968 Parzen 自回归AR
用参数模型来模拟信号 实际遇到的随机过程x(n)可以用ARMA模型来逼近
目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：
m N 1
当 m N 1时，属于无偏估计。
2.1 自相关函数的估计
估计质量
方差
Var[ˆxx
(m)]
E[ˆx2x
(m)]
E2[ˆxx
(m)]
E[ˆx2x
(m)]
2 xx
(m)
可推出：
m N 1
E ˆx2x(m)
2 xx
(m)
(N
1 m)2
N m 1 n0 k0
2 xx
(k
n)
xx
①Levinson递推算法； ②Burg递推算法； ③正反向线性预测最小二乘算法。
2 经典谱估计
• 自相关函数的估计 • 周期图作为功率谱的估计 • 平滑后的周期图作为PSD的估计
2.1 自相关函数的估计
设观察到N个样本序列的值 {x(n)} : x(0),x(1)…x(N-1) ，现要由此N个数据来估 计自相关函数：
ˆxx (m)
N
1
m
N m 1
x(n)x(n m)
n0
m N 1
2.1 自相关函数的估计
估计质量
偏倚
E
ˆxx (m)
N
1
m
N m 1
E x(n)x(n m)
n0
1 Nm
N m 1
xx (m)
n0
自相关函 数的真值
xx (m)
m N 1
Bias[ˆxx (m)] xx (m) E[ˆxx (m)] 0
1引言
• 研究现状
经典谱估计：
以傅立叶变 换为基础
间接法(BT PSD估计法 )
先通过式
ˆxx (m)
1 N
N 1
x(n)x(n m)
n0
1 N
xN (n)xN (n m)
n
对自相关函数进行估计，然后再通过式
Pˆ xx() ˆxx (m)e jm
作傅氏变换得功率谱估计值。m
已知数据取样自相关函数功率谱