含参数的导数问题
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1 2 2 (1)当a 1时，f ( x) ( x 1) 0，f ( x)在R上为增函数
比较零点 3 大小并解 (2)当a 1时，由f ( x) 0，得x 1, 或x a，由f ( x) 0，得1 x a 不等式 (3)当a 1时，由f ( x) 0，得x a, 或x 1,由f ( x) 0，得a x 1 4 下结论 所以，当a 1时，函数f ( x)在R上为增函数
当a 1时，函数f ( x)在区间(-,1)和（a， +）上为增函数，在区间（1,a）为减函数, 当a 1时，函数f ( x)在区间(-,a)和（1， +）上为增函数，在区间（a,1）为减函数.
评：讨论三次含参函数的单调性的实质是对导函数的正负 讨论（即讨论其相应不等式的解区间)若导函数是开口确 定的二次函数且能因式分解，则可求出导函数的零点并对 其大小进行讨论，注意结合图像确定相应区间的正负 .
评：若导函数的二次项系数含参数，则应讨论 其正负以及是否为零，并结合函数图像求解.
讨论函数f ( x)
1 2 x ax (a 1) ln x的单调性. 2
课堂小结：
1. 讨论三次含参函数的单调性的步骤：
（1）求导
f (x)（注意定义域优先），若能因式分解则先分
解，求零点，
（2）解不等式 f ( x) 0(或 0)（正确对参数进行分情况讨论)
1 3 (3a 1) 2 讨论函数f ( x) x x (2a 2 a) x 1的单调性. 3 2
解：由题可得f ( x) x 2 (3a 1) x 2a 2 a [ x (2a 1)]( x a（ ) x R)
令f ( x) [ x (2a 1)]( x a)=0，得x1 =2a 1, x2 a (1)当2a 1 a即a 1时，f ( x) ( x 1)2 0，f ( x)在R上为增函数
(2a 1) 2 1 变式3：讨论函数f ( x) ax3 x 2 x 1 的单调性. 3 2
综上，当a 0时，函数f ( x)在(-,2)上为增函数，在(2, +)上为减函数 1 当a 时，函数f ( x)在R上为增函数， 2 1 1 1 当0 a 时，函数f ( x)在(-,2)和( , +)上为增函数，在(2, )上为减函数 2 a a 1 1 1 当a 时，函数f ( x)在(-, )和(2, +)上为增函数，在( , 2)上为减函数 2 a a 1 1 当a 0时，函数f ( x)在( , 2)上为增函数，在(-, )和(2, +)上为减函数 a a
1 3 1 2 x ax x 1 的单调性. 3 2
此时f ( x)在(-,x1 )和（x2， +）上为增函数，在(x1 , x2 )上为减函数
综上，当-2 a 2时，f ( x)在R上为增函数，
a a 2 4 a a 2 4 当a 2或a 2时，f ( x)在区间在(-, )和（ ， +）上为增函数， 2 2 a a 2 4 a a 2 4 在( , )上为减函数. 2 2
评：若二次导函数不能因式分解，则应根据判 别式讨论：无根、两相等根、两不等根.
(2a 1) 2 1 讨论函数f ( x) ax3 x 2 x 1 的单调性. 3 2
解：由题可得f ( x) ax 2 (2a 1) x 2 (ax 1)( x 2) （x R)
x D时，f ( x) 0 f ( x)在区间D上为增函数 x D时，f ( x) 0 f ( x)在区间D上为减函数
讨论函数的单调性可化归为求解 导数正或负的相应不等式问题的讨论
1 3 3 2 求函数f ( x) x x 2 x 1的单调区间. 3 2 1 3 3 2 解： f ( x) x x 2 x （ 1 x R) 3 2 2 f ( x) x 3x 2 ( x 1)( x 2)
由f ( x) ( x 1)( x 2) 0得x 1, 或x 2 由f ( x) ( x 1)( x 2) 0得1 x 2
函数f ( x)的增区间为(-,1)和（2， +）， 减区间为（1,2）.
步骤 1 (a 1) 2 1 .求定义域 例1：讨论函数f ( x) x3 x ax 1 的单调性 3 2 和导数 解：由题可得f ( x) x 2 (a 1) x a ( x 1)( x a（ ) x R) 2 求零点 令f ( x) ( x 1)( x a)=0，得x =1, x a
例2：讨论函数f ( x)
解：由题可得f ( x) x 2 ax （ 1 x R), (1)当 a 2 4 0，当-2 a 2时，f ( x) 0，f ( x)在R上为增函数，
(2)当 a 2 4 0, 即a 2或a 2时， a a 2 4 a a 2 4 令f ( x)=0，得x1 , x2 , x1 x2 , 2 2 由f ( x) 0解得x x1或x x2 ,由f ( x) 0解得x1 x x2 ,
(1)当a 0时，f ( x) x 2，由f ( x) 0得x 2,由f ( x) 0得x 2 1 (2)当a 0时，令f ( x) (ax 1)( x 2)=0，得x1 , 或x2 2 a
1 1 1 当 2即a 时，f ( x) ( x 2) 2 0，f ( x)在R上为增函数 a 2 2 1 1 1 1 当 2即0 a 时，由f ( x) 0，得x 2, 或x ，由f ( x) 0，得2 x a 2 a a
所以，当a 1时，函数f ( x)在R上为增函数 在区间（a,2a 1 ）为减函数, 当a 1时，函数f ( x)在区间(-,2a 1)和（a， +）上为增函数， 在区间（2a 1,a）上为减函数.
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当a 1时，函数f ( x)在区间(-,a )和（2a 1， +）上为增函数，
1 1 当 2即a 0, 或a 时，分两种情况处理如下： a 2
1 1 1 当a 时，由f ( x) 0，得x , 或x 2，由f ( x) 0，得 x 2 2 a a 1 1 当a 0时，由f ( x) 0，得 x 2，由f ( x) 0，得x ，或x 2 a a
(2)当2a 1 a即a 1时，由f ( x) 0得x a或x 2a 1,由f ( x) 0得a x 2a 1
(3)当2a 1 a即a 1时，由f ( x) 0得x 2a 1或x a,由f ( x) 0得2a 1 x a
（3）综合下结论
2.解题关键： 为什么要对参数分情况讨论？讨论点是什么？ 3.解题思想:
数形结合 分类讨论
课后作业
1.必做题： 讨论函数f ( x) a x ax x 1的单调性.
2 3 2
2.选做题： 1 a 讨论函数f ( x) ln x ax 1(a R) x 的单调性.
比较零点 3 大小并解 (2)当a 1时，由f ( x) 0，得x 1, 或x a，由f ( x) 0，得1 x a 不等式 (3)当a 1时，由f ( x) 0，得x a, 或x 1,由f ( x) 0，得a x 1 4 下结论 所以，当a 1时，函数f ( x)在R上为增函数
当a 1时，函数f ( x)在区间(-,1)和（a， +）上为增函数，在区间（1,a）为减函数, 当a 1时，函数f ( x)在区间(-,a)和（1， +）上为增函数，在区间（a,1）为减函数.
评：讨论三次含参函数的单调性的实质是对导函数的正负 讨论（即讨论其相应不等式的解区间)若导函数是开口确 定的二次函数且能因式分解，则可求出导函数的零点并对 其大小进行讨论，注意结合图像确定相应区间的正负 .
评：若导函数的二次项系数含参数，则应讨论 其正负以及是否为零，并结合函数图像求解.
讨论函数f ( x)
1 2 x ax (a 1) ln x的单调性. 2
课堂小结：
1. 讨论三次含参函数的单调性的步骤：
（1）求导
f (x)（注意定义域优先），若能因式分解则先分
解，求零点，
（2）解不等式 f ( x) 0(或 0)（正确对参数进行分情况讨论)
1 3 (3a 1) 2 讨论函数f ( x) x x (2a 2 a) x 1的单调性. 3 2
解：由题可得f ( x) x 2 (3a 1) x 2a 2 a [ x (2a 1)]( x a（ ) x R)
令f ( x) [ x (2a 1)]( x a)=0，得x1 =2a 1, x2 a (1)当2a 1 a即a 1时，f ( x) ( x 1)2 0，f ( x)在R上为增函数
(2a 1) 2 1 变式3：讨论函数f ( x) ax3 x 2 x 1 的单调性. 3 2
综上，当a 0时，函数f ( x)在(-,2)上为增函数，在(2, +)上为减函数 1 当a 时，函数f ( x)在R上为增函数， 2 1 1 1 当0 a 时，函数f ( x)在(-,2)和( , +)上为增函数，在(2, )上为减函数 2 a a 1 1 1 当a 时，函数f ( x)在(-, )和(2, +)上为增函数，在( , 2)上为减函数 2 a a 1 1 当a 0时，函数f ( x)在( , 2)上为增函数，在(-, )和(2, +)上为减函数 a a
1 3 1 2 x ax x 1 的单调性. 3 2
此时f ( x)在(-,x1 )和（x2， +）上为增函数，在(x1 , x2 )上为减函数
综上，当-2 a 2时，f ( x)在R上为增函数，
a a 2 4 a a 2 4 当a 2或a 2时，f ( x)在区间在(-, )和（ ， +）上为增函数， 2 2 a a 2 4 a a 2 4 在( , )上为减函数. 2 2
评：若二次导函数不能因式分解，则应根据判 别式讨论：无根、两相等根、两不等根.
(2a 1) 2 1 讨论函数f ( x) ax3 x 2 x 1 的单调性. 3 2
解：由题可得f ( x) ax 2 (2a 1) x 2 (ax 1)( x 2) （x R)
x D时，f ( x) 0 f ( x)在区间D上为增函数 x D时，f ( x) 0 f ( x)在区间D上为减函数
讨论函数的单调性可化归为求解 导数正或负的相应不等式问题的讨论
1 3 3 2 求函数f ( x) x x 2 x 1的单调区间. 3 2 1 3 3 2 解： f ( x) x x 2 x （ 1 x R) 3 2 2 f ( x) x 3x 2 ( x 1)( x 2)
由f ( x) ( x 1)( x 2) 0得x 1, 或x 2 由f ( x) ( x 1)( x 2) 0得1 x 2
函数f ( x)的增区间为(-,1)和（2， +）， 减区间为（1,2）.
步骤 1 (a 1) 2 1 .求定义域 例1：讨论函数f ( x) x3 x ax 1 的单调性 3 2 和导数 解：由题可得f ( x) x 2 (a 1) x a ( x 1)( x a（ ) x R) 2 求零点 令f ( x) ( x 1)( x a)=0，得x =1, x a
例2：讨论函数f ( x)
解：由题可得f ( x) x 2 ax （ 1 x R), (1)当 a 2 4 0，当-2 a 2时，f ( x) 0，f ( x)在R上为增函数，
(2)当 a 2 4 0, 即a 2或a 2时， a a 2 4 a a 2 4 令f ( x)=0，得x1 , x2 , x1 x2 , 2 2 由f ( x) 0解得x x1或x x2 ,由f ( x) 0解得x1 x x2 ,
(1)当a 0时，f ( x) x 2，由f ( x) 0得x 2,由f ( x) 0得x 2 1 (2)当a 0时，令f ( x) (ax 1)( x 2)=0，得x1 , 或x2 2 a
1 1 1 当 2即a 时，f ( x) ( x 2) 2 0，f ( x)在R上为增函数 a 2 2 1 1 1 1 当 2即0 a 时，由f ( x) 0，得x 2, 或x ，由f ( x) 0，得2 x a 2 a a
所以，当a 1时，函数f ( x)在R上为增函数 在区间（a,2a 1 ）为减函数, 当a 1时，函数f ( x)在区间(-,2a 1)和（a， +）上为增函数， 在区间（2a 1,a）上为减函数.
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当a 1时，函数f ( x)在区间(-,a )和（2a 1， +）上为增函数，
1 1 当 2即a 0, 或a 时，分两种情况处理如下： a 2
1 1 1 当a 时，由f ( x) 0，得x , 或x 2，由f ( x) 0，得 x 2 2 a a 1 1 当a 0时，由f ( x) 0，得 x 2，由f ( x) 0，得x ，或x 2 a a
(2)当2a 1 a即a 1时，由f ( x) 0得x a或x 2a 1,由f ( x) 0得a x 2a 1
(3)当2a 1 a即a 1时，由f ( x) 0得x 2a 1或x a,由f ( x) 0得2a 1 x a
（3）综合下结论
2.解题关键： 为什么要对参数分情况讨论？讨论点是什么？ 3.解题思想:
数形结合 分类讨论
课后作业
1.必做题： 讨论函数f ( x) a x ax x 1的单调性.
2 3 2
2.选做题： 1 a 讨论函数f ( x) ln x ax 1(a R) x 的单调性.