(完整版)高中常见数学模型案例
(完整版)高中常见数学模型案例
高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种:一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。
分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(⋅-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ⋅⋅==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,42、一次函数问题例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。
山东省冠县一中高一数学 函数模型的应用实例课件
(1)问题中给出函数解析式，且解析式中带有需要确定的参数，这 些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使 问题本身获解；(2)在建立函数模型时，对同一实际问题可选取不 同的模型，通过比较，选出比较接近实际的模型．
解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润， 知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也 要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题． 【解析】 (1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 从而f(x)＝
－12x2＋300x－20 000(0≤x≤400) . 60 000－100x(x>400)
R(x)＝400x－12x2
(0≤x≤400) .其中 x
80 000 (x>400)
是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？( 总收益＝总成本＋利润)
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定 成本＋100x；②收益函数为一分段函数．
(2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000， ∴当 x＝300 时，有最大值 25 000； 当 x>400 时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000.
在函数应用题中，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成 功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区 间最值等问题，二次函数的配方是比较有效的解题手段．
高二数学中常见的实际问题数学建模解析
高二数学中常见的实际问题数学建模解析数学建模是将数学方法和技巧应用于实际问题的过程，通过建立数学模型来解决问题。
在高二数学学习中，我们经常遇到一些实际问题，这些问题需要我们通过数学建模来解析和求解。
本文将介绍高二数学中常见的实际问题，并给出相应的数学建模解析。
一、汽车加速问题在实际生活中，我们经常会遇到汽车加速问题。
假设一个汽车从静止开始加速，我们希望得到汽车的加速度函数和速度函数。
解析：设汽车在时间t时刻的加速度为a(t)，速度为v(t)，位移为s(t)。
根据牛顿第二定律可以得到汽车的运动方程：m*a(t) = F(t)，其中m为汽车的质量，F(t)为汽车受到的合力。
通过解这个微分方程，我们可以得到汽车的加速度函数a(t)，再次积分得到速度函数v(t)和位移函数s(t)。
二、投影问题投影问题是高二数学中比较常见的一类实际问题。
给定一个物体的运动轨迹和初速度，我们希望求解物体的运动方程和运动性质。
解析：设物体的运动轨迹为y=f(x)，初速度为v0。
根据物体在x和y方向上的运动分量可以得到物体的运动方程：x(t) = v0 * t，y(t) = f(v0 * t)，其中t为时间。
通过对物体的运动方程进行微分和积分，我们可以求解出物体的速度、加速度、位移等运动性质，从而了解物体的运动规律。
三、最优化问题最优化问题是高二数学中的重要内容，也是实际生活中经常遇到的问题。
给定一个约束条件，我们希望求解出使某一目标函数值达到最小或最大的变量取值。
解析：设目标函数为f(x)，约束条件为g(x)=0。
对目标函数f(x)进行求导并令导数为零，可以解得使目标函数达到最小或最大的变量取值。
通过最优化问题的解析，我们可以确定最优解，并对实际问题进行优化设计。
四、概率问题概率问题在高二数学中也是常见的实际问题。
给定一些事件的概率和条件，我们希望求解出与事件相相关的概率或输赢的概率。
解析：根据事件的概率规律和条件概率可以得到事件的概率分布和相应的求解公式。
高中数学建模案例精选
高中数学建模案例精选In the realm of high school mathematics, modeling serves as a bridge between theoretical concepts and practical applications. This approach encourages students to apply mathematical principles to real-world scenarios, fostering a deeper understanding of the subject. One such case study involves the optimization of a shipping route.在高中数学领域，建模是连接理论概念与实际应用的桥梁。
这种方法鼓励学生将数学原理应用于现实世界的场景中，从而加深对学科的理解。
其中一个案例研究就是优化运输路线。
Imagine a shipping company that needs to transport goods from point A to point B. The company has multiple routes to choose from, each with different costs and travel times. The objective is to find the most efficient route that minimizes overall cost while considering factors like fuel consumption, tolls, and the value of time.设想一家运输公司需要从点A运输货物到点B。
公司有多个路线可供选择，每条路线的成本和旅行时间都不同。
目标是找到最高效的路线，以最小化整体成本，同时考虑燃料消耗、过路费和时间的价值。
高考数学中的常见数学模型
高考数学中的常见数学模型数学作为一门科学，无处不在。
它融入了人们的生活和工作中，为人们提供了解决问题的工具和方法。
高考数学中的常见数学模型就是数学在实际问题中的应用。
下面，我将介绍一些高考数学中常见的数学模型。
第一种常见的数学模型是线性规划模型。
线性规划是一种运用数学方法对实际问题进行优化决策的数学模型。
它将实际问题抽象成一系列的线性方程组，通过设置目标函数和约束条件，求解出使目标函数最优化的变量值。
线性规划模型在高考数学中常常用于求解最大最小值、优化问题等。
例如，一道典型的线性规划题目是：某公司生产两种产品A和B，已知产品A每件需要3个小时的时间，产品B每件需要2个小时的时间；公司每天有40个小时的生产时间可以使用；已知产品A每件利润为200元，产品B每件利润为150元。
问公司应该生产多少个产品A和产品B，才能使利润最大化？第二种常见的数学模型是指数模型。
指数模型是通过数学方式描述实际问题中的指数增长或指数衰减规律的数学模型。
在高考数学中，指数模型常用于描述人口增长、物资消耗、生物繁殖等问题。
例如，一道典型的指数模型题目是：某地的人口增长速度服从指数增长模型，已知2000年时该地人口为100万人，2005年时该地人口为135万人。
问该地人口增长的年增长率是多少？第三种常见的数学模型是随机模型。
随机模型是指将概率论和数理统计的方法应用到实际问题中的数学模型。
它用于描述和分析具有随机性的现象，如投资、风险管理、财务分析等。
在高考数学中，随机模型常用于求解概率问题和统计问题。
例如，一道典型的随机模型题目是：某批产品的质量合格率为90%，抽取其中10件产品检查，如果有2件及以上不合格，则判定该批产品不合格。
问抽取的10件产品中有3件不合格的概率是多少？第四种常见的数学模型是几何模型。
几何模型是通过几何学的方法来解决实际问题的数学模型。
在高考数学中，几何模型常用于解决空间位置、图形形状和大小等问题。
例如，一道典型的几何模型题目是：已知长方体的底面积为36平方厘米，其高为10厘米。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例
75(t 3) 2224
65(t 4) 2299
0t 1 1t 2 2t 3 3t 4 4t 5
90 80 70 60 50 40 30
20
10
t 1 2 3 4 5
这个函数的图像如下图所示：
例2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的
` 进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
函数模型的应用实例
1.一次函数的解析式为___y____k_x____b_(_k____0, )其图像是一条____直线，
当________时，一次函数在 (上,为增) 函数，当_______时，
一次函数在 (,)上为减函数。
2.二次函数的解析式为___y___a_x__2___b_x___c_(_a____0_), 其图像是一条 4ac b2
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现， 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（C ）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品 每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为
路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象 v
解(1)阴影部分的面积为 501 801 901 751 651 360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km
(2)根据图形可得： 50t 2004
80(t 1) 2054
【高中数学】函数模型及其应用
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
快解高中数学143模型
快解高中数学143模型数学模型在现实生活中扮演着重要的角色，能够帮助人们理解和解决各种实际问题。
在高中数学教学中，143模型被广泛地应用于各类数学题目的解决过程中。
本文将以实际案例为依据，通过快速解析高中数学143模型，帮助读者更好地理解和掌握该模型的应用。
案例一：图形的变换假设有一辆卡车，长为8m，宽为2m，高为3m，在运输过程中，将其放入一船箱中，该箱的尺寸为10m×3m×5m，问是否能够容纳？解析：这个问题可以转化为求箱子的体积是否大于卡车的体积。
我们可以先计算卡车的体积，即8m × 2m × 3m = 48m³。
接下来计算箱子的体积，即10m × 3m × 5m =150m³。
由此可知，箱子的体积大于卡车的体积，因此可以容纳卡车。
案例二：数列的求和已知数列{an}的通项公式为an = 3n² + 2n + 1，试求该数列的前n项和。
解析：对于此类数列，我们可以利用143模型中的求和公式来求解。
首先，我们要明确该数列的首项和公差，通过观察可以得知，a₁ = 6，d = 4。
接下来，我们可以利用求和公式Sₙ = (a₁ + aₙ) * n/2来计算前n项和。
将已知的数值代入公式中，得到Sₙ = (6 + (3n² + 2n + 1)) * n/2。
化简后，得到Sₙ = (3n³ + 5n² + 3n)/2。
案例三：函数的应用某人在市场上购买一个商品，它的价格随销量的增加而变动。
已知当销量为10时，该商品的价格为100元，当销量为30时，价格为200元。
问当销量为20时，商品的价格是多少？解析：这个问题可以通过函数的应用来解决。
假设动态函数f(x)表示商品的价格，其中x表示销量。
根据已知信息，我们可以列出两个点的坐标：(10, 100)和(30, 200)。
利用两点式求出直线的方程为f(x) = 6x - 40，其中x表示销量，f(x)表示价格。
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
高中物理数学模型应用案例分享
高中物理数学模型应用案例分享概述在高中物理学习中，数学模型的应用十分重要。
通过运用数学方法和工具，我们可以解决一系列与物理相关的问题。
本文将分享一些高中物理领域常见的数学模型应用案例，展示它们的实际意义和解决问题的能力。
1. 简谐振动模型简谐振动是高中物理课程中经常涉及到的一个重要概念。
例如，弹簧振子、单摆等都可以使用简谐振动模型进行分析。
应用案例：弹簧振子考虑一个质量为m的弹簧振子，已知其劲度系数为k，并受到外力F(t)作用。
我们可以建立以下方程来描述其运动:m * x'' + k * x = F(t)其中x表示位移，x''表示加速度。
通过求解上述微分方程，我们可以确定该弹簧振子在外力作用下的运动规律。
2. 牛顿第二定律模型牛顿第二定律是经典力学中最基本也是最重要的定律之一。
它描述了一个物体所受合力在大小和方向上与物体的加速度成正比。
在高中物理学习中，我们经常利用牛顿第二定律建立力学模型。
应用案例：匀变速直线运动考虑一个沿直线运动的自由落体，已知其质量为m，受到重力作用。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程:m * a = -mg其中a表示加速度，g表示重力加速度。
通过求解上述方程，我们可以确定自由落体在重力作用下的运动规律。
3. 热传导模型热传导是研究物质内部温度分布和传播过程的一门学科，在高中物理学习中也有广泛应用。
应用案例：热扩散问题考虑一个长条形杆体，在不同端温度已知的情况下，我们希望推导出杆体内部温度分布。
通过应用热传导方程:∂T/∂t = k * ∂²T/∂x²其中T表示温度，t表示时间，k表示热扩散系数。
通过求解上述偏微分方程，并满足边界条件，可以得到杆体内部温度随时间的变化情况。
4. 电路模型在高中物理中，我们学习了许多关于电路的知识。
通过建立电路模型，我们可以分析电流、电势差、电阻等各种参数之间的关系。
应用案例：串联和并联电阻考虑一个由两个电阻R1和R2串联或并联组成的电路，已知电源提供的电压为V。
模型2用换元思想速解函数嵌套问题模型(高中数学模型大归纳)
模型2 用换元思想速解函数嵌套问题【问题背景】形如y ＝f （g （x ））的复合函数（暂称此函数为“嵌套函数”），以基本初等函数相互“复合”成的一些“新函数”为主，常与函数的图象、性质、零点等交汇起来综合考查．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．【解决方法】【典例1】（2024江苏常州高级中学8月期初检测）已知函数()21exx x f x +-=，其中x ÎR ，则函数()()1y f f x =+共有______个零点．【套用模型】第一步：确定内层函数和外层函数．函数()()1y f f x =+分解后是函数()1y f t =+，()t f x =，即内层函数为()t f x =，外层函数为()1y f t =+．第二步：确定外层函数()1f t +的零点及所在区间．令()10f t +=，即()1f t =-．由()0f t =可得210t t +-=，解得t =，所以当t <<()0f t <．对()f t 求导得()22ett t f t -++¢=，令()0f t ¢=，得1t =-或2t =，因此()f t 在(),1-¥-上单调递减，在()1,2-上单调递增，在()2,+¥上单调递减．所以()1f t =-有两解1t ，2t ，不妨设12t t <11t <<-，20t =．第三步：根据外层函数的零点及零点所在区间，确定内层函数的零点情况．根据对()f t 的分析作出()f x 的大致图象，如图1所示．e >-，所以根据图象可知直线1y t =与曲线()yf x =有2个交点，直线2y t =与曲线()y f x =有2个交点．图1第四步：整合结论，确定结果．综上，函数()()1y f f x =+共有4个零点．【典例2】（2024重庆八中8月开学考试｜多选）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ì£ï=í>ïî，，()()()()()g x f f x f x a a =--ÎR ，则下列说法正确的是（）A ．a $ÎR ，使得()g x 有2个零点B ．a $ÎR ，使得()g x 有3个零点C ．若()g x 有3个零点，则1a >D ．若()g x 有4个零点，则1a =【套用模型】第一步：确定内层函数和外层函数，对内层函数实施换元．令()f x t =，则0t ³，则()()()()()0g x f f x f x a f t t a =--=Þ=+．【会转化】换元后，可以看出内层函数为()t f x =，外层函数为()()g t f t t a =--第二步：借助切线，研究外层函数的零点．根据题意作出()y f t =的大致图象，如图2所示，则外层函数的零点个数即直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³的交点个数．【易遗漏】内层函数的值域限制了外层函数的定义域，故换元后要注意新元的取值范围图2直线y t a =+的斜率为1，当1t ³时，ln 0t ³，设曲线()ln 1y t t =³的斜率为1的切线的切点为()00,ln t t ，1y t¢=，则由11t =得01t =，故切点为()1,0，切线方程为1y t =-．向上平移直线1y t =-，当到达直线1y t =+的位置时，与曲线()y f t =()0t ³有2个交点．故当1a >时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足()0,1t Î；当1a =时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有2个交点，交点横坐标分别满足()0,1t Î和0=t ；当11a -<<时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足()0,1t Î；当1a =-时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足1t =；当1a <-时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足1t >．第三步：研究内层函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数情况．再看()f x 的图象，如图3所示，图3当1t >时，曲线()y f x =与直线y t =有2个交点，当01t <£时，曲线()y f x =与直线y t =有3个交点，当0=t 时，曲线()y f x =与直线y t =有1个交点，当0t <时，曲线()y f x =与直线y t =没有交点．第四步：整合结论，求得结果．综上可知：当11a -£<或1a >时，()g x 有3个零点；当1a =时，()g x 有4个零点；当1a <-时，()g x 有2个零点．故选ABD ．【典例3】（2024江苏盐城8月期初测试）已知函数()21cos sin 4f x x a x =++在区间[]0,π上有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．51,44æö--ç÷èøB ．11,4æö--ç÷èø C ．1,4æö-¥-ç÷èø D ．5,14æö--ç÷èø【套用模型】第一步：利用降幂公式转化题目条件，换元确定内、外层函数．()222115cos sin 1sin sin sin sin 444f x x a x x a x x a x =++=-++=-++，令sin t x =，[]0,πx Î，则[]0,1t Î，则外层函数为254y t at =-++，内层函数为sin t x =．第二步：分析确定外层函数的零点个数．若函数254y t at =-++的零点含1，不符合题意．【扫清障碍】若函数254y t at =-++只有1个零点1t =，则函数()f x 只有1个零点π2x =；若函数254y t at =-++除1外还有别的零点，则由二次函数图象知函数()f x 的零点有奇数个．均不符合题意假设函数254y t at =-++在区间[)0,1上有n 个零点．第三步：分析确定内层函数的零点个数．若254y t at =-++在[)0,1上有1个零点0t ，则在[]0,π上有2个不同的x 满足0sin t x =，【会分析】正向求解零点个数的问题时，由外向内，逐层分析，即可得出结论；而已知零点个数求解参数范围时，需要先假设外层函数的零点情况，根据内、外层函数的对应关系，分析内层函数的零点情况，据此确定各假设是否成立因此若函数254y t at =-++在区间[)0,1上有n 个零点，则函数()f x 在[]0,π上有2n 个零点，所以函数()f x 在[]0,π上有2个零点，即函数254y t at =-++在区间[)0,1上有1个零点．第四步：根据t 的范围确定参数的范围．又0=t 时255044t at -++=>，则1t =时2551044t at a -++=-++<，得14a <-，即实数a 的取值范围为1,4æö-¥-ç÷èø．故选C ．【典例4】（2024广东茂名9月统测）已知函数()22f x x x =--，()10410x x g x x x x ì+>ï=íï+£î，，若关于x 的方程()()0g f x a -=有4个实数根，则实数a 的取值范围为______．【套用模型】第一步：换元，确定内层函数和外层函数．令()f x t =，则原方程可以化为()g t a =．第二步：根据原方程根的个数，分析内、外层函数的零点情况，确定t 的范围．因为方程()()0g f x a -=有4个实数根，且()()222111f x x x x =--=-++£，当1t =时，关于x 的方程()f x t =只有1个根=1x -，不符合题意．当(),1t Î-¥时，关于x 的方程()f x t =有2个不同的根．则原方程有4个根等价于函数()()1y g t t =<的图象与直线y a =有2个不同的交点．第三步：作出外层函数的图象和直线y a =．作出函数()()1y g t t =<和y a =的图象，如图4所示．图4第四步：数形结合，得出a 的取值范围．由图象可知，当514a £<时，函数()()1y g t t =<的图象与直线y a =有2个不同的交点，故a 的取值范围是51,4éö÷êëø．一、单选题（22-23高三上·河南焦作·期中）1．已知函数22,0()1ln(6),60x x x f x x x ì-³=í-+-<<î则函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2023·浙江温州·二模）2．已知22(0)(){log (0)xx f x x x £=>，则方程[()]2f f x =的根的个数是A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）3．设函数()32,0lg ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2023·黑龙江哈尔滨·一模）4．已知函数131,(1)()ln(1),(1)x x f x x x -ì+£ï=í->ïî，若24()()2()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）A．54(,)63+¥U B．5(2,)6+¥U C ．5[,2)6D ．4(,)3+¥（22-23高三上·天津·期末）5．已知函数|1||ln(2)|,>2()=12+,22x x x f x x --£ìïíïî，若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．35,44ìüæö+¥íýç÷îþèøU B ．15,24ìüæö+¥íýç÷îþèøU C ．35,44æùçèûD ．3,4æö+¥ç÷èø（2023·浙江宁波·二模）6．设a ÎR ，函数()21,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，若函数()y f f x =éùëû恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．()2,0-B ．()0,1C ．[)1,0-D ．()0,2（22-23高三·浙江杭州·阶段练习）7．已知函数3221,0()31,()468,0x x f x x x g x x x x x ì+>ï=-+=íï---£î，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题（22-23高三上·黑龙江黑河·阶段练习）8．已知函数222,0()43,0x x x f x x x x ì--£=í-+>î，,0(),0x e x g x lnx x ì£ï=í>ïî，则函数()(())1h x g f x =-的零点个数为 个．（22-23高三下·浙江温州·期末）9．设a R Î，函数()22,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，若函数()y f f x =éùëû恰有4个零点，则实数a 的值为.（22-23高三上·湖北武汉·期中）10．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()1y f f x éù=-ëû的零点个数为 .参考答案：1．C【分析】分段函数，分别在定义域内求函数的零点，解方程即可.【详解】函数22,0()1ln(6),60x x x f x x x ì-³=í-+-<<î在(－6，＋∞)上有零点，则2020x x x ³ìí-=î或601ln(6)0x x -<<ìí-+=î，解得x ＝2或x ＝4或x ＝e －6，即函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选:C .【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.2．C【分析】由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求()f x ，再由()f x 求x 即可．【详解】由题意，当()0f x …时，()[()]22f x f f x ==， ()1f x = 与()0f x …矛盾，此时无解；当()0f x >时，2[()]|log ()|2f f x f x ==；故1()4f x =或()4f x =，若1()4f x =，则0x £ 时，124x=，0x >时，21|log |4x =，故2x =-或142x =或142x -=；若()4f x =，则0x £ 时，24x =，0x > 时，2|log |4x =，故2x =（舍去）或16x =或116x =；故共有5个根；故选：C ．3．C【分析】画出函数()f x 的草图，分析函数的值域及1()2f t =的解，由()f x t =解的个数，可得答案【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +£ì=í>î的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t £时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则=t 所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当=t()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C 4．D【分析】画出()f x 的图象，结合()F x 的零点个数以及函数的图象可得方程24203t at -+=的解1t 、2t 满足1212012t t t t ¹ìï<£íï>î，根据根分布可求实数a 取值范围.【详解】()f x的图象如图所示：因为()24()2()3F x f x af x =-+有4个不同的零点，故24203t at -+=有解，设此关于t 方程的解为1t 、2t ，其中12,t t 均不为零且1243t t =.由题设可得关于x 的方程()1f x t =和()2f x t =共有4个不同的解，故12120101t t t t ¹ìï<£íï<£î（舍）或1212012t t t t ¹ìï<£íï>î或121222t t t t ¹ìï>íï>î（舍）.所以4120344403402003a a a ì-+£ïïï-+<íïï-´+>ïî，解得43a >.故选：D.【点睛】方法点睛：复合方程的解的讨论，一般通过换元转化为内、外方程的解来处理，注意根据已知零点的个数合理推断二次方程的根的情况.5．A【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出()f x 的零点，数形结合求出方程()2f x a =有三个根的a 的取值范围作答.【详解】由()0g x =得：()=0f x 或()2f x a =，因函数|1||ln(2)|,>2()=12+,22x x x f x x --ìïí£ïî，由()=0f x 解得=3x ，因此函数2()=[()]2()g x f x af x -有四个不同的零点，当且仅当方程()2f x a =有三个不同的根，函数()f x 在(,1]-¥上递减，函数值集合为3[,+)2¥，在[1,2]上递增，函数值集合为35[,]22，函数()f x 在(2,3]上递减，函数值集合为[0,+)¥，在[3,+)¥上递增，函数值集合为[0,+)¥，在同一坐标系内作出直线2y a =与函数=()y f x 的图象，如图，方程()2f x a =有3个不同的根，当且仅当直线2y a =与函数=()y f x 的图象有3个公共点，观察图象知，当322a =或522a >，即34a =或54a >时，直线2y a =与函数=()y f x 的图象有3个公共点，所以实数a 的取值范围是35{}(,+)44È¥.故选：A【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.6．A【分析】当0a ³时，画出函数图象，可得()y f f x =éùëû有0x =和2x =两个零点；当a<0，画出函数图象，数形结合可得要使()y f f x =éùëû有3个零点，需满足0x <时，()max 1f x <.【详解】当0a ³时，()f x 的大致图象如图1，此时令()0f f x =éùëû，可得()1f x =，观察图象可解得0x =或2x =，即方程有2个根，则此时()y f f x =éùëû只有2个零点，不合题意；当a<0时，()f x 的大致图象如图2，此时令()0f f x =éùëû，可得()1f x =或()f x a =，由图易知()f x a =恰有一根，则需满足()1f x =有两根，而0x =和2x =均为()1f x =的根，则需满足0x <时，()max 1f x <，又0x <时()2f x x ax =-+的对称轴为2a x =，则()2max 124a a f x f æö==<ç÷èø，解得22a -<<，则20a -<<，综上，a 的取值范围为()2,0-.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数零点个数求参数范围，解题的关键是画出函数图象，数形结合即可进行判断求解.7．A【分析】对()f x 求导，得其单调性，故而可得函数图象，通过作出函数()g x ，()f x 的图象，数形结合，综合即可得结果．【详解】函数()()23632f x x x x x ¢=-=-，由()0f x ¢>得2x >或0x <，此时函数单调递增，由()0f x ¢<得02x <<，此时函数单调递减，即当0x =时，函数取得极大值()01f =，当2x =时，函数取得极小值()23f =-，函数21,0()468,0x x g x x x x x ì+>ï=íï---£î，()131,12g g æö-==ç÷èø，图象如图：令()f x t =，()g t a=当1a >时，()g t a =有2个根，121(0,),(1,)3t t ÎÎ+¥1()f x t =有3个根，2()f x t =有3个或1个根，所以原方程有6个或4个根；当1a =时，()g t a =有2个根，1213,2t t =-=1()f x t =有2个根，2()f x t =有3个根，所以原方程有5个根；当01a <<时，()g t a =有2个根，12(4,3),(3,2)t t Î--Î--1()f x t =有1个根，2()f x t =有3个根，所以原方程有4个根；∴方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个，不可能为3个，故选：A．8．10【分析】令()0h x =，即(())1g f x =，再令()1g x =，根据()g x 的解析式分类讨论，即可求出x ，即()0f x =或()f x e =或1()f x e=，再画出函数()f x 图象，数形结合即可判断；【详解】令()0h x =得(())1g f x =，令()1g x =得10x e x ì=í£î或10lnx x ì=í>î，解得0x =或x e =或1=x e．()0f x \=或()f x e =或1()f x e=．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有4个解，()f x e =有两个解，1()f x e=有4个解，()h x \共有10个零点．故答案为：109．-【分析】分0a ³和a<0两种情况讨论，由()0f f x =éùëû解出()f x 的值，然后分0x ³、0x <解关于x 的方程，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】①当0a ³时，由()0f f x =éùëû，可得()2f x =，当0x ³时，由()22f x x =-=，可得0x =或4，当0x <时，()20f x x ax =-+<.即当0a ³时，函数()y f f x =éùëû只有2个零点，不合乎题意；②当a<0时，由()0f f x =éùëû，可得()2f x =或()f x a =.当0x ³时，由()22f x x =-=，可得0x =或4，方程2x a -=无解，当0x <时，由()2f x x ax a =-+=，即20x ax a -+=，240a a D =->，解方程20x ax a -+=可得x a =，其中0x a =<合乎题意，0x a =+>舍去，所以，方程22x ax -+=在0x <时有唯一解，函数()2f x x ax =-+在,2a æö-¥ç÷èø上单调递增，在,02a æöç÷èø上单调递减，当0a x <<时，()0f x >，当x a <时，()0f x <，故2224a a f æö==ç÷èø，解得a =-综上所述，a =-故答案为：-.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．10．7【解析】先由()10f f x éù-=ëû可求得()f x 的值，再由0x £和0x >两种情况结合()f x 的值，可求得x 的值，即可得解.【详解】下面先解方程()10f f x éù-=ëû得出()f x 的值.（1）当()0f x £时，可得()()1110f f x f x -=+-=éùëû，可得()0f x =；（2）当()0f x >时，可得()()1ln 10f f x f x -=-=éùëû，可得()f x e =或()1f x e=.下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=.①当0x £时，由()10f x x =+=可得=1x -，由()1f x x e =+=可得1x e =-（舍去），由()11f x x e =+=可得11x e=-；②当0x >时，由()ln 0f x x ==可得1x =，由()1ln f x x e==可得1e x e =或1e x e -=，由()ln f x x e ==可得e x e =或e x e -=.综上所述，函数()1y f f x =-éùëû的零点个数为7.故答案为：7.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.。
高中数学学习中的数学模型构建实例
高中数学学习中的数学模型构建实例数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，我们能够更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
在高中数学学习中，数学模型构建是一个重要的环节，它能够帮助学生将数学知识与实际问题相结合，提高数学学习的深度和广度。
本文将通过几个实例，介绍高中数学学习中的数学模型构建。
实例一：人口增长模型假设某城市的人口增长率与城市的发展速度和工作机会数量成正比，与老年人口比例和生育率成负比。
我们可以通过建立数学模型来分析该城市的人口增长趋势。
首先，假设城市当前的总人口为P，年人口增长率为r，老年人口比例为a，生育率为b，工作机会数量为c，那么可以表示人口增长模型为：P' = P + rP - aP - bP + cP。
接下来，我们可以通过观察和调查得到一些初始条件和参数值，比如P=10000，r=0.02，a=0.15，b=0.01，c=500。
将这些数值代入到人口增长模型中，可以计算得到不同时期城市的人口情况。
实例二：投资回报模型假设某人投资一笔钱到一个项目中，该项目每年回报率为r，投资时间为t年。
我们可以建立一个数学模型来分析投资回报的变化。
首先，假设初始投资金额为P，年回报率为r，投资时间为t年，那么可以表示投资回报模型为：R = P(1+r)^t。
接下来，我们可以通过设定不同的初始投资金额、回报率和投资时间，计算得到不同情况下的投资回报。
比如，当P=1000，r=0.1，t=5时，代入模型计算可得回报R=1610.51。
实例三：物体运动模型假设某物体从静止开始，以初速度v0经过时间t后速度变为v，我们可以建立数学模型来分析物体的运动情况。
首先，根据牛顿第二定律，可以得到速度变化的方程为：v = v0 + at，其中a为加速度。
接下来，我们可以通过设定不同的初速度、加速度和时间，计算得到不同情况下物体的速度。
比如，当v0=0，a=2，t=5时，代入模型计算可得速度v=10。
高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)
外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。
公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。
补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。
高中数学数学建模案例
高中数学数学建模案例在高中数学课程中，数学建模是一个重要的部分。
它通过数学模型来解决实际生活中的问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
下面我将给大家介绍一个高中数学数学建模的案例。
目标：优化校园电费的管理问题陈述：某高中校园有多个教学楼和宿舍楼，每个建筑都有独立的电费计量表。
校方希望通过合理的电费管理来节约能源和降低费用支出，同时保证校园的正常运行。
解决方案：1. 数据收集和分析：首先，校方需要收集校园各个建筑的用电量数据和相应的费用数据。
这些数据可以通过系统监测或者人员抄表的方式收集。
然后，校方需要对数据进行分析，找出电费支出的主要因素和影响因素。
2. 建立数学模型：然后，校方可以根据数据分析的结果和实际情况，建立数学模型来描述校园的电费管理问题。
这个模型可以包括以下几个方面的因素： - 建筑的用电规模：每个建筑的用电规模不同，可以通过建筑的面积、人员数量等来估计。
- 用电设备和使用模式：不同的教室、实验室和宿舍楼都有不同的用电设备和使用模式，需要对其进行分类和分析。
- 电费计价规则：校方可以根据实际情况来确定电费的计价规则，例如按照用电量或者按照峰谷分时段计费等。
3. 模型求解和优化：校方可以使用数学软件或者编程工具来求解和优化建立的数学模型。
通过模型的求解，可以得到一些关键的结论和优化建议，例如： - 不同建筑的用电量和费用占比；- 用电量较大的建筑和使用模式；- 节约用电的策略和措施；- 改进计费规则的建议等。
4. 实施和监测：最后，校方需要根据模型的结果和建议，进行实施和监测。
可以通过相关培训和教育来提高师生对节约用电的意识，同时可以安装电表监测系统来实时监测用电情况，及时调整和改进管理策略。
结论：通过数学建模，校园电费管理可以得到优化，节约能源和降低费用支出。
同时，这个案例也展示了数学建模在实际问题中的应用和重要性。
总结：数学建模是高中数学课程中的一个重要组成部分，通过建立数学模型解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
(完整word版)高中数学八个有趣模型——搞定空间几何体外接球与内切球
八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地点即可求出球半径）PPPPO 2ccccACbCba CbBCabAAaBBaBA图1图2 图3 图 4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a 2b 2c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（C）A ． 16B． 20C． 24D ． 32（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是9解：（ 1） V a 2 h 16 ， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 24 416 24 ， S 24 ，选 C ；（ 2） 4R 23 3 3 9， S4 R 29（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA2 3 , 则正三棱锥 SABC 外接球的表面积是。
36解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。
证明以下：如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连结 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连结 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，AC BC ， AD BD ， CDAB ， AB 平面 SCD ，AB SC ，同理： BC SA ， ACSB ，即正三棱锥的对棱互垂直，此题图如图（ 3） -2 ，AM MN ， SB// MN ，SACAM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ， SB SA SB SC ， SB SA ， BC SA，，DHEB(3) 题-1SA 平面 SBC ，SA SC ，S故三棱锥 SABC 的三棱条侧棱两两相互垂直，M(2R) 2 ( 2 3)2 ( 2 3)2( 2 3)2 36 ，即 4R 236 ，AC正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36NB(3) 题-2（ 4）在四周体S ABC 中，SA 平面 ABC ，BAC 120 , SA AC 2, AB 1, 则该四周体的外接球的表面积为（ D ）10 40C. D .333（ 5）假如三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 、 4 、，那么它的外接球的表面积是（ 6）已知某几何体的三视图以下图，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为分析：（ 4）在ABC 中，BC2 AC2 AB 2 2AB BC cos120 7 ，BC 7 ，ABC 的外接球直径为2r BC 7 2 7 ，BAC 3 3sin2(2R) 2 ( 2r ) 2 SA2 ( 2 7 )2 4 40 ， S 40 ，选 D3 3 3（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a, b, c（ a, b, c R ），则ab 12bc 8 ，abc 24 ， a 3 ， b 4 ， c 2 ，( 2R)2 a2 b2 c2 29 ， S 4 R2 29 ，ac 6（ 6）(2 )2 a 2 b 2 c 2 3 ， R 2 3 3R ， R24PV 4 R3 4 3 3 3 ，3 3 8 2A C种类二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）B1．题设：如图 5，PA 平面 ABC解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连结 PD ，则 PD 必过球心 O ；PO第二步： O1为ABC 的外心，因此OO1平面 ABC ，算出小圆O1的半CA O1 D径 O1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 Ba b c1PA ；图 5 2r ）， OO1sin A sin B sin C 2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2 PA 2 (2r )2 2R PA2 (2r )2 ；② R2 r 2 OO12 Rr 2 OO122．题设： 如图 6，7，8， P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱锥 PABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点也是圆锥的极点PPPPOOO OCCCCAO 1DAA O 1O 1O 1BABBB图 6 图 7-1图 7-2图 8PPPAAAO 2BCO 2CO 2DBDBOOO图8-1 图8-2 图8-3解题步骤：第一步：确立球心O 的地点，取 ABC 的外心 O 1 ，则 P,O, O 1 三点共线；第二步：先算出小圆 O 1 的半径 AO 1r ，再算出棱锥的高 PO 1h （也是圆锥的高） ；第三步：勾股定理： OA2O 1 A 2 O 1O2R 2 ( h R) 2 r 2 ，解出 R方法二： 小圆直径参加结构大圆。
高一数函数模型的应用实例【共44张PPT】
分段函数模型
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不 超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为 3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该 月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、 乙两用户该月的用水量和水费．
(5) 指 数 函 数 模 型 ： f(x) ＝ __a__·_b_x_＋__c__(a ， b ， c 为 常 数 ， a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝____m__lo_g_a_x_＋__n_____(m，n，a为常 数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝_____a_x_n＋__b_(a，b，n为常数，a≠0， n≠1)．
3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．
2．借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？
5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
付费 y ＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)． 1
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多
造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩
B．172 800亩
C．20 736亩
D．17 280亩
解析： 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10 000×(1＋
20%)x－1，
∴x＝4时，y＝17 280.故选D.
答案： D
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每 辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元， 则y关于x的函数关系式是( )
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高中常见数学模型案例
中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种:
一、函数模型
用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题
例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。
分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(⋅-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ⋅⋅==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4
2、一次函数问题
例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。
要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。
解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：⎪⎩
⎪⎨⎧∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。
速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。
3、二次函数问题
例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
解：设小矩形长为x ，宽为y ，则由图形条件可得：l y x x =++911π
∴x l y )11(9π+-=
要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：
)44(32)442(644])11([322622
222
2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s ∴当π
+=442l x 时，)44(9)22(9)11(πππ+-=+-=l x l y 即：π
-=2218y x 此时窗框面积S 有最大值)44(322m ax π+=l s 。
可见，一般的设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。
二、数列模型
数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。
在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。
例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575％，那么每月应还多少钱呢？
分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。
在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通过填表来回答：
通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。
2423004575.110000004575.1004575.1⨯=+++x x x Λ
可以发现，上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：
2424
004575.110000004575
.11004575.11⨯=--⋅x 即2424004575.11)004575.11(004575.110000--⨯⨯=x 解之得91.440≈x
提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，那么每月付款款额的计算公式是什么？
显然问题转化为建立关于x 的方程。
设采用分期付款方式贷a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，每月付款x 元，那么： 把右边求和，得r
r x r a m m ]1)1[()1(-+=+， 所以：1
)1()1(-++=m m
r r ar x 万元。
三、初等概率模型
古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。
例5：将n 个球随机地放入n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。
分析与求解：因为每一个球都可以放进n 个盒子中的任一个盒子，共有n 种不同的放法，n 个球放进n 个盒子就有n ×n ×…×n=n
n 种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为n n 个。
现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。
第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒子之一，有（n-1）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n 个球放进n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有!n 种不同的放法，因而所求得概率为： n n
n
A A P =)(。
几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至n 维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某一个可度量的子集A 的可能性与A 的几何测度成正比，而与A 的形状及位置无关。
如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。
例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内） 解：以x 、y 分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：∣x －y ∣≤20，两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点（x ，y ）表示，该正方()()
()()122(1)11...11m m m a r x rx r x r x r x --+=+++++++++
形上的所有点的集合构成了样本空间。
如下图的阴影部分（满足不等式∣x －y ∣≤20的点的集合）表示“两人能相遇”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。
9536002000)(===大小
S S A P 。
通过这一段的研究，笔者有如下心得：
（1）在数学教学中和对学生数学学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。
（2）在数学教学和课外活动中，要鼓励支持学生“面对实际问题时，能主动尝试着以数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略”。
开阔学生的数学视野，使他们了解数学的应用价值。