第44届IMO越南国家队选拔考试第4题的简证
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2005 年第 2 期
19
巧 思 妙 解
第 44 届 IMO 越南国家队选拔 考试第 4 题的简证
阚政平
( 安来自百度文库师范大学附属中学 ,241001)
题目 M 、 N、 P 分别是 △ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的中点 , M1 、 N1 、 P1 在 △ABC 的 边上 , 且 满 足 MM 1 、NN 1 、PP1 分 别 平 分 △ABC 的周长 . 证明 : ( 1) MM 1 、 NN 1 、 PP1 交于同一点 K;
GA + GB + GC
以上三式相加并整理得 GA 2 + GB 2 + GC2 1 = ( a2 + b2 + c2 ) . 3 将式 ② 代入式 ① 得 2 2 2 K A + KB + KC 1 = 3 KG2 + ( a2 + b2 + c2 ) . 3 若 KA <
3 KG2 +
a
②
③
c
3
= 3 KG + GA + GB + GC .
2 2 2 2
故 3 KG2 < 0 . 但这显然矛盾 . 也就是说 , K A KB KC 1 、 、 中必有一个不小于 . BC CA AB 3 命题 若 K 为 △ABC 所在平面内任一 点 ,则 ①
K A KB KC 1 、 、 中至少有一个不小于 . BC CA AB 3
(2) K A K B KC 1 、 、 中必有一个不小于 BC CA AB 3
[1 ]
9 GA 2 = 2 ( b2 + c2 ) - a2 . 同理可证
9 GB 2 = 2 ( a2 + c2 ) - b2 , 9 GC2 = 2 ( a2 + b2 ) - c2 .
.
此题的证明见文 [ 1 ]. 这里仅给出第 ( 2 ) 问的一个简证 . 证明 :令 △ABC 的重心为 G , BC = a , CA = b , AB = c , AM 为 △ABC 边 BC 上 的 中 线 , 如图 1 所示 . 则有
, KB <
b
3
, KC <
3
,则
= 0.
1 2 ( a + b2 + c2 ) 3
2
又 KA = KG + GA , KB = KG + GB , KC = KG + GC ,
图1
<
a
3
+
b
2
3
+
c
2
3
.
故 KA2 + KB 2 + KC2 ( GA + GB + GC) + = 3 KG2 + 2 KG・ 2 2 2 GA + GB + GC = 3 KG2 + GA2 + GB 2 + GC2 , 即 KA 2 + KB 2 + KC2
2 2 2 2
又 AM =
3 a GA 及 BM = , 可得 2 2
学 2004 增刊 ,77.
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
证明略 . 编者注 :式 ③ 为著名的莱布尼兹公式 . 本 题的证明可由莱布尼兹公式直接得出 .
参考文献 :
[1 ] 第 44 届 IMO 越南国家队选拔考试 ( 2003) [J ] . 中等数
在 △ABC 中 , 由阿波罗尼斯 ( Apollonins) 定理知
b + c = 2 ( BM + AM ) .
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巧 思 妙 解
第 44 届 IMO 越南国家队选拔 考试第 4 题的简证
阚政平
( 安来自百度文库师范大学附属中学 ,241001)
题目 M 、 N、 P 分别是 △ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的中点 , M1 、 N1 、 P1 在 △ABC 的 边上 , 且 满 足 MM 1 、NN 1 、PP1 分 别 平 分 △ABC 的周长 . 证明 : ( 1) MM 1 、 NN 1 、 PP1 交于同一点 K;
GA + GB + GC
以上三式相加并整理得 GA 2 + GB 2 + GC2 1 = ( a2 + b2 + c2 ) . 3 将式 ② 代入式 ① 得 2 2 2 K A + KB + KC 1 = 3 KG2 + ( a2 + b2 + c2 ) . 3 若 KA <
3 KG2 +
a
②
③
c
3
= 3 KG + GA + GB + GC .
2 2 2 2
故 3 KG2 < 0 . 但这显然矛盾 . 也就是说 , K A KB KC 1 、 、 中必有一个不小于 . BC CA AB 3 命题 若 K 为 △ABC 所在平面内任一 点 ,则 ①
K A KB KC 1 、 、 中至少有一个不小于 . BC CA AB 3
(2) K A K B KC 1 、 、 中必有一个不小于 BC CA AB 3
[1 ]
9 GA 2 = 2 ( b2 + c2 ) - a2 . 同理可证
9 GB 2 = 2 ( a2 + c2 ) - b2 , 9 GC2 = 2 ( a2 + b2 ) - c2 .
.
此题的证明见文 [ 1 ]. 这里仅给出第 ( 2 ) 问的一个简证 . 证明 :令 △ABC 的重心为 G , BC = a , CA = b , AB = c , AM 为 △ABC 边 BC 上 的 中 线 , 如图 1 所示 . 则有
, KB <
b
3
, KC <
3
,则
= 0.
1 2 ( a + b2 + c2 ) 3
2
又 KA = KG + GA , KB = KG + GB , KC = KG + GC ,
图1
<
a
3
+
b
2
3
+
c
2
3
.
故 KA2 + KB 2 + KC2 ( GA + GB + GC) + = 3 KG2 + 2 KG・ 2 2 2 GA + GB + GC = 3 KG2 + GA2 + GB 2 + GC2 , 即 KA 2 + KB 2 + KC2
2 2 2 2
又 AM =
3 a GA 及 BM = , 可得 2 2
学 2004 增刊 ,77.
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
证明略 . 编者注 :式 ③ 为著名的莱布尼兹公式 . 本 题的证明可由莱布尼兹公式直接得出 .
参考文献 :
[1 ] 第 44 届 IMO 越南国家队选拔考试 ( 2003) [J ] . 中等数
在 △ABC 中 , 由阿波罗尼斯 ( Apollonins) 定理知
b + c = 2 ( BM + AM ) .