人教版 八年级数学 15.2 分式的运算 培优训练(含答案)
人教版 八年级数学 15.2 分式的运算 培优训
练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 分式12a 2b 与1
ab 2的最简公分母是 ( )
A ．ab
B ．2a2b2
C ．a2b2
D ．2a3b3
2. 计算a 6b 3·b 2a ，结果是( )
A ．a5b5
B ．a4b5
C ．ab5
D ．a5b6
3. 计算(2x y 2)3·(2y x )2÷(－2y x )的结果是( )
A.8x 3y 6 B ．－8x
3y 6 C.16x
2
y 5
D ．－16x 2y 5
4. 计算2
x2－1÷1
x －1的结果是( )
A.2
x －1 B.2
x3－1
C.2
x ＋1 D ．2(x ＋1)
5. 化简a 2－b 2ab －ab －b 2
ab －a 2等于( )
A. b a
B. a b
C. －b a
D. －a b
6. 若△÷a2－1a ＝1
a －1，则“△”可能是( )
A.a ＋1a
B.a
a －1 C.a
a ＋1
D.a －1a
7. 计算x －y
x ＋y ÷(y －x )·1
x －y 的结果是( )
A.1x 2－y 2
B.y －x x ＋y
C.1y 2－x
2 D.x －y x ＋y
8. 不改变分式0.2x －10.4x ＋3
的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为( )
A.2x －14x ＋3
B.x －52x ＋15
C.2x －14x ＋30
D.2x －10x ＋3
9. 若把分式3xy x －y
(x ，y 均不为0)中的x 和y 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的3倍
B ．缩小为原来的13
C ．不变
D ．扩大为原来的6倍
10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图K －42－1所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
A ．只有乙
B ．甲和丁
C ．乙和丙
D ．乙和丁
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为________．
12. 若a b ＝23，则a ＋b b ＝________．
13. 若y x －1·M ＝5xy x2－1
，则分式M ＝________．
14. 约分：a2＋2ab a2b ＋2ab2
＝________．
15. 要使x ＋52x ＋1＝（x ＋5）（3m ＋2）（2x ＋1）（7－2m ）
成立，则m ＝________．
16. 已知a ≠0，S 1=-3a ，S 2=，S 3=，S 4=，…，S 2020=，则S 2020= . 三、解答题（本大题共4道小题）
17. 先化简，再求值：1x ＋1－3－x x 2－6x ＋9÷x 2＋x x －3
，其中x ＝－32.
18.
先化简，再求值：(1－2x －1)·x 2－x x 2－6x ＋9，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的
数．
19. x 2－1x 2－2x ＋1先化简：x x ＋3÷x 2＋x x 2＋6x ＋9＋3x －3x 2－1
，再求当x ＋1与x ＋6互为相反数时代数式的值．
20. (1)通分：z xy ，y xz ，x
yz ；
(2)求证：z xy ＋y xz ＋x yz 的值不能为0； (3)求证：a －b （b －c ）（c －a ）＋b －c （a －b ）（c －a ）＋c －a （a －b ）（b －c ）
的值不能为0.
人教版 八年级数学 15.2 分式的运算 培优训
练-答案 一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B
2. 【答案】A
3. 【答案】D [解析] (2x y 2)3·(2y x )2÷
(－2y x )＝8x 3y 6·4y 2x 2·(－x 2y )＝－16x 2
y 5.
4. 【答案】C [解析] 原式＝2x2－1·(x －1)＝2x ＋1
.故选C.
5. 【答案】B 【解析】原式＝
（a ＋b ）（a －b ）ab －b （a －b ）a （b －a ）
＝（a ＋b ）（a －b ）ab ＋b a ＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2ab ＝a 2－b 2＋b 2ab
＝a 2ab ＝a b ，故答案为B.
6. 【答案】A [解析] △＝a2－1a ·1a －1＝（a ＋1）（a －1）a ·1a －1
＝a ＋1a .
7. 【答案】C [解析] x －y x ＋y ÷(y －x)·1x －y ＝x －y x ＋y ·1y －x ·1x －y ＝1（x ＋y ）（y －x ）
＝
1y 2－x 2
.
8. 【答案】B [解析] 0.2x －10.4x ＋3＝5×（0.2x －1）5×（0.4x ＋3）＝x －52x ＋15
.
9. 【答案】A [解析] 由题意得3·3x·3y 3x －3y ＝3·9xy 3（x －y ）＝3·3xy x －y
，所以分式的值扩大为原来的3倍．
10. 【答案】D [解析] 因为x2－2x x －1÷x21－x ＝x2－2x x －1·1－x x2＝x2－2x x －1
·－（x －1）x2＝x （x －2）x －1
·－（x －1）x2＝－（x －2）x ＝2－x x ，所以出现错误的是乙和丁．
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 【答案】32 【解析】原式＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）
＝a ＋b a ，∵a ＝2b≠0，∴原式＝2b ＋b 2b ＝32.
12. 【答案】53 【解析】因为a b ＝23，则设a ＝2k ，b ＝3k ，代入分式得a ＋b b ＝2k ＋3k 3k
＝5k 3k ＝53.
13. 【答案】5x x ＋1 [解析] 由题意，得M ＝5xy x2－1÷y x －1＝5xy （x ＋1）（x －1）·x －1y ＝5x x ＋1
.
14. 【答案】1b [解析] a2＋2ab a2b ＋2ab2＝a （a ＋2b ）ab （a ＋2b ）＝1b
.
15. 【答案】1 [解析] 根据题意，得3m ＋2＝7－2m ，
移项，得3m ＋2m ＝7－2，
合并同类项，得5m ＝5，
系数化为1，得m ＝1.
16. 【答案】- [解析] S 1=-3a ，S 2==-，S 3==-3a ，S 4==-，…
∴S 2020=-.
三、解答题（本大题共4道小题）
17. 【答案】
解：原式＝1x ＋1＋x －3（x －3）2·x －3x （x ＋1）(2分)
＝1x ＋1＋1x （x ＋1）(3分)
＝x ＋1x （x ＋1）
＝1x .(4分)
当x ＝－32时，原式＝1－32
＝－23.(6分)
18. 【答案】
解：原式＝x －1－2x －1·x （x －1）（x －3）2(2分)
＝x －3x －1·x （x －1）（x －3）2
＝x x －3.(4分)
∵x －1≠0，x －3≠0,
∴x≠1且x≠3，
∴ 取x ＝2，(5分)
∴原式＝22－3＝－2.(6分)
19. 【答案】
解：原式＝x x ＋3·（x ＋3）2x （x ＋1）＋3（x －1）（x ＋1）（x －1）(2分)
＝x ＋3x ＋1＋3x ＋1(3分)
＝x ＋6x ＋1.(4分)
∵由“x ＋1与x ＋6互为相反数”得(x ＋1)＋(x ＋6)＝0，解之得x ＝－3.5，(5分)
∴原式＝－3.5＋6－3.5＋1＝2.5－2.5
＝－1.(6分)
20. 【答案】
解：(1)最简公分母是xyz.
z xy ＝z2xyz ，y xz ＝y2xyz ，x yz ＝x2xyz .
(2)证明：z xy ＋y xz ＋x yz ＝z2xyz ＋y2xyz ＋x2xyz ＝x2＋y2＋z2xyz
. 因为分子x2＋y2＋z2≥0，
所以只有当x ＝y ＝z ＝0时分式的值才能等于0，但在分式有意义的前提下，x ，y ，z 均不为0，
所以z xy ＋y xz ＋x yz 的值不能为0.
(3)证明：令a －b ＝x ，b －c ＝y ，c －a ＝z ，
则原式＝x yz ＋y xz ＋z xy .
由(2)可知，上式的值不能为0.
故a －b （b －c ）（c －a ）＋b －c （a －b ）（c －a ）＋c －a （a －b ）（b －c ）
的值不能为0.
八年级数学培优练习题及答案大全
八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且
AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。
培优专题7_分式的运算(含问题详解)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 分析：原式 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：
八年级数学分式培优练习题完整复习资料
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
分式方程培优讲义
分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a=．
三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y 的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10=
2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（） A．+=1 B．+= C．+= D．+=1 【同步训练】 1．如果关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于x的分式方程 +=3有非负整数解，则符合条件的m的所有值的和是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣8 2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解，那么这一个数中所有满足条件的m的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4
人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程13、分式总复习
3、分式总复习 【知识精读】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若，试判断是否有意义。ab a b +--=101111a b -+， 分析：要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因1111 a b -+，式分解，即可判断与零的关系。 a b -+11， 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 或∴+=b 10a -=10 中至少有一个无意义。∴-+1111a b ， 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算：a a a a a a 2211313 +-+--+-
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=- +--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113311322 13(()() ()() ()() 例3. 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为，，所以最简公x x x x 27616++=++()()x x x x 25623-+=--()()分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于()()()()x x x x ++--1623故可得如下解法。x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+ 解： x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 7656 2222x x x x x x x x x 经检验，是原方程的根。 x =0 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知与互为相反数，求代数式a a 2 69-+||b -1的值。()42222222222 a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++ 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为
八年级数学竞赛培优专题及答案 09 二次根式的概念与性质
专题09 二次根式的概念与性质 阅读与思考 0) a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1 ≥ a、a2一样都是非负数． 2 ． 2 ＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化． 3 () () a a a a a ≥ ?? ==? -≤ ?? 揭示了与绝对值的内在一致性． 4 a b =（a≥0，b≥0）． 5 =（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． 6．若a＞b＞0 ＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础． 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； （2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边． 例题与求解 【例1】设x，y都是有理数，且满足方程 11 40 2332 x y ππ π ???? +++--= ? ? ???? ，那么x y -的值是 ____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题． 【例2】当1≤x≤2 ___________． 解题思路： a≥0的隐含制约．
【例3】若a＞0，b＞0=+ 的值． （天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系． 【例4】若实数x，y，m满足关系式： 199 y x =--m的值． （北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口． 【例5】已知 1 5 2 a b c +-=-，求a＋b＋c的值． （山东省竞赛试题） 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试. 【例6】在△ABC中，AB，BC，AC 学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________． （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC， （a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积． （3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n） 试运用构图法求出这个三角形的面积． （咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．
分式培优讲义教学文案
讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
最新八年级数学(下)培优竞赛训练题
图1 A B C D E P 八年级数学培优训练题 1. 如图，已知反比例函数y ＝ m x 的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B (1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 2． 如图1，把边长为2cm 的正方形沿图中虚线剪成四个全等的直角三角形．请你用这四个直角三角形分别拼成符合下列（1）、（2）、（3）要求的图形(每次拼成的图形必须全部用上这四个直角三角形，且这四个直角三角形互相没有重叠部分，也不留空隙)各一个，并按实际大小把你拼出的图形画在相应的方格纸内(方格纸内每个小方格是边长为1cm 的正方形)． 3．(12分)如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点 (不与A 、B 重合)．连接OP 交对角线AC 于E 连接BE ． (1)证明：∠APD ＝∠CBE ；(6分) (2)若∠DAB ＝60o，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4 ？为什么？(6分) (1)不是正方形的菱形 (2)不是正方形的矩形 (3)梯形
4．(7分)如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ． (1)求证：BE ＝DG ； (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． 5．(7分)在直角坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图象．若一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别过 点A (－1，1)、B (2，2)，请你依据这两个函数的图象写出方程组???y ＝|x | y ＝kx ＋b 的解． 6．(8分)如图，反比例函数y ＝ m x (x ＞0)的图象与一次函数y ＝－ 1 2x ＋ 5 2 的图象交于A 、B 两点，点C 的坐标为(1， 1 2 )，连接AC ，AC ∥y 轴． (1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标； (2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P 在反比例函数图象上A 、B 之间的部分滑动(不与A 、B 重合)，两直角边始终分别平行于x 轴、y 轴，且与线段AB 交于M 、N 两点，试判断P 点在滑动过程中△PMN 是否与△CBA 总相似？简要说明判断理由．
人教版八年级数学下期中专题培优复习
期中复习专题 期中专题（一） 二次根式 1.计算： (1) (9) (10) 202π-+（ (12)+ (13) 2 2.已知，a =b = (1)22a b -； (2)11a b +； (3)22a ab b -+ . 3.已知22446100x y x y +--+=，求(5y - 的值.
期中专题（二） 勾股定理 1.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =3+，BD 平分∠ABC 交AC 于D .求AD 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，AD ⊥AC 交BC 于D ，求DB 的长. 3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，BD =4，CB =5，求AB 的长.
4.如图，在△ABC 中，∠B =45°，∠ A =15°，BC 1，求AC ，A B 的长. 5.如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠B =∠D =90°，AB =2，CD =1，求BC 和AD 的长. 6.如图，点E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上一点，且AE 平分∠BEF ，连AF . (1)求证：∠EAF =45°； (2)若点E 为BC 的中点，AB =6，求AEF S .
期中专题（三）特殊四边形的简单证明 1.如图，在ABCD中，点E，F在AC上，且AE=CF. (1)求证：四边形BEDF为平行四边形； (2)若需四边形BEDF为菱形，则原四边形对角线之间需添加什么条件？ 2.如图，AD为△ABC的平分线，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，判断四边形AEDF 的形状并证明. 3. (2013乌鲁木齐)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.
分式培优训练(含答案)
13、分式总复习 【知识精要】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10，试判断 1111a b -+，是否有意义。 分析：要判断1111 a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断a b -+11，与零的关系。 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算：a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分
离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3. 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解： x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验，x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数，求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥()，||b -≥10，利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。
最新八级数学分式专题培优上课讲义
八年级数学培优试题----分式1 1、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224 x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444 x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222 x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的 2、下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）2+a ，分式的值不变；（2）分式y -83的值可以等于零；（3）方程11 111-=++++x x x 的解是1-=x ；（4）12+x x 的最小值为零；其中正确的说法有（ ） A .1个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 3、关于x 的方程211 x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 4．若解分式方程x x x x m x x 11122+=++-+产生增根，则m 的值是（ ） B. D. 5． 已知,511b a b a +=+则b a a b +的值是（ ） A 、5 B 、7 C 、3 D 、 31 6．若x 取整数，则使分式1 -2x 36x +的值为整数的x 值有( )． (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 7. 已知x B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 8. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
北师大版八年级下数学培优提高习题
八年级下“勇攀高峰”第1期（2015年3月）命题人：张志欣 一．选择题（共7小题） 1．如果关于x的不等式（a+2）x＞a+2的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 3．已知不等式组的解集是x＞5，则m的取值范围是（） A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤5 4．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 5．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如 =1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x的解集是（） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3 6．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数） 的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式 ﹣x+2≥ax+b的解集为（） A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3 7．已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．0≤a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1 二．填空题（共5小题） 8．不等式组的最小整数解是． 9．已知不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是．
10．已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为． 11．如果1＜x＜2，则（x﹣1）（x﹣2）0．（填写“＞”、“＜”或“=”） 三．解答题（共5小题） 12．代数式的值不大于的值，求x的取值范围． 13．解不等式组：14．解不等式组，并求其整数解．15. 某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商 场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题
浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题 一．选择题（共6小题） 1．若分式，则分式的值等于（） A．﹣ B．C．﹣ D． 2．对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为 （） A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.5 3．分式方程有增根，则m的值为（） A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2 4．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（） A．B．C．D． 5．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（） A． B． C．D．随所取盐水重量而变化 6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（） A．1996 B．1997 C．1998 D．1999 二．填空题（共6小题） 7．有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果y n．（用含有x和n的式子表示） 8．已知分式=，则=． 9．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由 于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是 求和符号，通过以上材料的阅读，计算=． 10．如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程： ﹣ =1 ﹣ =1 ﹣ =1 （1）若方程﹣=1（a＞b）的解是x1=6，x2=10，则a=b=． （2）请写出这列方程中第n个方程：方程的解：． 11．已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，则（++）abc=．12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=． 三．解答题（共6小题）
八年级数学培优计划
培优计划 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培优计划要落到实处，发掘并培养一批数学尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和能力，并能协助老师进行辅差活动，提高整个班级的数学素养和数学成绩。 二、学生情况分析 八年级各班共196人，从本学期的学习情况及知识技能掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，作业能按时按量完成，且质量较好，一部分尖子生能起到较好的模范带头作用，因此本学期除在教学过程中要注重学生的个体差异外，我组准备在提高学生学习兴趣上下功夫，通过培优的方式使优秀学生得到更好的发展。 三、原则与措施 （一）.培优对象：八年级各班数学成绩突出有发展潜能的5名同学组成培优班，班主任由张成山担任，上课教师：张成山、王守香、申朝福 （二）.培优资料，采用活页制，由培优老师提前准备活页资料，培优时，发给学生。培优过程必须优化
备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优。培优要做到备好学生、备好教材、备好练习，才能上好课，才能保证培优补差的效果。 （三）.培优教学要有四度： （1）习题设计要有梯度，紧扣重点、难点、疑点和热点，面向大多数学生，符合学生的认知规律，有利于巩固“双基”，有利于启发学生思维； （2）习题讲评要增加信息程度，围绕重点，增加强度，引到学生高度注意，有利于学生学会解答；（3）解答习题要有多角度，一题多解，一题多变，多题一解，扩展思路，培养学生思维的灵活性，培养学生思维的广阔性和变通性； （4）解题训练要讲精度，精选构思巧妙，新颖灵活的典型题，有代表性和针对性的题，练不在数量而在质量，训练要有多样化。 （四）．要讲究教法。要认真上好每一节课，研究不同课型的教法。要把知识进行网络，把知识进行列表比较，把知识系统，便于学生掌握；做到既评又讲，评有代表性的学生答题情况，讲知识的重点、易混点、热点及考点。做到师生互动，生生互动，极大的调动学生学习积极性，提高优生率。 四、主要措施：
2021中考数学 尖子生培优训练 分式及其运算(含答案)
2021中考数学 尖子生培优训练 分式及其运算 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 化简a 2 a －1－(a ＋1)的结果是( ) A. 1a －1 B. －1a －1 C. 2a －1a －1 D. －2a －1 a －1 2. 计算 a 6 b 3· b 2 a ，结果是( ) A ．a5b5 B ．a4b5 C ．ab5 D ．a5b6 3. 当x ＝3时下列各式中值为0的是( ) A.x －9x2－9 B.1x －3 C.x －3x ＋3 D.x ＋3x －3 4. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B . C . D . 5. 若△÷ a2－1a ＝1 a －1 ，则“△”可能是( ) A.a ＋1a B.a a －1 C.a a ＋1 D.a －1a 6. 一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/ 时，则货车上、下山的平均速度为多少千米/时 ( ) A .(a+b ) B . C . D . 7. 计算 16－a2a2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2 a ＋4 ，其结果是( )
A ．－2a ＋8 B ．2 C ．－2a －8 D ．－2 8. 已知 =，则的值为 ( ) A . B . C . D . 9. （2020·随州）x x x 21 4222-÷ -的计算结果为（ ） A.2+x x B.22+x x C.2 2-x x D.)2(2+x x 10. 若 m+n -p=0，则m -+n --p +的值是 . 二、填空题（本大题共10道小题） 11. 当x ＝________时，分式x －2 2x ＋5的值为0. 12. 若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2 a 2－a b 的值为________． 13. （2020·昆明）要使 1 5 +x 有意义，则x 的取值范围是 . 14. （2020 台州）计算 的结果是 ． 15. （2020·黄冈）计算： 22 1y x x y x y ??÷- ?-+?? 的结果是________． 16. 分式 3 2（x ＋1），2x －15（x －1），2x ＋1x2－1 的最简公分母是________________. 17. 已如m +n =-3，则分式22 (2)m n m n n m m +--÷-的值是____________. 18. 要使 x ＋52x ＋1＝（x ＋5）（3m ＋2） （2x ＋1）（7－2m ） 成立，则m ＝________．
数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷
数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=?,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则 1A =_____?；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的 平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________?． 【答案】（2m ） （1024 m ） 【解析】 【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题． 【详解】 解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2 m ° ． 依此类推∠A 2=224m m ??=，∠A 3=328m m ??=，…，∠A 10=1021024 m m ?? =． 故答案为：()2m ；()1024 m ． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°. 【答案】65 【解析】 如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，
∴∠1= 12∠DAC ，∠2=1 2 ∠ACF ， ∴∠1+∠2=1 2 （∠DAC+∠ACF ）， 又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC ）+（180°-∠ACB ）=360°-（∠BAC+∠ACB ），且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∴∠1+∠2= 1 2 （360°-130°）=115°， ∴在△ACE 中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】2017 2α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，
昆明数学分式解答题单元培优测试卷
一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12 S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）方案二所用的时间少 【解析】 【分析】 （1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解； （2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论． 【详解】 （1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x =+， 解得：150x =， 检验，当150x =时，()300x x +≠， ∴原分式方程的解为：150x =， 30180x +=， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab +=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b =+， ∴2 2()22() a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，， ∴()20a b ->，
八年级数学培优试题
2008年八年级数学培优试题（人教版） 考试时间：70分钟 满分：100分 一 选择题 （3分×10=30分） 1.计算32a a 的结果是( ) A. 1 B.a C.5a D. 2 6a 2.下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列运算错误的是（ ） A ． 2a 2－a 2＝a 2 B ． a 2·a 3＝a 5 C ．a 3÷a 3＝1(a ≠0) D ． (a 2)3＝a 5 4.下列说法正确的是（ ） A.用一张底片冲洗出来的两张1寸相片上的图形是全等形 B.所有的正三角形是全等形 C.周长相等的两个图形一定是全等形 D.面积相等的两个图形一定是全等形 5、天天服装厂对某年前x 个月销售套裙的情况作统计，为了更清楚地看出套裙销售量的总趋势是上升的还是下降的，应采用（ ）
A ．条形统计图 B ．折线统计图 C ．扇形统计图 D 都可以 6、某校师生总人数为l000人，其中男学生、女学生和教师所占的比例如图所示，则该校男学生人数为 （ ） A. 430人 B. 450人 C. 550人 D. 570人 7、已知一次函数y=2x-3，则该函数图像经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 8、下列四个条件中，可以确定哪些△ABC ≌△A B C '''的是（ ） A ．BC= B C ''，AC= A C '',∠B=∠B ′ B ． AC=A C '' ， ∠A=∠A ′ , ∠B=∠B ′C ．AB=A B '' , AC=A C '' ，∠A=∠A ′ D ． ∠A=∠A ′ ，∠B=∠ B ′ ，∠C=∠ C ′ 9．一辆公共汽车从车站开出，到达下一个站点停下，乘客上下车后又继续行驶，结合你的生活经验判断，以下选项中能大致地．．．表示公共汽车在这段时间内速度变化情况的是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 10、已知：如图，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，且∠DAB ＝∠CAE ＝60°，那么，△ADC A B C D E
八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(及解析
八年级初二数学 数学平行四边形的专项培优练习题(及解析 一、选择题 1．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=?，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=?；④150CPA ∠=?，其中正确的是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④ 3．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ， 则满足条件的t 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，在?ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝60°，点P 为?ABCD 内一点，点Q 在BC 边上，则PA +PD +PQ 的最小值为( ) A 3719 B ．3 C ．3 D ．10 5．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点， PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）